Что значит оценить множество

Теория множеств: основы и базовые операции над множествами

Мы знаем довольно много о структурах данных, понимаем их устройство, разбираемся, какие структуры работают быстро и помогают решать конкретные задачи. Но эти знания бесполезны, если мы не понимаем, как это использовать в реальной жизни. Это похоже на изучение геометрии в школе. Вы долго считаете предмет бесполезным, пока однажды не появляется необходимость рассчитать площадь пола, чтобы заказать новое ковровое покрытие. Впрочем, пользу геометрии можно почувствовать, даже если вы никогда не считали площадь пола в комнате самостоятельно.

Сегодня поговорим о структуре данных, которая в теории очень догматична, а на практике очень популярна. На самом деле вы так или иначе уже сталкивались с этой структурой, а также слышали о ней на уроках математики в школе. Вы уже догадались, что речь идёт о множествах.

Теория множеств без страха

Прежде чем разбирать устройство множеств, давайте поймём, откуда они появляются. То есть давайте сразу погрузимся в теорию — да-да, в теорию множеств! Не бойтесь сложностей — высока вероятность того, что вы уже так или иначе использовали эту теорию. Возможно, вы сталкивались с теорией множеств, когда проходили в школе диаграмму Венна. Диаграмму Венна включили в программу изучения множеств, так как она хорошо иллюстрирует отношения подмножеств.

Мы выяснили, что теория множеств не должна никого пугать. Теперь пришло время разобраться, что это за теория на самом деле. Множество — математическая концепция. Теорией множеств описывают отношения множеств.

Множество — ни что иное, как неупорядоченная коллекция, в которой нет дублирующихся элементов.

В этом определении есть три важных слова: «неупорядоченная», «дублирующихся» и «элементов». Эти слова точно передают суть и устройство множества. Если мы это запомним, то будем знать основную информацию о том, как работает эта структура данных.

Нужно понять, почему это важно. Для начала давайте посмотрим на множества в действии. Как сказано выше, отношения множеств удачно иллюстрирует диаграмма Венна. Давайте взглянем на два множества: книги, которые есть у человека дома, и книги, которые этот человек прочитал.

Если вы знакомы с диаграммой Венна, то понимаете, что в центре в зелёном круге находятся книги, которыми человек владеет, и которые он прочитал. Здесь множества пересекаются. Также вы понимаете, что два множества — прочитанные человеком книги и книги, которые есть у человека — существуют внутри другого множества. Это все существующие в мире книги.

Диаграмма Венна — хорошая база для понимания теории множеств, так как с её помощью легче понять более сложные вещи. Допустим, вы хотите представить два множества книг в какой-то структуре данных. Вы уже знаете, что книги надо разделить на два множества: которые человек прочитал и которые есть у него дома. Для удобства назовём первое множество Set X, а второе Set Y. Эти множества после реконфигурации в структуры данных можно представить с помощью диаграммы Венна.

Можно заметить, что множества Set X и Set Y стали похожи на объекты или хэши: элементы внутри них не имеют индексов или других элементов, позволяющих их упорядочить. В них также нет повторяющихся элементов, что делает эти структуры данных множествами. Как вы уже знаете, множество — это коллекция неупорядоченных элементов, которые не повторяются.

Начните изучать разработку с бесплатного курса «Основы современной вёрстки». Вы научитесь создавать статические веб-страницы, стилизовать элементы, использовать редакторы кода с полезными расширениями. В конце курса вы опубликуете свой первый сайт на GitHub Pages.

Об операциях с множествами без боли

Какие возможности открывает представление множеств в формате структур данных? С ними теперь можно выполнять разные операции. Две самые важные операции, которые выполняются над множествами — это пересечение и объединение.

Пересечение множеств часто записывается с помощью такой нотации: X ∩ Y. Пересечение определяет, где два множества пересекаются. Другими словами, эта операция возвращает все элементы, которые входят в два множества. В нашем примере пересечение Set X и Set Y возвращает все книги, которые человек читал и которые есть у него дома. Хороший ключ к пониманию пересечения — ключевое слово «и». Мы получаем книги, которые человек читал и которые есть у него дома. Несмотря на то, что полученные с помощью пересечения книги существуют в двух множествах, мы не повторяем их, так как в множестве могут быть только уникальные элементы.

Объединение двух множеств обозначается так: X ∪ Y. Объединение возвращает общность двух множеств или объединённое множество. Иными словами, с помощью объединения множеств можно получить новое множество элементов, которые существуют хотя бы в одном исходном множестве. В нашем случае объединение вернёт все книги, которые человек читал, а также все книги, которые есть у него дома. Обратите внимание, если книга входит одновременно в Set X и Set Y, она не может дублироваться в новом множестве после объединения, так как в множества входят только уникальные элементы.

С помощью диаграммы Венна пересечение и объединение можно представить так:

Теперь давайте рассмотрим более сложные вещи. Объединение и пересечение — важные операции над множествами, но это только азы теории. Нам надо познакомиться с другими операциями, чтобы решать более серьёзные задачи. Важно понимать разность множеств и относительные дополнения множеств. Ниже мы разберём, почему это важные операции, но сначала нужно понять, как они работают.

Как понятно из названия, разность множеств определяет разницу между множествами. Иными словами, мы определяем, какие элементы останутся в множестве X, если удалить из него все элементы, которые содержатся в множестве Y. Это действие можно обозначить так: X — Y. В примере на иллюстрации ниже разница между множеством X и множеством Y — это элементы, которые существуют в Set X, но не существуют в Set Y. Они обозначены буквами C, Z и W.

Относительное дополнение — противоположность разности множеств. Например, относительное дополнение Y по сравнению с X возвращает все элементы множества Y, которые не входят в множество X. Относительное дополнение можно обозначить так: X \ Y. Относительное дополнение X \ Y фактически возвращает такой же набор элементов, как разность Y — X. В нашем примере множество Y меньше множества X. Единственный элемент, который входит в Set Y, но не входит в Set X — число 2.

По сути, мы просто вычитаем множество X из множества Y и отвечаем на вопрос: что существует в Y, чего нет в X?

Вы могли заметить, что в части примеров мы имеем дело со строками, в другой части в качестве элементов выступают буквы и числа. Здесь надо подчеркнуть важный момент: множество может включать любой тип элементов или объектов. Вы можете рассматривать множества как хэши: они включают любые сущности, если те встречаются во множестве только один раз.

Теперь давайте рассмотрим ещё одну операцию, она самая сложная из всех. Но не пугайтесь, с ней тоже можно разобраться.

В некоторых случаях требуется найти противоположность пересечению множеств. Иными словами, речь идёт о книгах, которые есть у человека, и книгах, которые он прочитал, но которые не входят одновременно в оба множества. Как назвать это подмножество? И как найти его?

Правильное название для этого кейса — симметрическая разность множеств. Также употребляют термины «дизъюнктивное объединение» и «несвязное объединение». Симметрическая разность возвращает все элементы, которые входят в одно из множеств, но не входят в пересечение этих множеств. Пример на иллюстрации поможет разобраться с дизъюнктивным объединением.

В примере выше симметрическая разность похожа на поиск относительного дополнения множества X и множества Y. Если подходить к этому с позиции математики, поиск симметричной разницы — то же самое, что и объединение относительных дополнений множества X и множества Y. Эту операцию можно записать так: X △ Y= (X ∖ Y) ∪ (Y ∖ X).

Но не дайте сбить себя с толку!

Всё, что нужно для поиска симметрической разности — найти элементы, которые есть в множестве X, но отсутствуют в множестве Y, и какие элементы есть в множестве Y, но отсутствуют в множестве X. Иными словами, надо найти уникальные элементы в каждом множестве.

В примере выше числа 1, 2 и 3 входят в множества X и Y одновременно. А буквы A, B, C, X, Y, Z входят только в множества X или Y. Поэтому они представляют симметрическую разность множеств X и Y.

Мы рассмотрели теоретические вопросы. Теперь можно посмотреть, как теория множеств работает на практике.

Множества вокруг нас

К этому моменту вы наверняка задумались, зачем надо изучать теорию множеств. Это хороший вопрос, и пришло время ответить на него.

Уже догадались? Множества повсюду. Это структуры данных, которые мы можем использовать при работе с разными языками программирования, например, Python, Java, Ruby, JavaScript и так далее. Если вы знакомы с этими или другими языками программирования, то уже вспомнили методы, которые позволяют работать с множествами.

Вот пример на JavaScript.

Очевидно, что имена методов могут меняться в зависимости от языка. Например, метод has из примера выше в Ruby называется include?, но эти методы работают практически одинаково. А в Python при работе с множествами можно использовать методы intersection, union и symmetric_difference.

Но в чём именно польза множеств? Понятно, что с ними можно работать в разных языках программирования, но зачем это нужно на практике?

Один из моментов — множества могут сэкономить вам много времени. Помните все эти сложные операции — intersection, union, difference? Уже догадались? Продолжительность выполнения этих операций зависит от размера множеств. Это связано с тем, что для выполнения операций нам надо обойти все элементы множества. Обычно даже гигантские множества можно обойти достаточно быстро.

Но как насчёт основных операций? Как насчёт добавления элементов в одно из множеств, удаления элементов, поиска конкретного элемента в множестве? Все эти операции выполняются за константное время или 0(1). Это очень мощный инструмент, и это значит, что множества могут быть даже более удобной структурой данных, чем словарь или хэш.

Но подождите, почему все операции с множествами выполняются так быстро? Как это возможно? Как оказалось, под капотом множества представляют собой хэши. Теперь вся информация собирается воедино. С хэш-таблицами знакомо большинство программистов, но почему с их помощью так удобно реализовывать множества?

Это возможно благодаря нескольким факторам. Первый: в хэш-таблицах каждый элемент всегда имеет уникальный индекс. Это очень хорошо с точки зрения реализации множеств, так как множества могут включать только уникальные элементы. Второй фактор: в хэш-таблицах порядок элементов не имеет значения. В множествах порядок элементов тоже не имеет значения. Наконец, хэш-таблицы обеспечивют константное время доступа 0(1). Это идеально для выполнения базовых операций с множествами.

Заключение

Теория множеств используется в разных областях computer science. Это важная для программистов концепция, понимание которой помогает разработчикам эффективно работать с данными.

Адаптированный перевод статьи Set Theory: the Method To Database Madness by Vaidehi Joshi.

Никогда не останавливайтесь: В программировании говорят, что нужно постоянно учиться даже для того, чтобы просто находиться на месте. Развивайтесь с нами — на Хекслете есть сотни курсов по разработке на разных языках и технологиях.

С нуля до разработчика. Возвращаем деньги, если не удалось найти работу.

Источник

Введение в теорию множеств

Концепция бесконечности идеологически далека от обычной математической терминологии — ни одна другая тема не выходит за пределы математики так, что превращается из практического, аналитического инструмента в явление мифического порядка. Понятие бесконечности на короткой ноге с такими культурными темами, как религия и философия, и окутана загадочной аурой божественности.

Когда-то давным давно во всех академических дисциплинах было заложено фундаментальное убеждение — существует единственная бесконечность.

Но 1874 году довольно малоизвестный математик провёл серию революционных наблюдений, подвергавших сомнению это всеми принятое и глубоко укоренившееся убеждение. Георг Кантор в своей (теперь уже ставшей легендарной) публикации On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers доказал, что множество вещественных чисел «более многочисленно», чем множество алгебраических чисел. Так он впервые показал, что существуют бесконечные множества разных размеров (не волнуйтесь — для прояснения этого мы вскоре подробно изучим его статью).

«Множество — это большое количество, которое позволяет воспринимать себя как одно» — Георг Кантор

С 1874 по 1897 год Кантор неистово публиковал статью за статьёй, разворачивая свою теорию абстрактных множеств в расцветающую дисциплину. Однако она была встречена упорным сопротивлением и критикой; многие педанты считали, что его теории перешли в область философии и нарушили принцип религии.

Однако когда начали находиться практические применения математического анализа, отношение к теории изменилось, а идеи и результаты Кантора начали получать признание. К первому десятилению 20-го века его наблюдения, теории и публикации достигли своей кульминации — признания современной теории множеств новой, совершенно уникальной областью математики:

Теория множеств — это математическая теория о точно определённых наборах (множествах) отдельных объектов, называемых членами или элементами множества.

Сколько чисел есть между 0 и 1?

Первая публикация Кантора, состоящая из четырёх с половиной страниц, является великолепным примером краткости. Она разделена на два отдельных доказательства, совместно приводящих к выводу о существовании по крайней мере двух уникальных видов множеств.

В первой части теории исследуется множество вещественных алгебраических чисел и доказывается, что это бесконечное счётное множество. Здесь не стоит путать — «счётное» не обязательно значит, что счёт ведётся строго в целых числах; в контексте теории множеств «счётное» означает, что множество, пусть даже состоящее из бесконечного числа элементов, можно описать повторяющимся рядом, например упорядоченной многочленной функцией. Кантор назвал это свойство бесконечного набора чисел соответствия «один к одному» с рядом, наличием взаимно однозначного соответствия.

Если говорить вкратце, то набор, или множество всех вещественных алгебраических чисел можно вывести с помощью какого-то теоретического ряда многочленов с различными степенями и коэффициентами; следовательно, множество всех вещественных алгебраических чисел является бесконечным счётным множеством.

Во второй части труда Кантора анализируется роль вещественных комплексных чисел, также называющихся трансцендентными числами. Транцендентные числа (лучшие примеры которых — это пи и e) имеют любопытное свойство: математически невозможно вывести их с помощью многочленной функции — они не являются алгебраическими. Вне зависимости от величин, количества частей, степеней или коэффициентов, никакой ряд никогда не может посчитать пи в своём наборе бесконечного счётного множества.

Затем Кантор указывает, что в любом замкнутом интервале [a,b] существует хотя бы одно транцендентное число, которое никогда нельзя будет подсчитать в бесконечном счётном множестве. Поскольку одно такое число существует, то предполагается, что в семействе вещественных чисел существует бесконечное количество транцендентных чисел.

Таким образом он доказал очень чёткое различие между множеством непрерывных, идущих потоком несчётных чисел и набора счётных чисел, которые можно представить как ряд, например, всех вещественных алгебраических чисел.

Далее: запись и операции

Первая публикация Кантора завершилась на этом потрясающем подтверждении существования по крайней мере двух разных видов бесконечности. После его первой статьи появился шквал дополнений, медленно, но верно прокладывавших путь к современной теории множеств.

Стоит также поделиться интересным наблюдением: большинство людей, использующих теорию множеств на практике, ценят скорее не эту конкретную теорему, а заданный ею обобщённый язык. Благодаря своей абстрактной природе теория множеств скрытно влияет на множество областей математики. В математическом анализе, который требует дифференциального и интегрального исчисления, необходимо понимание пределов и непрерывности функций, окончательно закреплённых в теории множеств. В алгебре логики логические операции «и», «или» и «не» соответствуют операциям пересечения, объединения и разности в теории множеств. И последнее, но не менее важное — теория множеств закладывает основы топологии — исследования геометрических свойств и пространственных отношений.

Вооружившись базовым пониманием истории множеств и совершив кратковременное погружение в глубины его влияния, мы можем приступать к знакомству с основами системы обозначений теории множеств.

Часть вторая. Краткий обзор операций, обозначений и диаграмм Венна.

Как сказано в предыдущей части, одно из фундаментальных преимуществ теории множеств произрастает не из какой-то конкретной теории, а из созданного ею языка. Именно поэтому основная часть этого раздела будет посвящена обозначениям, операциям и визуальному представлению теории множеств. Давайте начнём с объяснения базовых символов обозначения множества — соответствующих ему элементов. В таблице ниже показан пример одного множества A с тремя элементами:

A — это множество с элементами «1», «2» и «3»

«1» — элемент множества A

В первой строке показано множество A с тремя отдельными элементами (A = ); во второй строке показан правильный способ обозначения отдельного конкретного элемента 1, принадлежащего множеству A. Пока всё довольно просто, но теория множеств становится существенно интереснее, когда мы добавляем второе множество — начинается путешествие по стандартным операциям.

Операции: пересечение (intersection) — множество элементов, принадлежащих множеству A и множеству B;

объединение (union) — множество элементов, принадлежащих множеству A или множеству B;

подмножество (subset) — C является подмножеством A, множество C включено во множество A;

собственное (истинное) подмножество — C является подмножеством A, но C не равно A;

относительное дополнение (relative complement) — множество элементов, принадлежащих к A и не к B.

Вот и они, самые распространённые операции в теории множеств; они довольно популярны и в областях за пределами чистой математики. На самом деле, высока вероятность того, что вы уже видели подобные типы операций в прошлом, хоть и не совсем с такой терминологией, и даже пользовались ими. Хорошая иллюстрация: попросите любого студента описать диаграмму Венна из двух пересекающихся групп, и он интуитивно придёт к правильному результату.

Ещё раз взгляните на последнюю строку, относительное дополнение — какое необычное сочетание слов, правда? Относительное к чему? Если относительное дополнение A — B определяется как A и не B, то как нам обозначить всё, что не является B?

Универсальное множество — пустое множество

Оказывается, если мы хотим получить значимый ответ, то для начала нужно предоставить генеральной совокупности нашей задачи множеств некий контекст. Он часто явным образом задаётся в начале задачи, когда допустимые элементы множества ограничиваются некоторым фиксированным классом объектов, в котором существует универсальное множество, являющееся общим множеством, содержащим все элементы для этой конкретной задачи. Например, если мы хотели бы работать со множествами только из букв английского алфавита, то наше универсальное множество U состояло бы из 26 букв алфавита.

Для любого подмножества A множества U дополнение множества A (обозначаемое A′ или U − A) определяется как множество всех элементов в генеральной совокупности U, которое не находится в A. Если вернуться к поставленному выше вопросу, то дополнением множества B является всё в пределах универсального множества, что не принадлежит B, в том числе и A.

Прежде чем мы двинемся дальше, надо упомянуть ещё одно принципиальное множество, которое достаточно важно для базового понимания: нулевое или пустое множество. Учтите, что существует единственное пустое множество, поэтому никогда не говорят «пустые множества». Хотя мы не будем рассматривать в этой статье эквивалентность, основная теория гласит, что два множества эквивалентны, если они имеют одинаковые элементы; следовательно, может быть только одно множество без элементов. Поэтому существует единственное пустое множество.

Диаграммы Венна и остальное

Диаграммы Венна, официально изобретённые в 1880 году Джоном Венном, являются именно тем, что вы и представляете, хотя их научное определение звучит примерно так:

Схематичное изображение всех возможных отношений нескольких множеств

Ниже показано изображение шести самых распространённых диаграмм Венна, и почти во всех показаны недавно изученные нами операнды:

Объединение (union), пересечение (intersection), относительное дополнение (relative complement), симметрическая разность (symmetric difference), собственное множество (proper subset), абсолютное дополнение (universal дополнение).

Начав с очень простых обозначений множества и его элементов, мы узнали затем о базовых операциях, позволивших нарисовать эту визуальную подсказку. Мы рассмотрели все операции, за исключением симметрической разности (внизу слева). Чтобы не оставлять пробелов в знаниях, скажем, что симметрическая разность, также называемая дизъюнктивным объединением — это просто множество элементов, которые находятся в любом из множеств, но не входят в их пересечение.

Закончим мы этот раздел введением понятия мощности (кардинального числа). Мощность множества, обозначаемая символом абсолютного значения — это просто количество уникальных элементов, содержащихся в определённом множестве. Для показанного выше примера мощность трёх множеств равна: |A| = 3, |B| =6, |C| = 2.

Прежде чем двигаться дальше, дам вам пищу для размышлений — какова связь между мощностью и количеством возможных подмножеств?

Часть 3. Мощность и показательные множества

В предыдущих двух частях мы разобрались с основами теории множеств. В третьей части мы укрепим своё понимание, сосредоточившись на самом важном свойстве любого множества: общем количестве содержащихся в нём уникальных элементов.

Количество уникальных элементов во множестве, также известное как мощность, предоставляет нам фундаментальную опорную точку для дальнейшего, более глубокого анализа этого множества. Во-первых, мощность — это первое из рассматриваемых нами уникальных свойств, позволяющее нам объективно сравнивать различные виды множеств, проверяя, существует ли биекция (это, с небольшими оговорками, просто более изысканный термин для function ) одного множества на другое. Ещё один способ применения мощности, а также тема этой части статьи — мощность позволяет оценить все возможные подмножества, существующие в данном множестве. Что достаточно буквально можно применять в повседневных задачах распределения решений, будь то планирование бюджета на поездку в продуктовый магазин или оптимизация портфеля акций.

Примеры мощности множеств

Например, в таблице выше показаны пять отдельных множеств с их указанной справа мощностью. Как мы уже говорили, символ мощности напоминает символ абсолютного значения — значение, заключённое между двумя вертикальными линиями. Все примеры понятны, за исключением, возможно, последней строки, которая подчёркивает тот факт, что на мощность влияют только уникальные элементы множества.

Помните подмножества из предыдущей части статьи? Оказывается, что мощность некоторого множества A и количество возможных подмножеств множества A имеют удивительную связь. Ниже показано, что количество подмножеств, которые можно составить из некоторого подмножества, увеличивается с порядком мощности на предсказуемую величину:

Количество возможных подмножеств в C= 2 |C|

Давайте подробно рассмотрим показанный ниже пример. Однако для начала поразмыслим над формулой. Представим мощность как общее количество «позиций», которое представляет множество. При создании некоторого подмножества для каждой возможной позиции принимается булево решение (да/нет). Это означает, что каждый уникальный элемент, добавляемый к множеству (то есть увеличивающий мощность на единицу) увеличивает количество возможных подмножеств на множитель два. Если вы программист или учёный, то можете уяснить эту логику немного глубже, если поймёте, что все подмножества множества можно вычислить с помощью таблицы двоичных чисел.

Показательное множество (булеан)

Прежде чем мы вычислим все подмножества для примера множества C, я хотел бы ввести последнее понятие — булеан.

Булеан обозначается заглавной буквой S, за которой в скобках указывается исходное множество S(С). Булеан — это множество всех подмножеств C, включая пустое множество и само множество C. В таблице ниже показан булеан S(С) со всеми перестановками возможных подмножеств для множества C, содержащихся в одном большом множестве.

Для удобства форматирования я убрал запятые между множествами***

Чем может быть полезен булеан? На самом деле, вы скорее всего много раз интуитивно использовали булеаны, даже об этом не догадываясь. Каждый раз, когда вы выбираете подмножество элементов из более крупного множества, вы выбираете элемент булеана. Например ребёнок внимательно изучающий кондитерский магазин с купюрой в 5 долларов — какой элемент булеана множества всех доступных сладостей он выберет? Или если взять более технический пример: вам, как разработчику ПО может потребоваться запросить всех возможных пользователей базы данных, также обладающих свойством X и Y — ещё один случай, в котором одно подмножество выбирается из всех возможных подмножеств.

Эквивалентность и биективная функция

Теперь мы понимаем, что такое мощность множества, почему оно важно, и его связь с булеаном. Поэтому вернёмся ненадолго к тому, что упоминали в самом начале: что конкретно определяет эквивалентность в теории множеств?

Очевидно, что два множества с одинаковой мощностью имеют некое общее свойство, но на этом сходства заканчиваются — что если в одном из множеств есть многократно повторяющийся элемент? Что если два множества имеют одинаковую мощность и количество элементов? Нельзя отрицать, что они в какой-то степени «эквивалентны», но даже в этом случае всё равно есть возможность различий, потому что каждое множество может иметь разные элементы, повторяющиеся одинаковое количество раз. Смысл здесь в том, что концепция эквивалентности в теории множеств немного чужда другим областям математики. Установление эквивалентности в этом мире требует знакомства с этой концепцией и нового языка. В последней части этой статьи мы введём понятие эквивалентности, а также таких базисных свойств, как инъективные, биективные и сюръективные функции.

Часть 4. Функции.

В этой части мы подробнее расскажем о функциях в пределах теории множеств. Как и в случае с предыдущими понятиями, терминология стандартных функций в теории множеств слегка отличается от других областей математики, а потому требует объяснения. Терминологии довольно много, так что давайте сразу приступим к делу! В первой таблице внизу отражены понятия области определения, области значений и значения функции:

Функция в мире теории множеств — это просто соответствие некоторых (или всех) элементов из Множества A некоторым (или всем) элементам Множества B. В показанном выше примере набор всех возможных элементов A называется областью определения; элементы A, используемые в качестве входных значений, в частности называются аргументами. Справа набор всех возможных выходных значений (называющихся в других областях математики «областью значений»), называется кообластью; набор настоящих выходных элементов B, соответствующих A, называется образом.

Пока особо ничего сложного, только новый способ задания параметров функций. Далее мы расскажем о том, как описывать поведения этих функций соответствия при помощи обычных типов функций.

Инъекции, сюръекции и биекции

В теории множеств для классификации соответствия множеств обычно используются три понятия: инъекция, сюръекция и биекция. К сожалению, эти понятия имеют несколько разных названий, усиливающих неразбериху, поэтому мы сначала рассмотрим каждое определение, а затем изучим визуальные примеры. Все три термина описывают способ, которым отображаются аргументы на образы:

Прочитайте заново представленный выше список пунктов. Биекция — это просто функция, удовлетворяющая обоим предыдущим требованиям; то есть, функция инъективна и сюръективна. Инъективная функция не должна быть сюръективной, а сюръективная — инъективной. Ниже показан визуальный пример, в котором эти три классификации привели к созданию функций множеств, определяемых четырьмя возможными комбинациями инъективных и сюръективных свойств:

Биекция (инъекция + сюръекция), инъекция (инъекция + не-сюръекция), сюръекция (не-инъекция + сюръеция), без классификации (не-инъекция + не-сюръекция)

Вот и всё! Теперь мы обладаем элементарным пониманием самых часто встречаемых соотношений, встречающихся в мире множеств. Однако это ни в коем случае не конец нашего пути: напротив, это самое начало.

Фундаментальные основы теории множеств — ключ к пониманию более высокоуровневых областей математики. Чтобы продолжить наше движение вверх, к этим различным областям, далее нужно будет, пользуясь своими знаниями о теории множеств, уяснить одну из самых революционных теорий в истории математики: систему аксиом Цермело-Френкеля.

Источник