Что значит оценить неравенство
Числовое неравенство, свойства числовых неравенств и примеры решения
Рассмотрим что такое числовое неравенство, числовые неравенства имеют следующие свойства.
Свойства числовых неравенств
Как решать числовое неравенство
1. Сравните числа а и b по их разности.
а) a-b=-7. Решение. Так как разность a-b – отрицательное число, то a b.
в) a-b=0. Решение. Так как разность a-b равна нулю, то a=b.
2. Сравните данные числа.
а) 0,099 и 0,1. Решение. Десятичные дроби сравниваются поразрядно: из двух чисел больше то, которое содержит больше единиц высшего разряда.
так как из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше, а меньше та, числитель которой меньше.
так как из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше, а меньше та, знаменатель которой больше.
Решение. Приведем дроби к общему знаменателю. Получаем:
Теперь сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями. Получаем:
3. Записать в виде двойного неравенства: 6 b; в) a=b.
5.2. Сравните данные числа.
5.3. Выписать все целые числа, удовлетворяющие двойному неравенству:
Что значит оценить неравенство
Ключевые слова: определение неравенства, строгие и нестрогие неравенства, свойства неравенств, примеры решения задач на неравенства. Раздел ОГЭ по математике: 3.2.1 Числовые неравенства и их свойства.
Этому определению можно дать геометрическую иллюстрацию: из двух чисел a и b большим является то, которому на координатной прямой соответствует точка, расположенная правее, и меньшим то, которому соответствует точка, расположенная левее.
Свойство (3) читают так: к обеим частям неравенства можно прибавить любое число. Слово «можно» здесь (и далее) означает, что при таком преобразовании получается неравенство, равносильное данному, т. е. оно будет верным, если данное неравенство было верным, и неверным, если исходное неравенство было неверным. Из этого свойства следует, что любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.
Примеры решения задач на неравенства
Пример 1. На координатной прямой отмечены числа a и
b. Выберите из следующих утверждений верное.
При выполнении задания используется определение понятий «больше» и «меньше» и свойство транзитивности. Из рисунка видно, что а > b. Отсюда а – b > 0. Значит, неравенства 1 и 2 не являются верными. Рассмотрим неравенство 3. Так как a – b > 0 и 0 > – 2, то a – b > – 2, т. е. это утверждение верно. Убедимся на всякий случай в том, что неравенство под номером 4 не является верным. Действительно, из а – b > 0 не следует, что a – b >2, так как, например, при а=1, b = 0 разность а – b равна 1, т. е. меньше 2.
1) I и II 2) I и III 3) II и III 4) I, II и III
Все члены двух данных неравенств – положительные числа. Перемножим почленно эти неравенства, получим ху > 200. Итак, неравенство I является верным. Неравенство II следует из неравенства I на основании свойства транзитивности: ху > 200, 200 > 100, значит, ху > 100. Неравенство III при некоторых значениях х и у, удовлетворяющих заданному условию, выполняется, a при некоторых нет, например, оно не выполняется при х = 11 и y = 21.
Пример 3. Оценим разность а – b, если известны границы a и b: 10 –b > –5, или –5
Пример 4. Докажем, что если a и b – положительные числа, то а 2 > b 2 в том и только в том случае, когда а > b.
Это конспект по алгебре на тему «Неравенства. Общие свойства». Выберите дальнейшие действия:
Решение линейных неравенств
Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.
| Символ | Название | Тип знака |
|---|---|---|
| > | больше | строгий знак (число на границе не включается ) |
| строгий знак (число на границе не включается ) | ||
| ≥ | больше или равно | нестрогий знак (число на границе включается ) |
| ≤ | меньше или равно | нестрогий знак (число на границе включается ) |
Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.
В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно « = » используют любой знак сравнения: « > », « », « ≤ » или « ≥ ».
Линейным неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в первой степени.
Рассмотрим пример линейного неравенства.
Как решить линейное неравенство
Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом « 1 ».
При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.
Правило переноса в неравенствах
Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.
Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.
Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.
Нарисуем числовую ось для неизвестного « x » и отметим на ней число « 14 ».
При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:
Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу « x » все решения неравенства, то есть область слева от числа « 14 ».
Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство « x − 6 » даст верный результат.
Возьмем, например число « 12 » из заштрихованной области и подставим его вместо « x » в исходное неравенство « x − 6 ».
Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.
Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.
Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.
В нашем примере ответ « x » можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее « 14 ») будет являться решением неравенства « x − 6 ».
Правило умножения или деления неравенства на число
Рассмотрим другое неравенство.
Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.
Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном « x » стоял коэффициент « 1 ». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число « 2 ».
При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.
Разделим « 2x > 16 » на « 2 ». Так как « 2 » — положительное число, знак неравенства останется прежним.
Рассмотрим другое неравенство.
Разделим неравенство на « −3 ». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.
Понятие неравенства, связанные определения
Неравенство – обратная сторона равенства. Материал данной статьи дает определение неравенства и начальную информацию о нем в разрезе математики.
Определение неравенства
Понятие неравенства, как и понятие равенства, связывается с моментом сравнения двух объектов. В то время как равенство означает «одинаковы», то неравенство, напротив, свидетельствует о различиях объектов, которые сравниваются. К примеру, 
и 
— одинаковые объекты или равные. 
и 
— объекты, отличающиеся друг от друга или неравные.
Неравенство объектов определяется по смысловой нагрузке такими словами, как выше – ниже (неравенство по признаку высоты); толще – тоньше (неравенство по признаку толщины); длиннее – короче (неравенство по признаку длины) и так далее.
Возможно рассуждать как о равенстве-неравенстве объектов в целом, так и о сравнении их отдельных характеристик. Допустим, заданы два объекта: 
и 
. Без сомнений, эти объекты не являются одинаковыми, т.е. в целом они не равны: по признаку размера и цвета. Но, в то же время, мы можем утверждать, что равны их формы – оба объекта являются кругами.
В контексте математики смысловая нагрузка неравенства сохраняется. Однако, в этом случае речь идет о неравенстве математических объектов: чисел, значений выражений, значений величин (длина, площадь и т.д.), векторов, фигур и т.п.
Не равно, больше, меньше
В зависимости от целей поставленной задачи ценным можем являться уже просто факт выяснения неравенства объектов, но обычно вслед за установлением факта неравенства происходит выяснение того, какая все же величина больше, а какая – меньше.
Значение слов «больше» и «меньше» нам интуитивно знакомо с самого начала нашей жизни. Очевидным является навык определять превосходство объекта по размеру, количеству и т.д. Но в конечном счете любое сравнение приводит нас к сравнению чисел, которые определяют некоторые характеристики сравниваемых объектов. По сути, мы выясняем, какое число больше, а какое – меньше.
Утром температура воздуха составила 10 градусов по Цельсию; в два часа дня этот показатель составил 15 градусов. На основе сравнения натуральных чисел мы можем утверждать, что значение температуры утром было меньше, чем ее значение в два часа дня (или в два часа дня температура увеличилась, стала больше, чем была температура утром).
Запись неравенств с помощью знаков
Существуют общепринятые обозначения для записи неравенств:
Подробнее их смысл разберем ниже. Дадим определение неравенств по виду их записи.
Строгие и нестрогие неравенства
Знаки строгих неравенств – это знаки «больше» и «меньше»: > и Неравенства, составленные с их помощью – строгие неравенства.
Верные и неверные неравенства
Верное неравенство – то неравенство, которое соответствует указанному выше смыслу неравенства. В ином случае оно является неверным.
Приведем простые примеры для наглядности:
Неравенство 5 ≠ 5 является неверным, поскольку на самом деле числа 5 и 5 равны.
Или такое сравнение:
Аналогичными по смыслу термину «верное неравенство» являются фразы «справедливое неравенство», «имеет место неравенство» и т.д.
Свойства неравенств
Опишем свойства неравенств. Очевидный факт, что объект никак не может быть неравным самому себе, и это есть первое свойство неравенства. Второе свойство звучит так: если первый объект не равен второму, то и второй не равен первому.
Опишем свойства, соответствующие знакам «больше» или «меньше»:
Знакам нестрогих неравенств также присущи некоторые свойства:
Двойные, тройные и т.п. неравенства
Неравенство
В математике неравенство (≠) есть утверждение об относительной величине или порядке двух объектов, или о том, что они просто не одинаковы (см. также Равенство).
Содержание
Типы неравенств
Эти математические отношения называются строгим неравенством. В противоположность им нестрогие неравенства означают следующее:
Кроме того, иногда требуется показать, что одна из величин много больше другой, обычно на несколько порядков:
Иногда не требуется знать результат и тогда можно определить формальное неравенство как два числа или алгебраических выражения, соединённые знаками >, [1]
Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.
Пример: Неравенство 
— алгебраическое, первой степени. Неравенство 
0 » border=»0″ /> — алгебраическое, второй степени. Неравенство 
x+4 » border=»0″ /> — трансцендентное.
Решение неравенств второй степени
Решение неравенства второй степени вида 
0″ border=»0″ /> или 
можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых квадратичная функция 
принимает положительные или отрицательные значения (промежутки знакопостоянства).
Пример 1.
Решить неравенство 
.
Решение. Рассмотрим функцию 
. Для того чтобы решить это неравенство методом интервалов нам следует найти нули функции 
и выбрать соответствующие интервалы, в которых она принимает отрицательные значения.
Ответ: 
.
Решение неравенств методом интервалов
Пусть у нас есть неравенство вида 
0″ border=»0″ /> Для его решения нам необходимо:
Крайними точками интервалов будут 
, 
и нули функций 
.
Равносильные переходы при решении иррациональных неравенств
g\left(x\right)\Longleftrightarrow\left[\begin
0 \end
Пример 2.
Решить неравенство 
\sqrt
Решение. Действуем по плану:
\sqrt
Из последней выкладки видно, что наше неравенство решений не имеет.
Знаки неравенства
Русскоязычная традиция начертания знаков 
и 
отличается от принятой в англоязычной литературе.
| Символ | Код в Юникоде | Название в Юникоде | Название | HTML шестн. | HTML десят. | HTML обозн. | LaTeX |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| U+2A7D | Less-than or slanted equal to | Меньше либо равно | ⩽ | ⩽ | отсутствует | \leqslant |
| U+2A7E | Greater-than or slanted equal to | Больше либо равно | ⩾ | ⩾ | отсутствует | \geqslant |
 | U+2264 | Less-than or equal to | Меньше либо равно | ≤ | ≤ | ≤ | \le, \leq |
 | U+2265 | Greater-than or equal to | Больше либо равно | ≥ | ≥ | ≥ | \ge, \geq |
Примечание
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Неравенство» в других словарях:
неравенство — неравенство … Орфографический словарь-справочник
НЕРАВЕНСТВО — (inequality) Отсутствие равенства. Если известно, что числа х и у не могут быть равными, но соотношение между ними неизвестно, то это записывается так: х ≠ у. Неравенство при известном соотношении направления может быть строгим или нестрогим.… … Экономический словарь
НЕРАВЕНСТВО — НЕРАВЕНСТВО, неравенства, мн. нет, ср. 1. Экономическое, политическое и духовное подавление трудящихся буржуазией (экон. полит.). Пока существует капиталистическая система, никакие законы не могут уничтожить неравенство и эксплоатацию. 2.… … Толковый словарь Ушакова
неравенство — отличие, разница, разность; неравноправность, неравноправие, различность, различие, расхождение, соотношение. Ant. равенство Словарь русских синонимов. неравенство сущ., кол во синонимов: 8 • диспаритет (2) … Словарь синонимов
неравенство — несоответствие — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] неравенство Соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или… … Справочник технического переводчика
НЕРАВЕНСТВО — НЕРАВЕНСТВО, математическое утверждение, что одно выражение меньше, больше или равно другому. Знак > обозначает «больше», а знак 12, что эквивалентно выражению 124. Символы б и [ обозначают «больше или равно» и … Научно-технический энциклопедический словарь
НЕРАВЕНСТВО — НЕРАВЕНСТВО, а, ср. 1. Отсутствие равенства (в 1 и 2 знач.), равноправия. Н. сил. Социальное н. 2. В математике: соотношение между величинами, показывающее, что одна величина больше или меньше другой. Знак неравенства (> … Толковый словарь Ожегова
Неравенство — [inequality] соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над ними можно по определенным правилам производить действия: сложение … Экономико-математический словарь
НЕРАВЕНСТВО — отношение, связывающее два числа и посредством одного из знаков: (меньше), (меньше или равно), (больше), (больше или равно), (неравно), то есть Иногда несколько Н. записываются вместе, напр. Н. обладают многими свойствами, общими с равенствами.… … Математическая энциклопедия