Что значит умножить комплексное число на действительное

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

Действия над комплексными числами.

Действия над комплексными числами.

Сложение комплексных чисел:

Умножение двух комплексных чисел:

Умножение комплексного числа на действительное:

$$\lambda(x+iy)=\lambda x+i\lambda y.$$

Деление комплексных чисел:

Примеры:

Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:

Решение:

Решение.

Решение.

Решение.

Найти действительные решения следующего уравнения:

Решение.

Домашнее задание.

Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:

Найти действительные решения следующего уравнения:

Решить следующие системы линейных уравнений:

$(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$

1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$

$(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$

Источник

Умножение комплексных чисел

Что такое комплексные числа и их умножение

В математических науках часто применяют при решении задач не только натуральные, рациональные и вещественные числа, но и комплексные.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В том случае, когда b = 0, комплексное число трансформируется в вещественное число. Исходя из этого, можно сделать вывод, что действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Запись данного заключения будет иметь следующий вид подмножества:

\(\mathbb \subset \mathbb\)

Следует отметить, что также допустимо равенство:

Согласно принятым правилам, мнимая часть комплексного числа записывается в виде:

Действительная часть комплексного числа представляет собой выражение:

Рассмотрев множество на примере, можно представить формулировку комплексно-сопряженных чисел.

Разница между записанными числами заключается в неодинаковых знаках перед действительным и мнимым компонентом чисел.

В математической науке для данных чисел предусмотрено несколько форм. Таким образом, одинаковые числа достаточно просто записать разными методами:

С помощью несложных манипуляций одну форму числа можно перевести в другой вариант записи. Алгебраическая запись является более распространенной. Однако допустимо изображать комплексные числа на плоскости. В итоге получим числа \(a,b \in \mathbb\) расположенные на соответствующих осях плоскости.

Справедливы следующие закономерности:

Умножить комплексные числа в алгебраической форме можно, таким образом:

Операция умножения комплексных чисел, записанных в показательном варианте, имеет следующий вид:

Разновидности формул умножения в зависимости от формы записи

Благодаря наличию специальных формул, можно оперативно выполнять различные операции с комплексными числами, включая примеры из тригонометрии. Теоретический порядок действий при умножении зависит от того, в какой форме записано комплексное число.

Формула умножения в алгебраической форме

Формула умножения в показательной форме

Если требуется найти произведение комплексных чисел, которые записаны в показательной форме, то целесообразно воспользоваться способом прямого перемножения всех элементов:

Формула умножения в тригонометрической форме

Найти произведение комплексных чисел, записанных с помощью тригонометрической формы, можно, таким образом:

\(z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \cdot (\cos(\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1+\varphi_2))\)

Примеры решения задач с комплексными числами

Задача 1

Необходимо представить алгебраическую форму комплексного числа в виде тригонометрической и показательной записи. Комплексное число:

Решение

В первую очередь следует определить модуль комплексного числа:

Далее целесообразно найти аргумент:

В результате можно составить тригонометрическую форму комплексного числа, которое дано в условии задачи:

Таким же способом можно представить комплексное число в показательной форме:

Задача 2

Требуется найти произведение пары комплексных чисел:

Решение

В первую очередь следует записать выражение:

\(z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (2-3i)\)

Затем целесообразно приступить к раскрытию скобок и перемножить множители поэлементно:

\(z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (2-3i)= (3 \cdot 2 + 3 \cdot (-3i) + i \cdot 2 + i \cdot (-3i)\)

Полученное равенство можно упростить. Для этого нужно учитывать, что:

Запишем готовое выражение:

Задача 3

Даны комплексные числа:

Необходимо найти произведение этих комплексных чисел.

Решение

Вначале требуется записать выражение:

Путем перегруппировки множителей и применения свойства степени:

Задача 4

Даны комплексные числа:

\(z_1 = 2\bigg (\cos\frac<\pi> <3>+ i\sin \frac<\pi> <3>\bigg )\)

\(z_2 = 4 \bigg (\cos\frac<\pi> <4>+ i\sin \frac<\pi> <4>\bigg )\)

Требуется найти произведение этих комплексных чисел.

Решение

Если необходимо умножить комплексные числа, представленные в тригонометрической форме, то целесообразно сложить их аргументы и перемножить модули:

\(z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 4 \cdot \bigg ( \cos (\frac<\pi> <3>+ \frac<\pi><4>) + i\sin (\frac<\pi> <3>+ \frac<\pi><4>) \bigg ) = 8 \bigg (\cos \frac<7> <12>+ i\sin \frac<7> <12>\bigg )\)

Ответ: \(z_1 \cdot z_2 = 8 \bigg (\cos \frac<7> <12>+ i\sin \frac<7> <12>\bigg )\)

Задача 5

Необходимо выполнить несколько действий с комплексными числами:

Требуется найти их сумму и разность.

Решение

В первую очередь следует сложить комплексные числа. В этом случае нужно найти сумму соответствующих мнимых частей комплексных чисел:

Аналогичным способом можно найти разность комплексных чисел:

Задача 6

Даны комплексные числа:

Необходимо найти их произведение и выполнить деление комплексных чисел.

Решение

Вначале нужно записать выражение:

\(z_1 \cdot z_2 = (3+i) \cdot (5-2i)\)

Далее требуется раскрыть скобки и выполнить приведение подобных слагаемых с учетом, что:

Таким образом, получим:

Затем необходимо поделить первое число на второе:

Принцип деления заключается в исключении комплексного числа, которое расположено в знаменателе. Для того чтобы получить результат, необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю. По итогу следует раскрыть все скобки:

Поделив числитель на 29, можно записать дробь алгебраическим способом:

Задача 7

Дано комплексное число:

Данное число требуется возвести в степени:

Решение

Комплексное число достаточно просто возвести в квадрат, если умножить его само на себя:

\(z^2 = (3+3i)^2 = (3+3i)\cdot (3+3i) =\)

Применяя формулу, справедливую для умножения, следует раскрыть скобки и привести подобные:

Во втором варианте:

Данный пример отличается повышенной сложностью вычислений, по сравнению с первым примером, где потребовалось лишь возвести комплексное число в квадрат. Если пойти стандартным путем и умножать комплексное число само на себя 7 раз, то вычисления могут занять неопределенное время. Упростить задачу легко, если применить к решению формулу Муавра. Данная закономерность справедлива в случае операций с комплексными числами, которые записаны в тригонометрической форме. По условиям задачи число представлено в алгебраическом виде. Поэтому в первую очередь целесообразно перевести его в тригонометрическую форму.

Требуется найти модуль:

Далее следует вычислить аргумент:

\(\varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi><4>\)

Можно записать комплексное число в тригонометрической форме:

Возведение в степень n = 7 будет выглядеть следующим образом:

Представить наглядный ответ лучше в алгебраической форме. Для этого необходимо выполнить ряд манипуляций:

\(= 2187 \cdot 8 (1-i) = 17496(1-i)\)

Задача 8

Необходимо извлечь корень \(\sqrt[3]<-1>\) над множеством \(\mathbb.\)

Решение

Следует преобразовать комплексное число в тригонометрическую форму. Для этого необходимо найти значение модуля и аргумента:

\(\varphi = arctg \frac<0> <-1>+\pi = arctg 0 + \pi = \pi\)

В результате получим выражение:

\(z = (\cos \pi + i\sin \pi)\)

С помощью формулы Муавра представляется возможным найти значение корней какой-либо степени:

По условию степень соответствует n = 3. Таким образом, согласно формуле:

В результате получим:

Задача 9

Необходимо найти решение для квадратного уравнения:

\(x^2 + 2x + 2 = 0\) над \(\mathbb\)

Решение

Найти ответ на данную задачу следует, используя общую формулу. Для начала необходимо вычислить дискриминант:

В результате получим:

Однако на этом решение задачи не заканчивается. По условию требуется определить уравнение над комплексным множеством. Получение в итоге отрицательного дискриминанта говорит только о том, что в выражении отсутствуют вещественные корни. Это утверждение не отменяет наличие комплексных корней. Таким образом, следует их найти:

Можно отметить, что:

Далее следует продолжить вычисления:

В результате получаются комплексно-сопряженные корни:

Источник

Комплексные числа

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

Аналогично выполним вычитание чисел:

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$

Записываем в тригонометрическом виде:

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Источник

Умножение комплексных чисел

Вы будете перенаправлены на Автор24

Умножение на число и умножение заданных комплексных чисел выполняются для чисел, представленных в любой форме записи.

Для умножения комплексных чисел на число воспользуемся определением и получим:

Готовые работы на аналогичную тему

Выполнить умножение комплексных чисел:

Для умножения комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

2) \[\begin \cdot z_ <2>=(\sqrt <3>+2i)\cdot (0+\sqrt <5>\cdot i)=\sqrt <3>\cdot 0+0\cdot 2i+\sqrt <3>\cdot \sqrt <5>\cdot i+2i\cdot \sqrt <5>\cdot i=0+0+\sqrt <15>\cdot i+2\sqrt <5>\cdot i^ <2>=\sqrt <15>\cdot i-2\sqrt <5>=-2\sqrt <5>+\sqrt <15>\cdot i> \end\]

Другими словами, произведение комплексно-сопряженных чисел есть квадрат модуля каждого из них.

Выполнить умножение комплексно-сопряженных чисел, используя замечание 1 и определение:

Для умножения комплексных чисел воспользуемся замечанием 1 и получим:

2) \[z\cdot \overline=(\sqrt <3>+2i)\cdot (\sqrt <3>-2i)=(\sqrt <3>)^ <2>+2^ <2>=3+4=7\]

Для умножения комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

Результаты выполнения операции умножения комплексных чисел совпадают.

\[z_ <1>\cdot z_ <2>=r_ <1>\cdot r_ <2>\cdot [\cos (\varphi _ <1>+\varphi _ <2>)+i\sin (\varphi _ <1>+\varphi _ <2>)].\]

Выполнить умножение комплексных чисел:

Для умножения комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

2) \[\begin \cdot z_ <2>=\left(4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )\right)\cdot \left(5\cdot (\cos \frac<\pi > <2>+i\cdot \sin \frac<\pi > <2>)\right)=4\cdot 5\cdot [\cos (\pi +\frac<\pi > <2>)+i\cdot \sin (\pi +\frac<\pi > <2>)]=20\cdot (\cos \frac<3\pi > <2>+i\cdot \sin \frac<3\pi > <2>)> \end\]

Выполнить умножение комплексных чисел:

Для умножения комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 13 11 2021

Источник

Комплексные числа — простое объяснение. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

Комплексные числа не так сложны, как могло бы показаться. В начале они назывались невозможными числами. Также их еще называли мнимыми или воображаемыми, поскольку действительно чтобы их представить, требуется немного воображения. В данном обзоре постараемся в доступной форме с наглядными примерами разобраться с данными числами.

Комплексные числа — простое объяснение

Для того, чтобы разобраться с комплексными числами, следует для начала рассмотреть множество действительных чисел. К этому множеству относятся целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число.

Рассмотрим две точки на прямой А = 1 и Б = 2. Сложим эти две точки. Их сумма эта третья точка В = 1+2 = 3.

Точки также можно перемножать. Посмотрим, например, как действует умножения на минус 2. Данное действие преобразует точку 1 в минус 2. Если мы снова умножим на минус 2, то нужно будет повторить аналогичное передвижение на прямой, поменять стороны относительно начала координат и удвоить расстояние до него. В результате получим 4.

Умножение на минус 1 устроено просто. Каждая точка переходит в симметричную ей относительно начала координат. Другими словами нужно сделать пол оборота (повернуть на 180°). Повторение умножения на минус 1 приводит в исходное положение. Умножение на минус 1 переводит 1 в минус 1. Если еще раз умножить на минус 1, мы вернемся обратно в 1.

На данном этапе можно выделить правило, что если умножить число на себя, результат всегда будет положительным. Другими словами минус 1 не имеет квадратного корня. Но только не в случае с комплексными числами.

В начале 19 века Робер Арган высказал следующую идею. Поскольку умножить на минус 1 означает повернуть на 180°, то квадратный корень из минус 1 означает повернуть на половину (90°). Если повернуть дважды на четверть оборота, вы сделаете пол оборота. Квадрат четверти оборота — это пол оборота (минус 1). То есть квадратный корень из минус 1 отвечает точке, в которую минус 1 переходит при повороте на 90°. Поскольку такое построение, выходящее за пределы горизонтальной прямой, выглядит странным, говорят, что такая точка, являющаяся квадратным корнем из минус 1 — это мнимое число. И в математике оно обозначается — i.

С выходом за пределы прямой, все последующие действия производятся легко. Можно отметить числа 2i, 3i и так далее. Каждой точке плоскости отвечает комплексное число. И наоборот — всякое комплексное число задает точку на плоскости.

Операции с комплексными числами

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел. Например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Комплексные числа могут складываться и вычитаться как обычные.

Рассмотрим точку, обозначающую число 1+2i. Прибавим к нему число 3+1i. Можно сложить столбиком и получить 4+3i. Геометрически это обычное сложение векторов.

Разность комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, представляет собой комплексное число, действительная часть которого и коэффициент при мнимой части равны соответственно разности действительных частей и разности коэффициентов при мнимой части уменьшаемого и вычитаемого.

В общем виде вычитание комплексных чисел z1 = a+bi и z2 = c+di можно записать так: z1-z2 = (a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i.

Несколько примеров вычитания:

Умножение и деление комплексных чисел

Комплексные числа перемежаются точно также, как и действительные числа. Рассмотрим несколько примеров.

2×(1+1i) = 2+2i. Геометрически умножение на два выглядит как растягивание прямой с точкой на плоскости в два раза.

Частное комплексных чисел z1 = x1+y1i и z2 = x2+y2i в алгебраической форме находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число к знаменателю:

z1÷z2 = (x1+y1i)÷(x2+y2i) = ((x1+y1i)×(x2-y2i))÷((x2+y2i)×(x2-y2i)) = ((x1×x2+y1×y2)÷(x2²+y2²)) + (i×(x2×y1-x1×y2)÷(x2²+y2²)).

Комплексные числа — тригонометрическая форма

Казалось бы, плоскость двухмерная, так как для описания произвольной точки нужны два числа. На самом же деле можно обойтись одним числом. Для этого используется тригонометрическая форма представления. То есть z = a+bi можно представить как z = [z]×(cosφ+i×sinφ), где:

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: [z] = √(a²+b²). Данная формула справедлива для любых значений a и b.

Для нахождения аргумента (φ или argz) нужно воспользоваться следующими формулами:

Как видно, комплексные числа не так сложны, как могло бы показаться на первый взгляд. Ознакомившись с простым объяснением и методикой работы с ними, вы научитесь складывать, вычитать, умножать и делить комплексные числа. Также вы сможете переводить комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую.

Источник