Что следует отнести к основным понятиям статики

Лекция 1. Основные понятия и положения статики. Сходящаяся система сил

1.1. Основные определения

Решение многих важных технических задач сводится к изучению механического движения и механического взаимодействия различных материальных тел – конструкций, машин, механизмов и их деталей и т.д. Наука о механическом движении и взаимодействии тел называется механикой.

Под механическим движением понимают изменение взаимного положения тел в пространстве с течением времени. Тело называют свободным, если его движение не стеснено другими телами. В противном случае тело называется несвободным. Механическим взаимодействием называется такое действие тел друг на друга, которое может вызвать изменение движения этих тел или их формы.

Диапазон проблем, изучаемых механикой, весьма широк. В зависимости от того, движение каких именно тел рассматривается, выделяют механику жидкости и газа, механику деформируемого твердого тела (включая теорию упругости и теорию пластичности). Наиболее общие законы механического движения и взаимодействия материальных тел изучает теоретическая механика. Как правило, в данном разделе науки рассматриваются материальные точки и абсолютно твердые тела.

Тело называют материальной точкой, если его размерами в условиях задачи можно пренебречь. Абсолютно твердое тело характеризуется тем, что расстояние между любыми двумя его точками остается постоянным. Иными словами, абсолютно твердое тело не подвержено деформации.

Разумеется, и материальная точка, и твердое тело – это идеализации. В реальности не существует тел с бесконечно малыми размерами, равно как и тел, которые нельзя деформировать. Так, поверхность стола прогибается даже под весом пушинки; дождевая капля, падающая с высоты километра, имеет небольшие, но вполне определенные размеры. Однако во многих практически важных случаях малыми деформациями, а также размерами некоторых тел можно пренебречь. Это существенно упрощает поставленные задачи, но их решения будут вполне пригодны и для описания реальных деформируемых тел конечных размеров.

На достижениях теоретической механики базируются и многие специальные технические дисциплины, например, теория механизмов и машин.

Мерой интенсивности механического взаимодействия является сила. Это векторная величина: она характеризуется своим числовым значением (модулем), направлением и точкой приложения.

Пример. Чтобы открыть дверь, к ней следует приложить некоторое усилие. В зависимости от того, куда и в каком направлении приложено это усилие, эффект будет различным. Так, если дверь толкать в точке ее подвеса, она не повернется. Аналогично, она не будет двигаться, если толкать ее в торец параллельно дверному полотну. Подробнее этот пример будет рассмотрен в Лекции 3.

В интернациональной системе единиц СИ модуль силы измеряется в ньютонах (Н). Один ньютон равен силе, с которой Земля притягивает к себе тело массой примерно 102 г, находящееся вблизи земной поверхности.

Замечание. В системе СГС («сантиметр, грамм, секунда») единицей измерения силы служит дина: 1 дин = 10 –5 Н. В технической системе единиц МКГСС («метр, килограмм-сила, секунда») сила измеряется в килограмм-силах (кГ или кгс): 1 кГ = 9.81 Н. Килограмм-сила равна силе, с которой сила тяжести действует на тело массой 1 кг. В настоящее время эта единица считается устаревшей и, по мнению Международной органиации законодательной метрологии, должна быть выведена из обращения. Тем не менее, она еще продолжает встречаться в технической литературе.

Далее векторные величины обозначаются стрелочками (\(\vec F\)), а их модули (числовые значения) – как правило, теми же буквами, но без дополнительных знаков: F. Иногда запись вида &quotF» будет символизировать проекцию силы на координатную ось, а для модуля силы \(\vec F\) мы будем использовать обозначение \(|\vec F|\).

Линией действия силы называется прямая, проходящая параллельно силе через ее точку приложения (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Сила \(\vec F\) приложена к точке A. Линия действия силы показана штрихом

Вся совокупность сил, приложенных к данному телу (или системе тел), называется системой сил (рис. 1.2).

Рис. 1.2. К телу приложена система из трех сил

Система сил называется плоской, если все их линии действия лежат в одной плоскости. В противном случае систему называют пространственной.

Очевидно, прикладывая к телу разные системы сил, мы сможем оказать на него разное действие. Говорят, что системы сил эквивалентны, если они оказывают на тело одинаковое воздействие. Если заданная система эквивалентна одной силе, эту силу называют равнодействующей данной системы. Уравновешивающая сила равна равнодействующей по модулю, противоположна по направлению и действует вдоль той же прямой (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Силы \(\vec R\) и \(\vec Q\) являются, соответственно, равнодействующей и уравновешивающей для системы \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\), \(\vec F_<3>\)

Отметим, что не у каждой системы сил есть равнодействующая (и, соответственно, уравновешивающая). Примеры систем сил, не имеющих равнодействующей, будут приведены в Лекции 3 и Лекции 6.

Силы, приложенные к телу или системе тел, можно подразделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие со стороны тел, на принадлежащих изучаемой системе тел. Силы, действующие между телами, входящими в систему (или между частями одного тела) называются внутренними.

Пример. По отношению к наполненному воздухом воздушному шару сила земного притяжения будет внешней, а силы, с которыми молекулы горячего воздуха бьют об оболочку шара, раздувая ее, – внутренними. В то же время, если рассмотреть только оболочку шара, то силы ударов молекул будут внешними. Напротив, при рассмотрении системы «Земля + воздушный шар» сила земного притяжения оказывается внутренней.

Различают также сосредоточенные и распределенные силы. Сила называется сосредоточенной, если приложена к телу в одной конкретной точке. До сих пор в этой лекции речь шла только о сосредоточенных силах. Распределенные силы (их также называют распределенной нагрузкой) действуют на все точки, принадлежащие некоторому объему, поверхности или отрезку какой-либо линии. Сосредоточенные силы являются удобной идеализацией: действия над ними легко заменить действиями над векторами, но на практике невозможно приложить усилие к одной-единственной точке. Силу считают сосредоточенной, когда объем (площадь, длина) той области, на которой она распределена, много меньше объема всей области, рассматриваемой в задаче. Далее в пособии в большинстве случаев это ограничение считается выполненным; тот факт, что та или иная сила является распределенной, каждый раз оговаривается особо.

Пример. Силу, развиваемую при надавливании канцелярской кнопкой на стол, можно считать сосредоточенной, поскольку площадь соприкосновения заостренной части кнопки с поверхностью стола весьма мала. Опираясь на стол рукой, мы прикладываем к нему распределенное усилие, ибо ладонь соприкасается с поверхностью стола на гораздо большей площади.

Под действием некоторой системы сил тело может оказаться в равновесии, т.е. не изменять своего положения относительно других тел (например, относительно Земли) или двигаться относительно них прямолинейно и равномерно. В таком случае систему сил, приложенных к телу, называют уравновешенной (экивалентной нулю).

Замечание. Как видно, понятие равновесия является более общим, чем понятие покоя. Действительно, состояние покоя можно рассматривать как движение с постоянной нулевой скоростью. По определению, механическое взаимодействие, выражаемое силой, может привести к изменению движения (а не положения непосредственно). Если тело движется прямолинейно и равномерно (в частности, покоится), такого изменения не происходит, а значит, воздействия на данное тело со стороны других тел уравновешены.

Раздел механики, излагающий общее учение о силах и изучающий равновесие тел, называется статикой. В статике решаются две основные задачи:

Знание статики очень важно для инженера-строителя: проектируемые здания и сооружения должны выдерживать большие нагрузки и занимать устойчивое неподвижное положение.

Рис. 1.4. Александровская колонна

Другими разделами теоретической механики являются кинематика и динамика. Первый из них изучает движение тел без учета действующих на них сил, а второй – движение тел под действием сил.

1.2. Исходные положения статики

Как и теоретическая механика в целом, статика основывается на небольшом количестве исходных положений (аксиом), из которых с помощью логических рассуждений и математических выкладок выводятся другие утверждения, формулы и т.д. Ниже перечисляются аксиомы статики:

Аксиома 1. Система из двух сил, приложенных к одному и тому же абсолютно твердому телу, уравновешена тогда и только тогда, когда они равны по модулю, противоположны по направлению и имеют общую линию действия (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Равновесие твердого тела под действием двух сил

Пример. Если два человека с равными силами тянут тележку в противоположные стороны (рис. 1.6 а) или толкают ее каждый от себя (рис. 1.6 б), она не сдвинется с места.

Требование к двум уравновешенным силам – иметь общую линию действия – весьма существенно: если оно нарушается, образуется пара сил, которая не является уравновешенной системой.

Замечание. Теперь можно объяснить происхождение термина «уравновешивающая», введенного в п. 1.1. Действительно, согласно данному ранее определению и аксиоме 1, уравновешивающая и равнодействующая образуют систему сил, эквивалентную нулю. Поэтому исходная система сил (без равнодействующей) с присоединенной к ней уравновешивающей также будет уравновешенной.

Важно указать и на такой факт: под действием одной силы свободное тело будет находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эта сила равна нулю.

Замечание. Последнее утверждение более подробно обсуждается не в статике, а в динамике.

Аксиома 2. Действие заданной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к этой системе добавить или из нее исключить уравновешенную систему сил.

Эту аксиому можно сравнить с известным свойством чисел: если к любому числу прибавить или вычесть из него нуль, исходное число не изменится.

Следствие. Действие силы на твердое тело не меняется при переносе ее точки приложения вдоль линии действия. Иными словами, силу можно считать приложенной в любой точке ее линии действия – вектор силы является скользящим.

(Отметим, что вектор называют скользящим, если его можно откладывать от любой точки на его линии действия, не меняя при этом действия самого вектора. Если же вектор может быть отложен от любой точки пространства без изменения действия, то его называют свободным. Векторы, изученные в школьном курсе элементарной математики, – свободные. Сила же таким вектором не является. Более подробно вопрос об откладывании одной и той же силы от разных точек будет разобран далее.)

Доказательство. Предположим, что сила \(\vec F\) отложена от точки A, и требуется перенести ее в некоторую точку B на той же линии действия, как показано на рис. 1.7 а). Для этого присоединим к исходной силе уравновешенную систему сил \(\vec F’\), \(\vec F»\), направленных вдоль той же линии действия, что и \(\vec F\). Очевидно, одна из них (пусть \(\vec F’\)) окажется сонаправленной с \(\vec F\), а другая (\(\vec F»\)) – направленной противоположно ей. Дополнительно потребуем, чтобы сила \(\vec F’\) была отложена от точки B (рис. 1.7 б). Мы имеем на это право, поскольку в аксиоме 1 ничего не сказано о выборе точек приложения уравновешенных сил на их общей линии действия.

После таких построений силы \(\vec F\) и \(\vec F»\) равны по модулю, противоположны по направлению и разделяют общую линию действия. Значит, они уравновешивают друг друга, и их можно отбросить; в итоге остается лишь сила \(\vec F’\). Если теперь сравнить начало и конец рассуждений, то вместо силы, отложенной от точки A мы получили равную по величине и сонаправленную ей силу, отложенную от заданной точки B на той же линии, т.е. добились желаемого результата.

Пример. Чтобы передвинуть одну и ту же тележку с грузом, ее можно либо тянуть, либо толкать (рис. 1.8). Если в обоих случаях прикладывать к ней одну и ту же по величине силу вдоль одной и той же линии действия, то эффект будет одинаковым.

Аксиома 3 (правило параллелограмма сил). Две силы, приложенные к одному и тому же телу в одной и той же точке, имеют равнодействующую, отложенную от этой же точки. Эта равнодействующая изображается диагональю параллелограмма, построенного на исходных силах, как на сторонах (рис. 1.9).

Другими словами, силы, отложенные от одной точки, можно складывать, пользуясь известными правилами действий над векторами.

Рис. 1.9. \(\vec R\) – равнодействующая сил \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\)

Замечание 1. С точки зрения математики безразлично, каким правилом – параллелограмма или треугольника – пользоваться при сложении векторов. Тот же самый вектор \(\vec F_<2>\) на рис. 1.9 можно отложить от конца вектора \(\vec F_<1>\), сложив две силы по правилу треугольника.

Замечание 2. Если к телу приложены две взаимно уравновешенные силы, то их (пользуясь тем, что сила – скользящий вектор) можно отложить от одной точки (рис. 1.10). Если теперь сложить их по правилу параллелограмма, то получится нулевой вектор, ибо параллелограмм сил вырождается в отрезок.

Отметим, что складывать силы, приложенные к разным телам, нельзя: непонятно, к какому телу приложена их равнодействующая.

Аксиома 4 (закон равенства действия и противодействия). Любые два взаимодействующих тела действуют друг на друга с силами, равными по величине, но противоположными по направлению.

Аналогично предыдущей аксиоме, нельзя сказать, что две эти силы образуют уравновешенную систему, ибо они приложены к разным телам.

Аксиома 5 (свойство внутренних сил). При исследовании равновесия твердого тела следует учитывать только внешние силы. Внутренние силы образуют уравновешенную систему и потому при рассмотрении равновесия тела в целом не берутся в расчет.

Замечание. Можно попытаться рассмотреть это утверждение не как самостоятельную аксиому, а как следствие предыдущего исходного положения статики. Действительно, разделим исходное твердое тело на две части. По аксиоме 4, силы, с которыми они взаимодействуют, равны по модулю и противоположны по направлению. С другой стороны, эти силы можно считать приложенными к телу в целом и сделать вывод, что в этом случае они уравновешивают друг друга. Однако возникает вопрос: где гарантия, что у этих сил общая линия действия? Этот факт в общем случае не так просто обосновать, поэтому будем считать свойство внутренних сил самостоятельной аксиомой.

Аксиома 6 (принцип отвердевания). Если деформируемое тело под действием приложенных сил находится в равновесии, то абсолютно твердое тело той же формы и размеров также находится в равновесии.

Пример. Пусть две равные по силе команды перетягивают канат (рис. 1.11). С точки зрения теоретической механики, ничего не изменится, если заменить его жестким стержнем той же формы, размеров и массы.

Обратное, вообще говоря, неверно. Может оказаться так, что абсолютно твердое тело уравновешено, а деформируемое (тех же размеров и формы) – нет. Так, жесткий стержень из предыдущего примера останется в равновесии и в случае, когда его будут не растягивать, а сжимать, прикладывая к противоположным концам равные силы. Канат же в этом случае сомнется.

1.3. Сходящаяся система сил

Рассмотрим систему сил \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\), \(\vec F_<3>\). приложенных к твердому телу, и попытаемся найти их равнодействующую. Это просто, если все силы отложены от одной точки. Сначала по правилу параллелограмма сложим \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\), заменив их одной равнодействующей \(\vec R_<1>\); затем таким же образом сложим силы \(\vec R_<1>\) и \(\vec F_<3>\), заменяя их силой \(\vec R_<2>\), и т.д. (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Последовательное сложение нескольких сил по правилу параллелограмма

Тем самым, на каждом следующем шаге мы будем переходить к эквивалентной системе сил, содержащей на одну силу меньше, чем на предыдущем шаге. В конце концов, останется единственная сила, приложенная к телу; она и будет равнодействующей исходной системы.

Возникает вопрос: как быть, если точки приложения сил не совпадают?

Дадим определение. Система сил, приложенных к телу, называется сходящейся, если все их линии действия пересекаются в одной точке (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Сходящаяся система сил

В таком случае можно воспользоваться следствием из аксиомы 2 и перенести все силы в точку пересечения их линий действия, после чего сложить, как описано выше. Отсюда можно сделать важный вывод:

Сходящаяся система сил имеет равнодействующую. Она представляет собой векторную сумму сил, приложенных к телу, и прикладывается в точке пересечения их линий действия.

Замечание. Если твердое тело находится под действием сходящейся системы сил, то его во многих случаях можно считать материальной точкой. Размеры тела перестают играть роль – оно «стягивается» в ту точку, где пересекаются линии действия всех приложенных к нему сил.

Как уже было сказано, при сложении сил, отложенных от одной точки, применяются обычные «школьные» правила действий над векторами. Например, их можно складывать по правилу многоугольника: начало каждого следующего вектора силы должно совпадать с концом предыдущего. При этом самый первый вектор откладывается от точки пересечения A линий действия сил. Полученная геометрическая фигура называется силовым многоугольником. Чтобы найти равнодействующую \(\vec R\), остается соединить начало многоугольника с его концом (рис. 1.14).

Рис. 1.14. Построение силового многоугольника и равнодействующей

Если известны компоненты сил вдоль осей некоторой системы координат, все операции можно произвести аналитически, складывая или вычитая соответствующие проекции разных сил.

Замечание. Далее при действиях над векторами в кординатах будем всегда предполагать, что используемая система координат – декартова прямоугольная. Если речь идет о координатах в пространстве, то система координат считается правой: при взгляде с конца третьей оси кратчайший поворот от первой оси ко второй должен быть виден происходящим проив часовой стрелки. Все эти свойства далее специально оговариваться не будут.

Выше отмечалось, что одной из основных задач статики служит изучение условий равновесия систем сил, действующих на твердые тела. Для изучаемого нами случая это условие формулируется так:

Тело под действием сходящейся системы сил находится в равновесии, если геометрическая сумма всех приложенных к нему сил равна нулю.

Действительно, сходящаяся система эквивалентна одной силе – равнодействующей. Следовательно, если система уравновешена, то эта сила должна быть нулевой. Поэтому силовой многоугольник уравновешенной системы должен быть замкнутым – для получения нулевой равнодействующей его начало обязано совпасть с концом.

Очевидно, плоская система из двух непараллельных сил всегда является сходящейся: на плоскости прямые либо пересекаются, либо параллельны. Три силы уже могут не быть сходящимися: линия действия третьей силы может «проехать» мимо точки пересечения первых двух. Связать вопросы о равновесии и сходимости плоской системы трех непараллельных сил помогает следующее утверждение.

Теорема (о трех силах). Если твердое тело под действием плоской системы из трех сил находится в равновесии, то их линии действия пересекаются в одной точке.

Доказательство. Пусть к телу приложены силы \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\), \(\vec F_<3>\), лежащие в одной плоскости, причем \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\) не параллельны. Тогда их линии действия пересекаются, и эти силы имеют равнодействующую \(\vec R\) (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Доказательство теоремы о трех силах

Исходная уравновешенная система \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\), \(\vec F_<3>\) эквивалентна двум силам \(\vec F_<3>\) и \(\vec R\), которые, таким образом, обязаны уравновешивать друг друга. Значит, они разделяют общую линию действия. Но (по нашему построению) на ней лежит точка пересечения линий действия сил \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\). Тем самым, линии действия всех трех исходных сил пресекаются в этой точке. Теорема доказана.

Обратное неверно: понятно, что произвольная сходящаяся плоская система трех сил не обязана быть уравновешенной. Она может иметь равнодействующую, не равную нулю.

В пространстве уже и система из двух непараллельных сил может не быть сходящейся, ибо их линии действия в пространстве могут оказаться скрещивающимися.

Вопросы для самоконтроля

Задачи к лекции

Силы \(F_<1>=6\sqrt<2>\) Н и F₂ = 2 Н приложены к одной точке и образуют угол 45°. Найти величину их равнодействующей.

Указание. Воспользуйтесь теоремой косинусов.

Силы \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\) и \(\vec F_<3>\) лежат в плоскости Oxy, причем их линии действия проходят через начало координат. Сила \(\vec F_<1>\), численно равная 20 Н, образует с положительным направлением оси Ox угол, равный 30°, сила \(\vec F_<2>\), численно равная \(20\sqrt<3>\) Н, – угол в 120°, а сила \(\vec F_<3>\), чья величина составляет 10 Н, – угол 270°. Найти величину их уравновешивающей и угол, который она образует с положительным направлением оси абсцисс.

Указание. Запишите уравнения линий действия всех сил, найдите точку пересечения первых двух линий и докажите, что третья линия проходит через эту точку.

Ответы. 1. 10 Н. 2. 30 Н; 90°. 3. 300 Н. 4. \(\vec R=\<-1;7\>\); A(1; 2).

Источник

Что следует отнести к основным понятиям статики

1.Предмет и задачи статики.

Статика-это раздел теоретической механики, который изучает преобразование системы сил и условия равновесия под действием сил.

Статика решает две основные задачи:

Сложение или разложение сил и приведение системы сил к простейшему виду.

Отыскание условий равновесия системы сил.

К основным понятиям статики относят:

1. Материальная точка — это физическое тело определенной массы, размерами которого можно пренебречь в данных условиях.

2. Система материальных точек — это такая совокупность точек, в которой положение и движение каждой определенной точки зависит от положения и движения других точек системы.

3. Абсолютно твердое тело — это тело, в котором расстояния между любыми двумя его точками остается неизменным.

В статике основным объектом исследования являются силы. Сила — это мера механического взаимодействия между телами, которое определяет интенсивность и направление этого воздействия.

Сила- величина векторная и характеризуется модулем, направлением и точкой приложения или линией действия. В системе СИ измеряется в ньютонах(Н). Когда на тело действует несколько сил, то их совокупность называется системой сил.

Эти системы, в зависимости от их ориентации, разделяются на следующие:

Параллельные силы — линии действия параллельны.

Сходящиеся — линии действия которых пересекаются в одной точке.

Произвольная система сил — силы могут занимать любое положение в пространстве.

Силы разделяются также на активные и реакции связей, сосредоточенные и распределенные, внутренние и внешние, плоские и пространственные.

Сосредоточенной силой называется сила, прилагаемая к объекту в одной точке. Распределенными силами называют силы, которые действуют на все точки поверхности или объема тела. При решении задач распределенные силы заменяют сосредоточенными согласно правилу:

[H].

Две системы силы называют эквивалентными, если одну систему сил можно заменить другой, не изменяя покоя или движения тела:

Когда система сил эквивалентна одной силе, то эта сила имеет название равнодействующей.

Уравновешенной называется такая система сил, добавление которой к свободному твердому телу или её отбрасывание не изменяют состояния покоя или движения этого тела. Уравновешенная система сил эквивалентна нулю.

В основе статики лежат её аксиомы. Аксиомой называется положение, не требующее доказательств, исходной для других положений и теорем.

Аксиома 1. Две силы, которые действуют на твердое тело, уравновешиваются только тогда, когда они равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль одной прямой.

Аксиома 2. Действие данной системы сил на твердое тело не изменяется, если к ней прибавить или от неё отбросить систему сил эквивалентную нулю.

Следствие: не нарушая состояния тела, точку приложения силы можно переносить вдоль линии её действия.

Аксиома 3. Равнодействующая двух сил, которые пересекаются, равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах. Тогда:

Аксиома 4. Силы, с которыми действуют друг на друга тела, всегда равны по модулю и направлены в противоположные вдоль одной прямой стороны.

Силы взаимодействия двух тел не составляют систему уравновешивающих сил, т. к они приложены к разным телам.

Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела не нарушается, если жестко связать его точки и считать тело абсолютно твердым (используется для тел, которые нельзя считать твердыми).

Аксиома 6. Механическое состояние твердого тела не нарушается, если отбросить связи и заменить их действие реакциями.

Аксиома 7. Равновесие твердого тела не нарушается, если наложит на него новые связи.

3. Основные типы связей.

Связь — это ограничение, наложенное на движение точек материальной системы. Отбрасывая связь, её действие заменяют силой, которая называется реакцией связи, т. е противодействием связи на действие данного тела. Роль связей на практике выполняют разные тела и конструкции, основными из которых есть:

1.Идеально гладкая поверхность. 2.Ребро поверхности.

3.Подвижный шарнир(каток) 4.Невесомая нить(трос, шнур, цепь, ремень)

5.Цилиндрический шарнир 6.Идеальный стержень

7.Сферический шарнир или 8.Жесткая заделка

9.Подшипник 10.Жесткая заделка по двум степеням свободы

4. Силы и системы сил.

Классификацию сил мы рассмотрели выше. Для системы сил можно предложить следующую классификацию:

Пространственной системой называют систему сил, линии действия которых в общем случае не пересекаются. Плоская система — линии действия расположены в одной плоскости.

5.Система сходящихся сил (ССС)

Такой системой называется совокупность сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Система сходящихся сил является наиболее простой системой сил в пространстве и на плоскости с наиболее простыми условиями равновесия.

Если в результате построения силового многоугольника окажется, что конец вектора последней n-ой силы совпадает с началом вектора 1-ой силы, т. е силовой многоугольник будет замкнутым, то равнодействующая такой системы будет равна нулю. В этом случае действие сходящейся системы сил эквивалентна нулю и мы можем записать:

Таким образом, геометрическим (или векторным) условием равновесия ССС является условие равенства нулю её равнодействующей: для равновесия ССС необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник был замкнутым.

Аналитическое условие равновесия: для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на координатные оси равнялась нулю.

6. Понятие проекции силы.

Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на cos угла между вектором силы и положительным направлением оси. Проекция имеет положительный знак в том случае, если этот угол острый, если тупой- отрицательный, если , то она равна нулю.

Момент силы относительно точки

Моментом силы Относительно точки О (центра) называется вектор, который равняется векторному произведению радиус-вектора , проведенного из центра О в точку А приложения силы, на вектор :

Модуль этого векторного произведения:

Опустим перпендикуляр из точки О на линию действия силы. Длина этого перпендикуляра OD=h называется плечом силы относительно точки О. Тогда:

Если переместить силу вдоль линии её действия, то момент силы относительно точки не изменится;

Когда линия действия силы проходит через точку, то момент силы относительно этой точки всегда равен нулю.

8. Момент силы относительно оси.

Моментом силы относительно оси называется проекция на эту ось момента силы относительно любой точки, лежащей на этой оси.

Если момент силы относительно некоторого центра О вызывает вращательное движение тела вокруг этого центра, то момент силы относительно оси вызывает вращение тела вокруг данной оси.

При решении задач моменты сил относительно осей удобно вычислять наглядным способом по правилу:

Проводим плоскость и произвольно и перпендикулярно к оси OZ и находим точку О, пересечения этой плоскости осью.

Проектируем силу на отмеченную плоскость.

Вычисляем момент проекции Силы на эту плоскость относительно точки О:

При этом моменты силы относительно оси считается положительным, если наблюдатель видит со стороны положительного направления оси OZ, что сила пытается вращать тело вокруг оси OZ против стрелки часов.

Численно момент будет равен:

1.Сложение параллельных сил, которые направлены в одну сторону

Равнодействующая этих сил (её модуль) будет равна:

Линия действия равнодействующей в этом случае пересекает отрезок АВ в точке С, которая делит этот отрезок на части, обратно пропорциональные модулям сил:

Т. е равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону, по одну сторону, по модулю равна сумме модулей этих сил, направлена в ту же сторону, что и силы, и делит расстояние между точками приложения сил на отрезки, обратно пропорциональные силам.

2.Сложение параллельных сил, направленных в противоположные стороны.

Равнодействующая двух параллельных сил, направленных в разные стороны, по модулю равна разнице модулей этих сил, направлена в сторону большей силы и делит расстояние между точками приложения обратно пропорционально модулям сил.

В том случае, если силы , то модуль равнодействующей равен нулю.

Однако действие пары сил на тело не равно нулю и вызывает вращательное движение.

Мерой вращательного движения пары сил служит момент пары, величина которого определяется по формуле:

[Hм]

В этом случае плечо h — это кротчайшее расстояние между линиями действия параллельных сил.

Направление вращения, созданного парой сил, определяет знак момента пары: если пара сил вращает тело против часовой стрелки — момент положительный, если наоборот — отрицательный.

Момент пары сил имеет величину, направление и плоскость действия, т. е векторной величиной.

Вектор момента пары сил перпендикулярен к плоскости, в которой лежит, и направлен в ту сторону, откуда вращается тело, под действием пары в сторону против хода часовой стрелки.

Пару сил, не изменяя её действия на тело, можно перенести куда угодно в плоскости, в которой лежит пара.

Пару сил, не изменяя её действия на тело, можно перенести в параллельную плоскость.

В паре сил, не изменяя её момента, можно изменять соответственно модули сил и длину плеча.

Две пары сил с равными моментами эквивалентны.

Несколько пар сил, которые лежат в одной плоскости, можно заменить одной эквивалентной парой с моментом, который равняется векторной сумме моментов этих пар.

На основании пятого вывода можно записать:

На основании теоремы о проекциях суммы векторов можно записать:

; ; ;

Модуль момента пары:

Таким образом для равновесия пар необходимо и достаточно, чтобы вектор-момент равнодействующей пары был равен нулю:

Т. е ; ;

Произвольная система сил.

Произвольной системой сил называется совокупность прилагаемых к твердому телу сил, лини действия которых произвольно ориентированы в пространстве.

Произвольную систему сил можно свести к одной равнодействующей силе, которая равна главному вектору, прилагаемому в центре сведения и к одной паре сил, которая равна главному моменту относительно того же центра:

;

Модули векторов И Определяют по формулам:

В результате для произвольной системы сил твердое тело, находящееся под действием этой системы, будет находиться в равновесии, если главный вектор И главный момент системы будут равны нулю:

;

Проектируя эти уравнения декартовы оси координат, запишем аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил, читаются следующим образом:

Для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на три взаимно взаимно перпендикулярные оси и сумма моментов всех сил относительно этих осей равнялась нулю:

Источник