Что такое абсцисса и ордината 6 класс
Прямоугольная система координат. Ось абсцисс и ординат
Прямоугольная декартова система координат
Французский математик Рене Декарт предложил вместо геометрических построений использовать математические расчеты. Так появился метод координат, о котором мы сейчас расскажем.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.
Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, тем самым мы задаем его координаты.
Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.
Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.
Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.
Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.
Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.
Единичные отрезки располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy располагаются слева или справа, на оси Ox — внизу под ней. Чаще всего единичные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но бывают задачи, где они не равны.
Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.
У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:
Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Координаты точки в декартовой системе координат
Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число xM равно единственной точке М, которая располагается на данной прямой. При этом начало отсчета координатных прямых всегда ноль.
Каждая точка М, которая расположена на Ох, равна действительному числу xM. Этим действительным числом и является ноль, если точка М расположена в начале координат, то есть на пересечении Оx и Оу. Если точка удалена в положительном направлении, то число длины отрезка положительно и наоборот.
Число xM — это координата точки М на заданной координатной прямой.
Пусть точка будет проекцией точки Mx на Ох, а My на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, после чего получим соответственные точки пересечения Mx и My.Тогда у точки Mx на оси Оx есть соответствующее число xM, а My на Оу — yM. Как это выглядит на координатных осях:
Каждой точке М на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (xM, yM), которые называются ее координатами. Абсцисса М — это xM, ордината М — это yM.
Обратное утверждение тоже верно: каждая пара (xM, yM) имеет соответствующую точку на плоскости.
Прямоугольная система координат
В повседневной жизни часто можно услышать фразу: «Оставь мне свои координаты». В ответ человек обычно оставляет свой адрес или номер телефона, то есть данные, по которым его можно найти.
Координаты могут обозначаться самыми разными наборами цифр или букв.
Например, номер автомобиля — это координаты, потому что по номеру машины можно определить из какого она города и кто ёё владелец.
Координаты — это набор данных, по которому определяется положение того или иного объекта.
Примерами координат являются: номер вагона и места в поезде, широта и долгота на географической карте, запись положения фигуры на шахматной доске, положение точки на числовой оси и т.д.
Всегда, когда мы по определенным правилам однозначно обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, мы задаём координаты объекта.
Декартова система координат
Французкий математик Рене Декарт (1596–1650) предложил задавать положение точки на плоскости с помощью двух координат.
Для нахождения координат нужны ориентиры, от которых ведётся отсчёт.
Оси взаимно перпендикулярны (т.е. угол между ними равен 90° ) и пересекаются в точке, которую обозначают « O ». Точка « O » является началом отсчёта для каждой из осей.
Система координат — это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчёта для каждой из них.
Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
Ось абсцисс « Ox » — горизонтальная ось.
Ось ординат « Oy » — вертикальная ось.
Координатная плоскость — плоскость, в которой построена система координат. Обозначается плоскость как « x0y ».
Обращаем ваше внимание на выбор длины единичных отрезков по осям.
Цифры, обозначающие числовые значения на осях можно располагать как справа, так и слева от оси « Oy ». Цифры на оси « Ox », как правило, пишут внизу под осью.
Обычно единичный отрезок на оси « 0y » равен единичному отрезку на оси « 0x ». Но бывают случаи, когда они не равны друг другу.
Отсчитываем четверти (или координатные углы) против часовой стрелки.
Урок 46 Бесплатно Координатная плоскость
До этого занятия мы обсуждали с вами только прямую и все, что с ней связано.
Сегодня урок посвятим изучению плоскости.
Узнаем, что называют координатной плоскостью и как получить её из обычной плоскости.
Познакомимся с прямоугольной системой координат на плоскости и разберем ее основные характеристики и особенности.
Выясним области применения и использования систем координат в практических целях и в жизни человека.
Научимся пользоваться прямоугольной системой координат на плоскости: определять координаты заданных точек и по заданным координатам точки находить ее положение на координатной плоскости.
Координатная плоскость и ее основные особенности
Представим движение автомобиля по прямолинейному участку дороги.
Любой прямолинейный участок дороги легко представить с помощью координатной прямой.
Координатная прямая позволяет нам связать точки на этой прямой с числом.
Вам уже известно, как из любой прямой получить координатную прямую.
Необходимо на прямой выбрать начало отсчета, задать направление и единичный отрезок (масштаб).
В результате с помощью координатной прямой вы однозначно определите, что конкретной точке на прямой соответствует ее единственное верное значение с соответствующим знаком.
И наоборот, если известна координата точки, то можно определить положение этой точки на координатной прямой.
Таким образом, для указания местоположения точки (в нашем случае автомобиля) на прямой нужна только одна координата на координатной оси.
В жизни часто приходится устанавливать положение точки по нескольким параметрам. В таком случае для однозначного определения положения точки требуется больше информации.
Предположим, купили мы билет на концерт.
Чтобы определить расположение конкретного кресла в зале, в билете указывают адрес места: номер ряда и номер кресла в ряду.
Так как каждому месту ставится в соответствие два числа, то для однозначного определения положения точки нам не будет хватать одной координатной прямой.
Для обозначения числами точного положения точки на плоскости используют математическую модель, которую называют координатной плоскостью.
Чтобы из обычной плоскости получить координатную, необходимо на этой плоскости задать определенную систему координат.
Существует различные системы координат.
Мы рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости.
Прямоугольной системой координат на плоскости называют систему из двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом отсчета и общей масштабной единицей.
Рассмотрим основные составляющие прямоугольной системы координат.
Единичный отрезок выбирается чаще всего одинаковый для каждой координатной оси.
Направление осей указывается стрелкой, каждая ось подписывается буквой.
Для координатных осей обычно выбирают положительное направление, т.е. «по умолчанию» принято использовать правостороннюю систему координат, в которой за положительное направление осей принимают ось ординат, направленную вверх, и ось абсцисс, направленную вправо.
Если приходится по каким-либо причинам использовать левостороннюю прямоугольную систему координат, то данный факт оговаривают в задаче.
Положение точки на плоскости определяется двумя упорядоченными числами: координатами х и y.
Координату точки на плоскости записывают так:
Например, координата точки A:
A(2;-1), где
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Чтобы запомнить порядок следования абсциссы и ординаты в записи координаты точки, часто используют такое сравнение:
Представьте, многоэтажный дом, а в нем вашу квартиру.
Чтобы попасть домой, первым делом вам необходимо зайти в нужный подъезд (координата по оси Ох), а затем подняться на нужный этаж (координата по оси Оу).
Координаты могут иметь различные числовые значения, в том числе быть равными нулю.
Если ордината точки равна нулю, то точка лежит на оси Ох.
Если абсцисса точки равна нулю, то точка лежит на оси Оу.
Нумерация координатных плоскостей ведется против часовой стрелки римскими цифрами I, II, III, IV.
Если точка имеет положительную координату х (х > 0) и положительную координату у (у > 0), то она лежит в I координатной четверти.
Если точка имеет отрицательную координату х (х 0), то она лежит во II координатной четверти.
Античные ученые, мыслители (астрономы, философы, географы) на протяжении нескольких столетий пытались создать теорию о происхождении окружающего мира и всего мироздания в целом, изобразить известные им моря, океаны, страны в чертежах, а звездное небо на карте.
Благодаря великим умам появилось огромное множество фундаментальных знаний, понятий, представлений.
Появилось представление о Земле как о шаре, о ее расположение на звездном небе; создавались все более совершенные карты и планы, методы определения географических координат; на карту наносились линии широты и долготы, сетка параллелей и меридиан.
Долгое время лишь география и астрономия пользовались данными знаниями.
В XIV веке французский философ, астроном, математик Никола Орем пытался применить метод координат к геометрии.
Одной из самых важных математических работ Орема стал «Трактат о конфигурации качеств».
Именно в этой работе он ввел графическое изображение зависимости одной величины от другой с помощью прямоугольной системы координат, называя широтой и долготой то, что сейчас называют абсциссой и ординатой.
Это нововведение стало отправной точкой создания современного метода координат.
Научному обоснованию прямоугольной системы координат мы обязаны французскому ученому, философу Рене Декарту.
Он обобщил известные на то время знания по этой теме и дал научное истолкование прямоугольной системе координат.
Предложенная им прямоугольная система координат получила его имя, ее стали называть декартовой системой координат.
Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии.
Создание аналитической геометрии позволило переводить геометрические свойства тел и кривых на алгебраический язык, вместо геометрических построений использовать расчеты; кроме того, стало возможным анализировать геометрические объекты с помощью уравнений.
Развитием координатного метода и аналитической геометрии занимался также современник Рене Декарта, знаменитый французский ученый Пьер Ферма.
Однако все научные труды Ферма были опубликованы только после его смерти
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Координатная плоскость
Урок 46. Математика 6 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Координатная плоскость»
В повседневной жизни вы могли слышать такую фразу: «Оставьте мне ваши координаты!».
Как вы понимаете эту фразу?
Это выражение означает, что собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона, т.е. данные, по которым его можно найти.
Числа, с помощью которых указывают, где находится некоторый объект, называют его координатами.
С координатами вы уже не раз встречались и в математике. Вы умеете выполнять две операции: отмечать на координатной прямой точку с заданной координатой и, наоборот, определять координату заданной точки. Для этого на прямой выбирают начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок. После этого любая точка прямой получает свою собственную координату.
Координата точки указывает, таким образом, её место на координатной прямой.
Возникает вопрос: а можно ли определить местоположение точки на плоскости?
Наверняка, хоть раз в жизни вы играли в такую игру как «Морской бой».
Поле этой игры состоит из квадрата размерами 10 на 10 клеточек. В этом поле изображаются корабли: 1 четырёхклеточный, 2 трёхклеточных, 3 двухклеточных и 4 одноклеточных. При этом между любыми двумя соседними кораблями должен оставаться промежуток не меньше одной клетки.
На экране изображён один из вариантов расположения кораблей. Каждая клеточка квадрата обозначается парой: (буква –число), указанных вдоль нижней и левой сторон квадрата. Например, корабль расположен в клетке (Ж; 4). Суть этой игры найти все корабли соперника первым. При обозначении положения клетки первой указывают её горизонтальную координату, а второй – вертикальную.
Именно в этом и состоит суть координат или, как обычно говорят, системы координат: это правило, по которому определяется положение того или иного объекта.
Системы координат встречаются в нашей жизни постоянно.
Вы знакомы с системой координат в зрительном зале кинотеатра (номер ряда и номер места), в поезде (номер вагона и номер места), с системой географических координат (долгота и широта).
Что нужно знать для того, чтобы найти своё место в кинотеатре? Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя числами: первым числом обозначают номер ряда, а вторым – номер кресла в этом ряду. Значит, чтобы правильно занять своё место в зрительном зале необходимо знать две координаты: ряд и место.
Например, в билете указаны: 3 ряд 2 место. Посмотрите где это место расположено.
Обратите внимание, что при определении местоположения нам необходимо знать две характеристики или два значения.
Подобным образом можно обозначить и положение точки на плоскости.
Рене Декарт – французский математик ввёл в 1637 году систему координат, которая используется во всем мире и известна каждому школьнику. Её называют также «Декартова система координат».
Чтобы задать декартову прямоугольную систему координат на плоскости проводят две взаимно перпендикулярные координатные прямые х и у, называемые координатными осями.
Точка пересечения осей – «O» называется началом координат.
На каждой оси ОX и ОY задаётся положительное направление и выбирается единичный отрезок.
Каждая из координатных осей имеет своё название: горизонтальную ось называют осью абсцисс (или осью х), вертикальную ось называют осью ординат (или осью у). Эти прямые составляют систему координат на плоскости.
Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью.
Оси разбивают координатную плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями. Их нумеруют римскими цифрами и против часовой стрелки.
Говорят: первая четверть, вторая четверть, третья четверть и четвертая четверть.
Каждая точка такой плоскости имеет две координаты.
Рассмотрим, как определяется положение точки на координатной плоскости.
Например, у нас есть точка М. И нужно определить её координаты. Для этого проведём перпендикуляр из этой точки на горизонтальную ось или ось абсцисс.
Точка пересечения с осью х называется абсциссой точки М.
В нашем случае, абсцисса точки М 3.
Далее, из этой же точки проведём перпендикуляр до пересечения с вертикальной осью, или осью ординат.
Точка пересечения с осью у называется ординатой точки М.
В нашем случае, ордината точки М 5.
Абсцисса и ордината точки М называются координатами этой точки. Их принято записывать рядом с буквой, обозначающей точку, в круглых скобках. Причем, на первом месте всегда пишется абсцисса, а на втором – ордината.
Читают эту запись так: «точка М с абсциссой 3 и ординатой 5», или «точка М с координатами 3 и 5». Обратите внимание, если переставить координаты местами, то получится совсем другая точка. Например, точка N (5; 3).
Координаты точки (х;у) на плоскости – это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса (х), а на втором – ордината (у) этой точки.
Сделаем вывод: координаты можно указать для любой точки координатной плоскости: для этого надо из точки провести перпендикуляры на координатные оси и определить, какому числу координатной оси соответствует основание перпендикуляра.
Точки любой прямой, перпендикулярной оси абсцисс, имеют одну и ту же абсциссу.
Например, все точки прямой а имеют абсциссу 4. Все точки оси ординат имеют абсциссу 0, т.е. координаты любой точки оси ординат имеют вид (0; у).
Точки любой прямой, перпендикулярной оси ординат, имеют одну и ту же ординату.
Начало координат – точка О – лежит и на оси абсцисс, и на оси ординат. Значит, её координаты (0; 0).
Построить точку по её координатам можно несколькими способами.
Например, построим точку А (-5; 7).
Второй способ построения точки по заданным координатам. Можно сместиться по оси ОХ влево на 5 единиц, т.к. абсцисса точки – отрицательное число. А затем, параллельно оси ОX вверх на 7 единиц, т.к. ордината точки положительное число. Точка, где пересеклись оба перпендикуляра, и есть искомая точка А.
Сделаем ещё один очень важный вывод:
Каждой точке на координатной плоскости соответствует пара чисел: её абсцисса и ордината. Наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.
Построите на координатной плоскости точки, а затем последовательно соедините их отрезками.
Какая фигура у нас получилась в итоге? Правильно! Это котик.
Где абсцисса а где ордината на графике
Знание — сила. Познавательная информация
Ось абсцисс, ось ординат
Эта ассоциация позволяет легко запомнить, что x — это ось абсцисс, а y — ось ординат и никогда больше не путать оси координат.
Ассоциация очень простая. Итак, есть ось абсцисс и ось ординат — ось x и ось y. Абсцисса начинается на букву «а», ордината — на букву «о». Что у нас в русском алфавите? Сначала идет буква «а», затем — буква «о». В латинском алфавите сначала идет «x», затем — «y». Соответственно, абсцисса — это x, ордината — это y.
Русский алфавит: а, о
Латинский алфавит: x, y
При построении графиков функций, ось абсцисс обычно используется как область определения функции.
Ординатой (от лат. ordinatus – расположенный в порядке) точки A называется координата этой точки на оси Y’Y в прямоугольной системе координат. Величина ординаты точки A равна длине отрезка OC (см. рис. 1). Если точка C принадлежит положительной полуоси OY, то ордината имеет положительное значение. Если точка C принадлежит отрицательной полуоси Y’O, то ордината имеет отрицательное значение. Если точка A лежит на оси X’X, то её ордината равна нулю.
При построении графиков функций, ось ординат обычно используется как область значений функции.
При построении графиков функций, ось абсцисс обычно используется как область определения функции.
Ординатой (от лат. ordinatus – расположенный в порядке) точки A называется координата этой точки на оси Y’Y в прямоугольной системе координат. Величина ординаты точки A равна длине отрезка OC (см. рис. 1). Если точка C принадлежит положительной полуоси OY, то ордината имеет положительное значение. Если точка C принадлежит отрицательной полуоси Y’O, то ордината имеет отрицательное значение. Если точка A лежит на оси X’X, то её ордината равна нулю.
При построении графиков функций, ось ординат обычно используется как область значений функции.
Абсциссой точки является подписанный мерой его проекции на первичной оси, чье абсолютное значение является расстоянием между проекцией и началом координат оси, и знак которого определяется местоположение на проекции относительно начала координат (до : отрицательный, после того, как : положительная).
Ордината точки является подписанный мерой его проекции на вторичной оси, чье абсолютное значение является расстоянием между проекцией и началом координат оси, и знак которого определяется местоположение на проекции относительно начала координат (до : отрицательный, после того, как : положительная).
содержание
Этимология
В 1892 работы Лекциях по теории über Geschichte дер Mathematik, Том 2, ( « Лекции по истории математики ») немецкий историк математики Мориц Кантор пишет