Что значит обозначить вершины шестиугольника

Шестиугольник, виды, свойства и формулы

Шестиугольник, виды, свойства и формулы.

Шестиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.

Шестиугольник, выпуклый и невыпуклый шестиугольник:

Шестиугольник – это многоугольник с шестью углами.

Шестиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.

Шестиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый шестиугольник – это шестиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 1. Выпуклый шестиугольник

Рис. 2. Невыпуклый шестиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 720°.

.

Правильный шестиугольник (понятие и определение):

Правильный шестиугольник (гексагон) – это правильный многоугольник с шестью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный шестиугольник – это шестиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 120°.

Рис. 3. Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник имеет 6 сторон, 6 углов и 6 вершин.

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки.

Свойства правильного шестиугольника:

1. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой.

2. Все углы равны между собой и составляют 120°.

Рис. 4. Правильный шестиугольник

3. Сумма внутренних углов любого правильного шестиугольника равна 720°.

4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного шестиугольника O.

Рис. 5. Правильный шестиугольник

5. Количество диагоналей правильного шестиугольника равно 9.

Рис. 6. Правильный шестиугольник

6. Центр вписанной окружности O₁ совпадает с центром описанной окружности O₂, что и образуют центр многоугольника O.

Рис. 7. Правильный шестиугольник

7. Правильные шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).

8. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника и его сторона равны.

Источник

Что значит обозначить вершины шестиугольника

Говорят, что две вершины шестиугольника являются смежными, чередующимися или противоположными в зависимости от того, разделяются они одной стороной, двумя или тремя сторонами. Таким образом, в шестиугольнике вершины смежны с вершиной А, вершины чередующиеся с вершиной А и вершина противоположна вершине А. Отрезок, соединяющий две противоположные вершины, называется диагональю. Таким образом, шестиугольник имеет три диагонали: Аналогично, этот шестиугольник имеет три пары противоположных сторон:

Данный шестиугольник может быть обозначен как двенадцатью способами: любая из шести его вершин может быть обозначена буквой А, любая из

двух смежных с ней вершин может быть обозначена буквой В, и тогда обозначения остальных определяются алфавитным порядком.

Шесть данных точек, никакие три из которых не коллинеарны, могут быть обозначены буквами способами. Каждый способ определяет шестиугольник имеющий в качестве вершин шесть данных точек. Следовательно, число различных шестиугольников, определяемых шестью точками, равно

На рисунке 63 показаны три из шестидесяти шестиугольников, определяемых шестью точками, лежащими на окружности. Хотя мы привыкли к первому («выпуклому») типу, мы не должны пренебрегать и другими пятьюдесятью девятью возможными шестиугольниками, которые могут быть получены с помощью тех же шести точек.

В § 1 мы потребовали, чтобы никакие три последовательные вершины многоугольника не были коллинеарны. Однако коллинеарность других вершин допустима. В частности, теорема 3.51 (теорема Паппа) может быть перефразирована следующим образом:

Если каждое множество из трех чередующихся вершин шестиугольника является множеством трех коллинеарных точек, и три пары противоположных сторон пересекаются, то эти три точки пересечения являются коллинеарными.

Упражнения

1. Если две противоположные стороны и шестиугольника параллельны диагонали а две противоположные стороны и параллельны диагонали и при этом

оставшиеся стороны и также параллельны, то третья диагональ параллельна стороне и центроиды треугольников и совпадают.

2. Даны две тройки коллинеарных точек. Сколько существует способов построить шестиугольник так, чтобы точки каждой тройки были его чередующимися вершинами?

Источник

Что такое правильный шестиугольник и какие задачи с ним могут быть связаны?

Чем он отличается от неправильного?

Во-первых, шестиугольником является фигура с 6 вершинами. Во-вторых, он может быть выпуклым или вогнутым. Первый отличается тем, что четыре вершины лежат по одну сторону от прямой, проведенной через две другие.

В-третьих, правильный шестиугольник характеризуется тем, что все его стороны равны. Причем каждый угол фигуры тоже имеет одинаковое значение. Чтобы определить сумму всех его углов, потребуется воспользоваться формулой: 180º * (n — 2). Здесь n — число вершин фигуры, то есть 6. Простой расчет дает значение в 720º. То есть каждый угол равен 120 градусам.

В повседневной деятельности правильный шестиугольник встречается в снежинке и гайке. Химики видят ее даже в молекуле бензола.

Какие свойства требуется знать при решении задач?

К тому, что указано выше, следует добавить:

Введенные обозначения

Традиционно сторона правильной геометрической фигуры обозначается латинской буквой «а». Для решения задач требуются еще площадь и периметр, это S и P соответственно. В правильный шестиугольник бывает вписана окружность или описана около него. Тогда вводятся значения для их радиусов. Обозначаются они соответственно буквами r и R.

В некоторых формулах фигурируют внутренний угол, полупериметр и апофема (являющаяся перпендикуляром к середине любой стороны из центра многоугольника). Для них используются буквы: α, р, m.

Формулы, которые описывают фигуру

Для расчета радиуса вписанной окружности потребуется такая: r = (a * √3) / 2, причем r = m. То есть такая же формула будет и для апофемы.

Поскольку периметр шестиугольника — это сумма всех сторон, то он определится так: P = 6 * a. С учетом того, что сторона равна радиусу описанной окружности, для периметра существует такая формула правильного шестиугольника: P = 6 * R. Из той, что приведена для радиуса вписанной окружности, выводится зависимость между а и r. Тогда формула принимает такой вид: Р = 4 r * √3.

Для площади правильного шестиугольника может пригодиться такая: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Задачи

№ 1. Условие. Имеется правильная шестиугольная призма, каждое ребро которой равно 4 см. В нее вписан цилиндр, объем которого необходимо узнать.

Чтобы узнать площадь его основания, потребуется вычислить радиус вписанной в шестиугольник окружности. Формула для этого указана выше. Значит, r = 2√3 (см). Тогда площадь круга: S = π * r 2 = 3,14 * (2√3 ) 2 = 37,68 (см 2 ).

Осталось сосчитать объем: V = 37, 68 * 4 = 150,72 (см 3 ).

№ 2. Условие. Вычислить радиус окружности, которая вписана в правильный шестиугольник. Известно, что его сторона равна √3 см. Чему будет равен его периметр?

Решение. Эта задача требует использования двух из указанных формул. Причем их необходимо применять, даже не видоизменяя, просто подставить значение стороны и вычислить.

Таким образом, радиус вписанной окружности получается равным 1,5 см. Для периметра оказывается верным такое значение: 6√3 см.

Ответ. r = 1,5 см, Р = 6√3 см.

№ 3. Условие. Радиус описанной окружности равен 6 см. Какое значение в этом случае будет у стороны правильного шестиугольника?

Решение. Из формулы для радиуса вписанной в шестиугольник окружности легко получается та, по которой нужно вычислять сторону. Ясно, что радиус умножается на два и делится на корень из трех. Необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе. Поэтому результат действий принимает такой вид: (12 √3) / (√3 * √3), то есть 4√3.

Источник

Правильный шестиугольник и его свойства

Определение

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.

Замечание

Пример

Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен \(\dfrac <4-2>4\cdot 180^\circ=90^\circ\) ;

Теоремы

1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствия

1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.

2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.

Теорема

Если \(a\) – сторона правильного \(n\) –угольника, \(R\) и \(r\) – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: \[\begin S&=\dfrac n2ar\\ a&=2R\cdot \sin\dfrac<180^\circ>n\\ r&=R\cdot \cos\dfrac<180^\circ>n \end\]

Свойства правильного шестиугольника

2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.

5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу \(r\) вписанной в правильный шестиугольник окружности.

6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный \(60^\circ\) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).

Замечание

Источник

Правильный шестиугольник и его свойства: читаем по порядку

Правильный шестиугольник — это такой шестиугольник у которого все шесть сторон равны и его шесть углов равны.

Центр правильного шестиугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.

Светлая линия обозначающая высоту треугольника AOB : h называется — апофемой.

Отрезки OA, OB — радиусы правильного шестиугольника.

Свойства

Свойства правильного шестиугольника

Внутренние углы Внутренние углы в правильном шестиугольнике равны (120^circ):

Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)

Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)

Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:

(r = m = alargefrac<><2>normalsize)

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:

Периметр правильного шестиугольника

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

(S = pr = largefrac<<3sqrt 3 >><2>normalsize),
где (p) − полупериметр шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Построение

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.

Интересные факты

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре

Слева направо:
Пчелиные соты;
Графен — одна из аллотропных модификаций углерода;
Гигантский гексагон.

Источник