Что значит угол между векторами
Угол между векторами.
 |
Формула вычисления угла между векторами
Примеры задач на вычисление угла между векторами
Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 24 | = | 24 | = 0.96 |
| | a | · | b | | 5 · 5 | 25 |
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 40 | = | 40 | = | 4 | = 0.8 |
| | a | · | b | | 5√ 2 · 5√ 2 | 50 | 5 |
Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 28 | = | 14 |
| | a | · | b | | 5 · 6 | 15 |
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2
Найдем угол между векторами:
cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Нахождение угла между векторами
Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.
Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.
Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.
Нахождение угла между векторами
Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.
Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.
Решение
Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.
Решение
Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.
Решение
и отсюда выведем формулу косинуса угла:
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:
Угол между векторами
1) Углом между векторами
называется угол BAC:
2) Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между векторами, равными данным и имеющими общее начало.
Поскольку нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, если один из векторов нулевой либо если оба вектора нулевые, то и в этом случае угол между векторами равен 0°.
Угол между равными векторами также равен 0°.
Угол между противоположно направленными векторами равен 180°.
Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы называются перпендикулярными.
Рассмотрим понятие угла между векторами на конкретных примерах.
Определить угол между векторами:
1) Данные векторы не сонаправлены.
Выберем некоторую точку и от неё отложим векторы, равные данным.
Угол между ними равен α.
Значит, и угол между данными векторами равен α.
2) Данные векторы противоположно направлены.
Значит, угол между ними равен 180°:
Проиллюстрируем этот результат, отложив векторы, равные данным, от одной точки:
3) Поскольку данные векторы сонаправлены, угол между ними равен 0°:
4) Отложим данные векторы от общего начала.
Так как угол между ними равен 90°:
Угол между векторами можно найти с помощью их скалярного произведения.
Угол между векторами – теория и примеры нахождения
Угол между векторами a и b – это тот угол, который находится между лучами и может получаться от 0 до 180 градусов. Как правило, угол находится при помощи скалярного произведения векторов или благодаря теореме косинуса для треугольника.
Угол между векторами
Рассмотрим, как получается угол между векторами. Пусть заданы ненулевые векторы 
и 
. Соединим эти векторы с общей точкой 
и в направлениях векторов и проведём с точки лучи (см. рис. 1)
Угол между вектором и нулевым вектором не обозначается.
Очевидно, что если 
, тогда 
^ 
= 
. Если же 
, тогда 
^ = 
.
Нужна помощь в написании работы?
Примеры нахождения угла между векторами
В теме разобрались и теперь осталось закрепить её при помощи нескольких примеров.
Найти угол между векторами = 
и = 
Для начала нужно найти скалярное произведение векторов:
x = 
+ 
x 
= 
Следующий шаг – найти модуль вектора:
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= =
Теперь находим угол между векторами:
= 
= 
= 
= 
= 
Найти угол между векторами 
и 
Решение:
Находим модели векторов:
Находим угол между векторами:
= = 
= 
Как найти угол между векторами
Вы будете перенаправлены на Автор24
Угол между векторами
Для того, чтобы мы могли ввести формулу для вычисления угла между векторами через координаты, нужно сначала разобраться с самим понятием угла между этими векторами.
Рисунок 1. Угол между векторами. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Нахождение угла между векторами в пространстве с помощью скалярного произведения
Вспомним сначала, что называется скалярным произведением и каким образом его можно находить.
Скалярным произведением двух векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.
Математически это может выглядеть следующим образом:
Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.
Математически выглядит следующим образом
$\overline<δ>\cdot \overline<β>=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$
Готовые работы на аналогичную тему
Найдя значение косинуса, мы легко найдем и значение самого угла.
Решение.
Найдем скалярное произведение между данными векторами через координаты:
$\overline<δ>\cdot \overline<β>=1\cdot 3+(-2)\cdot 0+2\cdot 4=11$
Найдем длины этих векторов:
В результате, получим
Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения
Вспомним сначала, определение векторного произведения и каким образом его можно находить.
Векторным произведением двух векторов называется такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина равна произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют ту же ориентацию, как и декартова система координат.
Математически это выглядит следующим образом:
Рисунок 2. Векторное произведение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Для нахождения вектора векторного произведения можно пользоваться следующей формулой:
Найдем вектор векторного произведения по формуле:
$\overline<δ>х\overline<β>=\begin
Найдя значение синуса, мы легко найдем и значение самого угла между векторами через координаты через формулу.
Решение.
Найдем вектор векторного произведения между данными векторами по формуле:
Найдем длины этих векторов:
В результате, получим
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 20 07 2021