Что такое grad в математике

Градиент функции что это

Определение. Вектор с координатами называется градиентом функции u=f(x,y,z) и обозначается

С помощью оператора Гамильтона ( или набла-оператора)

можно кратко записать градиент функции:

Градиент функции в данной точке указывает направление наиболее быстрого возрастания функции.

Модуль градиента определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u=f(x,y,z).

Как найти градиент

Решение. Для функции двух переменных градиент находим по формуле

2) Подставляем в формулу, получаем градиент функции в произвольной точке

Найти градиент функции можно также с помощью калькулятора

3) Подставляем координаты точки M(-5;7), получаем

4) Находим модуль градиента в точке M(-5;7) по формуле:

Вывод: Если движение происходит в направлении градиента функции (50;-140), то получаем скорость максимального изменения функции 148,66 в точке M(-5;7).

Производная по направлению

Если движение будет происходить в других направлениях, то скорость будет меньше. Покажем это на примере.

Решение. Пункты 1),2) и 3) совпадают с решением примера 1.

Источник

Производная по направлению, градиент функции: объяснение, примеры

Понятие производной по направлению

Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных. Чтобы понять смысл производной по направлению, нужно сравнить производные по определению

И вот ответ на этот вопрос: приращение функции трёх переменных отображается на некоторой прямой, направление которой определяется вектором, произвольно заданным в задаче.

Для того, чтобы перейти к строгому математическому определению производной по направлению, нужно рассмотреть:

Величину отрезка MM 1 можно обозначить .

Функция u = f(M) при этом получит приращение

.

Определение производной по направлению. Предел отношения при , если он существует, называется производной функции u = f(M) по направлению вектора l и обозначается , то есть

.

Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая:

.

Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причём направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.

Примеры нахождения производной по направлению

Пример 1. Найти производную функции в точке M 0 (1; 2; 3) по направлению вектора .

Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов:

Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

Пример 3. Найти производную функции в точке M 0 (1; 1; 1) по направлению вектора .

Решение. Найдём направляющие косинусы вектора

Найдём частные производные функции в точке M 0 :

Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

.

Градиент функции

Градиент функции нескольких переменных в точке M 0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M 0 и величину этого максимального роста.

Как найти градиент?

Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных , , этой функции в соответствующей точке:

.

То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.

Для градиента функции двух переменных формула короче:

.

Решение. Найдём частные производные функции в точке M 0 :

Следовательно, можем записать искомый градиент данной функции:

.

Источник

Значение слова «градиент»

[От лат. gradiens, gradientis — шагающий]

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Например, если взять в качестве

высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.

С математической точки зрения на градиент можно смотреть как на:

1. Коэффициент линейности изменения значения функции многих переменных от изменения значения аргумента

2. Вектор в пространстве области определения скалярной функции многих переменных, составленный из частных производных

3. Строки Матрицы Якоби содержат градиенты составных скалярных функций из которых состоит векторная функция многих переменных

Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным (безразмерным).

Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введён Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл.

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Мотивация

Обозначение

Определение

Когда функция также зависит от параметра, такого как время, градиент часто относится просто к вектору только его пространственных производных (см. Пространственный градиент ).

Декартовы координаты

В трехмерной декартовой системе координат с евклидовой метрикой градиент, если он существует, задается следующим образом:

Цилиндрические и сферические координаты

В цилиндрических координатах с евклидовой метрикой градиент задается следующим образом:

В сферических координатах градиент определяется как:

Общие координаты

Последнее выражение соответствует приведенным выше выражениям для цилиндрических и сферических координат.

Связь с производной

Связь с полной производной

С вычислительной точки зрения, учитывая касательный вектор, вектор можно умножить на производную (в виде матриц), что равносильно взятию скалярного произведения с градиентом:

( d f p ) ( v ) = [ ∂ f ∂ x 1 ( p ) ⋯ ∂ f ∂ x n ( p ) ] [ v 1 ⋮ v n ] = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( p ) v i = [ ∂ f ∂ x 1 ( p ) ⋮ ∂ f ∂ x n ( p ) ] ⋅ [ v 1 ⋮ v n ] = ∇ f ( p ) ⋅ v <\displaystyle (df_

)(v)=<\begin<\frac <\partial f><\partial x_<1>>>(p)&\cdots &<\frac <\partial f><\partial x_>>(p)\end><\beginv_<1>\\\vdots \\v_\end>=\sum _^<\frac <\partial f><\partial x_>>(p)v_=<\begin<\frac <\partial f><\partial x_<1>>>(p)\\\vdots \\<\frac <\partial f><\partial x_>>(p)\end>\cdot <\beginv_<1>\\\vdots \\v_\end>=\nabla f(p)\cdot v>

Дифференциальная или (внешняя) производная

Наилучшее линейное приближение дифференцируемой функции

Градиент связан с дифференциалом формулой

Если R n рассматривается как пространство векторов-столбцов (размерности n ) (действительных чисел), то можно рассматривать df как вектор-строку с компонентами

Линейное приближение к функции

f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + ( ∇ f ) x 0 ⋅ ( x − x 0 ) <\displaystyle f(x)\approx f(x_<0>)+(\nabla f)_>\cdot (x-x_<0>)>

Связь с производной Фреше

Как следствие, обычные свойства производной сохраняются для градиента, хотя градиент сам по себе не является производной, а скорее двойственен производной:

Другие свойства и применения

Наборы уровней

В более общем смысле, любая вложенная гиперповерхность в римановом многообразии может быть вырезана уравнением вида F ( P ) = 0 таким, что dF нигде не равно нулю. Тогда градиент F нормален к гиперповерхности.

Консервативные векторные поля и градиентная теорема

Градиент функции называется градиентным полем. (Непрерывное) поле градиента всегда является консервативным векторным полем : его линейный интеграл вдоль любого пути зависит только от конечных точек пути и может быть вычислен с помощью градиентной теоремы (основная теорема исчисления для линейных интегралов). И наоборот, (непрерывное) консервативное векторное поле всегда является градиентом функции.

Обобщения

Якобиан

Градиент векторного поля

Поскольку полная производная векторного поля является линейным отображением векторов в векторы, это тензорная величина.

(где используется обозначение суммирования Эйнштейна, а тензорное произведение векторов e _i и e _k является диадическим тензором типа (2,0)). В целом это выражение равно транспонированной матрице Якоби:

В криволинейных координатах или, в более общем смысле, на изогнутом многообразии градиент включает символы Кристоффеля :

Выражаясь более инвариантно, градиент векторного поля f может быть определен связностью Леви-Чивиты и метрическим тензором:

Римановы многообразия

где X j обозначает j- й компонент X в этой координатной карте.

Итак, локальная форма градиента принимает вид:

Источник

Градиент. Операторы Гамильтона (набла) и Лапласа

В этом вопросе устанавливается взаимосвязь между скалярным и векторным полем. Для простоты рассмотрим контурную карту местности (см. рис. 8, а), на которой изображена симметричная гора, поднимающаяся к вершине в центре карты (см. рис. 8, б). Высоты, нанесённые на контурную карту, представляют собой скалярные величины: каждая точка даёт высоту в определённое число метров. Когда все точки равных высот соединены между собой изолиниями, то в горизонтальной плоскости полностью определяется форма земной поверхности. Итак, на рис. 8, а) и б) изображено скалярное поле высот.

Для того, чтобы создать векторное поле поместим на склоне горы шар, и обозначим стрелками силу, удерживающую его от ската вниз (см. рис. 8, в). Этим самым определено векторное поле сил. При этом длина стрелки показывает величину удерживающей силы в различных точках, а направление стрелки – направленность силы. На некоторых географическим картах стрелки заменяются штриховым рисунком (см. рис. 8, г). Итак, на рис. 8, в) и г) изображено векторное поле сил, действующих на шар для его удержания.

Рис. 8 – Пример скалярного поля и его взаимосвязь с векторными полем

Для рассматриваемого случая связь между скалярным полем высот и векторным полем сил очень проста и хорошо известна: сила зависит от крутизны склона, или, другими словами, от степени изменения высоты с расстоянием. Эта величина изменения представляет собой производную по направлению, аналогичную по своему существу обычной производной, используемой в дифференциальном исчислении. Правда, усложнение заключается в необходимости определить направление крутизны склона, без чего нельзя найти направление, по которому шар будет стремиться скатываться. Наиболее крутой наклон в данной точке называют градиентом в этой точке. Градиент является вектором, и, следовательно, создаёт векторное поле.

Обобщим, данный вывод на электромагнитное поле. Электромагнитное поле в скалярном виде графически задается в виде эквипотенциальных поверхностей уровней в 3-х мерном пространстве либо эквипотенциальных линий уровня в 2-х мерном пространстве. Взаимное расположение поверхностей (линий) уровней позволяют судить о скорости изменения скалярного поля по тому или иному направлению, но только качественно. Количественную характеристику скорости изменения скалярного поля дает производная по направлению. Чем ближе расположены линии поля, тем круче наклон и тем больше градиент.

Производная скалярного поляU(x, y, z) по направлению, заданному вектором , вычисляется по формуле

, (21)

где , , – направляющие косинусы вектора .

Вектор единичной длины , совпадающий с вектором по направлению, имеет следующие координаты .

Абсолютная величина производной по направлению определяет скорость изменения скалярного поля в точке M, а знак производной – характер ее изменения Если , то поля U(x, y, z) возрастает в данном направлении, если , то поле убывает.

Градиент скалярного поляU(М) есть вектор, направленный по нормали к поверхности уровня поля в сторону максимального возрастания поля и численно равный наибольшей производной по направлению. В таком определении градиент является инвариантной, т.е. не зависящей от выбора системы координат, характеристикой скалярного поля. Координатная формула для вычисления градиента имеет вид:

. (22)

При этом говорят, что в области V определено векторное поле градиентов.

Градиент является обобщением понятия первой производной функции одной переменной на случай функции трех переменных.

Отметим некоторые свойства градиента.

1) Производная по любому направлению равна скалярному произведению градиента на единичный вектор этого направления

. (23)

здесь j– угол между единичным вектором направления и вектором gradU.

Используя это свойство, можно дать определение градиента, не зависящее от системы координат. Градиентом скалярного поля U(M) в точке М называется вектор, проекция которого на направление заданного единичного вектора равна производной поля U(M) по этому направлению

. (24)

2) Производная по направлению принимает свое наибольшее значение в направлении градиента

. (25)

Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности точки М, то есть частоту линий уровня.

3) Вектор-градиент направлен по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функцииU(M).

Пусть на поверхности уровня задана произвольная кривая L, проходящая через точку М, в параметрическом виде задан радиус-вектор и его дифференциал , т.е. бесконечно малое смещение вдоль данной кривой из точки М, в которой вычисляется градиент gradU(см. рис. 9).

Рис. 9 – Вектор-градиент к поверхности уровня

Тогда из определения поверхности уровня dU = 0 следует

и .

Из произвольности выбора кривой L следует, что градиент в точке М ортогонален к любой кривой, лежащей на поверхности уровня и содержащей эту точку М, а значит, к самой поверхности уровня.

Из этого свойства непосредственно следует, что если U(M)=C – поверхность уровня в скалярном поле и (M) – единичная нормаль к этой поверхности уровня в точке М, то

, (26)

где знак + или – выбирается в зависимости от ориентации поверхности.

4) Если в области V градиент равен нулю (grad U=0), тоU = constant, т.е. скалярное поле постоянно вV.

5) Градиент обладает теми же дифференциальными свойства, что и дифференциал функции.

Действительно, если скалярное поле определено функцией f(u, v), где u и v – дифференцируемые скалярные поля, то

(27)

В частности, если f равно u + v, u v или u/v, то из (27) имеем

(28)

— модуль радиус-вектора .

,

, .

И тогда окончательно

.

Таким образом, градиент это векторная величина, показывающая степень изменения скалярного поля.

Для упрощения и ускорения записей уравнений векторного анализа ирландский математик Уильям Гамильтон ввел оператор в виде перевернутой греческой буквы дельты . В последствие этому оператору английский ученый Оливер Хэвисайд придумал название «набла» по аналогии с буквой финикийского алфавита. Кроме того, применение данного оператора позволяет легче запоминать уравнения векторного анализа.

Этот дифференциальныйвектор-оператор набла (Гамильтона) определяется как

. (29)

Если формальное произведение понимать как производную , тогда

, (30)

Через оператор «набла» естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad(градиент), div(дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа.

Дифференциальным оператором Лапласа или лапласианом, обозначаемым D (большой греческой буквой дельта) называется дифференциальный оператор вида:

. (31)

Этот оператор можно определить и как скалярный квадрат оператора набла, т.е. скалярное произведение оператора набла на себя:

. (32)

Оператор Лапласа – скалярный оператор, его применение к скалярному полю генерирует скаляр.

Пусть для скалярной функции U(x, y, z) определены частные производные второго порядка, тогда результат применения оператора Лапласа к этой функции записывается в следующем виде

. (33)

Также как в случае функции одной переменной U = U(x), геометрический смысл действия оператора Лапласа аналогичен геометрическому смыслу вычисления второй производной по направлению, что связано с понятиями выпуклости и кривизны графика функции (см. рис. 10).

Рис. 9 – Геометрический смысл оператора Лапласа

Если лапласиан ∆U 0, то график функции имеет вогнутость и поле имеет тенденцию концентрироваться в этой области (например, жидкость будет стекаться к областям понижения рельефа). Если ∆U = 0, тогда скалярная функция поля не может достигать своих экстремальных значений ни в одной точке этой области. Уравнение ∆U = 0 называется уравнением Лапласа. Оно используется при описании различных установившихся процессов, например установившегося движения несжимаемой жидкости и др. Скалярные поляU(x, y, z), удовлетворяющие условию ∆U = 0, называются гармоническими, к ним относятся различного рода потенциалы – потенциал поля тяготения, электрического поля и др.

Таким образом, в данном вопросе установлено, что скалярные поля потенциала и векторные поля силы связаны между собой дифференциальным оператором градиентом, который математически представляет собой скалярное произведение векторного оператора набла на скалярную функцию поля. Для получения (определения) из скалярного поля другого скалярного поля применяется дифференциальный оператор Лапласа.

В электродинамике используется понятие градиента для определения напряженности электрического поля, которая равна минус градиент электрического потенциала.

Дата добавления: 2018-05-12 ; просмотров: 3117 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник