Что такое абака в математике
Абак (математика)
Абак (математика)
Содержание
Абак в различных регионах
Древний Вавилон
Впервые появился, вероятно, в Древнем Вавилоне ок. 3 тыс. до н. э. Первоначально представлял собой доску, разграфлённую на полосы или со сделанными углублениями. Счётные марки (камешки, косточки) передвигались по линиям или углублениям. В 5 в. до н. э. в Египте вместо линий и углублений стали использовать палочки и проволоку с нанизанными камешками.
Древняя Индия
Абаком пользовались и народы Индии. Арабы знакомились с абаком у подчинённых ими народов. В заглавиях многих арабских руководств по арифметике фигурируют слова от корня «пыль».
Западная Европа, VIII—X века
В Европе абак применялся до XVIII века. В Средние века сторонники производства арифметических вычислений исключительно при помощи абака — абацисты — в течение нескольких столетий вели ожесточённую борьбу с алгоритмиками — приверженцами возникших тогда методов алгоритмизации арифметических действий.
Месоамерика, X век
Ацтекские счёты возникли приблизительно в X веке и изготавливались из зёрен кукурузы, нанизанных на струны, установленные в деревянной раме.
Центральные Анды, XVI век
В Империи инков применялось счётное устройство юпана (в паре с кипу), имевшая разновидности: арифметическая юпана, геоюпана и др. В юпане, по-видимому, использовалась фибоначчиева система счисления.
Дальний Восток
В странах Востока распространены китайский аналог абака — суаньпань и японский — соробан.
Россия, XVI век
В России счёты (аналог абака) появились в XVI веке и применяются до сих пор, хотя в последнее время их использование ограничено широким распространением калькуляторов.
Что такое абакус
С расширением информационного пространства методы взаимодействия с информацией вышли на новый уровень. В стремлении освободить мозг от лишней информации люди ищут способы упростить на первый взгляд и без того несложные вычисления.
Тех, кто считают в уме, становится все меньше. У всех под рукой калькуляторы и смартфоны. Но это касается взрослых. Детей пока не лишают шанса освоить методику устного счета. Снова в моде ментальная арифметика. Теперь дошкольников учат считать не на пальцах и карточках, а на абакусе. Методикой уже заинтересовались в Европе, Америке, Японии, России и других странах.
Что такое абакус
Абакус дословно с греческого переводится как “счетная доска”. Его придумали для упрощения счета. Современные абакусы — обычные деревянные или даже пластиковые счеты, отлично подходят для простых и сложных вычислений. Их прототипом была пластинка из глины с желобами для единиц и десятков. В каждом таком желобке хранились небольшие предметы. Их условно принимали за числа. В ход шло все, что было под рукой:
Ребята считали, тренировали память, а вместе с ними логику и мелкую моторику.
Интересный факт об абакусе
Осенью 1946 года в Токио решили проверить кто сильнее абакус или электронная вычислительная машина. Последней управлял американец Томас Вуд Натан. Абакусом пользовался японец Мацудзаки. По итогам состязания победил японец с японской вычислительной доской. Счет оказался просто разгромным: 4:1! Уже тогда стало ясно, что простые японские счеты по возможностям превосходят сложный электронно-вычислительный механизм!
История появления абакуса
Необходимость как-то разгрузить мозг и ускорить счет появилась у людей еще в 3 веке до н.э. Вычисления дошли до того уровня, когда устно справиться с ними было практически невозможно.
Есть несколько версий о появлении абакуса. По одной из них доску придумали жители Месопотамии (земли на территории современных Турции, Ирака, Ирана и Сирии) в 3 веке до н.э. От современного абака древняя доска отличалась всем, кроме назначения. Это была покрытая песком досточка, на которой люди пытались выводить числа и действия с ними.
Согласно еще одной версии, абакус придумал ученый по имени Абакус. В честь него доска получила название. Упоминания о древних счетах встречаются в описаниях культуры Греции, Египта, Индии, Рима и других стран.
Интересно, что римляне предпочитали считать на металлических счетах. Абакус в их исполнении выглядел как металлическая пластина с углублениями, в которые складывали предметы для счета (обычно камушки). У греков для таких предметов было свое название — «псифос», методику счета соответственно называли псифофорией.
Абакус в том виде, в котором он дошел до наших дней, придумали в Древнем Китае. Доску назвали суан-пан. Дизайн конструкции был максимально приближен к современному: рамка со спицами и подвижными косточками на них.
Разновидности абакуса
Китайский суаньпань, современная версия древнего суар-пана, русские счеты и японский соробан — наиболее яркие вариации классического абакуса.
История развития счетов каждой из стран удивительна! Китайский суаньпань с 7 костяшками вместо 5, например, постепенно добрался до Японии. Там его немного изменили и назвали соробаном, что значит «вычислительная доска». В японской версии китайского абакуса всего 5 косточек. Японцы верят в эффективность методики устного счета с доской, поэтому ввели занятия с ним в программу школьников.
Русские счёты появились в 14 веке. Опять же, никто точно не знает, что вдохновило жителей страны на создание доски. Есть версия, что идея позаимствована у китайцев. В русской версии абакуса костяшек было не 7 и не 5, а 10! Со времени появления первого образца счеты почти не изменились.
Принцип вычисления и обозначения
Количество классов зависит от образца абакуса, обычно это от 5 до 31, но чаще 13, 17 и 21. В каждом ряду по 5 костяшек. 4 костяшки принимаются за единицы, пятая над планкой — за 5 единиц. Пятая называется «небесной», косточки — «земными» из-за расположения.
Перекладина помечена цветными, белыми или черными точками. Какой это будет цвет зависит от цвета самой доски. Метки указывают на расположение классов чисел. Современный абакус видоизменился внешне, но сохранил обозначения и принцип счета. Простая на вид доска подходит для простых (сложение, вычитание) и сложных вычислительных действий, включая извлечение корней из чисел и возведение их в степень.
Преимущества доски
Ментальная арифметика, которой сегодня увлеклись лучшие школы и гимназии мира, основана на использовании абакуса. Дошкольников учат основам методики счета на костяшках для того, чтобы к окончанию младшей школы они считали в уме так же быстро, как на калькуляторе. Вычисления на абакусе ускоряют развитие детей и раскрывают заложенный в каждом из них потенциал.
Если сравнить работу на калькуляторе или письменный счет на бумаге с вычислениями на абакусе, станет ясно, что последний вариант явный претендент на победу. На счетных досках дети умножают и делят еще до того, как научатся этому в школе. Считают правильно, быстро, без бумаги и приложений.
Ребята пользуются обеими руками, таким образом, развивают мелкую моторику, задействуя в процессе оба полушария мозга. Правое — для образного мышления и левое — для логического. Систематические занятия с абаком благоприятно влияют на:
Тренируясь в счете, дети постепенно учатся думать образами, развивают фантазию и абстрактное мышление. Вот почему переход с абакуса на ментальный счет пройдет незаметно и естественно.
Что такое абакус?
Абакус или абак (с греческого – счетная доска) – это специальные счёты, применяемые для арифметических вычислений. В первоначальном виде представляли собой глиняную пластинку с желобами. Один желобок предназначался для единиц, а другой для десятков и тд. В них складывались предметы, обозначающие числа, например, камни.
Идея такого счетного устройства заключалась в наличии специального поля для вычислений, где по определенно схеме располагали и перемещали счетные элементы (например, шарики, камни). Со времен первого упоминания о подобном счетном устройстве, его внешний вид претерпел ряд изменений.
С появлением новых приспособлений для вычислительных операций, счёты перестали использоваться и отошли на второй план, уступив место калькуляторам. Однако благодаря методикам устного счета (например, ментальная арифметика), вновь получили распространение. В некоторых странах Азии работа с абакусом обязательна и включена в программу младшей школы.
История возникновения
Появление специальных приспособлений для счёта в первую очередь обусловлено необходимостью совершать ежедневные простейшие вычислительные операции. В третьем веке до нашей эры таким приспособлением стала специальная счётная доска – абакус.
Существует несколько версий его происхождения. По некоторым данным, такая доска впервые появилась в Месопотамии (территория Ирана, Ирака, Сирии и Турции) в третьем тысячелетии до нашей эры и мало напоминала современный абакус. Счёты представляли собой доску, покрытую песком, на которой палочкой чертили цифры и выполняли вычислительные операции.
По другой версии, создателем является древнегреческий учёный Абакус, именем которого названы счёты. Согласно историческим записям, счётные доски применялись для арифметических действий в древних культурах – Греции, Риме, Индии, Египте и ряде других.
Например, в Древнем Риме подобные счёты изготавливались из металла. На металлической пластине делались углубления, в которые помещались шарики или камешки. В Греции такие камешки назывались «псифос», а сама методика счета – псифофория (раскладывание камней).
Создание устройства, внешне напоминающего современный абакус,
приписывают жителям Древнего Китая, которые разработали свою уникальную
методику вычислений с помощью этого прибора. Он носил название суаньпань
(суан-пан) и представлял собой рамку со спицами и шариками (косточки),
нанизанными на них.
Разновидностью абакуса принято считать китайский суаньпань (суан-пан) и японский соробан. Также сюда относят привычные всем русские счеты. Отличительной особенностью суаньпаня было 7 шариков (костяшек) вместо 5, характерных для современного абакуса. В «небесном» отделении 2 шарика и в «земном» – 5.
Из Китая суаньпань пришел в Японию, где претерпел ряд изменений и получил название – соробан, что в переводе означает «доска для вычислений». В отличие от китайского предшественника, в японском соробане количество косточек на спицах равнялось 5 – одна «небесная» и четыре «земных». В Японии соробан используется в обучении детей, занятия с ним обязательны и включены в программу младшей школы.
В России счеты появились в XIV веке. Согласно одной версии – позаимствованы у китайцев, согласно другой – имеют собственное происхождение. Отличие заключалось в количестве костяшек – в русском варианте их было 10. Применялась десятичная система счисления. Со времен создания внешний вид счет не изменился.
Устройство и обозначение
Абакус (соробан, суаньпань) состоит из рамки и нечетного количества вертикально расположенных спиц. Спицы разделены одной длинной перекладиной (планкой) и представляют собой разряды чисел (единицы, десятки, сотни, тысячи и тд.). Их количество варьирует от 5 до 31, чаще встречаются 13, 17 и 21 разрядные счёты. Большее количество спиц позволяет выполнять арифметические вычисления с большими числами.
На каждой спице расположено 5 костяшек, обозначающие числа от 1 до 9. Одна сверху – над перекладиной (планкой) и соответствует пяти единицам, а 4 под перекладиной, каждая из них приравнивается к единице. Верхнюю принято называть «небесной» – так как она выше остальных, а косточки, которые расположены под перекладиной, называют «земными».
На перекладине нанесены специальные метки – в виде черных, белых или цветных точек. Цвет зависит от цвета самого прибора. Такие метки нанесены не случайно и указывают расположение единиц, тысяч, миллионов.
Современный абакус внешне отличается от далекого предка, однако принцип вычислений остался неизменным. Несмотря на простое устройство, с помощью абакуса возможно выполнять математические операции – от решения несложных заданий на сложение и вычитание до возведения в степень и извлечения корней.
Преимущества использования
Использование древних счет – абакуса (соробан, суаньпань) легло в основу методики счёта – ментальная арифметика, которая направлена на всестороннее развитие ребёнка, помогает не только выполнять в уме операции с молниеносной скоростью, но раскрывает потенциал, заложенный природой.
Использование этого устройства на занятиях имеет ряд преимуществ перед счётом на калькуляторе или бумаге. Основное – это умение производить числовые операции в уме, без использования записей. Выполнение таким образом арифметических действий, предполагает работу двух рук, при этом активируются сразу оба полушария головного мозга.
Активация, как правого (образное мышление), так и левого (логическое мышление) полушария мозга, приводит к формированию нейронных связей между ними. Тем самым помогая улучшить память (как краткосрочную, так и долгосрочную), внимание, сформировать нестандартность мышления и тем самым уверенность в себе.
Работа с костяшками влияет на мелкую моторику, что в свою очередь способствует общему развитию, в том числе и интеллектуальному. Косвенным образом происходит и развитие воображения, так как, переходя с абакуса на ментальный счет, необходимо представлять вычисления на нем, используя воображение.
Таким образом, счет на абакусе способствует всестороннему
интеллектуальному развитию, а именно:
Интеллектуальная игра «Математическая абака» для учащихся 7–8-х классов
Правила игры
Математическая абака (или «математический покер») — новая, очень динамичная и интересная командная игра.
Ход игры и подведение итогов.В игре участвуют не менее двух команд (лучше, когда команд около десяти). Все задачи выдаются для решения всем командам одновременно. Основным зачетным показателем является общее количество набранных очков (включая призовые очки — «бонусы»). В случае равенства очков у нескольких команд, более высокое место занимает команда, набравшая большую сумму бонусов. При равенстве и этого показателя — команды считаются разделившими место.
Решение задач.Каждой команде предлагается для решения 6 тем, по 6 задач в каждой теме. В каждой задаче принимается точный и полный (исчерпывающий все варианты) ответ. Задачи каждой темы сдаются командами по порядку, от 1-й до 6-й (например, у команды не возьмут ответ на четвертую задачу, пока она не сдала ответы на первые три). На каждую задачу отводится один «подход» (одна попытка сдать ответ). Если команда предъявила правильный ответ на задачу, она получает за это столько очков, какова «стоимость» задачи, а если неправильный или, неполный — 0 очков. В некоторых задачах по усмотрению жюри «стоимость» задачи может быть поделена поровну между всеми возможными ответами; в этом случае каждый найденный ответ приносит команде соответствующую часть «стоимости». Для каждой такой задачи это указывается в ее условии.
Бонусы.Каждая команда дополнительно может заработать бонусные очки:
Супербонусы.Первые команды, получившие каждый из шести возможных бонус-горизонталей и каждый из шести бонус-вертикалей, удваивают свои бонусные баллы. (Если команд более 10, то «супербонусов» по каждому ряду можно сделать не один, а два.)
Окончание игры.На решение задач отводится заранее определенное время (например, 90 минут). Игра для команды заканчивается, если у нее закончились несданные задачи или истекло общее время, отведенное для игры.
Примерные задания
Логические задачи
20. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании. На вопрос, какие места они заняли, трое из них ответили:
30. Один странный мальчик по четвергам и пятницам говорит только правду, по вторникам всегда лжет, а в остальные дни он может и солгать, и сказать правду. Семь дней подряд мальчика спрашивали, как его зовут. Первые шесть ответов, по порядку, были таковы: Женя, Боря, Вася, Боря, Петя, Боря. Как он ответил на седьмой день?
40. Директор школы беседует с 4 учениками школы, подозреваемыми в хищении классного журнала из учительской. Александр сказал, что журнал похитил Борис. Борис утверждал, что виноват Григорий. Григорий заверил директора, что Борис врет. Виктор настаивал на том, что журнал взял не он. Директору школы удалось установить, что один из учащихся сказал все же правду. Кто похитил журнал?
50. По кругу сидят Иванов, Петров, Марков и Карпов. Их имена Андрей, Сергей, Тимофей и Алексей. Известно, что Иванов не Андрей и не Алексей. Сергей сидит между Марковым и Тимофеем. Петров сидит между Карповым и Андреем. Как зовут Иванова?
60. Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии начинающееся на буквы В, П, С, и К. Известно, что 1) Ваня и С. – отличники; 2) Петя и В. – троечники; 3) В ростом выше П.; 4) Коля ростом ниже П.; 5) Саша и Петя имеют одинаковый рост. На какую букву начинаются фамилии каждого?
Задачи со спичками
10. Переставьте три спички так, чтобы получилось три квадрата.
20. Переставьте четыре спички так, чтобы из ключа получилось три квадрата.
30. Переставьте три спички так, чтобы рыбка поплыла в другую сторону.
40. Из спичек составлен жук, ползущий в правую сторону. Переставьте три спички таким образом, чтобы жук пополз в противоположную сторону.
50. Перед Вами девять квадратов, образованных двадцатью четырьмя спичками. Уберите четыре спички так, чтобы осталось пять квадратов.
60. Из 16 спичек составлена ломаная линия в виде змейки. Переставьте 5 спичек так, чтобы из змейки получилось два квадрата различной величины.
Геометрия в пространстве
10. Сколько кубиков использовано для построения башни?
20. На рисунке изображены игральный кубик и его развертка. Какое число находится на нижней грани кубика?
30. Перед вами постройка, состоящая из восьми одинаковых кубиков. Определите расположение букв на развертке кубика.
40. На каком(их) рисунке(ах) снизу изображена та же фигура, что и на рисунке А?
50. Объемная фигура собрана из одинаковых кубиков, соединенных между собой гранями. Какое минимальное количество кубиков необходимо добавить, чтобы соединить концы фигуры таким же способом?
60. Определите путь, по которому необходимо перекатить по полю кубик с исходного положения в правую верхнюю ячейку поля. Противоположные грани кубика имеют одинаковый цвет. Перекатываясь по полю, кубик должен по одному разу коснуться своими гранями всех ячеек, которые закрашенные под цвет граней кубика. Заштрихованных ячеек кубик может касаться любой своей гранью, но также один раз. По всем заштрихованным ячейкам кубик перекатывать не обязательно.
Математическая смесь
10. Длинна удава – 12 м, или 48 попугаев. Какова длинна попугая?
Абак: история появления и основные виды
Содержание:
Что такое абак
Все разновидности инструмента имеют схожую конструкцию: у них есть полосы со счетным материалом. В разных вариантах эту функцию выполняют косточки, камешки, бусинки и прочие мелкие предметы.
Появление абака было связано с развитием государств и торговых связей. Счет на пальцах, веревки с узелками и прочие примитивные приспособления не могли удовлетворить возрастающие потребности в вычислении.
Развитие же письменного счета в древности сдерживалось отсутствием подходящего материала. Традиционные восковые и глиняные таблички для этого мало подходили, пергамент стоил дорого, а бумага появилась значительно позже.
В результате появился абак – инструмент, который в разы упростил и облегчил устные вычисления. Он широко применялся в Древней Греции, Древнем Риме и Древнем Китае примерно с V века до нашей эры.
Древний Вавилон
Археологические исследования свидетельствуют, что впервые абак изобрели в Древнем Вавилоне примерно в VI век до н.э. Счетное устройство тех времен имело вид деревянной доски, покрытой песком. На песке чертили борозды, в которые помещали камешки для обозначения цифр.
В Древнем Вавилоне применялась шестидесятеричная система счисления. Поскольку уложить 60 камешков в каждую бороздку было затруднительно, древние вавилоняне придумали оригинальный выход – разделили счетную доску горизонтальной полосой. В одной части помещали камешки (от 1 до 9), соответствующие единицам, во второй части – соответствующие десяткам (от 1 до 5). Как только в бороздке набиралось 59 камешков, их снимали, а в следующее углубление помещали один камень.
Древняя Греция и Древний Рим
Древние греки внесли существенные изменения в конструкцию вавилонской доски для арифметических вычислений. Вместо дощечки с песком они стали использовать пластину с прорезями, по которым двигались камешки. Древнегреческие абаки изготавливали из мрамора или дерева, их было удобно брать с собой в дорогу. Они использовались для счета по пятеричной системе счисления.
В Древнем Риме абаки стали изготавливать не только из камня или дерева, но и из бронзы, стекла, слоновой кости. До наших дней сохранился древнеримский абак, представляющий собой доску с восемью прорезанными желобками, разделенными на две неравные части (длинную и короткую).
Страны Европы эпохи Средневековья
В европейских странах абак начали массово применять примерно с X столетия. Вместо камешков в европейском абаке начали использоваться жетоны с числовыми обозначениями.
Правила счета с применением этого инструмента подробно описаны в трудах многих ученых того времени. Самые известные из них – работы французского ученого и священнослужителя Герберта, который подробно описал производство всех видов арифметических вычислений с помощью абака.
Активное использование абака в европейских странах продлилось до XVIII столетия. В течение всей эпохи Средневековья абацисты (так называли приверженцев этой методики вычислений) активно боролись с так называемыми алгоритмиками, которые пытались внедрить алгоритмические методы совершения арифметических действий.
Американский континент
Свой абак изобрели и народы американского континента. У ацтеков этот счетный инструмент имел вид деревянного каркаса, в котором натягивались нити с нанизанными кукурузными зернами. Рама была разделена на две части горизонтальной перекладиной. В одной части на нитях было по три зерна, на другой – по четыре. Известно, что такие приспособления использовались у ацтеков примерно в X-XI столетии.
Китай
Древнекитайский аналог абака носил название суаньпань, он был предназначен для пятеричной системы счисления. Счетный инструмент представлял собой деревянную рамку, которая была поделена по горизонтали на две неравные части. Внутри каркаса натягивали проволочки или веревки в количестве 9 штук и более.
В нижнем (большем) отделении на проволочки нанизывали по пять бусинок, в верхней (меньшей) секции – по две. Нижнее отделение называлось «земля», а верхнее – «небо».
Япония
Русский абак
Русский вариант абака – всем известные счеты – был изобретен на рубеже XV-XVI столетий. Он был предназначен для десятичной системы и позволял применять четверти, десятые и сотые, что является его главным отличием от классических конструкций.
Современные счеты
Русские счеты в практически неизменном виде применялись в торговле до конца XX века. Обучение их применению входило в школьную программу СССР. Из употребления счеты вытеснили массово появившиеся электронные калькуляторы, однако и сегодня их можно встретить в некоторых торговых заведениях.
Сегодня для обучения детей скоростному устному счету активно применяется японский вариант абака – соробан. В Японии и Китае он уже давно является элементом школьной программы и применяется на уроках математики в младших классах.