Что значит упростить отношение величин математика 6 класс
Урок 21 Бесплатно Отношения
В этом уроке мы узнаем, что такое отношения. Также поймем, что нам показывает отношение двух чисел. И в завершение узнаем, как определить часть одного числа от другого.
Отношение
Начнем с определения:
Отношением двух чисел называют частное этих двух чисел.
Записать отношение числа a к числу b мы можем как \(\mathbf\) или же через дробную черту: \(\mathbf<\frac>\)
У нас получается дробное выражение, поэтому возможны варианты во что оно преобразуется:
Посмотрим на разные примеры.
Пример 1
Найдем отношение чисел 256 и 8
По определению, отношением двух чисел будет являться их частное, что мы и посчитаем.
Ответом будет 32.
Иными словами, 256 относится к 8 как 32 к 1
В последней фразе была как раз упомянута суть отношения, мы акцентируем на этом внимание.
Отношение одного числа к другому показывает, как одно число соотносится с другим, иными словами, во сколько раз оно его больше или меньше:
Пример 2
Найдите отношение 15 к 12
По определению посчитаем частное, а далее посмотрим на полученный результат.
Данный пример иллюстрирует, в каких случая получается смешанное число.
Отношение равняется смешанному числу в тех случаях, когда первое число больше второго, и при этом первое на второе не делится.
Мы можем прочитать результат так: 15 больше 12 в \(\mathbf<1\frac<1><4>>\) раза.
Пример 3
Найдем отношение 16 к 24.
Снова идем по алгоритму: делим первое число на второе.
В этом случае мы получили в ответе правильную дробь.
Нам это говорит о том, что первое число меньше второго.
А если мы хотим сказать, как именно первое число меньше второго, то это можно сделать так: первое число меньше второго в \(\mathbf<\frac<2><3>>\) раза.
Мы можем сформулировать вывод и так: 16 составляет \(\mathbf<\frac<2><3>>\) от 24-х, то есть мы отвечаем на вопрос, какой частью является первое число от второго.
Также важно отметить, что отношение числа a к числу b не всегда равно отношению числа b к числу a.
Пример 4
Есть два числа, 14 и 28
Посчитаем отношение 14 к 28
И посчитаем отношение 28 к 14
Как вы видите, получились разные значения.
Как можно заметить, это взаимно обратные числа.
Отметим еще одно свойство отношений: если есть два числа a и b, то отношение a к b взаимно обратно отношению b к a.
Если дано отношение первого числа ко второму, то мы без труда сможем найти отношение второго к первому, даже не зная самих чисел, просто посчитав обратное к отношению число.
Пример 5
Дано, что отношение числа a к числу b равно \(\mathbf<\frac<2><5>>\), найдем отношение b к a
Для этого надо найти обратное число к \(\mathbf<\frac<2><5>>\)
Значит, отношение b к a равняется \(\mathbf<2\frac<1><2>>\)
В конце этой части добавим еще одно простое, но важное свойство.
Отношение двух чисел не изменится, если каждое из них домножить или разделить на одно и тоже число.
Это легко доказать, показав, что при делении этот множитель сократится.
Пример 6
Отношение числа 10 к числу 30 равно \(\mathbf<\frac<1><3>>\)
Домножим каждое из чисел на 2 и заметим, что отношение 20 к 60 также равно \(\mathbf<\frac<1><3>>\)
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Отношение и часть от числа
Посмотрим, какие еще можно сделать выводы, зная отношение.
Мы знаем, что, чтобы найти часть от числа (другими словами, дробь от числа), надо умножить число на эту дробь.
Так мы получим число, которое будет частью исходного.
Допустим, изначально у нас было число 4, и мы решили найти от него \(\mathbf<\frac<3><8>>\)
Перемножив, мы получим:
А теперь найдите отношение полученного числа к изначальному.
Для этого разделите одно на другое:
То, что вы получили отношение, равное той дроби, которую мы находили, не совпадение.
Действительно, находя дробь от числа мы получаем число, чье отношение к исходному будет равно этой дроби.
Сформулируем еще более коротко и четко: отношение числа a к числу b обратно дроби, которую нужно взять от числа а, чтобы получить число b.
Пример 1
Известно, что некая дробь от числа 10 равна \(\mathbf<2\frac<1><2>>\)
Найдем, какая именно это дробь.
Решение:
Дробь от числа равна отношению полученного числа к изначальному.
Теперь разделим одно на другое и получим ответ.
Ответ: дробь, взяв которую от 10 получили \(\mathbf<2\frac<1><2>>\), равняется \(\mathbf<\frac<1><4>>\)
Пример 2
Отношение первого числа ко второму равно \(\mathbf<1\frac<1><5>>\), также известно, что первое число равно 6.
Найдем второе число.
Решение:
Мы знаем, что отношение обратно дроби.
Найдем обратное число к \(\mathbf<1\frac<1><5>>\)
Теперь можно найти второе число, домножим первое на эту дробь:
Второе число равно 5
Проверка:
Найдем отношение первого числа ко второму, то есть 6 к 5
Получилось то же отношение, что и в условии.
Пример 3
Решим похожую задачу:
Отношение числа а к числу b равно \(\mathbf<1\frac<1><2>>\)
Известно, что число b равняется 8-ми, надо найти число а.
Решение:
Найдем, какую дробь число b составляет от числа a, то есть найдем обратное число от отношения:
Теперь, чтобы найти число по его дроби, надо разделить часть от числа на эту дробь.
В нашем случае на дробь надо делить число b :
Ответ: число a равняется 12
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Отношения в задачах
Теперь научимся находить отношения в задачах.
Сразу перейдем к примерам, чтобы посмотреть, за какими формулировками могут стоять отношения.
Задача 1
Длина улицы составляет 25 километров. Освещено 15 километров улицы.
а) Найдите, какая часть улицы освещена.
б) Во сколько раз вся улица длиннее ее освещенной части?
Решение:
В начале урока мы находили отношение меньшего числа к большему, тем самым определили, какую часть первое число составляет от второго.
Именно это и спрашивается в первом вопросе.
Для нахождения отношения длины освещенного участка к длине всей улицы поделим одну величину на другую:
Значит, длина освещенного участка составляет \(\mathbf<\frac<3><5>>\) от длины всей улицы.
Для нахождения этого отношения необходимо поделить длину всей улицы на длину ее освещенной части:
Что отвечает на вопрос второго пункта.
Также важно помнить, что если подаются какие-либо величины, то всегда надо следить, чтобы мера измерения была одинаковой.
То есть если нам подали что-то в тоннах и килограммах и мы хотим найти отношения этих величин, то надо либо тонны переводить в килограммы, либо наоборот.
Задача 2
Масса груза составляет 2 тонны. Известно, что часть груза- это одежда и ее масса 350 кг.
Найдите, какую часть от массы груза составляет масса одежды.
Решение:
Для начала преобразуем преобразуем тонны в килограммы. Получается, что масса груза равна 2000 кг.
Теперь найдем искомое отношение:
Теперь попробуйте порешать задачи самостоятельно, а если будет сложно, используйте подсказки.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Интересная информация
Сегодня вы узнаете о математических фокусах!
Их идея в том, что можно запутать людей математическими преобразованиями, которые выдадут то, что нужно нам.
Фокус 1
Попросите зрителя загадать число и никому не говорить.
Теперь попросите его умножить это число на 2, прибавить к результату 8, разделить на 2 и вычесть задуманное число.
Теперь вы можете уверенно сказать, что у зрителя получилось число 4.
Так получается за счет того, что в процессе преобразований исходное число вообще уходит из цепочки вычислений и остается только четверка.
Попробуй доказать это на формулах, взяв за задуманное число Х
Фокус 2
В нем вы можете угадать День рождения человека.
Попросите зрителя умножить на 2 число дня его рождения, затем пусть он прибавит к результату 5 и умножит это все на 50, после этого попросите зрителя прибавить к этому числу номер месяца рождения (январь- 1, февраль- 2 и т. д.).
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Конспект урока по математике 6 класс «Отношение чисел и величин»
Конспект урока по математике в 6 классе
« Отношение чисел и величин»
Цели урока: ознакомить учащихся с понятиями отношения чисел и величин, члены отношения, со свойством отношения; формирование навыков упрощения отношений чисел и величин.
— развивать умение слушать; ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи;
— развивать навыки мыслительных операций, умений обобщать, правильно формулировать задачи, выводы;
— развивать умение работать с математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию); развивать представления о числе;
— формировать познавательный интерес к математике, ответственность, умение высказывать свои мысли, отстаивать свою точку зрения, слушая других;
— воспитывать культуру общения.
Анализ контрольной работы.
Актуализация опорных знаний.
2. Как называются компоненты при делении?
3. Как найти неизвестное делимое? А делитель?
5. Можно ли делить на нуль? А если разделить нуль на любое число?
6. Вспомним задачи «на части»: Для варенья из малины на 2 части ягод берут 3 части сахара. Сколько сахара необходимо взять на 2 кг 600 г ягод? ( Ответ: 3 кг 900 г.)
Говорят, что ягоды и сахар взяты в отношении 2 к 3.
Записывают: 2 : 3 или 
.
Объяснение нового материала.
Определение . Частное двух не равных нулю чисел а и b называют еще отношением чисел а и b .
Запись: 
или 
.
Числа а и b называют членами отношения.
1) 
(отношение числа 15 к числу 3); 2) 
(отношение числа 2 к числу 7);
3) 
(отношение числа 
к числу 9).
1) 
;
2) 
, 
;
3) 
, 
.
Вспомним основное свойство частного.
Свойство частного . Делимое и делитель можно умножить или разделить нацело на одно и то же натуральное число – частное от этого не изменится.
.
Из основного свойства частного следует свойство отношения.
Свойство отношения . Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
;
.
Определение. Частное двух величин называется отношением этих величин.
Сами величины называют членами отношения .
1) 
; 2) 
.
>1, тогда a>b, показывает, во сколько a>b.
=1, тогда a=b.
Отношение величин в математике.
.
Отношение величин в математике.
Знаменатель в единицах цены обычно не пишут, а пишут и говорят «цена 1 кг товара 50 р.».
Отношение величин в физике.
.
Отношение величин в химии.
1. Найдите отношение:
а) 
, 
;
в) 
, 
.
2. Запишите отношение в виде дроби (там, где можно, упростите отношение):
а) 
; б) 
; в) 
.
3. Упростите отношение величин:
а) 
; б) 
; в) 
.
4. Упростите отношение величин:
а) 
; б) 
; е) 
.
S = 2 3 = 6 (м). Ответ: 6 м.
, 
(м/с). Ответ: 2 м/с.
Составление и решение пропорций в математике
Пропорции — что это в математике
Валя съела 3 яблока из пяти. Какую часть яблок съела Валя?
Вначале узнаем, какую часть яблок составляет 1 яблоко. Всего у Вали было 5 яблок, значит, одно из них — это 1 5 часть всех яблок. Тогда 3 съеденных яблока составляют 3 5 всех яблок.
Тот же ответ получим, если 3 разделим на пять.
Получается, что 3 яблока соотносятся с пятью яблоками как 3 к 5.
Отношением двух чисел называют частное этих чисел.
Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого. Или какую часть первое число составляет от второго.
Термин «отношение» применяют в случаях, когда нужно выразить одну величину в долях другой. Например, одну площадь в долях другой площади. Это операцию выполняют с помощью деления.
Делимое в выражении отношения называют предыдущим членом. Делитель называют последующим членом.
В задаче 1 предыдущий член — это 3, последующий — 5.
Если есть два равных отношения, то они образуют пропорцию.
Пропорцией называют равенство двух отношений.
Даны два отношения: 3,8:2 и 5,7:3.
Можно ли составить из этих выражений пропорцию?
Найдем значения каждого из отношений:
Значения выражений оказались равными, значит, эти отношения равны.
Тогда можно записать равенство: 3,8:2=5,7:3.
Такое равенство называется пропорцией.
Ответ: да, можно составить из этих отношений чисел пропорцию.
Полученное равенство читают: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a относится к b, как c относится к d».
Числа a и d в пропорции называют крайними членами пропорции.
Числа b и c — средними членами пропорции.
Назовите крайние и средние члены пропорции 42:6=49:7.
Крайние члены пропорции — 42 и 7.
Средние члены пропорции — 6 и 49.
Средние члены пропорции — 5 и 35.
Понятие «пропорция» пришло из латинского языка. Слово в переводе означает соразмерность, определенное соотношение частей между собой.
Основное свойство пропорции, правило
Основное свойство пропорции
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов:
Определите, верна ли пропорция 6:2=9:3.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Значит, 6:2=9:3. Пропорция верна.
Обратное утверждение тоже верно:
Если произведение средних членов равно произведению крайних членов, то пропорция верна.
Если поменять в это пропорции местами средние члены, получим 60:10=12:2. Эта пропорция тоже верна. При перестановке произведение крайних и средних членов не изменилось.
Если в пропорции поменять крайние члены — 2:10=12:60, то произведение тоже не изменится.
Пропорция будет верной, если поменять местами средние члены или крайние члены.
Если какой-то из членов пропорции неизвестен, то его можно найти.
По основному свойству пропорции можно найти ее неизвестный член, если все остальные компоненты известны.
Найдите неизвестный член пропорции: 4,8:b=8:2,5.
Используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.
Составление и решение пропорций
Запишите пропорцию: 6 так относится к 18, как 9 относится к 27.
Слово «относится» заменяем на знак деления.
Получаем два отношения: 6:18 и 9:27.
Если эти два отношения равны, то получаем верную пропорцию.
Проверяем, верна ли пропорция.
Для этого воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.
Чтобы проверить, верна ли пропорция, воспользуемся основным свойством пропорции.
Запишем произведения крайних и средних членов пропорции:
Значит, произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Вывод: пропорция верна.
Примеры уравнений с решением для 6 класса
Чтобы найти неизвестный член пропорции, используем основное свойство пропорции. Находим произведение крайних и средних членов. Выражаем неизвестный компонент.
Используем основное свойство пропорций. Записываем равенства произведений крайних и средних членов.
Решите уравнение: 0,25:x=3,75:3.
Но чтобы выражение осталось неизменным, нужно домножить на сто и делимое.
Чтобы найти неизвестный компонент пропорции, нужно воспользоваться основным свойством дроби.
По основному свойству дроби произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Записываем полученное выражение:
1 действие — умножение.
Переводим смешанное число в неправильную дробь и умножаем на вторую: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.
Сокращаем дробь: есть одинаковые числа в числителе и знаменателе.
2 действие — деление.
Смешанное число переводим в неправильную дробь.
Умножаем 7 5 на взаимно обратную дробь.
План-конспект урока математики «Отношения величин» (6 класс)
ООО Учебный центр «ПРОФЕССИОНАЛ»
в 6 классе Муниципального казённого общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа № 18» Изобильненского муниципального района Ставропольского края
Разработал: Левизова Елена Ивановна,
слушатель курсов профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Проверил: Одинцова Мария Тимофеевна
Тема урока: «Отношение величин»
Дата проведения : 22.12.2017 г.
Тип урока: открытие нового знания.
Сформировать понятие отношения, способность к упрощению отношений и нахождению отношений чисел и величин.
Повторить и закрепить: разностное и кратное сравнения чисел и величин; совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями; перевод высказываний на математический язык.
Систематизировать знания по теме.
Показать значение этих знаний в жизни, значение их в развитии математики.
Развивать логическое мышление, зрительную, слуховую память.
Личностные : развитие умения ясно, точно, грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи
Метапредметные : развивать умение понимать сущность алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.
Предметные : развивать понятие отношения; выведение правила отношения чисел; формировать умение приводить примеры.
Планируемые образовательные результаты:
Предметные: учащиеся учатся записывать пропорции, проверять полученные пропорции, определяя отношения чисел; учатся записывать основное свойство пропорции и применять его для нахождения неизвестного члена пропорции.
Метапредметные: понимать и принимать учебную задачу, поставленную учителем на разных этапах обучения; осуществлять анализ своих действий и делать выводы; участие в диалоге, отражение в письменной форме своих решений.
Личностные: ответственное отношение к учению; ясно, точно грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи на выполнение действий с отношениями чисел; коммуникативная компетентность в общении и сотрудничестве со сверстниками в образовательной учебно–исследовательской и других видах деятельности; уважительное отношение к другому мнению при ведении диалога.
Основные термины, понятия: отношения двух чисел, процентное отношение, что показывает отношение чисел.
2. Мультимедийный проектор;
4. Презентация учителя ;
Раздаточный материал (карточки с заданиями).
Организационный момент (1 мин)
2.Этап актуализации темы и мотивация (7 мин)
3. Постановка учебной задачи (1 мин)
4. Построение проекта выхода из затруднения. Открытие детьми “нового знания” (7 мин)
5.Физкультминутка (2 мин)
6. Первичное закрепление во внешней речи (10 мин)
7.Самостоятельная работа с самопроверкой (5 мин)
8. Рефлексия деятельности. (5 мин.)
1) Самоопределение к деятельности (организационный момент).
Здравствуйте, ребята! Сегодня мы продолжим работать с числами.
Пусть сегодняшний день принесёт вам радость общения. Пусть вам помогут сообразительность, смекалка и те знания, которые вы уже приобрели.
2) Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.
Мы умеем сравнивать числа и величины. Какие знаки сравнения при этом используем? ( )
Поставьте вместо звездочки знак сравнения :
Вывод о сравнении (не все величины подлежат сравнению).
2.2 (Работа в группах по 2 человека).
Продолжительность жизни кобры составляет пятую часть продолжительности жизни крокодила.
(Поднимите руки, кто решил задачу. Выслушать ребят, решивших разными способами.)
— Какие “уточняющие” вопросы можно задать при решении этой задачи? (С помощью каких действий можно сравнивать? Как записать «какую часть составляет жизнь кобры от жизни крокодила»?)
— Какими способами сравнения вы пользовались? (находили разность или частное).
Существует два способа сравнения величин.
Решите задачу- шутку “ Кто сильнее: слон или муравей?»
«Вес муравья примерно 50 миллиграммов или 0,05 г, а слона 5 тонн. При этом муравей способен поднять груз весом в 0,5 г, а слон в полторы тонны. Так кто из них сильнее?»
Итак, соотнести силы муравья и слона нам помогло какое сравнение? (КРАТНОЕ)
3) Постановка учебной задачи.
— Над каким вопросом будем сегодня работать?
(Будем рассматривать кратное сравнение величин).
Для результата кратного сравнения двух величин в математике часто используют термин “отношение”.
— А теперь сформулируйте тему урока. (Отношения величин).
Молодцы! Запишите тему в тетрадях.
(Учитель записывает на доске: Отношения величин).
4) Построение проекта выхода из затруднения. Открытие детьми “нового знания”.
— Как записать отношение чисел из задачи по кобру и крокодила? Каким действием определяем «во сколько раз или какую часть составляет»? (кто знает, запишите на доске)
(Составить частное чисел 200 и 40).
-Откройте стр. 118 учебника и прочитайте рубрику «Говори правильно»
— А теперь прочитайте данное отношение тремя способами.
(1-отношение числа двести к числу сорок;
2-отношение чисел двести и сорок;
3-отношение двухсот к сорока).
4.2. –Мы уже с вами знаем, что такое «Определение» и можем дать определение делителя, кратного, взаимно обратным числам.
Вернемся к задаче про кобру и крокодила. Прочитайте на слайде диалог животных. А теперь попытайтесь составить определение понятия «отношения».
-Каким действием находим отношение? Результат деления?
-Могут ли числа быть равными нулю?
-Что показывает отношение?
Предполагаемый ответ учащихся с наводящими вопросами учителя:
«Отношением чисел а и b называется:
1. Частное двух чисел а и в;
-имеет ли смысл кратное сравнение чисел, хотя бы одно из которых равно нулю?
2 . числа отличны от нуля;
– какую информацию можно получить из отношения?
(Во сколько раз больше, меньше, какую часть составляет одно число от другого).
3 .Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.»
-Попробуйте соединить все выводы и сами сформулировать определение отношения. (После заслушивания формулировок предложить учащимся прочитать определение на стр.117 учебника).
а) Число белых роз составляет половину числа красных роз.
б) Число красных роз в 2 раза больше числа белых роз.
в) Какую часть составляют белые розы от числа всех цветов на клумбе.
г) Во сколько раз число всех цветов на клумбе больше числа красных роз.
— Чему равны отношения?
— Обратите внимание на случаи а), б). Как называются такие числа?
— Что заметили при вычислении?
(Отношения можно “упрощать”; записав их в виде дроби, можно сокращать эту дробь).
— Отношение иногда бывает удобно выражать в процентах. Как представить число в %?
(Умножить на 100%). Выразите в процентах, что удобно.
Первичное закрепление во внешней речи.
– Выполним в тетрадях упражнение № 722 (б,в,г). (у доски по одному ученику: записывает, читает, переводит в проценты )
— Выполни задание : (в тетради по вариантам и на закрытой доске-2 ученика по вариантам по карточкам) ( см. приложение )
1вариант В классе 10 мальчиков и 15 девочек.
2вариант В тетради 12 листов, из них 4 исписано.
— По данному условию составьте какие-нибудь отношения (не менее двух) и объясните их смысл. Упростите, если возможно, полученные отношения; если удобно, выразите в процентах.
Девочек в классе в 1,5 раза больше, чем мальчиков; девочек на 50% больше.
Мальчики составляют две трети от числа девочек.
Составляют мальчики от класса.
Составляют девочки от класса.
Третья часть тетради исписана.
В тетради всего в 3 раза больше листов, чем исписанных.
Две трети тетради не исписана.
В тетради всего в полтора раза больше листов, чем не исписанных.
— Найдите отношения, если удобно – выразите в процентах:
8 ) Рефлексия деятельности. (Итог урока).
— Что сегодня мы нового узнали на уроке?
— Над чем еще надо поработать?
— Кого вы можете отметить?
— Оцените свою работу на уроке. (поставьте восклицательный знак, если все понятно; если есть вопросы, вопросительный знак)
-По желанию сдайте тетради на проверку.
9) Домашнее задание: предлагается в 3 вариантах:
«Пропорция вокруг нас», «Золотое сечение», «Из истории возникновения понятия Пропорция» и др.
1.Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс : учеб.для общеобразоват. Учреждений / Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – 30-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2013.-288 с. : ил.;
2.Чесноков А.С., Нешков К.И. Дидактические материалы по математике для 6 класса. М. : Просвещение, 2012.