Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника, см. рисунок. Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n-е треугольное число — это сумма n первых натуральных чисел.
Последовательность треугольных чисел для n = 0, 1, 2, … начинается так:
По широко распространённой [1] легенде школьный учитель Карла Фридриха Гаусса, когда последнему было 10 лет, предложил своим ученикам найти сумму всех натуральных чисел от одного до ста.
Маленький Карл удивил всех, практически мгновенно предложив правильный ответ. Он заметил, что сумма каждой пары слагаемых, одинаково отстоящих от концов ряда натуральных чисел [1..100], равна 101 (1+100, 2+99, 3+98,…, 50+51). А поскольку число таких пар равно 100 /2, то есть 50, он посчитал в уме, что искомая сумма равна 101 × 50 = 5050. [2] [3]
Обобщения
Треугольные числа являются частным случаем многоугольных чисел.
Примечания
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Треугольное число» в других словарях:
ТРЕУГОЛЬНОЕ ЧИСЛО — см. Арифметический ряд … Математическая энциклопедия
Центрированное треугольное число — – это центрированное полигональное число, которое представляет треугольник с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся на треугольных слоях. Центрированное треугольное число для n задается формулой Следующая диаграмма показывает… … Википедия
Треугольное озеро — Схематический вид с основного скального массива Массив Треугольного озера выступил на скалолазную арену России, когда выяснилось, что большинство других скальных районов уже облазано, а пытливые умы все еще жаждут новых открытий. Оказалось, что… … Энциклопедия туриста
Центрированное девятиугольное число — Центрированное девятиугольное число это центрированное фигурное число, которое представляет девятиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на девятиугольных слоях. Центрированное девятиугольное число для n задается формулой … Википедия
Что такое треугольные числа? Свойства и демонстрации
Содержание:
Формула, позволяющая найти элемент п треугольной последовательности, известное предыдущим треугольным числом:
Список первых шести треугольных чисел получается так:
–Первый: 1
–Второй: 1 + 2 = 3
–Третий: (1 +2) + 3 = 3 + 3 = 6
–Четвертый: (1 + 2 + 3) + 4 = 6 + 4 = 10
–Пятый: (1 + 2 + 3 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15
–Шестой: (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 15 + 6 = 21
Свойства треугольных чисел
1.- n-е треугольное число Tn последовательности треугольных чисел равно половине n, умноженного на n + 1:
3.- Разность n-го треугольного числа минус n-е треугольное минус единица равна n:
4.- Сумма первых n треугольных чисел называется тетраэдрическим числом Sn и равна шестой части произведения n, умноженного на (n + 1) и умноженного на (n + 2):
5.- Каждое натуральное число N является результатом суммы трех треугольных чисел:
Это последнее свойство или теорема было открыто великим математиком Карлом Фридрихом Гауссом в 1796 году, что он отметил в своем дневнике, поместив восхищение греков. Эврика! что это значит «Я сделал это.»
Это было то же слово, которое задолго до этого использовал греческий Архимед, когда он определял кажущуюся массу затопленного тела.
В этом соотношении число ноль считается треугольным и может иметь место повторение.
Демонстрации
— Демо 1
Докажите, что треугольное число п-этот:
Вывести приведенную выше формулу легко, если мы поймем, что можем добавить равное количество точек к треугольному расположению так, чтобы оно образовало четырехугольник из точек.
Здесь это показано на рисунке 2.
— Демо 2
Покажите, что сумма п-е треугольное число с п-й минус один треугольное число п в квадрате:
Уже было показано, что треугольное число п-th дается:
Следовательно, указанное выше треугольное число:
Общий множитель ½ n берется для получения:
И сразу выражение внутри скобки упрощается:
Теперь, помня, что 1/2 умноженное на 2 равно 1 и что n умноженное на n равно n в квадрате, мы имеем:
Это свойство также можно показать в геометрической форме, просто завершите треугольник, чтобы получился квадрат, как показано на рисунке 3.
— Демо 3
Отличие треугольного порядкового номера п минус треугольный порядковый номер п-1 это n:
Это можно доказать, просто вспомнив, что следующее треугольное число получается из предыдущего по формуле:
— Демо 5
Сумма первых n треугольных чисел Sп равно одной шестой произведения n, умноженного на (n + 1) и умноженного на (n + 2):
Воспользуемся треугольным числом порядка n:Тп= ½ n (n + 1). Сумма первых п треугольные числа обозначают его Sп
Например,S1означает сумму первого треугольного числа, которое, несомненно, будет равно 1.
Затем давайте посмотрим, верна ли формула, которую мы пытаемся проверить для n = 1:
Действительно, формула для n = 1 проверена. Легко представить, что сумма первых n + 1 треугольных чисел будет суммой первых n плюс следующего треугольного числа:
Теперь предположим, что формула для Sп верно для n, то мы подставляем его в предыдущее выражение и добавляем треугольное число порядка п + 1:
Приведенный результат согласуется с формулой для Sп если n заменить на n + 1, что доказывает формулу суммы первых n треугольных членов по индукции.
Тетраэдрическое число
Полученный результат называется тетраэдрическое число порядка n, потому что это похоже на накопление треугольных слоев, образующих тетраэдр, как показано на следующей анимации.
(Эта последовательность включена в Он-лайн энциклопедию целочисленных последовательностей (последовательность A000217 в OEIS )).
СОДЕРЖАНИЕ
Формула
Треугольные числа задаются следующими явными формулами:
Количество отрезков линии между ближайшими парами точек в треугольнике может быть представлено в виде количества точек или с помощью рекуррентного соотношения :
В пределе соотношение между двумя числами, точками и отрезками линии равно
Отношение к другим фигуральным числам
Треугольные числа имеют самые разные отношения с другими фигуральными числами.
Проще говоря, сумма двух последовательных треугольных чисел представляет собой квадратное число, сумма которого является квадратом разницы между ними (и, таким образом, разность двух является квадратным корнем из суммы). Алгебраически,
Этот факт можно продемонстрировать графически, расположив треугольники в противоположных направлениях для создания квадрата:
Существует бесконечно много треугольных чисел, которые также являются квадратными числами; например, 1, 36, 1225. Некоторые из них могут быть сгенерированы простой рекурсивной формулой:
Сумма первых n треугольных чисел является n- м тетраэдрическим числом :
Прочие свойства
Каждое четное совершенное число является треугольным (а также шестиугольным), определяемым формулой
У треугольных чисел, которые не делятся на 3, есть более специфическое свойство; то есть, они имеют остаток 1 или 10 при делении на 27. Те, которые равны 10 по модулю 27, также равны 10 по модулю 81.
Однако обратное приведенному выше утверждению не всегда верно. Например, цифровой корень из 12, который не является треугольным числом, равен 3 и делится на три.
Сумма обратных всех ненулевых треугольных чисел равна
Это можно показать, используя базовую сумму ряда телескопирования :
Две другие формулы относительно треугольных чисел:
Если бы среди профессиональных математиков был проведен опрос, в котором попросили бы составить список из десяти самых выдающихся и влиятельных математиков в истории, мы уверены, что почти все они включили бы в него Карла Фридриха Гаусса. Эта гипотеза (как мы увидим далее, выдвигать гипотезы — метод работы, очень характерный для математики) основана на двух причинах. Первая — огромная важность его вклада в науку. Вторая причина — это широта тем, к которым Гаусс с огромным успехом проявил свой интерес. Сегодня математика — настолько обширная наука, что те, кто посвящает себя ей, глубоко знают только часть, близкую к области их специализации. Однако гений Гаусса позволил ему продвинуться почти во всех сферах математики. Следовательно, специалисты как по математическому, так и по числовому анализу, как геометры, так и алгебраисты, статистики или даже специалисты по математической физике видят в Гауссе «одного из своих».
Мы очень часто пользуемся такими определениями, как «вундеркинд» или «математический гений». Мало кто из математиков мог бы возразить против того факта, что эти эпитеты применимы к Гауссу. Число новых идей и открытий, к которым пришел этот немецкий математик еще до того, как ему исполнилось 25 лет, кажется необъяснимым.
Гауссу, сыну бедных родителей, удалось воспользоваться своим математическим талантом. Он родился в эпоху, когда математика еще была привилегированной сферой деятельности, которую финансировали придворные и меценаты или которой в свободное время занимались любители, такие как Пьер Ферма. Покровителем Гаусса был Карл Вильгельм Фердинанд, герцог Брауншвейгский, что позволило ученому посвятить себя призванию без необходимости зарабатывать на жизнь другим, более экономически выгодным делом. В качестве благодарности Гаусс посвятил покровителю свою первую книгу, «Арифметические исследования» (1801), и таким образом имя герцога оказалось связанным с одним из основных трудов в истории математики.
Гаусс жил в эпоху необычайных политических и социальных потрясений. Отрочество математика совпало с Великой французской революцией — ему было 12 лет, когда была взята Бастилия. Он пережил подъем Наполеона в молодости и его разгром при Ватерлоо в 38 лет. Он застал Мартовскую революцию в Германии в 1848 году в возрасте более 70 лет. В это время произошла первая индустриальная революция, которая оказала очень сильное воздействие на политическую и социальную жизнь Европы. Развитие промышленности позволило осуществить эксперименты, невозможные до этого времени, с телескопами и другими оптическими инструментами. Как мы увидим, все эти события повлияют на жизнь Гаусса.
К счастью, коллекция его трудов сохранилась в достаточно полном виде; многие из важных писем математика были опубликованы. Однако Гаусс трепетно относился к своему первенству в математических открытиях и даже использовал шифр, чтобы защитить их. По мнению некоторых исследователей, нераспространенность его работ вызвала отставание в развитии науки на целых полвека: если бы Гаусс позаботился о том, чтобы опубликовать хотя бы половину своих результатов, и не шифровал бы так тщательно свои объяснения, возможно, математика развивалась бы быстрее. Математический дневник Гаусса, хранившийся в его семье, стал доступен публике только в 1898 году. Его изучение подтвердило, что ученый доказал, не публикуя, многие результаты, которые другие математики пытались получить в течение всего XIX века. Гаусс всегда утверждал, что математика — это как архитектурное произведение: архитектор никогда не оставит строительные леса, чтобы люди не видели, как было построено здание. Естественно, такой взгляд на науку не способствовал лучшему пониманию его трудов коллегами-современниками.
Логическая структура подхода к математическим проблемам, предложенная Гауссом, в которой сначала формулируют результаты или теоремы, затем переходят к их доказательству и завершают выводами или следствиями, до сих пор остается обычным способом представления математических доказательств. Немецкий математик отказывался публиковать недоказанные результаты, и эта позиция определила переломный момент в подходе математиков к их науке. Хотя идея важности доказательства как необходимая составляющая научного процесса появилась еще в Древней Греции, до эпохи Гаусса всех намного больше интересовало применение научных открытий: если математика работала, никто особо не заботился о том, чтобы в строгой форме изложить, почему так происходит.
Когда Гаусс занялся арифметикой и теорией чисел, эти дисциплины состояли из множества разрозненных результатов, никак не связанных между собой. Ученый собрал существующие знания и объединил их в общую систему, указав на имеющиеся ошибки и исправив их. Он возвел математику XIX века на уровень, которого невозможно было достичь несколько лет назад, и поднял арифметику на вершину математики. Говоря его словами, «Математика — царица наук, а арифметика — царица математики».
Первым огромным результатом, полученным еще до того, как Гауссу исполнилось 19 лет, было открытие метода построения с помощью линейки и циркуля многоугольника с 17 сторонами (17-угольника). Построение правильных многоугольников волновало математиков со времен классической Греции, при этом результаты были нерегулярными, поэтому некоторые многоугольники (например, многоугольник с семью сторонами, или семиугольник) невозможно было построить точно: линейки и циркуля было недостаточно, а более совершенных приборов не существовало. Как писал сам Гаусс, который очень гордился этим открытием в течение всей жизни, «это абсолютно не связано со случайностью, поскольку это был плод усиленных размышлений. Еще не встав с кровати, я увидел очень четко всю эту связь, так что я тут же применил к 17-угольнику соответствующее числовое утверждение». Гаусс не только решил эту задачу, но и нашел общий способ разрешения вопроса, может ли многоугольник быть построен с помощью линейки и циркуля. В своем завещании Гаусс попросил, чтобы на его могильной плите выгравировали многоугольник с 17 сторонами, построенный по его методу. Однако этого не было сделано: резчик счел задачу слишком сложной.
Без сомнения, результат, который принес ученому славу среди его современников, — это вычисление орбиты Цереры, карликовой планеты, открытой в 1801 году Джузеппе Пиацци из Палермской обсерватории. Общее признание побудило Гаусса углубиться в астрономию, и он стал директором Гёттингенской обсерватории. Скорее всего, астрономические наблюдения отвлекли ученого от работы в области чистой математики, где было сложнее найти славу. Для математики определение орбиты Цереры может быть анекдотическим фактом, но метод, использованный для ее вычисления, существенно подтолкнул развитие науки. Это был метод наименьших квадратов. В этом случае большую важность имеет процесс, использованный для достижения результата, чем сам результат. Приписывание авторства этого метода Гауссу вызвало некоторую полемику, поскольку Адриен Мари Лежандр, который был на 25 лет старше Гаусса, также оспаривал первенство этого открытия. Соперничество с Лежандром длилось много лет и распространилось на многие области математики. Очень часто оказывалось, что если Лежандр утверждал, что открыл новую математическую истину, Гаусс опровергал это, аргументируя, что он знает ее и уже использовал этот результат. В письме Гаусса от 30 июля 1806 года коллеге-астроному по фамилии Шумахер, с которым их связывала большая дружба, ученый сетовал: «Похоже, что мне предназначено совпадать с Лежандром почти во всех своих теоретических работах». Такое соперничество встречалось очень часто и объяснялось методами работы и распространения результатов у ученых того времени. В течение всей своей жизни Гаусс упорно вступал в открытую борьбу за первенство своих открытий. И только после его смерти, когда были изучены все дневники и письма, стало ясно, что правда была на стороне Гаусса. В чем нет никаких сомнений, так это в том, что метод наименьших квадратов оказался очень полезным инструментом для разрешения многих проблем, в которых речь идет об установлении функции, наилучшим образом приближающейся к множеству данных с критерием минимизации. Наиболее важные примеры применения этого метода находятся в области статистики, где они достигают вершины в оценке параметров населения с помощью модели, построенной благодаря такому известному заключению, как теорема Гаусса — Маркова. Любопытно, что имя Гаусса в области статистики обычно связывают со знаменитым «гауссовым колоколом», однако на самом деле открытием нормального распределения мы обязаны Абрахаму де Муавру.
Количество отрезков линии между ближайшими парами точек в треугольнике может быть представлено в виде количества точек или с помощью рекуррентного соотношения :
В пределе соотношение между двумя числами, точками и отрезками линии равно
Связь с другими фигуральными числами [ править ]
Треугольные числа имеют самые разные отношения с другими фигуральными числами.
Проще говоря, сумма двух последовательных треугольных чисел представляет собой квадратное число, сумма которого является квадратом разницы между ними (и, таким образом, разность двух является квадратным корнем из суммы). Алгебраически,
Этот факт можно продемонстрировать графически, расположив треугольники в противоположных направлениях для создания квадрата:
6 + 10 = 16
10 + 15 = 25
Существует бесконечно много треугольных чисел, которые также являются квадратными числами; например, 1, 36, 1225. Некоторые из них могут быть сгенерированы простой рекурсивной формулой:
Сумма первых n треугольных чисел является n- м тетраэдрическим числом :
Другие свойства [ править ]
Каждое четное совершенное число является треугольным (а также шестиугольным), определяемым формулой
У треугольных чисел, которые не делятся на 3, есть более специфическое свойство; то есть, они имеют остаток 1 или 10 при делении на 27. Те, которые равны 10 по модулю 27, также равны 10 по модулю 81.
Однако обратное приведенному выше утверждению не всегда верно. Например, цифровой корень из 12, который не является треугольным числом, равен 3 и делится на три.
Сумма обратных всех ненулевых треугольных чисел равна
Это можно показать, используя базовую сумму ряда телескопирования :
Две другие формулы относительно треугольных чисел:
Приложения [ править ]
Треугольные корни и тесты для треугольных чисел [ редактировать ]
для n = 0, 1, 2, … начинается так:
