Что такое n в арифметической прогрессии как найти

Как вычислить арифметическую прогрессию

Арифметическая прогрессия — основные понятия

Арифметическая прогрессия — это монотонная последовательность, которая состоит из ряда чисел.

В этом ряду каждое последующее число есть результат добавления к предыдущему одного и того же числа d. В случае, если \(d\;>\;0,\) последовательность называется возрастающей, а если \(d\; — убывающей. В ситуации, если d = 0 последовательность стационарна.

Наиболее простым примером арифметической прогрессии будет являться бесконечная последовательность натуральных чисел.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Число d является разностью арифметической прогрессии или шагом, а числа последовательности — членами прогрессии.

Последовательность \(\) будет являться арифметической прогрессией исключительно в тех случаях, когда любой ее член, начиная со второго, будет равняться полусумме последующего и предыдущего членов:

Если говорить об арифметической прогрессии, то для всех n = 2, 3. справедливо:

Вычисление каждого следующего члена арифметической прогрессии возможно с использованием следующей формулы:

Формула общего члена для расчета любого из членов прогрессии выглядит следующим образом:

Общий вид арифметической прогрессии

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, которая имеет следующий вид:

Каждую арифметическую прогрессию можно задать формулой вида:

Свойства и формулы арифметической прогрессии

Разность арифметической прогрессии вычисляется по следующей формуле:

Существует несколько формул для нахождения членов арифметической прогрессии с номером n:

В обоих случаях \(a_1\) будет обозначать первый член прогрессии, d здесь будет являться разностью прогрессии, а a_m обозначает член арифметической прогрессии с номером m.

Сумма первых членов арифметической прогрессии вычисляется с использованием следующих формул:

В данной формуле \(a_1\) является обозначением первого члена прогрессии, \(a_n\) — обозначением члена прогрессии с номером n, а n — обозначением суммируемых членов прогрессии.

Дополнительно к предыдущим обозначениям в этой формуле d — это шаг прогрессии, а n — число суммируемых членов прогрессии.

Вывод этой формулы выглядит следующим образом:

Предоставим объяснение того, что выражения, заключенные в скобки, равны как между собой, так и выражению \(a_1 + a_n\) :

Тогда мы можем записать:

Из этого выводится формула, дающая в результате сумму первых n членов арифметической прогрессии:

Еще одно свойство арифметической прогрессии — сходность. Арифметическая прогрессия будет являться расходящейся при \(d\;\neq0\) и сходящейся при d = 0.

Арифметическая прогрессия второго порядка

Последовательность чисел, при которой последовательность разностей образует арифметическую прогрессию, будет называться арифметической прогрессией второго порядка.

Сумма квадратов арифметической прогрессии

Источник

Что такое n в арифметической прогрессии как найти

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

Оч-ч-чень полезная формула! Позволяет быстро и легко решать самые разнообразные задания по арифметической прогрессии. Имеет смысл освоить, правда?) Вот она, эта формула:

В чём главная суть формулы?

Эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ » n» .

Разумеется, надо знать ещё первый член a₁ и разность прогрессии d, ну так без этих параметров конкретную прогрессию и не запишешь.

Итак, разберёмся с формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Прогрессию в общем виде можно записать в виде ряда чисел:

А как обозначить в общем виде любой член арифметической прогрессии, с любым номером? Очень просто! Вот так:

Это и есть n-й член арифметической прогрессии. Под буквой n скрываются сразу все номера членов: 1, 2, 3, 4, и так далее.

И что нам даёт такая запись? Подумаешь, вместо цифры буковку записали.

Эта запись даёт нам мощный инструмент для работы с арифметической прогрессией. Используя обозначение a_n, мы можем быстро найти любой член любой арифметической прогрессии. И ещё кучу задач по прогрессии решить. Сами дальше увидите.

В формуле n-го члена арифметической прогрессии:

Формула связывает ключевые параметры любой прогрессии: a_n; a₁; d и n. Вокруг этих параметров и крутятся все задачки по прогрессии.

Формула n-го члена может использоваться и для записи конкретной прогрессии. Например, в задаче может быть сказано, что прогрессия задана условием:

Такая задачка может и в тупик поставить. Нет ни ряда, ни разности. Но, сравнивая условие с формулой, легко сообразить, что в этой прогрессии a₁=5, а d=2.

А бывает ещё злее!) Если взять то же условие: a_n = 5 + (n-1)·2, да раскрыть скобки и привести подобные? Получим новую формулу:

Чаще всего обозначение a_n+1 встречается в рекуррентных формулах. Не пугайтесь этого страшного слова!) Это просто способ выражения члена арифметической прогрессии через предыдущий. Допустим, нам дана арифметическая прогрессия вот в таком виде, с помощью рекуррентной формулы:

Посчитать третий член можно через второй:

В арифметической прогрессии рекуррентную формулу легко превратить в обычную. Посчитать пару последовательных членов, вычислить разность d, найти, если надо, первый член a₁, записать формулу в обычном виде, да и работать с ней. В ГИА подобные задания частенько встречаются.

Применение формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Для начала рассмотрим прямое применение формулы. В конце предыдущего урока была задачка:

Дана арифметическая прогрессия (a_n). Найти a₁₂₁, если a₁=3, а d=1/6.

Эту задачку можно безо всяких формул решить, просто исходя из смысла арифметической прогрессии. Прибавлять, да прибавлять. Часок-другой.)

А по формуле решение займёт меньше минуты. Можете засекать время.) Решаем.

В условиях приведены все данные для использования формулы: a₁=3, d=1/6. Остаётся сообразить, чему равно n. Не вопрос! Нам надо найти a₁₂₁. Вот и пишем:

Прошу обратить внимание! Вместо индекса n появилось конкретное число: 121. Что вполне логично.) Нас интересует член арифметической прогрессии номер сто двадцать один. Вот это и будет наше n. Именно это значение n = 121 мы и подставим дальше в формулу, в скобки. Подставляем все числа в формулу и считаем:

Вот и все дела. Так же быстро можно было бы найти и пятьсот десятый член, и тысяча третий, любой. Ставим вместо n нужный номер в индексе у буквы «a» и в скобках, да и считаем.

Напомню суть: эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ » n» .

Решим задание похитрее. Пусть нам попалась такая задачка:

Найдите первый член арифметической прогрессии (a_n), если a₁₇=-2; d=-0,5.

Если возникли затруднения, подскажу первый шаг. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии! Да-да. Руками запишите, прямо в тетрадке:

А теперь, глядя на буквы формулы, соображаем, какие данные у нас есть, а чего не хватает? Имеется d=-0,5, имеется семнадцатый член. Всё? Если считаете, что всё, то задачу не решите, да.

У нас ещё имеется номер n! В условии a₁₇=-2 спрятаны два параметра. Это и значение семнадцатого члена (-2), и его номер (17). Т.е. n=17. Эта «мелочь» часто проскакивает мимо головы, а без неё, (без «мелочи», а не головы!) задачу не решить. Хотя. и без головы тоже.)

Теперь можно просто тупо подставить наши данные в формулу:

Вот, в сущности, и всё. Осталось выразить первый член арифметической прогрессии из формулы, да посчитать. Получится ответ: a₁= 6.

Ещё одна популярная задачка:

Найдите разность арифметической прогрессии (a_n), если a₁=2; a₁₅=12.

Что делаем? Вы удивитесь, пишем формулу!)

Соображаем, что нам известно: a₁=2; a₁₅=12; и (специально выделю!) n=15. Смело подставляем в формулу:

Это правильный ответ.

Так, задачи на a_n, a₁ и d порешали. Осталось научиться номер находить:

Число 99 является членом арифметической прогрессии (a_n), где a₁=12; d=3. Найти номер этого члена.

Подставляем в формулу n-го члена известные нам величины:

Выражаем из формулы n, считаем. Получим ответ: n=30.

А теперь задачка на ту же тему, но более творческая):

Определите, будет ли число 117 членом арифметической прогрессии (a_n):

Так, самое простое сделали. Осталось разобраться с неизвестным номером n и непонятным числом 117. В предыдущей задачке хоть было известно, что дан именно член прогрессии. А здесь и того не знаем. Как быть!? Ну, как быть, как быть. Включить творческие способности!)

Опять выражаем из формулы n, считаем и получаем:

Опаньки! Номер получился дробный! Сто один с половиной. А дробных номеров в прогрессиях не бывает. Какой вывод сделаем? Да! Число 117 не является членом нашей прогрессии. Оно находится где-то между сто первым и сто вторым членом. Если бы номер получился натуральным, т.е. положительным целым, то число было бы членом прогрессии с найденным номером. А в нашем случае, ответ задачи будет: нет.

Задача на основе реального варианта ГИА:

Арифметическая прогрессия задана условием:

Найти первый и десятый члены прогрессии.

Так же, как и в предыдущих задачах, подставляем n=1 в данную формулу:

Аналогично ищем десятый член:

Спокойствие! Эту формулку легко вывести. Не очень строго, но для уверенности и правильного решения точно хватит!) Для вывода достаточно помнить элементарный смысл арифметической прогрессии и иметь пару-тройку минут времени. Нужно просто нарисовать картинку. Для наглядности.

Рисуем числовую ось и отмечаем на ней первый. второй, третий и т.п. члены. И отмечаем разность d между членами. Вот так:

Смотрим на картинку и соображаем: чему равняется второй член? Второй член равняется первый член плюс одно d:

Чему равняется третий член? Третий член равняется первый член плюс два d.

Улавливаете? Я не зря некоторые слова выделяю жирным шрифтом. Ну ладно, ещё один шаг).

Чему равняется четвёртый член? Четвёртый член равняется первый член плюс три d.

Пора сообразить, что количество промежутков, т.е. d, всегда на один меньше, чем номер искомого члена n. Т.е., до номера n, количество промежутков будет n-1. Стало быть, формула будет (без вариантов!):

Задания для самостоятельного решения.

Что, неохота картинку рисовать?) Ещё бы! Уж лучше по формуле, да.

3. Арифметическая прогрессия задана условием: a₁ =-5,5; a_n+1= a_n+0,5. Найдите сто двадцать пятый член этой прогрессии.

В этом задании прогрессия задана рекуррентным способом. Но считать до сто двадцать пятого члена. Не всем такой подвиг под силу.) Зато формула n-го члена по силам каждому!

4. Дана арифметическая прогрессия (a_n):

Найти номер наименьшего положительного члена прогрессии.

Без формулы пришлось бы считать, да считать. Но формула здорово сокращает время решения и уменьшает количество ошибок. Ну и элемент фантазии должен помочь.)

5. По условию задания 4 найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного членов прогрессии.

Не самая простая задачка, да. ) Здесь способ «на пальцах» не прокатит. Придётся формулы писать да уравнения решать.

Ответы (в беспорядке):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Получилось? Это приятно!)

Не всё получается? Бывает. Кстати, в последнем задании есть один тонкий момент. Внимательность при чтении задачи потребуется. И логика.

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Источник

Арифметическая прогрессия

п.1. Понятие арифметической прогрессии

п.2. Формула n-го члена арифметической прогрессии

По определению арифметической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: a_n = a_n-1 + d. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

Например:
Найдём a₇, если известно, что a₁ = 5, d = 3.
По формуле n-го члена получаем: a₇ = a₁ + 6d = 5 + 6 · 3 = 23

п.3. Свойства арифметической прогрессии

Свойство 1. Линейность

Арифметическая прогрессия является линейной функцией f(n) = kn + b:

с угловым коэффициентом k = d и свободным членом b = a₁ – d.

Свойство 2. Признак арифметической прогрессии

Например:
Найдём a₉, если известно, что a₇ = 10, a₁₁ = 15
По следствию из признака арифметической прогрессии: \(\mathrm><2>=\frac<10+15><2>=12,5>\)

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Например:
Найдём a₆, если известно, что a₂ = 5, a₄ = 10, a₈ = 20
По равенству сумм индексов a₂ + a₈ = a₄ + a₆
Откуда a₆ = a₂ + a₈ – a₄ = 5 + 20 – 10 = 15

п.4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Например:
Найдём сумму первых 100 натуральных чисел: 1 + 2 +. + 100
В этом случае a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100
\(\mathrm< S_<100>=\frac<1+100><2>\cdot 100=5050>\)

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если:
а) a₇ = 10, a₁₅ = 42
Найдем разность данных членов: a₁₅ – a₇ = (a₁ + 14d) – (a₁ + 6d) = 8d
Получаем разность прогрессии: 42 – 10 = 8d ⇒ d = 32 : 8 = 4
7-й член: a₇ = a₁ + 6d = a₁ + 6 · 4 = 10 ⇒ a₁ = 10 – 24 = –14
Ответ: a₁ = –14, d = 4

б) a₁₀ = 95, S₁₀ = 500
Сумма прогрессии: \(\mathrm=\frac><2>\cdot 10\Rightarrow 500=(a_1+95)\cdot 5\Rightarrow a_1+95=100\Rightarrow a_1=5>\)
10-й член: \(\mathrm=a_1+9d\Rightarrow95=5+9d\Rightarrow 9d=90\Rightarrow d=10>\)
Ответ: a₁ = 5, d = 10

Пример 2. Найдите сумму первых 100 нечётных натуральных чисел.
Чему равно последнее слагаемое этой суммы?
Ищем сумму \(\mathrm<\underbrace<1+3+5+. >_<100\ \text<слагаемых>>>\)
По условию a₁ = 1, d = 2, n = 100. Получаем:
\(\mathrm=\frac<2a_1+d(n-1)><2>n=\frac<2\cdot 1+2\cdot 99><2>\cdot 100=10000>\)
Формула n-го члена данной прогрессии: \(\mathrm\)
100-й член \(\mathrm=2\cdot 100-1=199>\)
Ответ: S₁₀₀ = 10000, a₁₀₀ = 199

n = m – k + 1 = 56 – 18 + 1 = 39

Пример 4. Одиннадцатый член арифметической прогрессии равен 7.
Найдите сумму её первых 21 членов.
По свойству суммы индексов: a₁₁ + a₁₁ = a₁ + a₂₁
Откуда a₁ + a₂₁ = 2a₁₁ = 14
Искомая сумма: \(\mathrm=\frac><2>\cdot 21=\frac<14><2>\cdot 21=147>\)
Ответ: 147

Пример 6. При каких значениях x числа x 2 – 11, 2x 2 + 29, x 4 – 139 в заданной последовательности являются членами арифметической прогрессии?
Для последовательных членов получаем уравнение:

a₂ – a₁ = a₃ – a₂
(2x 2 + 29) – (x 2 – 11) = (x 4 – 139) – (2x 2 + 29)
x 4 – 3x 2 – 208 = 0 ⇒ (x 2 + 13)(x 2 – 16) = 0 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x = ±4

Пример 7. Сумма первых трёх членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите седьмой член прогрессии.
По условию d 3a₂ = 9 ⇒ a_2 = 3

Тогда a₁ = a₂ – d = 3 – d, a₃ = a₂ + d = 3 + d. Подставляем во второе уравнение:

(3 – d) 2 + 3 2 + (3 + d) 2 = 99
9 – 6d + d 2 + 9 + 9 + 6d + d 2 = 99
2d 2 = 72 ⇒ d 2 = 36 ⇒ d = ±6

Выбираем отрицательное значение d = –6
1-й член прогрессии: a₁ = a₂ – d = 3 + 6 = 9
7-й член прогрессии: a₇ = a₁ + 6d = 9 + 6(–6) = –27
Ответ: x = –27

Источник

Арифметическая прогрессия

Что нужно знать

Что вы узнаете

В жизни мы часто сталкиваемся с числовыми последовательностями. Например, средняя температура воздуха для каждого дня в сентябре или расходы на транспорт в каждом месяце года.

Последовательности, о которых пойдет речь в данной главе, обладают интересными свойствами: очередной член последовательности можно вычислить, зная предыдущий член, по определенной формуле. Если использовать свойства этих последовательностей, то многие задачи математики, физики и экономики значительно упрощаются.

Начнем с арифметической прогрессии.

Что такое арифметическая прогрессия?

Как найти произвольный член прогрессии?

Следующая формула связывает два произвольных члена прогрессии:

Как найти разность арифметической прогрессии?

Используя последнюю формулу, мы легко можем найти разность прогрессии, зная любые два ее члена. В самом деле, из формулы a n = a k + ( n − k ) d a_n=a_k+(n-k)d a n ​ = a k ​ + ( n − k ) d следует такая формула:

А теперь решите простую задачу на прогрессии (для этого сначала запишите условие задачи в виде формулы арифметической прогрессии):

Запомните следующее простое правило:
Если в задаче происходит увеличение определенной величины на одно и то же число, то речь идет об арифметической прогрессии.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Несложно проверить, что выполняется следующее утверждение:

Сумма первых n n n членов арифметической прогрессии

Еще одна формула, которая часто бывает полезна:

Если вы разберетесь, как выводится эта формула, то запомнить ее будет гораздо легче.

Таким образом, зная только первый и последний члены прогрессии, мы можем найти ее сумму по формуле:

Заметим, что Гаусс использовал при подсчете тот же самый метод, что мы использовали при доказательстве формулы для суммы арифметической прогрессии.

При решении следующей задачи используйте формулу суммы первых n n n членов арифметической прогрессии:

Определите, сколько задач Петров решил в четвертый день, если вся подготовка заняла 16 дней.

О геометрической прогрессии читайте в следующей статье.

Заключение

Приведем еще раз формулы, которые позволяют решить практически любую задачу на арифметические прогрессии:

Источник

Что такое n в арифметической прогрессии как найти

Код ОГЭ по математике: 4.2.1. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена арифметической прогрессии. 4.2.2. Формула суммы первых нескольких членов арифметической прогрессии

Определения и обозначения

Определение. Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа.

В арифметической прогрессии разность между любыми двумя соседними членами одна и та же. Эту разность называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d. Правило, по которому образуются члены арифметической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы:

а_n+1 – a_n = d. Или иначе: a_n+1 = a_n + d.

Пример 1. В арифметической прогрессии 1; 3; 5; 7; 9; 11; … разность положительна: d = 3 – 1 = 2. В этой последовательности каждый следующий член больше предыдущего; такую последовательность называют возрастающей.

Пример 2. В арифметической прогрессии 100; 90; 80; 70; 60; … разность отрицательна: d = 90 – 100 = –10. Каждый следующий член этой последовательности меньше предыдущего, и поэтому последовательность называют убывающей.

Свойство арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Формулы n–го члена арифметической прогрессии

Формула n–го члена арифметической прогрессии (а_n), первый член которой равен а₁ и разность равна d:

а_n = а₁ + d(n – 1).

Формула содержит четыре переменные. Если известны значения трёх из них, то можно вычислить и значение четвёртой. Убедитесь в этом, решив следующие четыре задачи (в каждом случае укажите, какие переменные известны, и получите ответ):

В данной прогрессии а₁ = 1,5 и d = 4,5 – 1,5 = 3. Составим формулу n–го члена: а_n = 1,5 + 3(n – 1), т.е. а_n = 3_n – 1,5.

Найдём значения n, при которых выполняется условие а_n > 1000. Для этого решим неравенство 3n – 1,5 > 1000; n > 333. Таким образом, члены данной прогрессии превосходят 1000, начиная с члена, номер которого равен 334. (Для самопроверки можно вычислить а₃₃₄: имеем a₃₃₄ = 3 • 334 – 1,5 = 1000,5).

Способ 1. Выразив а₁₅ и a₂₀ через а₁ и d, составим систему уравнений:

Решив её, найдём, что а₁ = 138, d = –7. (Получите этот результат самостоятельно.) Воспользовавшись формулой n–го члена, найдём a₃₀, a именно: а₃₀ = 138 – 7 • 29 = –65.

Способ 2. Выразим а₂₀ через а₁₅ и d: a₂₀ = а₁₅ + 5d. Подставив значения а₂₀ и а₁₅, получим: 5 = 40 + 5d, откуда d = –7. Теперь найдём а₃₀. Это можно сделать, например, так:
а₃₀ = а₂₀ + 10d = 5 – 7 • 10 = –65.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались приёмом, основанным на следующим утверждении: если последовательность (а_n) – арифметическая прогрессия, то для любых натуральных n и m верно равенство:

а_n = а_m + (n – m)d.

Если вы эту формулу забудете, то в каждом конкретном случае можно выразить один член прогрессии через другой, выполнив несложные преобразования. Например, выразим а₂₀ через а₅:
а₂₀ = а₁ + 19d = (a₁ + 4d) + 15d = а₅ + 15d.

Изображение членов арифметической прогрессии
точками на координатной плоскости

Члены числовой последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, a по вертикальной – соответствующий член последовательности.

Если последовательность – арифметическая прогрессия, то точки, изображающие её члены, лежат на одной прямой. Дело в том, что зависимость n–го члена арифметической прогрессии от номера члена n является линейной. В самом деле:

a_n = a₁ + d(n – 1) = d_n + (a₁ – 1).

Например, если в арифметической прогрессии а₁ = 1 и d = 3, то а_n = 1 + 3(n – 1), т.е. а_n = 3n – 2. Значит, точки, изображающие члены этой прогрессии, лежат на прямой y = 3x – 2 (см. рис.).

Изменение членов арифметической прогрессии происходит равномерно: с каждым шагом по горизонтальной оси изображающие их точки поднимаются или опускаются на одно и то же число единиц вдоль вертикальной оси.

Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Если известны первый и последний из суммируемых членов, то удобно пользоваться формулой

Пример 6. Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 1000.

Слагаемые в сумме 1 + 2 + 3 + … + 1000 образуют арифметическую прогрессию. Подставив в формулу суммы а₁ = 1, а_n = 1000, n = 1000, получим:

Формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии можно записать в другом виде, выразив S_n через а₁, d и n:

Пример 7. Найдём сумму всех двузначных чисел, кратных 3.

Последовательность 12; 15; 18; … ; 99 является арифметической прогрессией, в которой а₁ = 12, а_n = 99, d= 3. Найдём номер последнего члена. Подставив в формулу а_n = а₁ + d(n – 1) указанные значения, получим уравнение 99 = 12 + 3(n – 1). Решив его, найдём, что n = 30. Теперь можно вычислить искомую сумму:

Это конспект по математике на тему «Арифметическая прогрессия». Выберите дальнейшие действия:

Источник