Что значит обратная дробь
Обратные Числа
и «перевернём» её, поменяв местами числитель и знаменатель.
Получим дробь.
называют обратной дроби.
опять «перевернуть», мы получим исходную дробь.
Поэтому такие дроби как
называют взаимно обратными.
Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:
записать его в виде неправильной дроби;
полученную дробь «перевернуть».
Пример. Найти число обратное смешанному числу:
Переворачиваем полученную дробь. Обратным числом для смешанного числа будет обыкновенная дробь:
Взаимно обратные числа обладают важным свойством.
Произведение взаимно обратных чисел равно единице.
Пример произведения обратных дробей.
Опираясь на свойство обратных дробей, можно дать определение взаимно обратных чисел.
Взаимно обратными числами называют два числа, произведение которых равно единице.
И так мы помним правило
Обратные числа (взаимно-обратные числа) — это два числа, произведение которых равно единице.
Примеры обратных чисел.
Обратное число существует для любого числа, кроме нуля.
Число, обратное 1 — это 1. Таким образом, единица — число, являющееся обратным самому себе.
В общем виде взаимно-обратные дроби можно представить как
натуральное число a и обратное ему число — как
Чтобы проверить, являются ли два числа обратными, надо найти их произведение. Если произведение равно единице, числа — взаимно-обратные, в противном случае числа обратными не являются.
Чтобы найти число, обратное данному, можно единицу разделить на данное число.
На практике обычно поступают проще.
Чтобы найти дробь, обратную обыкновенной дроби, числитель и знаменатель данной дроби меняют местами (дробь «переворачивают»).
Число, обратное натуральному, записывают как дробь с числителем 1 и знаменателем, равным данному натуральному числу.
Смешанные и десятичные дроби сначала переводят в обыкновенные дроби, а затем «переворачивают» и, если нужно, выделяют целую часть.
В алгебре по аналогии с взаимно-обратными числами вводится понятие взаимно-обратных выражений, в частности, обратных дробей.
Надеемся мы вам помогли, оставь отзыв и расскажи как ты понял( а) эту тему.
Взаимно обратные числа, нахождение обратного числа.
Дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Рассмотрим, как находить число, обратное натуральному числу и обратное обыкновенной дроби. Помимо этого, запишем и докажем неравенство, отражающее свойство суммы взаимно обратных чисел.
Взаимно обратные числа. Определение
Как найти число, обратное данному
Для натуральных чисел и обыкновенных дробей найти обратное число довольно просто. Можно сказать, даже очевидно. В случае нахождения числа, обратного иррациональному или комплексному числу, придется произвести ряд вычислений.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи нахождения обратного числа.
Число, обратное обыкновенной дроби
Число, обратное натуральному числу
Отдельное внимание стоит уделить единице, так как это единственное число, обратное число для которого равно ему самому.
Других пар взаимно обратных чисел, где обе составляющие равны, не существует.
Число, обратное смешанному числу
Число, обратное десятичной дроби
Десятичная дробь также можно представить в виде обыкновенной дроби. Нахождение обратного десятичной дроби числа сводится к представлению десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и нахождению обратного числа для нее.
Рассмотрим еще один пример.
Пример. Нахождение числа, обратного десятичной дроби
Переводим десятичную дробь в обыкновенную:
Аналогично и для иррациональных чисел, отвечающим непериодическим бесконечным дробям, обратные числа записываются в виде дробных выражений.
Взаимно обратные числа с корнями
Обратимся к практике.
Пример. Взаимно обратные числа с корнями
Чтобы узнать, являются ли числа взаимно обратными, вычислим их произведение.
Произведение равно единице, значит, числа взаимно обратны.
Рассмотрим еще один пример.
Пример. Взаимно обратные числа с корнями
Взаимно обратные числа со степенями
Пример. Взаимно обратные числа со степенями
Взаимно обратные числа с логарифмами
Пример. Взаимно обратные числа с логарифмами
Число, обратное комплексному числу
Как уже отмечалось ранее, определение взаимно обратных чисел справедливо не только для действительных чисел, но и для комплексных.
Пример. Число, обратное комплексному числу
Помимо алгебраической формы, комплексное число может быть представлено в тригонометрической или показательной форме следующим образом:
z = r · cos φ + i · sin φ
Соответственно, обратное число будет иметь вид:
Рассмотрим примеры с представлением комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.
Пример. Найти число, обратное комплексному числу
Ответ: 1 2 · e i 2 π 5
Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство
Существует теорема о сумме двух взаимно обратных чисел.
Сумма взаимно обратных чисел
Приведем доказательство теоремы. Как известно, для любых положительных чисел a и b среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому. Это можно записать в виде неравенства:
a + 1 a 2 ≥ a · 1 a a + 1 a ≥ 2
Что и требовалось доказать.
Приведем практический пример, иллюстрирующий данное свойство.
Пример. Найти сумму взаимно обратных чисел
Вычислим сумму чисел 2 3 и обратного ему числу.
2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6
Как и говорит теорема, полученное число больше двух.
Взаимно обратные числа
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение взаимно обратных чисел
С предыдущих уроков математики мы знаем: если прибавить или вычесть из числа нуль — оно не изменится. Точно также, если умножить или разделить число на единицу.
Ноль — нейтральный элемент для сложения и вычитания. При этом числа, которые в сумме дают ноль, называют противоположными.
Единица — нейтральный элемент для умножения и деления. Поэтому симметричными называют числа, чье произведение дает единицу.
Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно 1.
Обратное число к данному числу — это такое число, которое мы умножаем на данное число и получаем единицу.
Если числа a и b взаимно обратные, то можно сказать, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Также можно говорить, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a.
Приведем примеры взаимно обратных чисел. Так как произведение двух единиц равно 1, то по определению числа 1 и 1 — взаимно обратные.
Определение взаимно обратных чисел относится к любым числам — натуральным, целым, действительным, комплексным.
Как найти число, обратное данному числу
Иногда число, обратное данному числу, очевидно. Так бывает с натуральными числами и обыкновенными дробями. В других случаях приходится проводить вычисления. Например, с иррациональными и комплексными числами.
Рассмотрим каждый отдельный случай нахождения числа, обратного данному числу.
Число, обратное обыкновенной дроби
Числом, обратным обыкновенной дроби a/b, является дробь b/a.
Чтобы это проверить, выполним умножение обыкновенных дробей a/b и b/a — получим 1. Значит дроби a/b и b/a — взаимно обратные числа.
Если числитель и знаменатель дроби a/b поменять местами, то получится дробь b/a, обратная дроби a/b.
Это правило значительно экономит время. Можно сразу записать число, обратное данной обыкновенной дроби без каких-либо вычислений.
Число, обратное натуральному числу
Нахождение числа, обратного данному натуральному числу, можно свести к нахождению числа, обратного дроби. Для этого нужно записать натуральное число как дробь со знаменателем 1.
Пусть нам дано натуральное число n, и нужно записать число, обратное числу n. Так как натуральное число n равно дроби n/1, то, поменяв местами числитель и знаменатель этой дроби, получим дробь 1/n, которая и является числом, обратным натуральному числу n.
Итак, натуральному числу n обратным числом является число 1/n, то есть, дробь с числителем 1 и знаменателем n. Значит n и 1/n — взаимно обратные числа.
Отдельно отметим число, обратное натуральному числу 1. Число, обратное единице, это единица. Пара взаимно обратных чисел 1 и 1 уникальна тем, что составляющие ее числа равны, других таких пар взаимно обратных чисел не существует.
Найти число, обратное смешанному числу
Напомним, что смешанное число выглядит так: A b/c. Чтобы найти число, обратное смешанному числу, нужно представить данное смешанное число в виде неправильной дроби, а уже после найти число, обратное этой дроби. Как это работает рассмотрим на примере.
Пример
Найти число, обратное смешанному числу 
Сначала выполним перевод смешанного числа в неправильную дробь:
Число, обратное дроби 65/9, есть дробь 9/65. Поэтому, смешанному числу обратно число 9/65.
Ответ: и 9/65 взаимно обратные числа.
Найти число, обратное десятичной дроби
Конечную десятичную дробь или периодическую десятичную дробь можно заменить обыкновенной дробью. Поэтому найти число, обратное конечной или периодической десятичной дроби, можно через поиск числа, которое обратно обыкновенной дроби. Разберемся на примерах.
Пример 1
Найти число, которое обратно десятичной дроби 5,128.
Переведем конечную десятичную дробь в обыкновенную:
Числом, обратным полученной дроби, является обыкновенная дробь 125/641. Это и есть решение задачи.
Пример 2
Какое число является обратным для периодической десятичной дроби 2,(18)?
Переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную:
Обратная дробь для 24/11 — 11/24. Значит, числом, обратным исходной десятичной дроби 2,(18), является дробь 11/24.
Так как бесконечным непериодическим десятичным дробям отвечают иррациональные числа, то числа, которые обратны им, также записывают в виде дробных выражений.
Например, иррациональному числу 
обратно число 
, а иррациональному числу 
обратно число 
Взаимно обратные числа с корнями
Важно запомнить, что вид взаимно обратных чисел может отличаться от a и 1/a. Поэтому нужно быть внимательным. Особенно это касается чисел, записи которых содержат знак корня. Рассмотрим на примере, как это бывает.
Пример
Вычислим произведение этих чисел:
Так как в ответе мы получили единицу и мы знаем, что произведение взаимно обратных чисел равно 1, значит эти числа можно назвать взаимно обратными.
Ответ: да, число взаимно обратны.
Взаимно обратные числа со степенями
Допустим, есть число, которое равно какой-то степени числа a. То есть, число a возведено в степень b. Обратным числу ab будет число a-b. Проверим.
Пример
Взаимно обратные числа с логарифмами
У логарифма числа a по основанию b обратное число равно логарифму числа b по основанию a. То есть log b a и log a b — взаимно обратные числа.
Действительно, из свойств логарифма следует, что 
, откуда log b a * log a b = 1.
Пример
Записать число, которое обратно логарифму числа 3 по основанию 
Число, обратное числу 
, выглядит так: 
Ответ:
Найти число, обратное комплексному числу
Сейчас узнаем, как находить число, обратное комплексному числу z.
Пример 1
Найти число, обратное комплексному числу 4 + i.
4 + i = 
Умножим числитель и знаменатель полученного дробного выражения на число
4 + i.
Ответ: 
или 
Действительно, и 
Пример 2
Определить число, обратное комплексному числу 
В этом примере r = 2 и 
, откуда 1/r = 1/2 и 
Следовательно, нужное нам обратное число равно 
Являются ли числа взаимно обратными? Да, мы только что это доказали.
Ответ:
Неравенство с суммой взаимно обратных чисел
В математике есть специальная теорема о сумме взаимно обратных чисел — давайте ее сформулируем и узнаем ключевое свойство.
Теорема
Сумма двух положительных взаимно обратных чисел больше или равна 2.
Доказательство теоремы:
Нам известно, что среднее арифметическое положительных чисел a и b всегда больше или равно среднему геометрическому этих чисел, то есть,
Если в качестве b мы возьмем число, обратное a, то полученное неравенство будет выглядеть так: 
откуда 
и 
, что и требовалось доказать.
Пример
Вычислить сумму взаимно обратных чисел 2/3 и 3/2,
Деление на дроби. Обратные дроби
Содержание
Правило деления на дробь очень похоже на правило умножения, и также допускает сокращение дробей. Познакомимся с ним подробнее.
Деление натурального числа на дробь
Дроби тесно связаны с делением, даже черта, отделяющая числитель от знаменателя, является знаком деления.
Известно, что при умножении натурального числа на дробь число умножается на числитель, а знаменатель остаётся без изменения. Получается, например, так:
Но что же будет, если мы будем не умножать число на дробь, а делить?
При делении на дробь число умножают на её знаменатель и делят на её числитель.
Мы словно «переворачиваем» дробь. У нас получается обратная дробь (подробнее об обратных дробях мы поговорим немного позднее).
Буквами это можно записать так:
Если нам нужно разделить целое число на дробь, это как если бы мы хотели определить, сколько дробных кусочков содержится в этом числе.
Давайте немного потренируемся. Решим вот такой пример:
Ещё один пример для тренировки:
Такой пример можно решить двумя способами.
Показать первый способ
Можно решать всё по порядку: умножить число на знаменатель и разделить на числитель.
У нас получилась неправильная дробь. При сокращении видно, что она делится нацело:
Показать второй способ
Умение сокращать дроби также пригодится нам при делении дроби на дробь.
Деление дробного числа на дробное число
При делении дроби на дробь применяется тот же принцип, что и при делении натурального числа на дробь: нам нужно умножить делимое на знаменатель и разделить на числитель.
Интересно то, что результат деления, частное, у нас получился больше, чем делимое. С другой стороны, мы помним, что при умножении числа на правильную дробь произведение получается меньше, чем изначальное число. Так что неудивительно, что при делении происходит противоположное.
При делении дробей также широко применяется сокращение.
Лучше производить его, когда делитель уже «перевёрнут», иначе можно запутаться и сократить не те части дроби.
Решите пример, сократив множители, где это возможно:
Как видите, деление дробных чисел – это совсем не сложно. Оно очень похоже на умножение дробей. Иногда правило деления на дробь даже формулируют так:
Для того чтобы разделить натуральное или дробное число на дробь, нужно умножить делитель на дробь, обратную данной.
Давайте поподробнее разберёмся, что же представляют из себя обратные дроби.
Обратные дроби
То есть обратная дробь – эта та самая «перевёрнутая» дробь.
Таким образом, чтобы получить дробь, обратную данной, нужно просто поменять числитель и знаменатель местами.
Для проверки можно провести умножение таких обратных дробей:
Обратные дроби применяются и при делении дроби на натуральное число. При таком делении мы умножаем знаменатель на это число, а числитель оставляем без изменений. Практически, мы умножаем дробь на дробь, обратную данному числу.
Дроби
Дроби это тема об которую спотыкается половина жителей нашей планеты. Если спросить у людей с какой темы у них начались проблемы с математикой, то большинство из них ответят — с дробей.
Этих людей нельзя упрекнуть. Дроби действительно тема не из простых. Тема дробей требует много терпения и внимания, особенно если человек изучает её впервые.
Но есть и хорошие новости. Если вы наберётесь терпения и освоите дроби, то уверяем, что дальнейшее изучение математики станет для вас простым и интересным.
А если вы ещё хорошо изучили предыдущий урок, который назывался деление, то можете быть уверены, что дроби вы освоили уже наполовину.
Что такое дробь?
Если говорить простым языком, то дробь это часть чего-либо. Это «чего-либо» может быть чем угодно — едой, деньгами, числом. В народе дробь называют долей. Само слово «дробь» тоже говорит за себя — дробь означает дробление, деление, разделение.
Рассмотрим пример из жизни. Мы купили себе пиццу, чтобы съесть её в течении дня. Допустим мы решили разделить её на четыре части, чтобы съедать постепенно по одному кусочку.
Посмотрите на этот рисунок. Представьте, что это наша пицца, разделённая на четыре куска. Каждый кусок пиццы это и есть дробь, потому что каждый кусок по отдельности это часть пиццы.
Допустим мы съели один кусок. Как его записать? Очень просто. Сначала рисуется маленькая линия:
Внизу этой линии записывается на сколько кусков пицца была разделена. Пицца была разделена на четыре куска. Значит внизу линии записывается четвёрка:
А сверху этой линии записывается сколько кусков пиццы было съедено. Съеден был один кусок, значит сверху записываем единицу:
Такие записи называют дробями. Дробь состоит из числителя и знаменателя.
Число, которое записывается сверху, называется числителем дроби.
Число, которое записывается снизу, называется знаменателем дроби.
В нашем примере числитель дроби это единица, а знаменатель дроби — четвёрка. Эту дробь можно прочитать так: «одна четвёртая» либо «один кусок из четырёх» либо «одна четвёртая доля» либо «четверть» — в сё это синонимы.
Теперь представьте, что мы съели ещё один кусок той же самой пиццы, которая была разделена на четыре куска. Как записать такую дробь?
Очень просто. Сверху записываем 2 (поскольку уже съедено два куска), а внизу записываем 4 (поскольку всего кусков было 4):
Теперь представьте, что пиццу мы разделили не на четыре части, а на три.
Допустим мы съели один кусок этой пиццы. Как записать такую дробь?
Очень просто. Опять же рисуется маленькая линия. Внизу этой линии записывается число 3, поскольку пицца разделена на три части, а сверху этой линии записывается число 1, поскольку съеден один кусок:
Если мы съедим два куска пиццы, то такая дробь будет называться «две третьих» и записываться следующим образом:
Теперь представьте, что пиццу мы разделили на две части, или как говорят в народе: «Пополам» :
Допустим, из этих двух кусков мы съели один кусок. Как записать такую дробь?
Опять же рисуем линию. Внизу этой линии записываем число 2, поскольку пицца разделена на две части, а вверху записываем число 1, поскольку съеден один кусок:
Эта дробь читается так: «одна вторая» либо «один кусок из двух» либо «одна вторая доля» либо «половина».
Дроби, которые мы сейчас рассмотрели, называют обыкновенными.
Вообще, дроби бывают двух видов: обыкновенные и десятичные. На данный момент мы рассматриваем обыкновенные дроби. Обыкновенная дробь это дробь, которая состоит из числителя и знаменателя. Десятичные дроби рассмотрим немного позже.
Знаменатель дроби — это число, которое показывает на сколько равных частей можно что-либо разделить. Вернёмся к нашей пицце. Поровну эта пицца может быть разделена и на 2 части и на 3, и на 4, и на 5, и на 6. В зависимости от того, на сколько частей мы будем делить пиццу, знаменатель будет меняться.
На следующем рисунке представлены три пиццы, которые разделены по разному. У первой пиццы знаменателем будет 2. У второй пиццы знаменателем будет 3. У третьей пиццы знаменателем будет 4.
Числитель же показывает сколько частей взято от чего-либо. К примеру, если разделить пиццу на две части, как на первом рисунке, и взять одну часть для трапезы, то получится что мы взяли 
( одну часть из двух ), или как говорят в народе «половину» пиццы.
С помощью переменных дробь можно записать так:
где a — это числитель, b — знаменатель.
Следующая вещь, которую важно знать это то, что обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными.
Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, следующие дроби являются правильными:
Почему такие дроби называют правильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Ведь будет логичнее, если эта часть будет меньше того, откуда эта часть была взята. Например, если пицца разделена на четыре части, и мы возьмём 
( одну четвёртую ), то наш кусок будет меньше, чем все четыре куска вместе взятые ( чем одна целая пицца ). Поэтому такие дроби называют правильными.
С неправильной дробью всё с точностью наоборот. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными:
Видно, что у этих дробей числитель больше знаменателя. Почему же такие дроби называют неправильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Знаменатель показывает на сколько частей это чего-либо разделено. А числитель показывает сколько этого чего-либо взяли.
Теперь возьмём к примеру неправильную дробь 
и применим её к нашей пицце. В знаменателе стоит 2, значит пицца разделена на две части, а в числителе стоит 9. Получается, что взято девять кусков из двух. Но как можно взять девять кусков, если их всего два? Ответ — никак. Поэтому такие дроби называют неправильными.
Дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, тоже называют неправильной. Например:
Вообще, такие дроби даже не должны называться дробями. И вот почему. Рассмотрим к примеру дробь 
. Применим её к нашей пицце.
Допустим, мы хотим съестьпиццы. В знаменателе стоит число 2, значит пицца разделена на две части. И в числителе стоит 2, значит взято две части. По сути, взята вся целая пицца, и если мы съедим этупиццы, то съедим не часть пиццы, а всю пиццу целиком. Иными словами, съедим не дробь, а целую часть пиццы. Поэтому дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, называют неправильной.
Дробь означает деление
Черта в дроби, которая отделяет числитель от знаменателя, означает деление. Она говорит, что числитель можно разделить на знаменатель.
Например, рассмотрим дробь 
. Дробная черта говорит, что четвёрку можно разделить на двойку. Мы знаем, что четыре разделить на два будет два. Ставим знак равенства (=) и записываем ответ:
Можно сделать вывод, что любое деление чисел можно записать с помощью дробей. Например:
Это простейшие примеры. Видно, что у них отсутствует остаток. С остатком немного сложнее, зато интереснее. Поговорим об этом в следующей теме, которая называется «выделение целой части дроби».
Выделение целой части дроби
Вычислим дробь 
. Пять разделить на два будет два и один в остатке:
5 : 2 = 2 (1 в остатке)
Проверка: (2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5
Но сейчас мы имеем дело с дробями, значит и отвечать надо в дробном виде. Чтобы хорошо понять, как это делается, рассмотрим пример из жизни.
Представьте, что у вас есть 5 яблок и вы решили поделиться ими со своим другом. Причём поделиться по-честному, чтобы каждому досталось поровну. Как разделить эти 5 яблок?
Очевидно, что каждому из вас достанется по два яблока, а оставшееся одно яблоко вы разрежете ножом пополам и тоже разделите между собой:
Посмотрите внимательно на этот рисунок. На нём показано, как пять яблок разделены между вами и вашим другом. Очевидно, что каждому досталось по два целых яблока и по половинке яблока.
Теперь возвращаемся к дроби и отвечаем на её вопрос. Сколько будет пять разделить на два? Смотрим на наш рисунок и отвечаем: если пять яблок разделить на двоих, то каждому достанется два целых яблока и половинка яблока. Так и записываем:
Схематически это выглядит так:
Процедуру, которую мы сейчас провели, называют выделением целой части дроби.
В нашем примере мы выделили целую часть дроби 
и получили новую дробь 
. Такую дробь называют смешанной. Смешанная дробь — это дробь, у которой есть целая часть и дробная.
В нашем примере целая часть это 2, а дробная часть это
Обязательно запомните эти понятия! А лучше запишите в свою рабочую тетрадь.
Выделить целую часть можно только у неправильных дробей. Напомним, что неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными, и у них выделена целая часть:
Чтобы выделить целую часть, достаточно знать, как делить числа уголком. Например, выделим целую часть у дроби . Записываем уголком данное выражение и решаем:
После того, как решение примера завершается, новую дробь собирают подобно детскому конструктору. Важно понимать, что куда относить. Частное относят к целой части, остаток относят в числитель дробной части, делитель относят в знаменатель дробной части.
В принципе, если вы хорошо знаете таблицу умножения, и можете быстро в уме выполнять элементарные вычисления, то можно обойтись без записей уголком. В школах кстати, именно этого и требуют — чтобы учащиеся не тратили время на простые операции, а сразу записывали ответы.
Но если вы только начинаете изучать математику, советуем записывать каждую мелочь.
Рассмотрим ещё один пример на выделение целой части. Пусть требуется выделить целую часть дроби 
Записываем уголком данное выражение и решаем. Потом собираем смешанную дробь:
Получили: 
Перевод смешанного числа в неправильную дробь
Любое смешанное число получается в результате выделения целой части в неправильной дроби. Например, рассмотрим неправильную дробь 
. Если выделить в ней целую часть, то получается 
Но возможен и обратный процесс — любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Для этого целую часть надо умножить на знаменатель дробной части и полученный результат прибавить к числителю дробной части. Полученный результат будет числителем новой дроби, а знаменатель останется без изменений.
Например, переведём смешанное число в неправильную дробь. Умножаем целую часть 2 на знаменатель дробной части:
Затем к 6 прибавляем числитель дробной части:
Полученная семёрка будет числителем новой дроби, а знаменатель 3 останется без изменений:
Подробное решение выглядит так:
А с помощью переменных перевод смешанного числа в неправильную дробь можно записать так:
Пример 2. Перевести смешанное число 
в неправильную дробь.
Умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель дробной части и прибавляем к числителю дробной части, а знаменатель оставляем без изменений: 
Основное свойство дроби
Основное свойство дроби говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь. Это означает, что значение дроби не изменится.
Например, рассмотрим дробь . Умножим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2
Получили новую дробь 
. Если верить основному свойству дроби, то дроби и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:
Поэтому между дробями и можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:
Теперь испытаем основное свойство дроби, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число.
Рассмотрим дробь 
. Давайте разделим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2
Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:
Поэтому между дробями и можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:
Теперь мы полностью проверили, как работает основное свойство дроби, и убедились, что работает оно замечательно.
Число, на которое умножается числитель и знаменатель, называется дополнительным множителем. Запомните это обязательно!
Сокращение дробей
Дроби можно сокращать. Сократить — значит сделать дробь короче и проще для восприятия. Например, дробь выглядит намного проще и красивее, чем дробь 
.
Если при решении примеров получается большая и некрасивая дробь, то нужно попытаться её сократить.
Сокращение дроби опирается на основное свойство дроби. Поэтому, прежде чем изучать сокращение дробей, обязательно изучите основное свойство дроби.
Деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель называется сокращением дроби.
Пример 1. Сократить дробь
Итак, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на наибольший общий делитель чисел 2 и 4.
В данном случае дробь простая и для неё НОД ищется легко. НОД чисел 2 и 4 это число 2. Значит, числитель и знаменатель дроби надо разделить на 2
В результате дробь обратилась в более простую дробь . Значение исходной дроби при этом не изменилось, поскольку сокращение подразумевает деление числителя и знаменателя на одно и то же число. А это действие, как было указано ранее, не меняет значение дроби.
На рисунке представлены дроби и в виде кусочков пиццы. До сокращения и после сокращения они имеют одинаковые размеры. Разница лишь в том, что раздéланы они по-разному.
Пример 2. Сократим дробь
Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 20 и 40.
НОД чисел 20 и 40 это число 20. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 20
Пример 3. Сократим дробь 
Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 32 и 36.
НОД чисел 32 и 36 это число 4. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 4
Если в числителе и знаменателе располагаются простые числа, то такую дробь сократить нельзя — она не сокращается. Такие дроби называют несократимыми. Например, следующие дроби являются несократимыми:
Напомним, что простыми называются числа, которые делятся только на единицу и самих себя.
Второй способ сокращения дроби
Второй способ является короткой версией первого способа. Суть его заключается в том, что пропускается подробное разъяснение того, на что был разделён числитель и знаменатель.
К примеру, вернёмся к дроби . Эту дробь мы сократили на 4, то есть разделили числитель и знаменатель этой дроби на число 4
Теперь представьте, что в данном выражении отсутствует конструкция 
, и сразу записан ответ 
. Получится следующее выражение:
Суть в том что число, на которое разделили числитель и знаменатель, хранят в уме. В нашем случае числитель и знаменатель делят на 4 — это число и будем хранить в уме.
Сначала делим числитель на число 4. Полученный ответ записываем рядом с числителем, предварительно зачеркнув его:
Затем таким же образом делим знаменатель на число 4. Полученный ответ записываем рядом со знаменателем, предварительно зачеркнув его:
Затем собираем новую дробь. В числитель отправляем новое число 8 вместо 32, а в знаменатель отправляем новое число 9 вместо 36
Происходит своего рода замена одной дроби на другую. Значение новой дроби равно значению предыдущей дроби, поскольку срабатывает основное свойство дроби, которое говорит о том что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.
Также, дроби можно сокращать, предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель.
Например, сократим дробь 
, предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель:
Итак, мы разложили числитель и знаменатель дроби на множители. Теперь применяем второй способ сокращения. В числителе и в знаменателе выбираем по множителю и делим выбранные множители на НОД этих множителей.
Давайте сократим по тройке в числителе и в знаменателе. Для этого разделим эти тройки на 3 (на их наибольший общий делитель). Получим следующее выражение: 
Сократить можно ещё по тройке в числителе и в знаменателе:
Дальше сокращать больше нéчего. Последнюю тройку в знаменателе просто так сократить нельзя, поскольку в числителе нет множителя, который можно было бы сократить вместе с этой тройкой.
Записываем новую дробь, в числителе и в знаменателе которой будут новые множители.
Получили ответ 
. Значит, при сокращении дроби получается новая дробь .
Не рекомендуется пользоваться вторым способом сокращения дроби и способом разложения на простые множители числителя и знаменателя, если человек только нáчал изучать математику. Практика показывает, что это оказывается сложным на первых этапах.
Поэтому, если испытываете затруднения при использовании второго способа, то пользуйтесь старым добрым способом сокращения: делите числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель. Выражение в таком случае получается простым, понятным и красивым. Так, предыдущий пример может быть решён старым способом и будет выглядеть так:
Сравните это выражение с выражением, которое мы получили, когда пользовались вторым способом:
Первое выражение намного понятнее, аккуратнее и короче. Не правда ли?