Дивергенция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее — насколько расходятся входящий и исходящий поток).
Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учётом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:
дивергенция — это линейный дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.
Оператор дивергенции, применённый к полю , обозначают как
.
Содержание
Определение
Определение дивергенции выглядит так:
где ФF — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю (то есть чтобы вся поверхность находилась в бесконечно малой окрестности данной точки, что нужно, чтобы дивергенция была локальной операцией и для чего очевидно недостаточно стремления к нулю площади поверхности и объёма ее внутренности). В обоих случаях подразумевается, что
.
Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат, приведённые в следующем параграфе).
Определение легко и прямо обобщается на любую размерность n пространства: при этом под объёмом понимается n-мерный объём, а под площадью поверхности (n-1)-мерная площадь (гипер)поверхности соответствующей размерности.
Определение в декартовых координатах
Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением
Это же выражение можно записать с использованием оператора набла
Многомерная, а также двумерная и одномерная, дивергенция определяется в декартовых координатах в пространствах соответствующей размерности совершенно аналогично (в верхней формуле меняется лишь количество слагаемых, а нижняя остается той же, подразумевая оператор набла подходящей размерности).
Физическая интерпретация
С точки зрения физики (и в строгом смысле, и в смысле интуитивного физического образа математической операции) дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства (или очень малая окрестность точки) является источником или стоком этого поля:
0 » border=»0″ /> — точка поля является источником; — точка поля является стоком; — стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.
Простым, хоть быть может и несколько схематическим, примером может служить озеро (для простоты — постоянной единичной глубины со всюду горизонтальной скоростью течения воды, не зависящей от глубины, давая, таким образом, двумерное векторное поле на двумерном пространстве). Если угодно иметь более реалистическую картину, то можно рассмотреть горизонтальную проекцию скорости, проинтегрированную по вертикальной пространственной координате, что даст ту же картину двумерного векторного поля на двумерном пространстве, причём картина качественно будет для наших целей не сильно отличаться от упрощённой первой, количественно же являться её обобщением (весьма реалистическим). В такой модели (и в первом, и во втором варианте) родники, бьющие из дна озера будут давать положительную дивергенцию поля скоростей течения, а подводные стоки (пещеры, куда вода утекает) — отрицательную дивергенцию.
Дивергенция вектора плотности тока даёт минус скорость накопления заряда в электродинамике (так как заряд сохраняется, то есть не исчезает и не появляется, а может только переместиться через границы какого-то объёма, чтобы накопиться в нём или уйти из него; а если и возникают или исчезают где-то положительные и отрицательные заряды — то только в равных количествах). (См. Уравнение непрерывности).
Геометрическая интерпретация
Если в качестве векторного поля (на двумерном пространстве) взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).
Дивергенция в физике
В стандартной формулировке классической теории поля дивергенция занимает центральное место (в альтернативных формулировках может не находиться в самом центре изложения, но всё равно остается важным техническим инструментом и важной идеей).
Свойства
Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.
Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах
Дивергенция (расходимость) — скалярный дифференциальный оператор векторного поля, который показывает, насколько поле имеет тенденцию расходиться из данной точки.
Содержание
Определение
Оператор дивергенции обозначается так: div F.
Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением
Это же выражение можно записать с использованием оператора набла
Физическая интерпретация
С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или потребителем потока поля. То есть, альтернативное определение дивергенции выглядит:
где Ф — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V. Это определение применимо, в отличие от первого, не только к декартовым системам координат
0>» /> точка поля является источником точка поля является стоком стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга
Например, если в качестве векторного поля взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).
Свойства
Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.
для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.
Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах
В этой статье речь пойдет о целочисленном делении и делении с остатком.
То есть например 20 / 5 = 4, 55 / 6 = 9, 100 / 3 = 33 и т.д.
Согласитесь, что в некоторых случаях это очень удобно и практично. Теперь поговорим о реализации этого метода в Паскале. Тут все достаточно просто, открывать Америку не придется. В паскале за целочисленное деление отвечает оператор div. Теперь как это записывается в Pascal’e
Таким образом, вот такая запись (55 / 6) нацело = 9 в результате использования оператора div будет выглядеть так
z будет равно 9. Запомните! При использовании оператора div дробная часть будет отброшена!
А сейчас поговорим о делении с остатком. Оно не особо отличается и главным здесь является то, что в результате отбрасывается как раз целая часть. То есть (40 / 6) с остатком = 4, (10 / 3) с остатком =1, (22 /5) с остатком = 2 и т.д. В паскале для этого есть оператор mod. Записывается он точно так же.
Например (40 / 6) с остатком = 4 с оператором mod будет такой
Кстати оператор mod часто используют, для определения кратности чисел (кратность — это делимость на какое-нибудь число нацело. То есть например говорят, что числа 3, 6, 9, 12, 21 кратны трем. Или числа 5,10,15,20 кратны 5). В статье нахождение четных элементов массива я упоминал о числах кратных двум (четных). Итак как эту кратность определить в паскале. Обратите внимание, что если число кратное, то у него есть остаток (точнее оно имеет в остатке ноль). Этим и стоит воспользоваться.
Сейчас я привел пример условия, которое проверяет кратность, где v — это число, проверяемое на кратность по числу m. Например чтобы проверить, является ли 40 кратным 4, используем оператор mod с условием и получим
Известная также, как векторный анализ. А кому-то векторный анализ, известный как теория поля =) Наконец-то мы добрались до этой интереснейшей темы! Данный раздел высшей математики язык не поворачивается назвать простым, однако ж, в грядущих статьях я постараюсь достигнуть двух целей:
а) чтобы все понимали, о чём вообще идёт разговор;
б) и чтобы «чайники» научились решать, как минимум, простые вещи – хотя бы на уровне заданий, которые предлагаются студентам-заочникам.
Весь материал будет изложен в популярном стиле, и если вам нужна более строгая и полная информация, то можно взять, например, 3-й том Фихтенгольца или заглянуть в Вики.
И сразу расшифруем заголовок. С теорией, думаю, всё понятно – в лучших традициях сайта мы разберём её основы и сделаем основной упор на практику. Ну а с чем у вас ассоциируется слово «поле»?
Поле с травой, футбольное поле…. Ещё? Поле деятельности, поле экспериментов. Приветствую гуманитариев! …Из школьного курса? Электрическое поле, магнитное, электромагнитное…, так, хорошо. Гравитационное поле Земли, в котором мы находимся. Отлично! Так, кто это там сказал о поле действительных и комплексных чисел? …совсем какие-то монстры здесь собрались! =) Благо, алгебра уже пройдена.
На ближайших уроках мы познакомимся со специфическим понятием поля, конкретными примерами из жизни, а также научимся решать тематические задачи векторного анализа. Теорию поля лучше всего изучать, как вы правильно догадываетесь, на поле – природе, где есть лес, речка, озеро, деревенский домик, и я приглашаю всех погрузиться если и не в тёплую летнюю реальность, то в приятные воспоминания:
ПолЯ в рассматриваемом сегодня смысле бывают скалярные и векторные, и начнём мы с их «кирпичиков».
Во-первых, скаляр. Довольно-таки часто этот термин ошибочно отождествляют с числом. Нет, всё обстоит немного не так: скаляр – это величина, каждое значение которой может быть выражено лишь одним числом. В физике примеров масса: длина, ширина, площадь, объём, плотность, температура и др. Всё это скалярные величины. И, кстати, масса – тоже пример.
Во-вторых, вектор. Алгебраического определения вектора я коснулся на уроке о линейных преобразованиях и одну из его частных ипостасей не знать просто невозможно =) Типичный вектор выражается двумя или бОльшим количествомчисел (своими координатами). И даже для одномерного вектора лишь одного числане достаточно – по той причине, что у вектора есть ещё направление. И точка приложения, если вектор не свободен. Векторами характеризуют силовые физические поля, скорость и многие другие величины.
Ну что же, теперь можно приступить к сбору алюминиевых огурцов урожая:
Скалярное поле
Если каждой точке некоторой области пространства поставлено в соответствие определённое число (чаще действительное), то говорят, что в этой области задано скалярное поле.
Рассмотрим, например, исходящий из земли перпендикулярный луч. Воткните для наглядности лопату =) Какие скалярные поля можно задать на этом луче? Первое, что напрашивается – это поле высоты – когда каждой точке луча поставлена в соответствие её высота над уровнем земли. Или, например, поле атмосферного давления – здесь каждой точке луча соответствует числовое значение атмосферного давления в данной точке.
Теперь подойдём к озеру и мысленно проведём над его поверхностью плоскость. Если каждой точке «водного» фрагмента плоскости поставить в соответствие глубину озера, то, пожалуйста – скалярное поле задано. В этих же точках можно рассмотреть и другие скалярные величины, например, температуру поверхности воды.
Важнейшим свойством скалярного поля является его инвариантность относительно системы координат. Если перевести на человеческий язык, то с какой бы стороны мы на лопату / озеро ни посмотрели – скалярное поле (высота, глубина, температура и т.д.) от этого не изменятся. Более того, скалярное поле, скажем, глубины можно ведь задать и на другой поверхности, например, на подходящей полусфере, или непосредственно на самой водной поверхности. А почему нет? Разве нельзя каждой точке полусферы, расположенной над озером, поставить в соответствие число? Плоскость я предложил исключительно ради удобства.
Добавим ещё одну координату. Возьмите в руку камень. Каждой точке этого камня можно поставить в соответствие его физическую плотность. И опять – в какой бы системе координат мы его ни рассмотрели, как бы ни крутили в руке – скалярное поле плотности останется неизменным. Впрочем, некоторые люди могут оспорить этот факт =) Такой вот философский камень.
С чисто математической точки зрения (вне физического или другого частного смысла) скалярные поля традиционно задают нашими «обычным» функциями одной, двух, трёхи бОльшего количества переменных. При этом в теории поля в широком ходу традиционные атрибуты этих функций, такие как, область определения, линии и поверхности уровня.
Так, линии уровняглубины озера представляют собой замкнутые непересекающиеся линии на плоскости. Каждая из этих линий соответствует определённому значению глубины, и по соответствующей «плоской» карте мы можем судить о рельефе дна – где мелководье, где «обрывы» и т.д.
Поверхности уровня представляют собой непересекающиеся пространственные поверхности, «вложенные» друг в друга. Или «лежащие» друг на друге. Или… у кого на что фантазии хватит =) Каждой такой поверхности соответствует постоянное значение скалярного поля, например, какая-то конкретная температура.
Однако наши «обычные» числа и функции задают скалярные поля далеко не всегда! Приведу классический пример с вектором – для определённости рассмотрим геометрический вектор плоскостив некоторой аффинной системе координат. Что произойдёт, если перейти к новому базису? В общем случае данный вектор поменяет координаты: .
Координаты вектора – это числа? Числа. Но скалярными величинами они не являются! Поскольку скалярыне зависят от системы координат. Более того, координаты векторов можно ведь задать и «обычными» функциями – и эти функции не будут порождать скалярное поле!
Надо сказать, ловким получился переход к следующему параграфу:
Векторное поле
Если каждой точке некоторой области пространства поставлен в соответствие векторс началом в данной точке, то говорят, что в этой области задано векторное поле.
Из чего следует, что элементы векторного поля не свободны, то есть «привязаны» к точкам. И почему векторы в «неволе» – становится ясно из простых примеров. В частности, на уроке о криволинейных интегралах по замкнутому контуру мы провели «плоский» опыт с магнитом на столе: чем ближе к магниту поднести железку, тем сильнее она притягивается. И эта сила в той или иной точке поверхности стола как раз характеризуется вектором напряжённости магнитного поля. Чем сильнее притяжение, тем длиннее вектор, ну и его остриё, понятно, указывает направление действия силы.
Но гораздо чаще векторные поля рассматривают в трёхмерном пространстве, пожалуйста: наша Земля – тот же больший магнит. Другой пример – её гравитационное поле. Чем дальше от поверхности, тем меньше сила тяжести и тем короче соответствующие силовые векторы. Кстати, куда они «смотрят»? Говоря просто, все они направлены к центру нашей планеты.
Большую группу векторных полей образуют так называемые поля скоростей. Посмотрите на поле (которое с травкой) и мысленно очертите над ним произвольную пространственную область. Представьте, что над полем дует ветер – небольшой такой ураганчик для пущей наглядности. Теперь зафиксируем некоторый момент времени и каждой точке построенной области поставим в соответствие несвободный вектор, который характеризует:
а) направление движения воздуха в данной точке; б) и скорость его движения в данной точке – чем выше скорость, тем длиннее вектор. Если в какой-то точке штиль, то ей сопоставляется нулевой вектор.
Множество этих векторов и образует векторное поле скорости ветра в данный момент времени.
Аналогично устроено поле скоростей течения жидкости – так, например, каждой точке реки в некоторый момент времени можно поставить в соответствие вектор, указывающий направление и скорость течения жидкости в этой точке.
Да чего там ветер и река, поле скорости можно смоделировать собственноручно, для этого достаточно взмахнуть рукой. Или даже моргнуть глазом.
…Какой же кошмар! – векторы вокруг нас! В «ужастиках» эту роль играют зомби или живые мертвецы, а в реальности-то вот оно, оказывается как – ВЕКТОРЫ.
С формально-математической точки зрения, векторные поля задают векторными функциями, которые уже «проскакивали» в других темах:
Для «плоского» случая – это векторная функция , которая различным точкам плоскости * ставит в соответствие несвободные векторы – конкретный пример есть в параграфе Работа векторного поля. Если функции двух переменных определены при любых «икс», «игрек», то векторное поле будет задано на всей плоскости .
*Далее по умолчанию считаем, что все дела происходят в декартовой системе координат
С трёхмерным пространством всё аналогично: – здесь каждой допустимой точке пространства ставится в соответствие вектор с началом в данной точке. «Допустимость» определяется областями определения функций , и если каждая из них определена при всех «икс», «игрек», «зет», то векторное поле будет задано во всём пространстве.
! Обозначения: векторные поля также обозначают буквой либо , а их компоненты через либо соответственно.
Из вышесказанного давно и очевидно следует, что, по меньшей мере математически, скалярные и векторные поля можно определить и во всём пространстве. Однако с соответствующими физическими примерами я всё же поостерёгся, поскольку таких понятий, как температура, гравитация (или других) ведь где-то может и вовсе не существовать. Но это уже не ужасы, а научная фантастика =) И не только фантастика. Ибо внутри камней ветер, как правило, не дует.
Следует отметить, что векторные поля (те же поля скоростей) с течением времени могут меняться, и поэтому во многих физических моделях рассматривают дополнительную независимую переменную . Кстати, то же самое касается и скалярных полей – температура же, в самом деле, тоже не «застыла» во времени.
Однако в рамках математики мы ограничимся троицей , и при «встрече» таких полей будем подразумевать некоторый фиксированный момент времени либо время, за которое поле не успело измениться.
Векторные линии
Если скалярные поля описываются линиями и поверхностями уровня, то «форму» векторного поля можно охарактеризовать векторными линиями. Наверное, многие помнят этот школьный опыт: под лист бумаги помещаются магнит, а наверх (смотрим!)высыпаются железные опилки, которые как раз и «выстраиваются» по линиям поля.
Постараюсь сформулировать попроще: каждая точка векторной линии является началом вектора поля, который лежит на касательной в данной точке: Разумеется, векторы линии в общем случае имеют разную длину, так на приведённом рисунке, при перемещении слева направо их длина растёт – здесь можно предположить, что мы приближаемся, например, к магниту. В силовых физических полях векторные линии так и называют – силовыми линиями. Другой, более простой пример – это гравитационное поле Земли: его силовые линии представляют собой лучи с началом в центре планеты, причём векторы силы тяжести расположены прямо на самих лучах.
Векторные линии скоростных полей называются линями тока. Множество линий тока даёт нам представление о потоке жидкости или газа в данный момент времени. К слову, линия тока и траектория движения частицы – это не одно и то же. Если поле скоростей не меняется с течением времени (например, река с устоявшимся течением), то, да – мусоринки будут плыть по линиям тока. Такое поле называют стационарным, и в нём траектории движения частиц совпадают с линиями тока. Но представьте пыльную бурю – здесь линии тока в каждый момент разные, и поэтому мусоринка будет лететь по своей уникальной траектории, а вовсе не по какой-то конкретной линии тока.
Вообще, многие понятия теории поля пришли из гидродинамики, с чем мы ещё не раз столкнёмся.
Если «плоское» векторное поле задано ненулевой функцией , то его силовые линии можно найти из дифференциального уравнения. Решение данного уравнения задаёт семейство векторных линий на плоскости . Иногда в задачах требуется изобразить несколько таких линий, что обычно не вызывает затруднений – выбрали несколько удобных значений «цэ», начертили какие-нибудь там гиперболы, и порядок.
С пространственным векторным полем ситуация занятнее. Его силовые линии определяются соотношениями . Здесь нужно решить систему двух дифференциальных уравнений и получить два семейства пространственных поверхностей. Линии пересечения этих семейств и будут пространственными векторными линиями. Если все компоненты («пэ», «ку», «эр») отличны от нуля, то существует несколько технических способов решения. Я не буду рассматривать все эти способы (т.к. статья разрастется до неприличных размеров), а остановлюсь на распространённом частном случае, когда одна из компонент векторного поля равна нулю. Давайте сразу распишем все варианты:
если , то нужно решить систему ; если , то систему ; и если , то .
И что-то непозволительно давно у нас не было практики:
Найти силовые линии векторного поля
Решение: в данной задаче , поэтому решаем систему:
Первый диффур вообще халява: – семейство плоскостей, параллельных координатной плоскости (представили в уме!).
Второй диффур – почти она же:), ну а зачем нам скоропостижные трудности? – семейство (внимание!)параболических цилиндров, параллельных оси .
Ответ: искомое множество векторных линий:
Иными словами, здесь в каждой плоскости «сидит» семейство парабол .
Аналогичная задачка для самостоятельного решения:
Найти силовые линии векторного поля
Охарактеризуйте получившееся множество линий. Кстати, в условии явно не сказано, о каком поле идёт речь – плоском или пространственном. В подобных ситуациях рекомендую решать задачу для пространства – не ошибётесь 😉
Краткое решение и ответ в конце урока.
Векторное поле градиентов
В каких отношениях вы находитесь с производной по направлению и градиентом? …ничего страшного, от ненависти до любви – один шаг =) Напоминаю, что градиент функции в точке – это несвободный вектор, указывающий направление максимального роста функции в данной точке и определяющий скорость этого роста.
Нахождение векторной функции градиентов – есть популярный и распространённый способ получить из скалярного поля поле векторное. При условии существования соответствующих частных производных функции двух и трёх переменных:
Смысл очень прост. Так, если функция задаёт скалярное поле глубины озера, то соответствующая векторная функция определяет множество несвободных векторов, каждый из которых указывает направление наискорейшего подъёма дна в той или иной точке и скорость этого подъёма.
Если функция задаёт скалярное поле температуры некоторой области пространства, то соответствующее векторное поле характеризует направление и скорость наибыстрейшего прогревания пространства в каждой точке этой области.
Разберём общую математическую задачу:
Дано скалярное поле и точка . Требуется:
1) составить градиентную функцию скалярного поля;
2) найти градиент поля в точке и вычислить его длину;
3) вычислить производную по направлению нормального вектора к поверхности в точке , образующего с положительной полуосью тупой угол.
Непосредственно к решению задачи это не относится, но сразу обратим внимание, что скалярное поле не определено на всех трёх координатных плоскостях .
1) Быстренько вспоминаем, как находить частные производные функции трёх переменных:
Составим функцию, которая определяет векторное поле градиентов:
И ещё раз – в чём её смысл? Полученная векторная функциякаждой точке области определения скалярного поля ставит в соответствие вектор , указывающий направление и максимальную скорость роста функции в данной точке.
И один из таких векторов нам предстоит найти в следующем пункте:
2) Вычислим частные производные в точке :
Таким образом: – ещё раз подчёркиваю, что этот вектор исходит из точки , и перемещать его никуда нельзя! По той причине, что он характеризует направление наискорейшего возрастания функции именно в точке «эм нулевое», а не где-то ещё!
Мерилом же этой максимальной скорости как раз является длина градиента:
3) Вычислим производную по направлению нормального вектора к поверхности в точке , образующего с положительной полуосью тупой угол.
Немного мудрёно, но разобраться немудренО. Во-первых, убедимся, что точка «эм нулевое» действительно принадлежит данной поверхности: Получено верное равенство. ОК.
Что это за поверхность – нас не интересует, нам важен её нормальный вектор в точке , да не абы какой, а образующий с полуосью тупой угол.
Вспоминаем материал ещё одного урока: вектор нормали к поверхностив точке задаётся следующим образом:
В данном случае:
Но нужный ли это вектор? Как выяснить угол, который он образует с полуосью ? …Сегодня у нас какой-то экскурс в фильмы… =) и сейчас на очереди фильм «Вспомнить всё». Вычислим скалярное произведение вектора с направляющим векторомположительной «зетовой» полуоси:
, следовательно, угол между этими векторами острый, что нас не устраивает!
И поэтому нужно выбрать противоположно направленный нормальный вектор:
Заметим заодно, что нормальные векторы в отличие от градиентов – свободны, их задача лишь указать направление.
Вычислим направляющие косинусы данного направления, или, что то же самое – координаты единичного вектора, сонаправленного с вектором :
Контроль:
Таким образом, искомая производная по направлению:
Напоминаю, что это значение характеризует скорость роста функции в точке по направлению вектора , и оно не может оказаться больше, чем (максимальной скорости роста в данной точке).
Ответ:
Небольшой пример для самостоятельного решения:
Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке
Просто и со вкусом. …Как найти угол? – с помощью того же скалярного произведения. Ну и, очевидно, тут придётся «тряхнуть» многоэтажными дробями и некоторой тригонометрией. Краткое решение и ответ в конце урока.
Что делать, если вам предложено «плоское» скалярное поле ? Просто убавьте одну координату, соответствующие примеры можно найти в статье Производная по направлению и градиент функции. По существу, мы вновь прорешали примеры той статьи, только немного в другой интерпретации.
Потенциальное векторное поле
На уроке Криволинейный интеграл по замкнутому контуру я уже подробно рассказал о «плоском» потенциальном поле, и поэтому перед дальнейшим чтением будет крайне полезно окинуть взглядом концовку указанной статьи. Фактически сейчас будет продолжение, где мы разбёрём аналогичную ситуацию в пространстве.
«Потенциальное»…, на ум здесь приходит потенциальная энергия, потенциальные возможности. Так, лежащий на подоконнике кирпич потенциально можно сбросить вниз, и вмятина на земле неиллюзорно продемонстрируют нам ту самую потенциальную энергию. Всё верно, гравитационное поле Земли – это один из ярких примеров потенциального векторного поля.
Вспомним его характерный признак, сбросив с подоконника нашего уютного деревенского домика…, нет, не кирпич, а пёрышко. Из точки до точки оно может пролететь по бесчисленному множеству траекторий (из-за ветра, по причине сопротивления воздуха и т.д.), но во всех случаях гравитационное поле Земли совершит одну и ту же работу по перемещению пера между этими точками. Ну а различные траектории – это уже «вклад» других сил, которые, к слову, тоже можно описать векторными полями.
Примечание: возможно, здесь у вас возник вопрос: «но ветер же может приподнимать перо, и тогда работа должна увеличиваться!». Ничего подобного. Физическое понятие работы не подразумевает, что кто-то или что-то «трудится». Если ветер приподнимает перо вверх, то он просто уменьшает абсолютную величину работы силы тяжести.
В физике есть конкретная математическая модель, описывающая гравитационные силы, но в соответствии с направленностью сайта, я приведу только общие формулы. Итак:
Векторное поле является потенциальным, если оно представляет собой поле градиентов некоторого скалярного поля . Функцию называют потенциальной функцией или просто потенциалом.
Работапотенциального векторного поля по перемещению материальной точки из точки в точку не зависит от траектории её движения и выражается следующим криволинейным интегралом 2-го рода:
, который равен разности потенциалов.
Иными словами, в потенциальном поле имеет значение лишь начальная и конечная точка маршрута. И если эти точки совпадают, то суммарная работа сил по замкнутому контуру будет равна нулю:
Давайте поднимем пёрышко с земли и доставим его в исходную точку. При этом траектория нашего движения опять же произвольная; можно даже бросить перо, снова его поднять и т.д.
Почему итоговый результат нулевой?
Перо упало из точки «а» в точку «бэ»? Упало. Сила тяжести совершила работу .
Перо попало обратно в точку «а»? Попало. А это значит, что была совершена точно такая же работа против сил тяжести, причём не важно с какими «приключениями» и какими силами – да хоть ветер задул его обратно.
Примечание: в физике знак «минус» символизирует противоположное направление.
Таким образом, суммарная работа сил равна нулю:
Как я уже отмечал, физическое и обывательское понятие работы отличаются. И это различие вам хорошо поможет понять не пёрышко и даже не кирпич, а, например, пианино 🙂
Дружно поднимите пианино и спустите его по лестнице вниз. Потаскайте по улице. Сколько захочется и где захочется. И если никто не вызвал дурку занесите инструмент обратно. Вы поработали? Конечно. До седьмого пота. Но с точки зрения физики никакой работы не совершено.
Словосочетание «разность потенциалов» подмывает рассказать ещё о потенциальном электростатическом поле, но бить током своих читателей как-то уж совсем не гуманно =) Тем более, примеров – непочатый край, ибо потенциальным является любое градиентное поле, коих пруд пруди.
Но легко сказать «пруд пруди»: вот дано нам векторное поле – как определить, потенциально оно или нет?
Ротор векторного поля
Или его вихревая составляющая, которая тоже выражается векторами.
Снова возьмём в руки пёрышко и аккуратно отправим его в плавание по реке. Для чистоты эксперимента будем считать, что оно однородно и симметрично относительно своего центра. Ось торчит вверх.
Рассмотрим векторное поле скорости течения (считаем, что оно неизменно во времени), и некоторую точку водной поверхности, над которой находится центр пера.
Если в данной точке перо вращается против часовой стрелки, то поставим ей в соответствие исходящий несвободный вектор, направленный вверх. При этом, чем быстрее вращается перо, тем длиннее этот вектор, …мне почему-то он представляется таким чёрным-чёрным в ярких лучах солнца…. Если вращение происходит ПО часовой стрелке, то вектор «смотрит» вниз. Если же перо не вращается вовсе, то вектор нулевой.
Знакомьтесь – это и есть вектор роторавекторного поля скорости, он характеризует направление «завихрения» жидкости в данной точке и угловую скорость вращения пера (но не направление и не скорость самого течения!).
Совершенно понятно, что роторный вектор есть у всех точек реки (в том числе тех, которые «под водой»), таким образом, для векторного поля скорости течения мы определили новое векторное поле!
Если векторное поле задано функцией , то его роторное поле задаётся следующей векторной функцией:
При этом, если векторы роторного поля реки велики по модулю и имеют тенденцию менять направление, то это вовсе не означает, что речь идёт об извилистой и неспокойной реке (возвращаемся к примеру). Такая ситуация может наблюдаться и в прямолинейном русле – когда, например, в середине скорость выше, а у берегов ниже. То есть, вращение пера порождаетсяразличными скоростями течения в соседних линиях тока. Но это не единственно возможная причина вращения. Если рядом с рекой стоит экспериментатор и поливает её из шланга, то поле скоростей будет постоянно меняться, и «завихрения» начнутся по той причине, что меняются сами линии тока.
С другой стороны, если роторные векторы коротки, то это может быть и «петляющая» горная речка! Важно, чтобы в соседних линиях тока скорость самого течения (быстрого или медленного) отличалась незначительно. И не было рядом экспериментаторов или каких-нибудь оползней, которые меняют поле скоростей.
И, наконец, отвечаем на поставленный выше вопрос: в любой точке потенциального поля его ротор равен нулю:
, а точнее, нулевому вектору.
Потенциальное поле также называют безвихревым полем.
Ну и, конечно, наше бренное гравитационное поле. Для следующего опыта хорошо подойдёт любой достаточно тяжёлый и однородный предмет, например, закрытая книга, непочатая банка пива или, кстати, кирпич, который таки дождался своего часа =) Зажмите его торцы руками, приподнимите вверх и аккуратно отпустите в свободное падение. Крутиться он не будет. А если и будет, то это уже ваши «личные усилия» или кирпич попался неправильный. Не поленитесь и проверьте этот факт! Только не бросайте ничего из окна, это уже не перо
После чего с чистой совестью и повышенным тонусом можно вернуться к практическим задачам:
Показать, что векторное поле является потенциальным и найти его потенциал
Решение: условие прямо утверждает потенциальность поля, и наша задача состоит в доказательстве этого факта. Найдём роторную функцию или, как чаще говорят – ротор данного поля:
Для удобства выпишем компоненты поля:
и начнём находить их частные производные – их удобно «перебирать» в «роторном» порядке, слева направо: – и сразу проверяем, что (чтобы не выполнять лишней работы в случае ненулевого результата). Едем дальше:
Таким образом: , следовательно, поле потенциально, а значит, представляет собой градиентную функцию некоторого скалярного поля, заданного потенциалом .
Функцию обычно находят одним из следующих способов:
1) Способ первый. Коль скоро так (см. выше), то:
Дальнейший алгоритм напоминает решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах, только с бОльшим количеством шагов:
Так как , то: , где – пока ещё неизвестная функция, зависящая от «игрек» и «зет».
Дифференцируем полученный результат по «игрек»:
Но, с другой стороны . Приравниваем и упрощаем:
Теперь частным интегрированием (переменных здесь уже две!) находим: – подставляем в наш первый трофей : , после чего дифференцируем его уже по «зет»:
Но с другой стороны, . Приравниваем и упрощаем:
И, наконец, подставляем найдённую функцию в наш «усовершенствованный трофей» :
– получаем тем самым, искомую потенциальную функцию.
Проверку тут выполнить легче лёгкого, находим частные производные 1-го порядка: которые совпали с соответствующими компонентами исходного поля , в чём и требовалось убедиться.
Ну и, наверное, некоторые уже подметили, что равенства частных производных в «роторной» формуле – есть не что иное, как равенства смешанных частных производных 2-го порядка функции .
2) Способ второй. Потенциальную функцию можно найти при помощи формулы: , где – точка с переменными координатами, а – некоторая фиксированная точка скалярного поля .
Легко видеть, что этот криволинейный интеграл определяет работу векторного поля от точки до точки и численно равен разности потенциалов , откуда, собственно, и получается нужная функция
Запишем сумму трёх интегралов для поля :
И на этом шаге я по возможности рекомендую выбрать точку (если функция и её производные в ней определены). После чего решение значительно упрощается:
При подстановке верхних пределов интегрирования можно сказать, что вместо «икс» мы подставляем «икс», вместо «игрек» – «игрек», и вместо «зет» – «зет».
Ответ:
Если начало координат выбрать нельзя, то задачу придётся решать в общем виде, в результате чего должна получиться разность . Любители трудностей могут вернуться к примеру и прийти к разности . Разумеется, это легальный и рабочий вариант – можно решать и так.
С аналогичной задачей для «плоского» векторного поля можно ознакомиться на уроке Криволинейный интеграл по замкнутому контуру.
Пара полей для самостоятельного решения:
Выяснить, является ли следующие векторные поля потенциальными, и если да, то найти их потенциалы:
а)
б)
Обязано ли поле быть потенциальным в таких задачах? Конечно, нет, и отрицательный ответ – это тоже полноценный ответ. Примерный образец чистового оформления заданий внизу страницы.
Ну что же, теперь пришло время немного отдохнуть и увеличить ротор реки =) А именно нырнуть, искупаться и позагорать на солнце. Чтобы с новыми силами вернуться к столь увлекательной теме, а именно к потоку и циркуляции векторного поля
Спасибо за внимание и до скорых встреч!
Пример 2: Решение: составим и решим систему: Из 1-го уравнения: Из 2-го уравнения: Константу переобозначим через
Ответ: – семейства эллипсов, расположенные в плоскостях , параллельных плоскости .
Примечание: если в условии задачи подразумевается «плоское» векторное поле, то векторные линии представляют собой множество эллипсов , расположенных в плоскости .
Пример 4: Решение: вычислим частные производные функции в точке : Составим градиент данного скалярного поля в точке и вычислим его длину:
Аналогично найдём градиент второго скалярного поля: В результате:
Угол между градиентами найдём по формуле: Таким образом:
Ответ:
Пример 6: Решение:
а) проверим, равен ли нулю ротор векторного поля: . В данном случае: Следовательно,
Ответ: поле не потенциально.
б) найдём ротор векторного поля: В данной задаче: Таким образом: , значит, поле потенциально и представляет собой функцию градиента некоторого скалярного поля . Найдём этот потенциал (здесь выгоднее использовать 1-й способ): Так как , то: Дифференцируем по «игрек»: С другой стороны . Таким образом: – подставим в : Дифференцируем по «зет»: С другой стороны, . Таким образом: – подставим в
, обозначают как
.
.
0 » border=»0″ /> — точка поля является источником; 
— точка поля является стоком; 
— стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.
, где 
— коэффициенты Ламе.
.
некоторой области пространства поставлено в соответствие определённое число 
(чаще действительное), то говорят, что в этой области задано скалярное поле.
луча поставлена в соответствие её высота над уровнем земли. Или, например, поле атмосферного давления – здесь каждой точке луча соответствует числовое значение атмосферного давления в данной точке.
«водного» фрагмента плоскости поставить в соответствие глубину озера, то, пожалуйста – скалярное поле задано. В этих же точках можно рассмотреть и другие скалярные величины, например, температуру поверхности воды.
этого камня можно поставить в соответствие его физическую плотность. И опять – в какой бы системе координат мы его ни рассмотрели, как бы ни крутили в руке – скалярное поле плотности останется неизменным. Впрочем, некоторые люди могут оспорить этот факт =) Такой вот философский камень.
, двух 
, трёх 
и бОльшего количества переменных. При этом в теории поля в широком ходу традиционные атрибуты этих функций, такие как, область определения, линии и поверхности уровня.
в некоторой аффинной системе координат. Что произойдёт, если перейти к новому базису? В общем случае данный вектор поменяет координаты: 
.
некоторой области пространства поставлен в соответствие вектор с началом в данной точке, то говорят, что в этой области задано векторное поле.
, которая различным точкам 
плоскости 
* ставит в соответствие несвободные векторы 
– конкретный пример есть в параграфе Работа векторного поля. Если функции двух переменных 
определены при любых «икс», «игрек», то векторное поле будет задано на всей плоскости 
.
– здесь каждой допустимой точке 
пространства ставится в соответствие вектор 
с началом в данной точке. «Допустимость» определяется областями определения функций 
, и если каждая из них определена при всех «икс», «игрек», «зет», то векторное поле будет задано во всём пространстве.
либо 
, а их компоненты через 
либо 
соответственно.
. Кстати, то же самое касается и скалярных полей – температура же, в самом деле, тоже не «застыла» во времени.
, и при «встрече» таких полей будем подразумевать некоторый фиксированный момент времени либо время, за которое поле не успело измениться.
, то его силовые линии можно найти из дифференциального уравнения 
. Решение 
данного уравнения задаёт семейство векторных линий на плоскости 
. Иногда в задачах требуется изобразить несколько таких линий, что обычно не вызывает затруднений – выбрали несколько удобных значений «цэ», начертили какие-нибудь там гиперболы, и порядок.
ситуация занятнее. Его силовые линии определяются соотношениями 
. Здесь нужно решить систему двух дифференциальных уравнений и получить два семейства 
пространственных поверхностей. Линии пересечения этих семейств и будут пространственными векторными линиями. Если все компоненты («пэ», «ку», «эр») отличны от нуля, то существует несколько технических способов решения. Я не буду рассматривать все эти способы (т.к. статья разрастется до неприличных размеров), а остановлюсь на распространённом частном случае, когда одна из компонент векторного поля равна нулю. Давайте сразу распишем все варианты:
, то нужно решить систему 
; 
, то систему 
; 
, то 
.
, поэтому решаем систему:
– семейство плоскостей, параллельных координатной плоскости 
(представили в уме!).
– семейство (внимание!) параболических цилиндров, параллельных оси 
.
«сидит» семейство парабол 
.
задаёт скалярное поле глубины озера, то соответствующая векторная функция 
определяет множество несвободных векторов, каждый из которых указывает направление наискорейшего подъёма дна в той или иной точке 
и скорость этого подъёма.
задаёт скалярное поле температуры некоторой области пространства, то соответствующее векторное поле 
характеризует направление и скорость наибыстрейшего прогревания пространства в каждой точке 
этой области.
и точка 
. Требуется:
и вычислить его длину;
в точке 
, образующего с положительной полуосью 
тупой угол.
.
области определения скалярного поля ставит в соответствие вектор 
, указывающий направление и максимальную скорость роста функции 
в данной точке.
: 
– ещё раз подчёркиваю, что этот вектор исходит из точки 
, и перемещать его никуда нельзя! По той причине, что он характеризует направление наискорейшего возрастания функции 
именно в точке «эм нулевое», а не где-то ещё!
в точке 
, образующего с положительной полуосью 
тупой угол.
, да не абы какой, а образующий с полуосью 
тупой угол.
в точке 
задаётся следующим образом:
? …Сегодня у нас какой-то экскурс в фильмы… =) и сейчас на очереди фильм «Вспомнить всё». Вычислим скалярное произведение вектора 
с направляющим вектором 
положительной «зетовой» полуоси:
, следовательно, угол между этими векторами острый, что нас не устраивает!
:
в точке 
по направлению вектора 
, и оно не может оказаться больше, чем 
(максимальной скорости роста в данной точке).
и 
в точке 
? Просто убавьте одну координату, соответствующие примеры можно найти в статье Производная по направлению и градиент функции. По существу, мы вновь прорешали примеры той статьи, только немного в другой интерпретации.
до точки 
оно может пролететь по бесчисленному множеству траекторий (из-за ветра, по причине сопротивления воздуха и т.д.), но во всех случаях гравитационное поле Земли совершит одну и ту же работу по перемещению пера между этими точками. Ну а различные траектории – это уже «вклад» других сил, которые, к слову, тоже можно описать векторными полями.
является потенциальным, если оно представляет собой поле градиентов некоторого скалярного поля 
. Функцию 
называют потенциальной функцией или просто потенциалом.
потенциального векторного поля по перемещению материальной точки из точки 
в точку 
не зависит от траектории её движения и выражается следующим криволинейным интегралом 2-го рода:
, который равен разности потенциалов 
.
будет равна нулю:
.
против сил тяжести, причём не важно с какими «приключениями» и какими силами – да хоть ветер задул его обратно.
– как определить, потенциально оно или нет?
торчит вверх.
, то его роторное поле задаётся следующей векторной функцией:
его ротор равен нулю:
, а точнее, нулевому вектору.
является потенциальным и найти его потенциал
– и сразу проверяем, что 
(чтобы не выполнять лишней работы в случае ненулевого результата). Едем дальше:
, следовательно, поле 
потенциально, а значит, представляет собой градиентную функцию 
некоторого скалярного поля, заданного потенциалом 
.
обычно находят одним из следующих способов:
, то: 
, где 
– пока ещё неизвестная функция, зависящая от «игрек» и «зет».
. Приравниваем и упрощаем: 
– подставляем в наш первый трофей 
: 
, после чего дифференцируем его уже по «зет»:
. Приравниваем и упрощаем: 
в наш «усовершенствованный трофей» 
:
– получаем тем самым, искомую потенциальную функцию.
, в чём и требовалось убедиться.
.
, где 
– точка с переменными координатами, а 
– некоторая фиксированная точка скалярного поля 
.
от точки 
до точки 
и численно равен разности потенциалов 
, откуда, собственно, и получается нужная функция 
:
(если функция 
и её производные в ней определены). После чего решение значительно упрощается:
. Любители трудностей могут вернуться к примеру и прийти к разности 
. Разумеется, это легальный и рабочий вариант – можно решать и так.
переобозначим через 
– семейства эллипсов, расположенные в плоскостях 
, параллельных плоскости 
.
, расположенных в плоскости 
.
в точке 
: 
и вычислим его длину: 
между градиентами найдём по формуле: 
. 
не потенциально.
, значит, поле 
потенциально и представляет собой функцию градиента 
некоторого скалярного поля 
. Найдём этот потенциал (здесь выгоднее использовать 1-й способ): 
, то: 
. Таким образом: 
– подставим в 
: 
. Таким образом: 
– подставим в 
потенциально, 
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам