Что со степенями при делении
Свойства степени
Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.
Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.
Свойство № 1
Произведение степеней
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
Свойство № 2
Частное степеней
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.
Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.
Свойство № 3
Возведение степени в степень
При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:
Свойства 4
Степень произведения
При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.
Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.
То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.
Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
Пример возведения в степень десятичной дроби.
4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4
Свойства 5
Степень частного (дроби)
Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.
Свойства степеней. Действия со степенями
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»
a — основание степени;
n — показатель степени.
Читается такое выражение, как a в степени n
Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.
А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:
2 — основание степени;
3 — показатель степени.
Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.
Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.
Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. В начале каждого года вы зарабатываете на нем еще два. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.
Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:
Математики заскучали и решили все упростить:
Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.
Таблица степеней
Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).
Правила умножения и деления степеней
Что представляют собой степенные выражения
Степенью n для числа а является произведение множителей, которые по величине равны а, взятое n раз.
здесь а представляет собой основание степени, n определяет ее показатель.
Таким образом, можно составить формулу:
Запись можно прочитать, как «a в степени n».
Степенное выражение представляет собой такое выражение, в состав которого входит степень.
Перед тем, как рассмотреть действия со степенными выражениями, полезно вспомнить свойства степени:
Правила умножения, что происходит
Если степени имеют одинаковые показатели, то в процессе их перемножения следует умножить между собой основания, а показатель записать без изменений:
где а и b являются основаниями степени, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
В качестве примера решим несколько простых уравнений:
a 5 × b 5 = ( a × a × a × a × a ) × ( b × b × b × b × b ) = ( a × b ) n = ( a b ) × ( a b ) × ( a b ) × ( a b ) × ( a b ) = ( a b ) 5
3 5 × 4 5 = ( 3 × 4 ) 5 = 12 5 = 248832
16 a 2 = 4 2 × a 2 = ( 4 a ) 2
Когда требуется найти произведение степеней, которые обладают одинаковыми основаниями, следует сложить показатели степеней:
В качестве примеров рассмотрим несколько вычислений:
3 5 × 3 2 = 3 5 + 3 = 3 8 = 6561
2 8 × 8 1 = 2 8 · 2 3 = 2 11 = 2048
При умножении чисел, которые имеют разные степени, но схожи по основаниям, необходимо руководствоваться правилом, рассмотренным в предыдущем примере. То есть:
где а и b являются основаниями степени, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
Бывают ситуации, когда числа отличаются по степеням и по основаниям, а также какое-то из оснований невозможно преобразовать в число с аналогичной степенью, как у второго числа. В этом случае нужно возвести в степень каждое число, а на втором шаге выполнить умножение.
3 3 × 5 2 = 27 × 25 = 675
Правила деления
Когда требуется выполнить деление степеней, которые имеют разные основания, но схожи по показателям, нужно найти разность показателей и оставить основание без изменений:
где а является основанием степени, n и m — это показатели степени в виде каких-либо натуральных чисел, m>n.
В качестве примеров рассмотрим несколько выражений:
Деление степеней, которые имеют одинаковые показатели, подразумевает возведение результата частного данных чисел в степень:
где а и b являются основаниями степени в виде любых рациональных чисел, не равных нулю, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
5 12 ÷ 3 12 = ( 5 ÷ 3 ) 12 = ( 1 2 3 ) 12
Предположим, что требуется выполнить деление чисел со степенями. При этом степени не одинаковые, а основания идентичные. Тогда следует руководствоваться правилом, рассмотренным в предыдущем примере:
В том случае, когда отличаются не только степени, но и основания, необходимо возвести в степень каждое из чисел, а затем выполнить умножение. Например:
Примеры решения заданий для 7 класса
Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих одинаковое основание:
Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих одинаковое основание, чтобы избавиться от необходимости возводить число в большую степень:
2 7 = 2 3 × 2 4 = 8 × 16 = 128
Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих разные основания, но одинаковые показатели:
3 2 × 2 2 = ( 3 × 2 ) 2 = 6 2 = 36
Здесь можно применить правило деления степеней с одинаковым основанием и разными показателями:
Здесь можно применить правило деления степеней с одинаковым основанием и разными показателями:
Воспользуемся свойством деления степеней, когда основания отличаются, а показатели совпадают:
Как делить степени
Как делить степени? При каких условиях деление степеней возможно?
В алгебре найти частное степеней можно в двух случаях:
1) если степени имеют одинаковые основания;
2) если степени имеют одинаковые показатели.
Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя (или коротко: при делении степеней показатели вычитают):
(последнюю формулу удобно использовать, если показатель степени в знаменателе больше показателя степени в числителе).
При делении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:
Рассмотрим, как делить степени, на конкретных примерах.
Единицу в показателе степени не пишут, но при делении степеней ее следует учесть:
При делении степеней с одинаковыми основаниями и одинаковыми показателями получаем единицу:
Вынесение общего показателя при делении степеней позволяет упростить вычисления:
В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.
Если нужно число разделить на степень либо степень разделить на число, сначала следует выполнить возведение в степень, а затем — деление:
Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней
Сложение и вычитание степеней
Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.
Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.
Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.
Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.
Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.
Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.
Умножение степеней
Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.
Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.
Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.
Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.
Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.
Деление степеней
Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются..
| Делимое | y 2m | 8a n+m | 12(b + y) n |
| Делитель | y m | 4a m | 3(b + y) 3 |
| Результат | y m | 2a n | 4(b +y) n-3 |
Или:
y 2m : y m = y m
8a n+m : 4a m = 2a n
12(b + y) n : 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.