Дивергенция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее — насколько расходятся входящий и исходящий поток).
Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учётом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:
дивергенция — это линейный дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.
Оператор дивергенции, применённый к полю , обозначают как
.
Содержание
Определение
Определение дивергенции выглядит так:
где ФF — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю (то есть чтобы вся поверхность находилась в бесконечно малой окрестности данной точки, что нужно, чтобы дивергенция была локальной операцией и для чего очевидно недостаточно стремления к нулю площади поверхности и объёма ее внутренности). В обоих случаях подразумевается, что
.
Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат, приведённые в следующем параграфе).
Определение легко и прямо обобщается на любую размерность n пространства: при этом под объёмом понимается n-мерный объём, а под площадью поверхности (n-1)-мерная площадь (гипер)поверхности соответствующей размерности.
Определение в декартовых координатах
Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением
Это же выражение можно записать с использованием оператора набла
Многомерная, а также двумерная и одномерная, дивергенция определяется в декартовых координатах в пространствах соответствующей размерности совершенно аналогично (в верхней формуле меняется лишь количество слагаемых, а нижняя остается той же, подразумевая оператор набла подходящей размерности).
Физическая интерпретация
С точки зрения физики (и в строгом смысле, и в смысле интуитивного физического образа математической операции) дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства (или очень малая окрестность точки) является источником или стоком этого поля:
0 » border=»0″ /> — точка поля является источником; — точка поля является стоком; — стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.
Простым, хоть быть может и несколько схематическим, примером может служить озеро (для простоты — постоянной единичной глубины со всюду горизонтальной скоростью течения воды, не зависящей от глубины, давая, таким образом, двумерное векторное поле на двумерном пространстве). Если угодно иметь более реалистическую картину, то можно рассмотреть горизонтальную проекцию скорости, проинтегрированную по вертикальной пространственной координате, что даст ту же картину двумерного векторного поля на двумерном пространстве, причём картина качественно будет для наших целей не сильно отличаться от упрощённой первой, количественно же являться её обобщением (весьма реалистическим). В такой модели (и в первом, и во втором варианте) родники, бьющие из дна озера будут давать положительную дивергенцию поля скоростей течения, а подводные стоки (пещеры, куда вода утекает) — отрицательную дивергенцию.
Дивергенция вектора плотности тока даёт минус скорость накопления заряда в электродинамике (так как заряд сохраняется, то есть не исчезает и не появляется, а может только переместиться через границы какого-то объёма, чтобы накопиться в нём или уйти из него; а если и возникают или исчезают где-то положительные и отрицательные заряды — то только в равных количествах). (См. Уравнение непрерывности).
Геометрическая интерпретация
Если в качестве векторного поля (на двумерном пространстве) взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).
Дивергенция в физике
В стандартной формулировке классической теории поля дивергенция занимает центральное место (в альтернативных формулировках может не находиться в самом центре изложения, но всё равно остается важным техническим инструментом и важной идеей).
Свойства
Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.
Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах
Дивергенция (расходимость) — скалярный дифференциальный оператор векторного поля, который показывает, насколько поле имеет тенденцию расходиться из данной точки.
Содержание
Определение
Оператор дивергенции обозначается так: div F.
Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением
Это же выражение можно записать с использованием оператора набла
Физическая интерпретация
С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или потребителем потока поля. То есть, альтернативное определение дивергенции выглядит:
где Ф — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V. Это определение применимо, в отличие от первого, не только к декартовым системам координат
0>» /> точка поля является источником точка поля является стоком стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга
Например, если в качестве векторного поля взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).
Свойства
Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.
для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.
Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах
Ранее была установлена связь между характеристикой электрического поля – напряженностью и его источниками, т.е. зарядами в виде определения напряженности. Существует еще одна связь между ними, которая может оказать существенную помощь при решении симметричных задач – теорема Гаусса. Заметим, что она входит в качестве постулата в систему уравнений Максвелла.
1.Общие замечания о векторном поле
В физике достаточно часто приходится изучать векторные поля (поле скорости жидкости, электромагнитное поле), теория которых достаточно хорошо разработана в математике.
Поле называют векторным, если каждой точке пространства поставлено в соответствии три числа, т.е. вектор.
Векторные поля существенно сложнее скалярных. Вектор поля можно показать с помощью силовых линий. Могут существовать точки, в которых эти линии начинаются и заканчиваются, такие точки называются источниками и стоками. Для электрического поля – это положительный и отрицательный заряд. Где линии гуще – поле сильнее.
Интегральной характеристикой векторного поля является поток вектора поля через какую-то либо поверхность. Дифференциальной или локальной характеристикой векторного поля является дивергенция. Вся терминология пришла из гидродинамики.
2.Понятие потока
Пусть имеется какое-либо векторное поле и некоторая поверхность S. На этой поверхности мы выберем маленькую площадку dS, покажем нормаль к этой точке .
Потоком вектора через произвольную поверхность площади S называется поверхностный интеграл следующего вида:
или используется ещё обозначение ,где – произведение нормали на площадь.
Если поверхность замкнута, то поток через замкнутую поверхность обозначается, как
,
где – интеграл по замкнутой поверхности.
Поток – это объёмная или интегральная характеристика векторного поля.
Возьмем точку M в пространстве. Окружим ее замкнутой поверхностью S и вычислим поток через замкнутую поверхность. Затем поверхность будем стягивать к точке. Понятно, что поток начинает уменьшаться, однако отношение потока к объему, охваченному этой поверхностью, будет конечной величиной – это отношение и называется дивергенцией.
Дивергенцией векторного поля в точке пространства называется следующий интеграл.
, div – дивергенция.
Очевидно, если div>0, то в точке пространства находится источник поля; если div r; j; z),
c)Сферическая (r, j, q ).
4.Теорема Остроградского – Гаусса
Данная теорема связывает поверхностный и объемный интеграл.
5.Теорема Гаусса в физике
Это теорема Гаусса в интегральной форме.
Оказывается, что данное выражение справедливо для любого распределения зарядов.
Поток напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность определяется зарядом внутри этой поверхности.
Отсюда следует теорема Гаусса в дифференциальной форме:
6.Поле бесконечной плоскости
Будем считать, что заряд существует и на одной поверхности.
>
Очевидно, что поле не зависит от расстояния, т.е. однородно. Если выберем 0 на плоскости и обозначим ось x, то
На самой плоскости нормальная составляющая напряженности испытывает разрыв и терпит скачок.
7.Поле двух разноименно заряженных плоскостей
8.Поле шара
Очевидно, что поле шара вне шара, поле сферы вне сферы и поле точечного заряда совпадают.
Электрическое поле имеет определенную величину и направление в каждой точке, т.е. E=E(x,y,z). В математике для характеристики локальных свойств векторных полей, т.е. их свойств в окрестности некоторой точки, вводятся соответствующие дифференциальные величины. Одной из них является дивергенция. По определению дивергенция векторной функции a (обозначается div a) есть следующая скалярная функция координат
Предположим, что векторная функция a задана в декартовой системе координат. Это означает, что известны три скалярные функции ax(x,y,z), ay(x,y,z), az(x,y,z). Найдем выражение для дивергенции в точке P(x,y,z) в декартовой системе координат. Выберем область, оружающую точку P в виде ящика со сторонами x, y, z. Найдем суммарный поток Ф(x) вектора a через две противоположные грани, перпендикулярные оси x:
где ax1и ax2 средние значения проекций ax на гранях, к которым на рис. 2.7 проведены соответствующие нормали.
Приближенно можно записать, что
Тогда
По аналогии можно записать и компоненты потока через пары противоположных граней, перпендикулярных осям y и z. Тогда полный поток вектора a через всю поверхность ящика будет
Устремляя объем ящика к нулю, путем стягивания его к точке P перейдем от приближенного равенства к точному и получим, согласно определению дивергенции (2.13), что в декартовых координатах
Учитывая, что векторный оператор набла определен в декартовых координатах как
можно представить дивергенцию в виде скалярного произведения оператора набла на вектор a:
,
причем представление дивергенции в виде скалярного произведения оператора набла на вектор сохраняет силу и для других систем координат (цилиндрической, сферической и т.д.). И вектор и оператор набла должны быть, естественно, записаны в одной и той же системе (см. Лекцию 3, где оператор набла представлен в полярной системе координат).
Франц-Карл Ашар (Franz Karl Achard) — известен как основатель производства свекловичного сахара; родился 28 апреля 1753 года в Берлине, посвятил себя изучению физики и химии, в 1782 году был директором физического класса Академии наук, в журнале которого «Abhandlungen» он сообщал о множестве физических и химических исследований, Наибольшие заслуги его заключались в разработке свеклосахарного производства, около 1786 года Ащар в своем имении Каульсдорфе, близ Берлина, стал заниматься опытами для усовершенствования культуры сахарной свекловицы.
Поднять груз на значительную высоту с помощью рычага очень сложно. Чем высота больше, тем длиннее должен быть рычаг. Такого недостатка нет у блока.
Что такое блок
Обод колеса, как правило, имеет желоб, в котором прокладывается трос или веревка.
Ось блока может быть неподвижной или перемещаться вместе с колесом. В связи с этим блоки бывают подвижными и неподвижными.
Какой блок называют неподвижным
У неподвижного блока ось вращения не изменяет своего положения в пространстве. Она с помощью специальной обоймы закреплена на балке или на другой опоре (рис. 70). Если на конец веревки, переброшенной через блок, подействовать силой, то другой конец начнет двигаться вверх. Если к этому концу прикрепить груз определенной массы, то он будет подниматься вверх. Если на свободный конец веревки действует сила, направленная вниз, то на груз действует сила, направленная вверх. Измерение этих сил показывает, что они равны.
Почему неподвижный блок не дает выигрыша в силе
Неподвижный блок выигрыша в силе не дает, он только изменяет направление действия силы.
Такую особенность можно легко объяснить, учитывая, что неподвижный блок похож на равноплечий рычаг. Для этого перенесем точки действия сил вверх к точкам А к В, где веревка касается блока (рис. 71). Плечи этих сил OA и ОВ будут одинаковыми, как радиусы окружности. Согласно условию равновесия рычага силы F1 и F2 также должны быть одинаковыми. Опыт подтверждает эти выводы.
Какой блок называют подвижным
Почему подвижный блок дает выигрыш в силе
Пример решения задачи
Определить вес груза, который удерживается системой подвижного и неподвижного блоков, если на свободный конец троса действует сила 300 Н (рис. 74).
Дано:
Решение
Неподвижный блок выигрыша в силе не дает. Поэтому вычисления производим с учетом только подвижного блока, который дает выигрыш в силе в два раза. О массе блока в условии задачи не сказано, поэтому весом блока можно пренебречь по сравнению с весом груза. Таким образом,
Ответ. Вес груза равен 600 Н.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
, обозначают как
.
.
0 » border=»0″ /> — точка поля является источником; 
— точка поля является стоком; 
— стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.
, где 
— коэффициенты Ламе.
.
и некоторая поверхность S. На этой поверхности мы выберем маленькую площадку dS, покажем нормаль к этой точке 
.
вектора 
через произвольную поверхность площади S называется поверхностный интеграл следующего вида:
,где 
– произведение нормали на площадь.
,
– интеграл по замкнутой поверхности.
, div – дивергенция.
,
