Что значит область определения симметрична относительно нуля
Основные свойства функций. Справочник репетитора по математике
Д анная страница справочника представляет собой виртуальную шпаргалку по математике для учеников и методическое справочное пособие для репетиторов. Тема «свойства функций», адаптированное для разных уровней учащихся 8-9класов. В нем перечислены определения основных понятий и свойств, виды функций, термины и обозначения, принятые в математике. Репетитору по математике показаны образцы рисунков, которые должны остаться в теради ученика. Информация изложена как на строгом и формальном математическом языке (для среднего и сильного ученика), так на простом (бытовом) уровне, доступном для понимания широкому кругу посетителей сайта. Каждый такой перевод с математического языка на русский отмечен одним из следующих указателей: «пояснение репетитора по математике», «редакция репетитора по математике» или «уточнение репетитора по математике». В этих — переводах вы встретите несколько моих собственных уникальных дополнений и комментариев к классическим фомулировкам, которые я использую на занятиях со слабым учеником.
Определение функции: функцией или функциональной зависимостью называется такое соответствие f (x) при котором числу x из множества X сопоставляется некоторое единственное число из множества Y.
Редакция репетитора по математике: функцией называется закон или правило, по которому можно найти число y (значение какой-нибудь величины), если известно число x (значение какой-нибудь другой величины).
При этом букву x называют независимой переменной (или аргументом), а букву y — зависимой переменной. Число, которое подставляется вместо x, называется значением переменной (или значением аргумента), а число y, которому оно соответствует, называется значением функции.
График функции — множество точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
Свойства функции:
1) Что такое область определения функции? Область определения функции (О.О.Ф) — это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие им значения функции.
Редакция репетитора по математике: область определения — множество значений переменной x, у которых можно найти y.
Обозначения области определения Для обозначения области определения используются следующие знаки: 
Как найти область определения по графику? Область определения — это промежутки на оси Ох, над которыми (или под которыми) имеются части графика.
2) Что такое область значений функции? Областью значений функции (О.З.Ф) называется множество всех ее значений.
Редакция репетитора по математике:областью значений функции можно назвать часть оси ОY, состоящую из игреков, у которых есть соответствующие им иксы.
Как найти область значений по графику?: область значений функции — это промежутки на оси OY, слева или справа от которых (в горизонтальной полоске) находятся части графика.
3) Возрастание и убывание функции.
Какая функция называется возрастающей?Функция 
называется возрастающей, если для любой пары значений аргументов 
и 
из неравенства 
следует неравенство 
.
Редакция репетитора по математике: Функцию можно назвать возрастающей на промежутке, если, большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение функции. Для графика это будет означать то, что при движении по нему карандашом слева направо карандаш будет подниматься вверх.
Какая функция называется убывающей? Функция называется убывающей, если для любой пары значений аргументов и из неравенства следует неравенство 
f (x_2)’ style=’vertical-align:-30%’ alt=’f (x_1)>f (x_2)’ />.
Редакция репетитора по математике: Функцию можно назвать убывающей на промежутке, если большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует меньшее значение функции. Для графика это будет означать, что при движении по нему карандашом слева направо карандаш будет опускаться вниз.
Можно предложить еще один вариант этого определения: функция называется возрастающей на промежутке, если знак которым связаны любые два числа ее области определения, противоположен тому, которым связаны соответствующие им значения функции.
4) Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых функция имеет постоянный знак (положительный или отрицательный).
Пояснения репетитора по математике: Промежуток положительного знака — это множество значений переменной x, у которых соответствующие значения функции больше нуля (y>0 ).
Как найти все такие промежутки по графику? Определите промежутки оси ОХ, у которых соответствующие кусочки графика выше оси Ох.
Как их найти без графика? составьте и решите неравенство f (x)>0
Оформление: 
o ‘ style=’vertical-align:-5%’ alt=’y>o ‘ />, если 
Промежуток отрицательного знака — это множество тех значений переменной х, у которых соответствующие значения функции меньше нуля (y
Четные и нечетные функции
Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Например, — четные функции.
Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например, — нечетные функции.
Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида.
Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задания:
1. Проверьте, является ли функция четной (нечетной).
Область определения функции
Проверим, является ли чётной или нечётной. Если функция четна. Если функция нечетна.
— значит, функция нечётная, её график симметричен относительно нуля.
2. Проверьте, является ли функция четной (нечетной)
Область определения: все действительные числа.
— чётная, как сумма двух чётных функций.
Её график симметричен относительно оси y.
3. Проверьте, является ли функция четной (нечетной).
Область определения функции симметрична относительно нуля.
— чётная, её график симметричен относительно оси y.
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Глоссарий по теме урока
Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
х – независимая переменная, аргумент,
Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y).
Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у).
Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами:
Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами:
для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х).
Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции.
Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких, что х1 у2.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 98-118, 271-307.
Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307.
Открытые электронные ресурсы:
Образовательный портал “Решу ЕГЭ”.
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Исследование функции и построение графика
Схема исследования функции на примере функции
1) Область определения функции
Знаменатель дроби не равен нулю:
Получили область определения
D(y)=
Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у).
Получили 
D(y)= 
— симметрична относительно нуля
,
следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ
Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение 
Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ
у>0 при 
у 2 у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t 2 у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?
1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию.
Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4x 2 у.е.
Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N.
3 этап. Перевод на язык задачи
Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте.
24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте.
Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата.
Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной.
Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Исследуйте функции на четность.
область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля
Данная функция одновременно четна и нечетна.
область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля
преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x
у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная
логарифмируемое выражение должно быть положительным
Найдем область определения D(f)
Проверим второе условие
Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности.
домножим на сопряженное
Теперь можем сделать вывод: f(-x)=-f(x), функция нечётная.
и четная, и нечетная
2. 
Используем функциональный подход при решении данной задачи. Представим каждое из уравнений как функции. Построим их графики. Единственное решение системы будем интерпретировать как единственную точку пересечения графиков функций первого и второго уравнений.
Второе уравнение проще, но содержит параметр. Перепишем его в явном виде для функции, выразив у: у=-х+а.
В таком виде понятно, что данное уравнение задает множество прямых, параллельных у=-х.
Что значит область определения симметрична относительно нуля
Функция
Область определения
Вершина параболы
Нули функции
Экстремумы
если a 0, то максимум в вершине
Область значений
Четность
ни четная, ни нечетная
Функция
Область определения
Область значений
Четность
Нули функции
Экстремумы
х = 0 — точка минимума
Монотонность
возрастает при х ϵ R
при х ≤ 0 убывает
при х > 0 возрастает
Функция
Область определения
Область значений
Четность
Нули функции
Экстремумы
Монотонность
Функция
Область определения
Область значений
Нули функции
Экстремумы
Монотонность
возрастает при х ϵ D(f)
возрастает при х ϵ D(f)
Функция
Область определения
Область значений
Нули функции
Экстремумы
Монотонность
убывает при х ϵ D ( f )
возрастает при х ϵ D ( f )
Функция
Область определения
Область значений
Нули функции
Экстремумы
Монотонность
убывает при х ϵ D ( f )
возрастает при х ϵ D ( f )
Функция
Область определения
Область значений
Нули функции
Четность
Периодичность
Экстремумы
Монотонность
Функция
Область определения
R кроме 
R кроме 
- Что значит область определения симметрична относительно начала координат
- Что значит область определения функции заданной формулой