Что значит проекция вектора на ось

Содержание:

Проекция вектора на ось:

Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Как ее определяют?

Начнем с понятия проекция точки на ось.

Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.

На рисунке 24 точка

Как определяют проекцию вектора на ось

Проекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+» или «-». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «-» — если угол тупой.

На рисунке 25 проекция вектора на ось Ох обозначена через а проекция вектора — через

Проекция — число положительное, т. к. угол на рисунке 25, а — острый. Проекция — число отрицательное т. к. угол на рисунке 25, б — тупой.

А если вектор перпендикулярен оси? Тогда его проекция на эту ось равна нулю (рис. 26).

Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.

Рассмотрим треугольник на рисунке 25, а. Его гипотенуза катет а угол между ними равен Следовательно,

Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью.

Это правило справедливо при любых углах между вектором и осью. Подтвердите это с помощью рисунков 25 и 26.

Обратим внимание на еще одно важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

С помощью рисунка 27, а, б убедитесь, что из векторного равенства следует равенство для проекций: Не забывайте о знаках проекций.

Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси

Рассмотрим вектор лежащий в плоскости (рис. 28). Его проекции на оси определим из рисунка:

Модуль вектора находим по теореме Пифагора из треугольника ACD: Разделив на получим: По значению косинуса находим угол

Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью определяется двумя проекциями на оси координат.

Вектор в пространстве определяется тремя проекциями: (рис. 29).

Главные выводы:

Пример №1

1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов (рис. 30). Найдите модули векторов суммы и разности

Решение

Сумму векторов находим по правилу треугольника (рис. 31, а) или параллелограмма (рис. 31, б). Так как векторы взаимно перпендикулярны, модуль вектора находим по теореме Пифагора: Разность векторов определим по правилам вычитания векторов (рис. 32, а, б).

Модуль вектора находим аналогично:

Ответ:

Пример №2

Выразите вектор через векторы (рис. 33). Как связаны между собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу?

Решение

По правилу треугольника находим: Отсюда Определив координаты начальных и конечных точек векторов находим проекции этих векторов:

Вычислением убедимся, что проекции векторов связаны теми же равенствами, что и сами векторы:

Ответ:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор

рис. 1

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11

Найдем модуль вектора b

| b | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12

Найдем модуль вектора b

| b | = √ 4 2 + 2 2 + 4 2 = √ 16 + 4 + 16 = √ 36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Вектор. Проекция вектора на ось.

Проекцию вектора на ось ОХ принято понимать в различных смысловых значениях: геометрическом и арифметическом (алгебраическом).

На письме геометрическую проекцию данного вектора можно показать следующим образом:

или .

В случае задачи оси ОХ с помощью вектора с, вектор называется проекцией вектора на направление вектора с, и на письме его принято обозначать в виде .

Геометрическую проекцию вектора на ось ОХ иначе принято называть компонентой вектора по оси ОХ.

2. Алгебраической или арифметической проекцией вектора на ось ОХ (или на направление вектора с) называется длина вектора , которая берется с положительным «+» или с отрицательным «-» знаком, согласно тому, направлен ли рассматриваемый вектор одинаково с осью ОХ или иначе.

На письме обозначается следующим образом:

или .

Геометрическая проекция вектора выражена в виде вектора, а алгебраическая проекция вектора представлена числовым значением.

В случае, когда векторы и равны, их алгебраические проекции по одинаковой оси тоже равны между собой Аналогично можно выразить случай с геометрической проекцией вектора.

Арифметическая проекция одного и того же вектора, но для случая разнонаправленных осей, (О₁Х₁ и О₂Х₂) равна:

.

Аналогично получаем и для случая геометрической проекции векторов, но только при условии параллельности осей, которые нам заданы.

3. Рассмотрим взаимосвязь между компонентой (геометрической проекцией) и алгебраической проекцией вектора.

При условии когда c₁ является разнонаправленным с осью ОХ вектором, и имеет длину равную 1, геометрическая проекция выбранного вектора а по оси ОХ равна произведению вектора с₁ на алгебраическую проекцию вектора а по оси ОХ. Сказанное записывают в виде:

.

В случае параллельности, но разнонаправленности осей алгебраические проекции не равны, т.к. отличаются своим знаком.

Таким образом, =-2 .

Источник

Проекция вектора на ось и свойства проекции

Проекция вектора (допустим, a) на ось L – это разность X1 – X2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту же ось.

Определение и свойства проекции

Очевидно, что когда перпендикулярна , тогда , и наоборот.

Основные свойства проекций:

1). = ,^ (рис. 2);

2). = (рис. 3);

3). = + (рис. 4).

Свойство 3 выполняется для суммы конечного числа векторов.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Примеры нахождения проекции

Задача

Найти проекцию вектора на вектор

Решение

Сначала находим скалярное произведение вектора:

x = x x = .

Найдём модуль вектора :

= = =

Найдём проекцию вектора на вектор

x = x = =

Ответ: =

Задача

Вычислить числовую проекцию вектора на ось, направление которой определяется вектором , если модуль вектора равен 3, а угол между векторами и равен .

Решение

Итак, у нас есть = , ^ = , тогда искомая числовая проекция

. = x = x = .

Ответ: . =

Задача

Вектор задает направление оси . Найдите числовую проекцию вектора на эту ось.

Решение

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующих координат, то есть для данных векторов имеем:

= x x = =

Модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов координат:

= = = =

Тогда: = . = =

Ответ: = .

Источник