Что такое res в математике
Что такое комплексное число? Примеры
Тема «Комплексные числа» зачастую вызывает затруднения у учащихся, а ведь на самом деле в них нет ничего страшного, как может показаться на первый взгляд.
Итак, сейчас мы разберем и рассмотрим на простых примерах, что такое комплексное число, как обозначается и из чего состоит. Выражение z = a + bi называется комплексным числом. Это единое число, а не сложение.
Пример 1: z = 6 + 4i
Из чего состоит комплексное число?
Комплексное число имеет действительную и мнимую часть в своем составе.
Число a называется действительной частью комплексного числа и обозначается a = Re (z). А вот то, что стоит вместе с буквой i — т.е. число b называется коэффициентом мнимой части комплексного числа и обозначается b = Im (z). Вместе bi образуют мнимую часть комплексного числа.
Нетрудно догадаться и легко запомнить, что сокращение «Re» происходит от слова «Real» — реальная, действительная часть. Соответственно, «Im» является сокращением слова «Imaginary» — мнимая, воображаемая часть.
Пример 2: z = 0,5 + 9i. Здесь действительная часть a = Re (z) = 0,5, а мнимая часть b = Im (z) = 9i
Чисто мнимое комплексное число
Комплексное число, в котором нет действительной части, т.е. Re (z) = 0, называется чисто мнимым.
Пример 4: z = 2i. Действительная часть отсутствует, a = Re (z) = 0, а мнимая часть b = Im (z) = 2.
Сопряженные комплексные числа
Комплексно-сопряженное число обозначается «зэт» с чертой и используется, к примеру, для нахождения частного двух комплексных чисел, проще говоря — для реализации деления чисел. Те, кто сейчас задумался, вам сюда — читать про деление комплексных чисел.
Числа называются комплексно-сопряженными, имеют одинаковые действительные части и различаются лишь знаком мнимых частей. Рассмотрим пример:
Мнимая единица комплексного числа
И наконец поговорим про букву i. Та самая буква, которая образует в комплексном числе мнимую составляющую. Даже если перед нами выражение z = 5, это просто значит, что мнимая часть данного числа равна нулю, а действительная равна пяти.
Величина i называется мнимой единицей.
Мнимая единица пригодится при решении квадратных уравнений в случае, когда дискриминант меньше нуля. Мы привыкли считать, что если он отрицательный, решения нет, корней нет. Это не совсем корректно. Корни существуют, просто они комплексные. Но об этом позже. А теперь, переходим к следующей статье по изучению комплексных чисел, узнаем же, как посчитать произведение комплексных чисел.
Комплексные числа
Формы
Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:
Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.
Изображение
Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:
Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:
Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:
Аналогично выполним вычитание чисел:
Выполнить умножение и деление комплексных чисел:
Так, теперь разделим первое число на второе:
Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:
Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:
Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:
Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:
В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.
Вычисляем значение модуля:
Найдем чем равен аргумент:
$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$
Записываем в тригонометрическом виде:
Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:
Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:
Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:
Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5
Комплексные числа
Мнимая единица
На специальной панели символов системы Mathematica имеется мнимая единица, но иногда ее удобно ввести просто как букву I или даже как \[Imaginaryi] или \[ImaginaryJ]. Вот примеры.
Вещественная часть комплексного числа: функция Re
Это совсем незамысловатая функция, возвращающая вещественную часть комплексного числа.
Заметьте, что в последнем примере вещественность а и b не предполагается.
Мнимая часть комплексного числа: функция Im
Тоже совсем незамысловатая функция, возвращающая мнимую часть комплексного числа.
Заметьте, что в случае Im[a+b I] вещественность а и b не предполагается – в отличие от случая, когда используется функция ComplexExpand.
Аргумент комплексного числа: функция Arg
Функция Arg[z] возвращает аргумент комплексного числа z.
Вот как, например, можно получить аргументы корней четвертой степени из 1.
Возвращаемый угол всегда по абсолютной величине не превосходит n.
Сопряженное комплексное число: функция Conjugate
Выражение Conjugate [z] представляет собой сопряженное комплексное число z. Вот как, например, можно получить число, сопряженное к х+I у.
Заметьте, что х и у предполагаются комплексными.
Резюме
Мы рассмотрели основные числовые системы, предусмотренные в системе Mathematica. Они полностью охватывают классическую математику. Благодаря такому богатству система Mathematica может помочь в решении практически любых математических задач. Но благодаря этому же богатству при решении задач можно столкнуться с теми же проблемами, что и в математике. И потому решение исследовательских задач с помощью системы Mathematica может потребовать основательного знакомства с методологией применения данной системы в конкретной области науки и техники. Конечно, по высказыванию Гаусса, математика – царица всех наук. И потому в первую очередь следует освоить именно методологию применения системы Mathematica к решению математических задач. И начнем мы с царицы математики (по выражению того же Гаусса) – с арифметики.
[математикам]что такое mod?
в методичке по криптографии постоянно встречаются формулы вида этой:
Что такое mod? Простой остаток от деления e^-1 на p-1?
Судя по всему нет, т.к. вот пример из той же методички:
d = e^-1 (mod p-1) = 42239^-1 (mod(52631-1) = 32229
p.s. Да, математика в институте была >5 лет назад, и она вовсе не мой конек.
Re: [математикам]что такое mod?
а вроде всегда это был остаток от деления. число, не превосходящее делитель.
Re: [математикам]что такое mod?
//читаю лекции по криптографии у людей с большими провалами в математике, даже поля Галуа и теорему Ейлера можно объяснить на пальцах, ящитаю
Re: [математикам]что такое mod?
про (mod p-1) уже сказали, но
> d = e^-1 (mod p-1) = 42239^-1 (mod(52631-1) = 32229
либо очепятка, либо ошибка:
a^<-1>=b(mod c) если a*b=1(mod c), но у тут
Re: [математикам]что такое mod?
Re: [математикам]что такое mod?
Ужас. Закрывай методичку, открывай теорию чисел. А то что будет, когда дискретные логарифмы (ЕМНИП, ГОСТовское шифрование на них основано, но тут могу ошибаться, лет 10 криптографию не трогал) встретишь и т.д.
Re: [математикам]что такое mod?
ОМГ, так это ты подпускаешь людей без знания математики к криптографии?
Re: [математикам]что такое mod?
> //читаю лекции по криптографии у людей с большими провалами в математике, даже поля Галуа и теорему Ейлера можно объяснить на пальцах, ящитаю
Объясните на пальцах БПФ. Не что он делает, а КАК.
Ну мля, я хочу понять, как всё-таки эти формулы с интегралами в циклы расписать чтобы ему на вход массив с PCM, на выходе массив с частотами.
Re: [математикам]что такое mod?
Здесь либо порядок операций нужно смотреть, либо ограничение представления машинного числа в памяти компа. Положительное integer принимает значения от 0 до 32767. Ну, типа тогда 0-1=32767.
Re: [математикам]что такое mod?
Ну что такое остаток я понимаю, но как его найти в данном примере? Ведь e^ <-1>явно меньше чем (p-1)?
p.s. эта формула из «трехподходного протокола Шамира»
Re: [математикам]что такое mod?
Самое простое объяснение: в методичке опечатка, пропущена какая-то буква перед «-1».
Re: [математикам]что такое mod?
Re: [математикам]что такое mod?
Это таки точно опечатка. У меня получается 34229, что слишком похоже на 32229, чтобы быть случайным.
Re: [математикам]что такое mod?
Т.е. получается: d = e^ <-1>(mod p-1) = 42239^ <-1>(mod(52631-1) = 34229
Еще раз, для малограмотных, объясните как взять остаток от деления 42239^ <-1>= 2.36748029073e-05 на 52630?
Re: [математикам]что такое mod?
>как взять остаток от деления 42239^
Re: [математикам]что такое mod?
Спасибо, тогда тоже пока напишу скрипт, пусть ищет.
Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5
Комплексные числа
Мнимая единица
На специальной панели символов системы Mathematica имеется мнимая единица, но иногда ее удобно ввести просто как букву I или даже как \[Imaginaryi] или \[ImaginaryJ]. Вот примеры.
Вещественная часть комплексного числа: функция Re
Это совсем незамысловатая функция, возвращающая вещественную часть комплексного числа.
Заметьте, что в последнем примере вещественность а и b не предполагается.
Мнимая часть комплексного числа: функция Im
Тоже совсем незамысловатая функция, возвращающая мнимую часть комплексного числа.
Заметьте, что в случае Im[a+b I] вещественность а и b не предполагается – в отличие от случая, когда используется функция ComplexExpand.
Аргумент комплексного числа: функция Arg
Функция Arg[z] возвращает аргумент комплексного числа z.
Вот как, например, можно получить аргументы корней четвертой степени из 1.
Возвращаемый угол всегда по абсолютной величине не превосходит n.
Сопряженное комплексное число: функция Conjugate
Выражение Conjugate [z] представляет собой сопряженное комплексное число z. Вот как, например, можно получить число, сопряженное к х+I у.
Заметьте, что х и у предполагаются комплексными.
Резюме
Мы рассмотрели основные числовые системы, предусмотренные в системе Mathematica. Они полностью охватывают классическую математику. Благодаря такому богатству система Mathematica может помочь в решении практически любых математических задач. Но благодаря этому же богатству при решении задач можно столкнуться с теми же проблемами, что и в математике. И потому решение исследовательских задач с помощью системы Mathematica может потребовать основательного знакомства с методологией применения данной системы в конкретной области науки и техники. Конечно, по высказыванию Гаусса, математика – царица всех наук. И потому в первую очередь следует освоить именно методологию применения системы Mathematica к решению математических задач. И начнем мы с царицы математики (по выражению того же Гаусса) – с арифметики.