Что такое абсолютная величина угла

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Об обобщении понятия А. в. на случай произвольного тела см. статью Абсолютное значение.

Смотреть что такое «АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА» в других словарях:

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — величина, рассматриваемая сама по себе, без сравнения с другими. Так, вес данного тела, напр. куска меди, равный положим 3 фунт., есть его абсолютный в., тогда как вес тела сравнительно с весом такого же объема воды относительный или удельный в.… … Словарь иностранных слов русского языка

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — (модуль) действительного числа a неотрицательное число (обозначается … Большой Энциклопедический словарь

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — англ. value of a number, absolute (modul); нем. Grosse der Zahl Absolute. А. в. положительного числа есть само это число; А. в. отрицательного числа есть противоположное ему положительное число; А. в. нуля равна нулю. А. в. числа а обознач./а/.… … Энциклопедия социологии

абсолютная величина — (модуль) действительного числа а, неотрицательное число (обозначается |а|), определяемое так: если а≥0, то |а| = а, если а … Энциклопедический словарь

Абсолютная величина — График вещественной функции … Википедия

абсолютная величина — absoliutusis dydis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. absolute magnitude; absolute quantity vok. absolute Größe, f rus. абсолютная величина, f pranc. grandeur absolue, f … Automatikos terminų žodynas

абсолютная величина — absoliutusis dydis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydis, gaunamas statistiniu stebėjimu. atitikmenys: angl. absolute values vok. absolute Größe, f rus. абсолютная величина, f pranc. grandeur absolue, f … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

Абсолютная величина — действительного числа равна этому числу, если оно положительно, равна противоположному числу, если оно отрицательно, и равна нулю, если число равно нулю. А. в. числа а обозначается | a |. Например, | +5 | = | 5 | = 5; | 0 |= 0. А. в. (или … Большая советская энциклопедия

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — (модуль) действительного числа а неотрицат. число (обозначается |а|), определяемое так: если а >= 0, то |а|=а, если а Большой энциклопедический политехнический словарь

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — (модуль) действительного числа а, неотрицательное число (обозначается |а.|), определяемое так: если а>0, то |а| =а, если a Естествознание. Энциклопедический словарь

Источник

Планиметрия. Страница 8

1.Вектор и его абсолютная величина

Вектором называется направленный отрезок определенной длины. Любой вектор имеет начальную и конечную точки. Начало и конец вектора обозначаются заглавными буквами, например вектор

. Сам вектор обозначается прописной буквой, например:

. Каждый вектор имеет определенную длину и направление. Например, вектора

имеют одинаковое направление. А вектора

Абсолютной величиной вектора или модулем вектора называется длина отрезка, представляющего собой вектор.

Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называется нулевым.

Если два вектора имеют одинаковое направление и равные абсолютные величины, то такие векторы называются равными.

6.Пример 1

Доказательство:

Пусть ABCD данный параллелограмм (Рис.6). Необходимо доказать, что вектора

параллельному переносу таким образом, чтобы точка А совпала с точкой D. При таком перемещении точка А смещается по прямой AD и переходит в точку D. Это значит, что точка В переместится по параллельной прямой ВС в точку С.

Таким образом, при параллельном переносе прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а вектор

переходит в вектор

. А это значит, что эти вектора равны.

Действительно, так как при перемещении прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а точка А переходит в точку D, то на луче DC можно отложить только один вектор, равный вектору

Пример 2

Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2). Докажите равенство векторов

Доказательство:

Найдем координаты векторов

Таким образом, координаты векторов следующие:

А так как равные вектора имеют равные соответствующие координаты и x_AB = x_CD, y_AB = y_CD, то вектора

Рис.7 Задача. Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2).

Пример 3

В треугольнике АВС проведена медиана AM. Докажите, что

Доказательство:

, равный и параллельный вектору

от точки С. И отложим вектор

, равный и параллельный вектору

Тодга получим параллелограмм, в котором вектор

. А так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке М и делятся этой точкой пополам, то

Отсюда можно сделать вывод: так как

Рис.8 Задача. В треугольнике АВС проведена медиана AM.

Пример 4

и его абсолютную величину.

Решение:

, то найдем его координаты:

Теперь найдем его абсолютную величину:

| =

(-3;-2). » alt=»Задача. Даны векторы

Рис.9 Задача. Даны векторы

Пример 5

Найдите угол между векторами

Решение:

По определению, скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Отсюда можно найти косинус угла между ними по формуле:

Следовательно, cos α = 2 / 2 = 1 /

Таким образом, угол между векторами

(1;-1) и b (2;0).» alt=»Задача. Найдите угол между векторами

(1;-1) и b (2;0).» src=»http://www.mathtask.ru/page-0056/pl21.png»/>

Рис.10 Задача. Найдите угол между векторами

Источник

ЧТО ТАКОЕ АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Вариант 1. АКСИОМА ЛОБАЧЕВСКОГО. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ПО ЛОБАЧЕВСКОМУ

Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) основана на аксиомах групп I—IV абсолютной геометрии и на следующей аксиоме Лобачевского.

V*. Пусть а — произвольная прямая, а А — точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а,существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а.

Ясно, что все определения и теоремы абсолютной геометрии имеют место и в геометрии Лобачевского. Из аксиомы V* непосредственно следует, что если даны произвольная прямая а и точка А, не лежащая на ней, то существует бесконечное множество прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а. В самом деле, по аксиоме V* существуют две прямые, которые обозначим через b ис, проходящие через точку А и не пересекающие прямую а (рис. 2-1). Прямые b и с образуют две пары вертикальных углов, которые на рисунке 2-1 обозначены цифрами 1, 2 и 3, 4. Прямая а не пересекает прямыеb и с, поэтому все ее точки принадлежат внутренней области одного из четырех углов 1, 2, 3, 4, например внутренней области угла 1. Тогда, очевидно, любая прямая, проходящая через точку А и лежащая внутри вертикальных углов 3 и 4, не пересекает прямую а (например, прямые l и d на рис. 2-1).

В отличие от определения параллельных прямых по Евклиду в геометрии Лобачевского параллельными к данной прямой называются (только некоторые прямые из тех, которые не пересекают данную прямую. Чтобы ввести это понятие, условимся считать, что все прямые, рассматриваемые нами, являются направленными прямыми. Поэтому мы их будем обозначать двумя буквами, например UV, считая, что точка Uпредшествует точке V. Предполагается также, что точки U и V выбраны так, что рассматриваемые нами точки на этой прямой лежат между точками U и V.

Введем следующее определение. Прямая АВ называется параллельной прямой CD, если эти прямые не имеют общих точек и, каковы бы ни были точки Р и Q, лежащие соответственно на прямыхАВ и CD, любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD (рис. 2-2). Если прямая АВ параллельна прямой CD, то пишут так: AB||CD.

Имеет место следующий признак параллельности прямых.

Теорема 1. Если прямые АВ и CD не имеют общих точек и существуют точки Р и Q, такие, что Р є АВ и Q є CD, и любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD, то AB||CD.

Из предыдущего изложения еще не следует, что существуют параллельные прямые по Лобачевскому. Докажем теорему о существовании параллельных прямых.

Теорема 2. Пусть АВ — произвольная направленная прямая, а М — точка, не лежащая на ней. Тогда в плоскости МАВ существует одна и только одна прямая CD, проходящая через точку М и параллельная прямой АВ, т. е. CD || AB.

Пусть М — точка, не лежащая на прямой a, a MN — перпендикуляр, проведенный из точки М на прямую а. Выберем на прямой a две точки A и В так, чтобы А — N — В. Из теоремы 2 следует, что через точкуМ проходит единственная прямая CD, параллельная направленной прямой АВ, и единственная прямая EF,параллельная направленной прямой ВА (рис. 2-7).

В ходе доказательства теоремы 2 мы установили, что углы DMN и FMN острые, поэтому CD и EF—различные прямые. Докажем, что DMN = FMN. Пусть, напротив, DMN ≠ FMN, например DMN > FMN. Рассмотрим луч MF’, симметричный лучу MF относительно прямой MN (луч MF’ не изображен на рис. 2-7). Этот луч является внутренним лучом угла DMN. Так как MF не пересекает прямую АВ, то и MF’ не пересекает эту прямую. Но это противоречит определению параллельности прямых CD и АВ.

Таким образом, через каждую точку М, не лежащую на данной прямой а, проходят две прямые, параллельные прямой а, в двух разных направлениях. Эти прямые образуют равные острые углы с перпендикуляром MN, проведенным из точки М к прямой а. Каждый из этих углов называется углом параллельности в точке М относительно прямой а.

Итак, α — функция от х: α = П(х). Она называется функцией Лобачевского и играет существенную роль в гиперболической геометрии. Из предыдущего изложения ясно, что функция П(х) определена для каждого положительного х и что 0

Из этой формулы следует, что П(х)— монотонно убывающая непрерывная функция. Из этой формулы следует также, что П(х)принимает все значения, лежащие между О и . Другими словами, любой острый угол является углом параллельности в некоторой точке относительно данной прямой.

Таким образом, в геометрии Лобачевского существует зависимость между угловыми и линейными величинами; в этом существенное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Так, в геометрии Лобачевского нет подобия фигур; в частности, треугольники с соответственно равными углами равны. Еще одна особенность геометрии Лобачевского связана с единицей измерения длин. В геометрии Евклида существуют абсолютные константы угловых величин, например прямой угол или радиан, в то время как линейных абсолютных констант не существует. Для того чтобы длины отрезков выразить числами, необходимо выбрать единицу измерения длин. В качестве такой единицы может быть выбран произвольный отрезок. В противоположность этому в геометрии Лобачевского нет в этом необходимости, так как, имея естественную единицу измерения углов, можно условиться о выборе естественной единицы длин. Например, за единицу длины можно выбрать отрезок, которому соответствует угол параллельности, равный .

1 «Чем отличается геометрия Лобачевского от геометрии Евклида?». Евклидова аксиома о параллельных: Аксиома Лобачевского о параллельных: ВЫВОД: Геометрия Лобачевского отличается от евклидовой лишь в одной аксиоме — пятой. Но главное различие кроется в понимании самой природы пространства. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её..

2.ТРЕУГОЛЬНИКИ И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ НА ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Все теоремы о треугольниках, которые в евклидовой геометрии доказывают без помощи аксиомы параллельности, имеют место также в геометрии Лобачевского. Подавляющее большинство теорем, известных читателю из курса средней школы, относится именно к этому типу. Теоремы о равнобедренных треугольниках, три признака равенства треугольников, теорема о внешнем угле треугольника, теоремы о соотношениях между сторонами и углами, теоремы о пересечении биссектрис внутренних углов треугольника и о пересечении медиан треугольника в одной точке — вот далеко неполный перечень теорем, которые имеют место как в евклидовой геометрии, так и в геометрии Лобачевского.

Но треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского обладают рядом специфических свойств. Рассмотрим некоторые из них.

Теорема 1. Сумма углов любого треугольника меньше 2d.

Следствие. Сумма углов трегольни- ка непостоянна, т. е. не одна и та же для всех треугольников.

Теорема 2. Сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 2d.

Теорема 3. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Выпуклый четырехугольник называется двупрямоугольником, если два угла, прилежащие к одной стороне, прямые. Если ABCD — двупрямоугольник с прямыми углами А и В, то сторона АВ называется основанием, а стороны AD и ВС — боковыми сторонами.Двупрямоугольник с равными боковыми сторонами называется четырехугольником Саккери. Рассмотрим некоторые свойства двупрямоугольников.

1°. Если ABCD — четырехугольник Саккери с основанием АВ, то С = D и каждый из углов С и D острый.

Рассмотрим симметрию относительно серединного перпендикуляра d к отрезку АВ (рис. 2-12). При этом, очевидно, точка А перейдет в точку В, а луч АD — в луч ВС (так как A = B = d).B силу равенства AD = ВС точка D перейдет в точку С и, следовательно, угол ADC — в угол BCD. Таким образом, C = D.

По теореме 2 А + В + С + D DCB ( 2 — внешний угол треугольника CDD’).Таким образом, DCB 2 возможны два случая:

а) одна из таких прямых изображается евклидовым лучом в H 2 ;
б) обе расходящиеся прямые изображаются евклидовыми полуокружностями.

В случае а) общим перпендикуляром двух расходящихся прямых a и b является, очевидно, полуокружность c, построение которой ясно из рис 6.

Родился Николай Лобачевский 20 ноября 1793 года в Нижегородской губернии, а в 1800 году переехал в Казань. Образование в биографии Лобачевского было получено в казанской гимназии, которую он окончил в 1807 году. Затем он поступил в Императорский университет Казани.

Николай хорошо учился, специализировался на математике и физике, так что в итоге получил красный диплом магистра по данной специальности. В 1814 году, оставаясь в университете, занял должность адъюнкта, а позже – профессора. Как преподаватель математики, астрономии, физики, Лобачевский высоко ценился в университете. А в 1819 году стал деканом своего физико-математического факультета.

В 1846 году отстранен от должности ректора университета Министерством. Вскоре в биографии Лобачевского наступил сложный период – здоровье ухудшалось, а все состояние было продано из-за долгов. В 1856 году великий математик умирает. В 1895 году создана премия (медаль Лобачевского), позже его именем называют улицы, библиотеки и даже кратер на Луне.

2. ЛОБАЧЕВСКОГО ФУНКЦИЯ

Л. ф.- непрерывная монотонно убывающая функция, значения к-рой заключены между p/2 и 0:

Л. ф. введена Н. И. Лобачевским в 1826.

Лит.:[1] Каган В. Ф., Основания геометрии, ч. 1, М.- Л., 1949; [2] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, С изд., М., 1978.

2) Специальная функция, определяемая для действительного хравенством

Л. ф. представляется в виде ряда

Следствие 1. Если в треугольнике имеется прямой или тупой угол, то остальные два угла этого треугольника – острые.

Действительно, в этом случае внешний угол, например, к тупому углу будет острым и он больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним.

Следствие 2. Через точку, не принадлежащую прямой, проходит не более одной прямой, перпендикулярной данной.

Действительно, если бы имелось две прямые, перпендикулярные данной, то они образовывали бы треугольник с двумя прямыми углами, а это невозможно.

Следствие 3. Если точка D лежит внутри треугольника ABC, то угол ADB меньше угла C.

Действительно, продолжим AD до пересечения с BC в точке E. Тогда ÐADB >ÐAEB >ÐC.

Теорема(Соотношение между сторонами и углами треугольника). В произвольном треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Следствие 1.В произвольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Докажем, что если в треугольнике АВС угол С больше угла В, то и сторона АВ больше стороны АС. Действительно, эти стороны не могут быть равны, так как в этом случае треугольник АВС был бы равно­бедренным и, следовательно, угол С равнялся бы углу В. Сторона АВ не может быть меньше стороны АС, так как в этом случае, по доказанному, уголС был бы меньше угла В. Остается только, что сторона АВ больше стороны АС.

Следствие 2.Перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную прямую, короче всякой наклонной, проведенной из этой точки к этой прямой.

Следствие 3.Из двух наклонных, проведенных из данной точки к данной прямой, больше та, проекция которой больше.

Аналогичным образом рассматривается случай, когда точки С и D лежат по разные стороны от точки А.

Теорема(Неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других сторон.

Следствие.Если выполняется равенство АС + СВ = АВ, то точка С лежит на отрезке АВ между точками А и В.

Признаки равенства прямоугольных треугольников также относятся к абсолютной геометрии.

Теорема(Признак равенства прямоугольных треугольников). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треуголь­ника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим некоторые свойства окружности, относящиеся к абсолютной геометрии.

Теорема.Диаметр есть наибольшая хорда окружности.

Доказательство. Пусть дана окружность с центром в точке О и ради­усом R, АВ – произвольная хорда, отличная от диаметра (рис. 6). Про­ведем отрезки ОА и ОВ. В треугольнике АОВ сторона АВ меньше суммы двух других сторон, т.е.АВ BC (рис. 12). Из условия AB + CD = BC + AD следует, что AB – BC = AD – CD.Возьмем на AB точку E так, что BE=BC. Тогда AE = AB-BC. Возьмем на AD точку F так, что DF=DC. Тогда AF = AD – CD. Следовательно, AE=AF.

Треугольники AEF, BCE, CDF – равнобедренные. Поэтому биссектрисы углов A, B, D являются серединными перпендикулярами к отрезкам EF, EC, CF. Следовательно, они пересекаются в одной точке – центре окружности, описанной около треугольника EFC. Эта точка будет равноудалена от всех сторон исходного четырехугольника, т.е. будет искомым центром вписанной окружности.

Теорема.Для любого n существуют правильные n-угольники, т.е. такие n-угольники, у которых равны все стороны и все углы.

Доказательство.Рассмотрим окружность с центром в точке O. Проведем какой-нибудь радиус OA₁ и будем откладывать от него лучи OA₂, …, OA_n так, чтобы углы OA₁A₂, …, OA_nA₁ равнялись 360 0 /n (рис. 13). Тогда треугольники OA₁A₂, …, OA_nA₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, в многоугольнике A₁…A_nравны все стороны и все углы, т.е. он правильный.

Теорема.В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

Доказательство.Пусть A₁…A_n – правильный n-угольник. Проведем биссектрисы углов A₁ и A₂ (рис. 14). Можно доказать, что они является осями симметрии данного многоугольника и пересекаются в некоторой точке O. Она и будет искомым центром вписанной окружности.

Эта же точка O будет центром описанной окружности и, следовательно, около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Рассмотрим вопрос о построении касательной к окружности.Пусть дана окружность с центром в точке O и радиусом R. Точка A лежит вне окружности. Требуется построить касательную к окружности, проходящую через точкуA.

Это построение использует свойство вписанного угла: вписанный в окружность угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу, которое доказывается с использованием аксиомы параллельных.

Таким образом, приведенное построение касательной к окружности использует аксиому параллельных. Из этого, однако не следует, что касательную к окружности нельзя построить без использования этой аксиомы. Приведем построение касательной, не использующее аксиому параллельных.

Пусть как и раньше дана окружность с центром в точке O и радиусом R. Точка A лежит вне окружности. Требуется построить касательную к окружности, проходящую через точку A.

С центром в точке O и радиусом 2R проведем окружность. С центром в точке A и радиусом AO также проведем окружность (рис. 16). Вторая окружность пересечет первую в двух точках C’ и C”. Соединим одну из них, например C’с центром O. Точку пересечения C’O с данной окружностью обозначим B’. Прямая AB’ будет искомой касательной к окружности. Действительно, треугольник OAC’ равнобедренный, B’ середина OC’. Значит AB’ – медиана равнобедренного треугольника и, следовательно, высота.

Приведенное построение касательной к окружности обобщается на случай эллипса.

Напомним, что эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F₁, F₂ есть величина постоянная. Точки F₁, F₂ называются фокусами эллипса (рис. 17). Касательной к эллипсу называется прямая, имеющая с эллипсом толь­ко одну общую точку.

Доказательство.Докажем, что биссектриса a угла смежного с углом F₁AF₂будет касательной к эллипсу (рис. 18). Обозначим AF₁ + AF₂ = c. Рассмотрим точку F’ на прямой F₁A, для которой АF’ = АF₂. Тогда прямая a будет серединным перпендикуляром к отрезку F₂F’. Для произвольной точки A’ прямой a, отличной от А, имеем

Это означает, что точка A’ не принадлежит эллипсу, и, следовательно, прямая a имеет только одну общую точку А с эллипсом, т.е. является касательной.

Доказанную теорему можно использовать для построения касательной к эллипсу, проходящей через заданную точкуA’. А именно, с центром в точке A’ и радиусом A’F₂ проведем окружность. С центром в точке F₁ и радиусом c проведем другую окружность и найдем ее точку пересечения F’ с первой окружностью (рис. 18). Проведем биссектрису углаF’A’F₂. Она и будет искомой касательной к эллипсу.

В заключение приведем список некоторых утверждений относительной геометрии. Их нельзя доказать без использования аксиомы параллельных. Более того, они эквивалентны этой аксиоме.

2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

3. Через всякую точку, лежащую внутри угла, можно провести прямую, пересекающую обе его стороны.

4. Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

5. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность.

6. Сторона вписанного в окружность правильного шестиугольника равна радиусу этой окружности.

7. Существует прямоугольник.

8. Существуют подобные, но не равные треугольники.

9. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

10. Геометрическое место точек, расположенных по одну сторону от прямой на одном и том же расстоянии от нее, есть прямая.

4. Параллельная прямая в направлении ———————————-

1.Абсолютная геометрия (есть в варианте 3/3)

2.ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ПО ЛОБАЧЕВСКОМУ

Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) основана на аксиомах групп I—IV абсолютной геометрии и на следующей аксиоме Лобачевского.

V*. Пусть а — произвольная прямая, а А — точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а,существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а.

Ясно, что все определения и теоремы абсолютной геометрии имеют место и в геометрии Лобачевского. Из аксиомы V* непосредственно следует, что если даны произвольная прямая а и точка А, не лежащая на ней, то существует бесконечное множество прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а. В самом деле, по аксиоме V* существуют две прямые, которые обозначим через b ис, проходящие через точку А и не пересекающие прямую а (рис. 2-1). Прямые b и с образуют две пары вертикальных углов, которые на рисунке 2-1 обозначены цифрами 1, 2 и 3, 4. Прямая а не пересекает прямыеb и с, поэтому все ее точки принадлежат внутренней области одного из четырех углов 1, 2, 3, 4, например внутренней области угла 1. Тогда, очевидно, любая прямая, проходящая через точку А и лежащая внутри вертикальных углов 3 и 4, не пересекает прямую а (например, прямые l и d на рис. 2-1).

В отличие от определения параллельных прямых по Евклиду в геометрии Лобачевского параллельными к данной прямой называются (только некоторые прямые из тех, которые не пересекают данную прямую. Чтобы ввести это понятие, условимся считать, что все прямые, рассматриваемые нами, являются направленными прямыми. Поэтому мы их будем обозначать двумя буквами, например UV, считая, что точка Uпредшествует точке V. Предполагается также, что точки U и V выбраны так, что рассматриваемые нами точки на этой прямой лежат между точками U и V.

Введем следующее определение. Прямая АВ называется параллельной прямой CD, если эти прямые не имеют общих точек и, каковы бы ни были точки Р и Q, лежащие соответственно на прямыхАВ и CD, любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD (рис. 2-2). Если прямая АВ параллельна прямой CD, то пишут так: AB||CD.

Имеет место следующий признак параллельности прямых.

Теорема 1. Если прямые АВ и CD не имеют общих точек и существуют точки Р и Q, такие, что Р є АВ и Q є CD, и любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD, то AB||CD.

Из предыдущего изложения еще не следует, что существуют параллельные прямые по Лобачевскому. Докажем теорему о существовании параллельных прямых.

Теорема 2. Пусть АВ — произвольная направленная прямая, а М — точка, не лежащая на ней. Тогда в плоскости МАВ существует одна и только одна прямая CD, проходящая через точку М и параллельная прямой АВ, т. е. CD || AB.

Пусть М — точка, не лежащая на прямой a, a MN — перпендикуляр, проведенный из точки М на прямую а. Выберем на прямой a две точки A и В так, чтобы А — N — В. Из теоремы 2 следует, что через точкуМ проходит единственная прямая CD, параллельная направленной прямой АВ, и единственная прямая EF,параллельная направленной прямой ВА (рис. 2-7).

В ходе доказательства теоремы 2 мы установили, что углы DMN и FMN острые, поэтому CD и EF—различные прямые. Докажем, что DMN = FMN. Пусть, напротив, DMN ≠ FMN, например DMN > FMN. Рассмотрим луч MF’, симметричный лучу MF относительно прямой MN (луч MF’ не изображен на рис. 2-7). Этот луч является внутренним лучом угла DMN. Так как MF не пересекает прямую АВ, то и MF’ не пересекает эту прямую. Но это противоречит определению параллельности прямых CD и АВ.

Таким образом, через каждую точку М, не лежащую на данной прямой а, проходят две прямые, параллельные прямой а, в двух разных направлениях. Эти прямые образуют равные острые углы с перпендикуляром MN, проведенным из точки М к прямой а. Каждый из этих углов называется углом параллельности в точке М относительно прямой а.

Итак, α — функция от х: α = П(х). Она называется функцией Лобачевского и играет существенную роль в гиперболической геометрии. Из предыдущего изложения ясно, что функция П(х) определена для каждого положительного х и что 0

Источник

• ← Что такое абсолютная величина угла тригонометрия
• Что такое абсолютная величина числа →

Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 8
Рис.1 Обозначение векторов. Координаты вектора Любой вектор имеет свои координаты. Координатами вектора называются числа x2-x1 и y2-y1. Например, координаты вектора с начальной точкой А (1;1) и конечной точкой В (4;3) будут: Координаты нулевого вектора равны нулю. Два вектора называются равными, если у них соответствующие координаты равны.	Рис.2 Координаты вектора. 2.Сложение векторов Пусть заданы два вектора со своими координатами (b1;b2). Тогда суммой двух векторов будет вектор с координатами В векторной форме можно записать так: Для сложения векторов используются два метода: метод треугольника и метод параллелограмма. Для сложения векторов методом треугольника необходимо перенести вектор параллельным переносом так, чтобы конец вектора совпадал с началом вектора . Тогда начало вектора и будет сумма векторов По методу параллелограмма, если два вектора имеют общее начало, то суммой двух векторов будет диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. вектор Разностью двух векторов называется такой вектор , который нужно прибавить к вектору , чтобы получить вектор Рис.3 Сложение векторов. 3.Умножение вектора на число Любой вектор с координатами (x;y) можно умножить на простое число, например λ. (Рис.3) Тогда произведением вектора на число λ будет называться вектор с координатами (λx;λy). Абсолютная величина вектора будет равна: Для любых двух векторов число λ можно вынести за скобку λ ( Если λ > 0, то направление вектора не изменяется, а если λ 2 и называется скалярным квадратом. Отсюда следует, что Теорема. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Доказательство. Пусть даны два вектора а и b и угол между ними α. Тогда квадрат суммы двух векторов равен: Следовательно, скалярное произведение двух векторов не зависит от выбора системы координат, а зависит только от их абсолютных величин. (Рис.5) Так как координаты вектора (b cos α; b sin α), то скалярное произведение двух векторов	Рис.5 Скалярное произведение векторов. Отсюда вытекает следующий вывод: если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.