Что значит решить алгебраическим способом

Решение текстовых задач арифметическим способом

Разделы: Математика

Обучение решению текстовых задач играет важную роль в формировании математических знаний. Текстовые задачи дают большой простор для развития мышления учащихся. Обучение решению задач – это не только обучение технике получения правильных ответов в некоторых типичных ситуациях, сколько обучение творческому подходу к поиску решения, накопление опыта мыслительной деятельности и демонстрация учащимися возможностей математики в решении разнообразных задач. Однако при решении текстовых задач в 5-6 классах чаще всего используется уравнение. Но мышление пятиклассников еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений. Арифметический способ решения задач имеют ряд преимуществ по сравнению с алгебраическим потому, что результат каждого шага по действиям нагляднее и конкретнее, не выходит за рамки опыта пятиклассников. Школьники лучше и быстрее решают задачи по действиям, чем с помощью уравнений. Детское мышление конкретно, и развивать его надо на конкретных предметах и величинах, затем постепенно переходить к оперированию абстрактными образами.

Работа над задачей предусматривает внимательное прочтение текста условия, вникания в смысл каждого слова. Приведу примеры задач, которые легко и просто можно решить арифметическим способом.

Задача 1. Для приготовления варенья на две части малины берут три части сахара. Сколько килограммов сахара нужно взять на 2 кг 600 г малины?

Задача 2. На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?

3) 30*3=90 (книг)- стояло на первой полке.

Задача 3. В клетке сидят фазаны и кролики. Всего в ней 27 голов и 74 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов в клетке.

Задача 4. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, а в кино – 21, а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?

Задача 6. Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?

Представим, что со всех больших пирамид мы сняли по два кольца. Тогда:

1) 20*5=100 (колец) – осталось;

2) 128-100-28 (колец) – мы сняли;

3) 28:2=14 (больших пирамид).

Задача 7. Арбуз массой 20кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Определите массу арбуза.

Для удобства решение будет сопровождаться иллюстрацией прямоугольников.

При этом желательно рисовать прямоугольники “сухого вещества” равными, потому что масса “сухого вещества” в арбузе остается неизменной.

1) 20:100=0,2 (кг) – масса “сухого вещества”;

2) 0,2:2=0,1 (кг) – приходится на 1% усохшего арбуза;

3) 0,1*100=10 (кг) – масса арбуза.

Арифметический способ решения текстовых задач учит ребенка действовать осознанно, логически правильно, потому что при решении таким способом усиливается внимание к вопросу “почему” и имеется большой развивающий потенциал. Это способствует развитию учащихся, формированию у них интереса к решению задач и к самой науке математике.

Чтобы сделать обучение посильным, увлекательным и поучительным, надо очень внимательно отнестись к выбору текстовых задач, рассматривать различные способы их решения, выбирая оптимальные из них, развивать логическое мышление, что в дальнейшем необходимо при решении геометрических задач.

Научиться решать задачи школьники смогут, лишь решая их. “Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научиться решать задачи, то решайте их”,- пишет Д.Пойа в книге “ Математическое открытие”.

Источник

В чем отличие арифметического от алгебраического способа решения задач?

Вот возьмем для примера знаменитую задачу из рассказа Чехова «Репетитор».

Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?

Алгебраический способ такой:

Пусть купец купил x аршин синего и y аршин черного сукна.

Решаем систему и получаем

А арифметический способ такой. Представим себе, что он купил только черное сукно, все 138 аршин по 3 руб.

Тогда он заплатил бы 138*3 = 414 руб. А он заплатил 540 руб. Значит, остальные 540-414=126 руб. он заплатил за синее сукно.

Синее стоит дороже на 2 руб за каждый аршин. А он заплатил лишних 126 руб.

И очень жаль, что в школе постепенно отказываются от арифметического способа и всё решают уравнениями.

В арифметике с применением конкретных чисел записанных только цыфрами. А в алгебре вы решаете задачи с неизвестными числами, обобщённые значения которых выражены символами в виде латинских букв.

Затем уже в решение из символов (букв) вы можете подставить конкретные числа выраженные цыфрами и решить уже ставшую конкретной арифметическую задачу.

Проще сказать отличие в следующем:

В арифметической задаче вы ищите конкретный числовой ответ, а в алгебраической задаче вы ищите обобщённый ответ для всех возможных числовых значений выраженный в алгебраических символах.

Это уравнение является линейным, поэтому для его решения необходимо:

1) Раскрыть скобки в левой и в правой части.

2) Привести подобные слагаемые.

3) Слагаемые с x перенести в левую часть, числовые слагаемые перенести в правую часть.

Верно. Значит, корень данного уравнения был найден правильно.

Вас нужно лишь применить правила приведения дробей, раскрытие скобок и сумма квадратов.

1) Умножаем правую часть, чтобы получить дробь. Раскрываем скобки и приводим подоные члены.

2) Действуем аналогично, обращая внимания на знаки. Заметим, что (x-y)*(x+y)=x^2-y^2

3) Можем вынести 9 за скобки, а во второй дроби b. Тогда будет легче привести к общему знаменателю.

Автобус проехал за t часов столько же, сколько велосипедист за t+1 час, расстояние равно скорость умножить на время, считаем и приравниваем расстояния, которые проехали автобус и первый велосипедист, получаем

Второго велосипедиста автобус догнал через 10 минут = 1/6 часа после того, как первого, то есть через t+1/6 часов после начала своего движения, второй велосипедист к тому времени ехал 1+t+1/6 часов, делаем то же самое, что для первого велосипедиста, получаем

Итак, у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными

Вычтем из второго первое, получим

1/6V=5(1+t)+20/6, домножим обе части на 6, получим V=30(1+t)+20, упростим, получим V=30t+50, подставим в первое уравнение:

Это квадратное уравнение имеет два корня, положительный и отрицательный, время отрицательным быть не может, значит, нужно найти положительный корень.

По формуле это t=(корень<7*7+3*4*6>-7)/(2*6)=(11-7)/12=1/3

Для решения этого уравнения достаточно 204 умножить на 59.

На картинке отображен треугольник в виде закона Ома.

Чтобы найти V нам необходимо перемножить I и R. Чтобы найти R нам необходимо разделить V на I.

Общий ход графического решения задач. Сначала, при необходимости, как в обычных алгебраических уравнениях, можете переносить любые члены из левой части в правую или наоборот, не забыв при этом поменять знак, добиваясь, чтобы в каждой части уравнения были удобные для Вас выражения. Затем пишете функции у(л)=(левая часть уравнения) и у(п)=(правая часть уравнения). Строите графики функций у(л) и у(п). Абсциссы точек пересечения графиков (если таковые есть), дают Вам решения Вашего уравнения.

В Ваших уравнениях левая и правая части уравнений приведены к оптимальному виду.

Берете отдельный листок в клетку. Чертите на ней оси координат с пересечением осей в центре листочка. Как можно аккуратнее и точнее чертите на нем параболу y=X^2, и обязательно прочерчиваете ось Y. Аккуратно наклеиваете листочек на картон или тонкий пластик. Аккуратно ножницами вырезаете эту параболу. Теперь у вас готов шаблон для построения графиков любых парабол.

Построение графика функции y=√(x). На странице тетради в клетку чертите оси координат. Берете изготовленный шаблон, и накладываете его горизонтально на страницу так, чтобы начала координат шаблона и в тетради совпали, о ось Y шаблона совпала с осью Х в тетради. Обводите карандашом верхнюю половину шаблона. На листочке получится половинка параболы, расположенная горизонтально. Это и есть график функции y=√(x).

Решение задачи (2). Через точку (0,5) проводите прямую, параллельную оси Х. Точка пересечения этой прямой с параболой (25,5) даст решение примера. Х=25.

Решение задачи (4). Через центр координат проводите диагональ второй и четвертой четвертей. Это будет график функции y=-x. У этой прямой и параболы имеется только одна общая точка (0;0), т.е. начало координат. Значит решением является х=0,

Источник

Статья на тему «Алгебраический метод решения текстовых задач для нахождения арифметического способа их решения»

Алгебраический метод решения текстовых задач для нахождения арифметического способа их решения

Решение текстовых задач младшими шк ольниками можно рассматривать как средство и как метод обучения, в ходе использования которых происходит усвоение содержания начального курса математики: математических понятий, смысла арифметических действий и их свойств, формирование вычислительных навыков и практических умений.

Учитель, руководящий процессом решения задач школьниками, должен прежде всего сам иметь решать задачи, а также владеть необходимыми знаниями и умениями учить этому других.

Среди распространенных методов решения текстовых задач (алгебраический, арифметический и геометрический) наибольшее применение в начальных классах для большинства задач находит арифметический метод, включающий в себя различные способы их решения. Однако для учителя во многих случаях данный метод решения задач является более сложным, чем алгебраический. Связано это, в первую очередь, с тем , что из курса математики средней школы

практически исключен курс арифметики, который предусматривал формирование у школьников умения решать задачи арифметическим методом. Во-вторых, в вузовском курсе математики ему так же не уделяется должного внимания.

Вместе с тем необходимость в решении задач арифметическим методом диктуется запасом математических знаний младшего школьника, который не позволяет им решать большинство задач, применяя элементы алгебры.

Учитель способен, как правило, любую задачу решить алгебраически, однако далеко не каждый может решить любую задачу арифметически.

Вместе с тем указанные методы взаимосвязаны, и эту взаимосвязь учитель не только должен подмечать, но и использовать в своей работе. В данной статье на примере решения некоторых задач мы попытаемся показать связь алгебраического и арифметического методов решения задач, чтобы помочь учителю найти арифметический способ решения задачи, решив ее алгебраически.

Предварительно сделаем несколько замечаний:

1. Не всегда (и даже далеко не всегда) текстовая задача, решаемая алгебраическим методом, может быть решена арифметическим. Следует помнить, что решить задачу, применяя арифметический метод, можно в том случае, когда ее алгебраическая модель сводится к линейному уравнению или системе линейных уравнении.

2. Вид линейного уравнения не всегда «подсказывает» арифметический путь решения задачи, однако дальнейшие преобразования уравнения позволяют его найти. Решение системы линейных уравнений, на наш взгляд, практически сразу дает возможность наметить ход рассуждений для решения задачи арифметическим способом.

Пример 1. Задача сводится к уравнению

Задача. В 8 часов утра из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 60 км/ч. В 11 часов из пункта В ему навстречу вышел другой поезд со скоростью 70 км/ч. В какое время поезда встретятся, если расстояние между пунктами 440 км?

В дальнейшем этапы решения каждой задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения задачи арифметическим методом будем параллельно записывать в таблице, которая позволит наглядно проследить, как алгебраические преобразования в «ходе решения уравнений, являющихся моделью текстовой задачи, открывают арифметический способ решения. Так, в данном случае будем иметь следующую таблицу (см. таблицу 1).

(60+70)-х+60*3=440 или 130х+180=440

Найдем сумму скоростей поездов: 60+70=130(км/ч).

Найдем время движения первого поезда до начала движения второго поезда: 11-8=3(ч). Найдем расстояние, пройденное первым поездом за 3 часа: 60*3=180(км)

Найдем расстояние, которое осталось пройти поездам до встречи: 440-180=260(км).

Найдем время движения второго поезда: 260:130=2(ч).

Используя данные таблицы 1, получаем арифметическое решение.

= 3 (ч)- был в пути первый поезд до начала движения второго;

Пример 2. Задача сводится к уравнению вида: а ₁ х +в ₁ =а х+в

Задача. Школьники купили 4 книги, после чего у них осталось 40 рублей. Если бы они купили 7 таких же книг, то у них осталось бы 16 рублей. Сколько стоит одна книга?

Этапы решения задачи

Этапы решения задачи арифметическим методом

получаем уравнение: 4х+40=7х+16.

7х-4х=40-16 (7-4)х=24 3х=24

Стоимость четырех книг и еще 40р. равна стоимости 7 книг и еще 70р.

Найдем, на сколько больше книг купили бы: 7-4=3(кн). Найдем, на сколько больше заплатили бы денег: 40-16=24(р.).

Найдем стоимость одной книги: 24:3=8(р.).

Используя данные таблицы 2, получаем арифметическое решение:

Пример 3. Задача сводится к уравнению вида: ах + b x + сх = d

Задача. Турист проехал 2 200 км, причем на теплоходе проехал вдвое больше, чем на автомобиле, а на поезде в 4 раза больше, чем на теплоходе. Сколько километров проехал турист отдельно на теплоходе, автомобиле и на поезде?

Используя данные таблицы 3, получаем арифметическое решение.

Примем расстояние, которое турист проехал на автомобиле, за одну часть:

1 • 2 = 2 (ч.) – приходится на расстояние, которое преодолел турист на теплоходе;

2) 2 • 4 = 8 (ч.) – приходится на расстояние, которое преодолел турист на поезде;

Пусть х километров –расстояние, которое турист проехал на теплоходе.

По условию задачи получаем уравнение: х+2х+2*4х=2200.

Примем расстояние, которое турист проехал на автомобиле (самое меньшее), за 1 часть. Тогда расстояние, которое он проехал на теплоходе, будет соответствовать двум частям, а на поезде – 2 – 4 частям. Значит, весь путь туриста (2200 км) соответствует 1+2+8=11 (ч.).

Найдем, сколько частей составляет весь путь туриста: 1+2+8=11 (ч.).

Найдем, сколько километров приходится на одну часть: 2200:11=200 (км).

Ответ: 200 км, 400 км, 1 600 км.

Задача. По окончании спектакля 174 зрителя из театра разошлись пешком, а остальные поехали на трамваях в 18 вагонах, причем в каждый вагон садилось на 5 человек больше, чем было в нем мест. Если бы зрители, уезжавшие из театра на трамвае, садились в него по числу мест, то понадобилось бы еще 3 вагона, причем в последнем осталось бы 6 свободных мест. Сколько всего зрителей было в театре?

Пусть в каждом трамвае было х мест. Тогда по условию задачи имеем уравнение: (х+5)*18=х*(18+3)-6.

Преобразуем уравнение: 21х – 18х = 90+6 или 3х = 96.

В каждый вагон входило на 5 человек больше, чем было в нем мест. В 18 вагонах – на 5 * 18 = 90 человек больше. В 3 дополнительных вагона вошло 90 человек и осталось еще 6 свободных мест. Следовательно, в трех вагонах 90 + 6 = 96 мест.

Найдем количество мест в одном вагоне:

Используя данные таблицы 4, получаем арифметическое решение:

Ответ: 840 зрителей.

Задача. Пояс с пряжкой стоит 12 рублей, причем пояс дороже пряжки на 6 рублей.

Сколько стоит пояс, сколько стоит пряжка?

Алгебраический метод приводит к системе уравнений:

Данную систему можно решить методом подстановки: выразив одно неизвестное через другое. Из первого уравнения, подставив его значение во второе уравнение, решить полученное уравнение с одним неизвестным, найти второе неизвестное. Однако в этом случае мы не сможем «нащупать» арифметический путь решения задачи.

Сложив уравнения системы, мы сразу будем иметь уравнение 2х = 18.
Откуда находим стоимость пояса х = 9 (р.). Этот способ решения системы позволяет получить следующий арифметический ход рассуждений. Предположим, что пряжка стоит столько же, сколько и пояс. Тогда пряжка с поясом (или 2 пояса) будут стоить 12+6= 18 (р.) (так как на самом деле пряжка на 6 рублей стоит дешевле). Следовательно, один пояс стоит 18:2=9 (р.).

Если мы вычтем почленно из первого уравнения второе, то получим уравнение 2 у =6, откуда у = 3 (р.). В этом случае, решая задачу арифметическим методом, рассуждать следует так. Предположим, что пояс стоит столько же, сколько и пряжка. Тогда пряжка и пояс (или две пряжки) будут стоить 12-6=6 (р.) (так как на самом деле пояс на 6 рублей стоит дороже).
Следовательно, одна пряжка стоит 6:2=3 (р.)

Пусть х рублей – цена пояса, у рублей – цена пряжки. По условию задачи получаем систему уравнений:

Почленно сложив уравнения системы, получим: 2х = 12 + 6 2х = 18.

Пояс с пряжкой стоят 12р. И пояс дороже пряжки на 6р.

Предположим, что пряжка стоит столько же, сколько и пояс, тогда два пояса стоят 12 + 6 = 18 (р.).

Используя данные таблицы 5, получаем арифметическое решение:

О т в е т: 9 рублей, 3 рубля.

Пример 6. Задача сводится к системе уравнений вида:

Задача. Для похода 46 школьников приготовили четырех- и шестиместные лодки. Сколько было тех и других лодок, если все ребята разместились в десяти лодках и свободных мест не осталось ?

Пусть х – количество четырехместных лодок, у – количество шестиместных лодок. По условию задачи имеем систему уравнений:

Умножаем обе части первого уравнения на 4.

Вычитаем ( почленно ) полученное уравнение из второго. Имеем:

(6 – 4) у = 46 – 40 или 2у = 6.

Всех лодок 10 и в них разместилось 46 школьников.

Предположим, что все лодки были четырехместными. Тогда м них разместилось бы 40 человек.

Найдем, на сколько больше человек вмещает шестиместная лодка, чем четырехместная: 6 – 4 = 2 (чел.). Найдем, скольким школьникам не хватит мест, если все лодки будут четырехместные: 46 – 40 = 6 (чел.).

Найдем количество шестиместных лодок: 6 : 2 = 3 (шт.).

Используя данные таблицы 6, получаем арифметическое решение:

все лодки четырехместные;

Пример 7. Задача сводится к системе уравнений вида: а х+Ь у=с1; а х +Ь у=с2

Задача. 3 ручки и 4 блокнота стоят 26 рублей, а 7 ручек и 6 таких же блокнотов стоят 44рубля. Сколько стоит блокнот?

Пусть х рублей – цена ручки, у рублей – цена блокнота. По условию задачи получаем систему уравнений:

Умножим обе части первого уравнения на 7. Получим:

Вычтем (почленно) из первого уравнения второе.

(28 – 18) у = 182 – 132 или 10 у = 50.

3 ручки и 4 блокнота стоят 26 рублей. 7 ручек и 6 блокнотов стоят 44 рубля.

Уравняем количество ручек в двух покупках. Для этого найдем наименьшее кратное чисел 3 и 7 (21). Тогда в результате первой покупки были куплены 21 ручка и 28 блокнотов, а второй – 21 ручка и 18 блокнотов. Найдем стоимость каждой покупки в этом случае:

26 * 7 = 182 (р.), 44 * 3 = 132 (р.).

Найдем, на сколько больше блокнотов было куплено в первый раз:

Найдем, на сколько больше заплатили бы при первой покупке:

Найдем, сколько стоит Блокнот:

Используя данные таблицы 7, получаем арифметическое решение:

Мы рассмотрели некоторые виды текстовых задач, встречающиеся в различных учебниках математики для начальных классов. Несмотря на кажущуюся простоту установления связи между алгебраическим и арифметическим методами, этот прием все же требует тщательной отработки со студентами на практических занятиях и кропотливой работы учителя в ходе самоподготовки к уроку.

Источник

Что значит решить алгебраическим способом

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

Существует несколько способов решения текстовых задач:

• арифметический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью чисел и знаков арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления, то есть с помощью нескольких действий над числами, связанных между собой;

• алгебраический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью введения переменных и составления соответствующего уравнения или неравенства, или системы уравнений или неравенств;

• геометрический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью применения геометрических знаний;

• схематический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью схем;

• графический способ – это способ решения текстовой задачи с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

Каждый из этих способов предполагает перевод условий задачи на язык математики. Это действие математики называют математическим моделированием. Результат этого действия называют математической моделью. При применении различных способов решения получаются различные математические модели.

В арифметическом способе математической моделью является числовое выражение, то есть числовой пример с несколькими действиями, а конечный результат вычислений будет решением задачи.

В алгебраическом способе математической моделью чаще всего является уравнение, а решение уравнения даёт решение задачи.

В геометрическом способе математической моделью является геометрическая фигура, а решение задачи – это один из найденных элементов этой фигуры.

В схематическом способе математической моделью является схема, с помощью которой находят решение задачи.

В графическом способе математической моделью является график, построенный по условию задачи. При этом способе решением задачи являются координаты определённых точек графиков.

На этом занятии более подробно будет рассмотрен алгебраический способ решения задачи.

Решить текстовую задачу алгебраическим способом означает:

1. Ввести удобную переменную выразить через неё неизвестные величины.

2. По явным условиям, описанным в задаче, составить уравнение или неравенство.

3. Решить уравнение или неравенство

4. Выбрать из всех найденных решений те, которые подходят по смыслу задачи, то есть удовлетворяют неявным условиям задачи и, таким образом, найти ответ на главный вопрос задачи. Рассмотрим методику алгебраического способа решения текстовых задач с помощью уравнений и неравенств.

1 этап. Арифметическая краткая запись условий задачи.

Цель этого этапа: осмысление задачи.

Форма записи: схематический чертёж или таблица всех известных и неизвестных данных задачи.

• этот этап может отсутствовать, если решение задачи элементарно или она не особо усложнена условиями;

• на этом этапе решения задачи происходит понимание или осмысление её текста. Намного облегчает этот процесс умение правильно «увязать» все известные и неизвестные величины в таблицу данных задачи или составить чертёж; неизвестные величины удобно обозначать знаком «?», а «главный вопрос» задачи для того, чтобы потом на последних этапах не запутаться и правильно найти «Ответ», так как в некоторых задачах, содержащих неявный вопрос искомую величину приходится довычислять;

• все единицы измерения перевести в единые;

• значительно облегчает решение и делает задачу более понятной введение обозначений, общепринятых в физике, химии, геометрии, алгебре, экономике и так далее. Например: V,t,s-скорость, время, расстояние (длина пути или отрезка); р,V,m-плотность вещества, объём тела, масса тела; W,t,V–производительность, время работы, объём работы; a,b,P,S–две стороны прямоугольника, его периметр, его площадь; А0,р,n,An-первоначальная величина, процент её увеличения, количество увеличений, конечная величина после увеличения А0 на р процентов n раз; MА,СА,M–масса вещества А в растворе или в смеси, концентрация вещества А в растворе или смеси (доля), масса раствора или смеси; mn=10m+n–запись двузначного числа, где m,n–цифры;

• Большую помощь в задачах «на движение» оказывает схематический чертёж. Он позволяет увидеть динамику движения, а также учесть все характерные ситуации–встречи, остановки, повороты и тому подобное.

2 этап. «Легенда» или алгебраическая краткая запись условий задачи.

Цель этого этапа: удачно выбрать переменную и выразить все неизвестные величины задачи через неё.

Форма записи: такая, как и на 1этапе, но только вместо знаков «?» везде надо записать выражения с переменной.

• обычно этот этап в оформлении задачи начинается с фразы «Пусть х ед.-…,тогда…»;

• не следует пытаться обойтись небольшим числом неизвестных; наоборот, чем больше неизвестных, тем легче составлять уравнения или неравенства;

• выбирая неизвестные, мы создаём математическую модель ситуации, описанной в условии задачи; точнее, набор переменных представляет собой список параметров, определяющих эту модель, поэтому все они должны быть независимы, и все соотношения должны следовать лишь из конкретных условий задачи;

• при введении переменных следует руководствоваться принципом наибольшего удобства математической записи условий задачи, при этом искомая величина может не входить в их число. В большинстве задач «главный вопрос» подсказывает выбор переменной.

3 этап. Составление и решение уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств).

Цель этого этапа: опираясь на условия задачи составить уравнение или неравенство ( систему уравнений или неравенств ) и найти его (её) решение.

• обычно этот этап в оформлении задачи начинается словами «По условию задачи (выписать условия из текста задачи), значит,…(запись уравнения или неравенства).»;

• необходимо учитывать Область Допустимых Значений переменной или переменных помня условия существования уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств);

• для составления уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств) из текста задачи выбираем условие (условия), которое позволяет увязать известные и неизвестные данные задачи в формулы: S=vt-вычисление длины пути, пройденного телом; m=pV-вычисление массы тела; V=Wt-вычисление объёма работы;S=ab–вычисление площади прямоугольника; MА=САM-вычисление массы вещества А в смеси или растворе; An=A0(1±p)n или An=A0(1±p1) … (1±pn) вычисление сложных процентов;

• если неизвестных следует брать столько, сколько потребуется, то уравнений будет cтолько, сколько получится; в простейших ситуациях мы получаем уравнение (неравенство) с одной переменной или систему уравнений (неравенств), в которой число уравнений (неравенств) совпадает с числом неизвестных.

4 этап. Анализ решения уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств).

Цель: из всех найденных решений уравнений или неравенств (систем уравнений или неравенств) выбрать те, которые подходят по смыслу задачи и, по мере необходимости, довычислить искомую величину.

• т.о., не каждое решение уравнения может являться решением задачи; особенности отбора значений переменных в различных типовых задачах будут рассмотрены ниже;

• для всякой текстовой задачи полезно провести проверку её решения, причём проверять нужно соответствие полученного ответа условию задачи, а не составленным уравнениям.

Цель этого этапа: записать правильный ответ, удовлетворяющий всем описанным условиям задачи и отвечающий на её «главный вопрос».

Рассмотрим полное решение задачи по указанной схеме.

Задача. Из пункта А в пункт В, расположенный в 24км от А, одновременно отправились пешеход и велосипедист. Велосипедист прибыл в пункт В на 4часа раньше пешехода. Известно, что если бы велосипедист ехал с меньшей на 4км/ч скоростью, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найти скорость пешехода.

1 этап. Арифметическая краткая запись.

По условию задачи надо определить скорость пешехода, значит, это и является «Главным вопросом» задачи.

2 этап. «Легенда» или алгебраическая краткая запись. Поскольку путь от А до В известен, то неизвестные величины–скорости пешехода и велосипедиста и время их движения. Т.к. «главный вопрос» задачи–скорость пешехода, то обозначим за переменные скорости, а время выразим через введенные неизвестные. Пусть х км/ч–скорость пешехода, у км/ч–скорость велосипедиста, тогда

В задаче описаны два условия движения пешехода и велосипедиста, значит, получим два уравнения «увязанные» с изменением времени движения.

3 этап. Составление и решение системы уравнений.

24(х + 2) – 12х – 4х(х + 2) = 0, х(х + 2)≠ 0 – ОДЗ. х2-х-12=0; По теореме Виета х1 х2=-12, х1+х2=1. Получаем два решения первого уравнения системы: х1=4ДЗ,

х2=-3ОДЗ. Оба решения удовлетворяют неравенству системы, т.е. ОДЗ дробно–рационального уравнения.

4 этап. Анализ решения системы уравнений.

По смыслу задачи х–положительное число, х=-3 постороннее решение,

х=4>0 =>4км/ч скорость движения пешехода.

Проверка решения задачи.

Она часто бывает полезна, но не обязательна. В задаче поставлены четыре условия существования искомой величины–скорости пешехода: 1условие–расстояние между пунктами А и В 24км; 2условие–время движения велосипедиста меньше времени движения пешехода на 4часа; 3условие–изменённая скорость велосипедиста на 4км/ч меньше фактической скорости; 4условие–изменённое время движения велосипедиста в 2раза меньше времени движения пешехода. Для проверки достоверности решения допустим выполнение двух из них при найденном решении задачи. Если два других условия при этом выполнятся, то будем считать, что задача решена верно. Если два других условия не выполнятся, то решение найдено неверно.

24км:4км/ч = 6ч – время движения пешехода; (использовали 1 условие)

6ч – 4ч = 2ч – время движения велосипедиста; (использовали 2 условие)

24км:2ч = 12км/ч – скорость движения велосипедиста;

12км/ч – 4км/ч = 8км/ч – изменённая скорость велосипедиста;

24км:8км/ч = 3ч – изменённое время движения велосипедиста; (выполнено 3 условие)

6ч:3ч = 2(раза) – отношение времени движения пешехода и велосипедиста; (выполнено 4 условие)

Все условия задачи выполнены =>скорость пешехода 4км/ч найдена верно.

5 этап. Ответ. Ответ: 4км/ч.

Таким образом, на этом занятии мы познакомились с алгебраическим способом решения текстовой задачи и разобрали методику её решения на примере задачи «на движение».

Источник