Что сложнее планиметрия или стереометрия
Как готовиться к геометрии на ЕГЭ: учебники, пособия и лайфхаки
Хоть ЕГЭ в этом году и перенесли, это не повод не готовиться к экзамену. Например, подтянуть геометрию, чтобы сдать профильную математику на 100 баллов. Наш блогер, частный преподаватель Яна Полянских, рассказывает, по каким пособиям можно эффективно подготовиться к ЕГЭ.
Если вы тоже довели алгебру до идеала по всем фронтам и перешли к геометрии, то давайте обсудим, как готовиться, что решать и как оформлять часть С.
А если ваш ребёнок ещё не в 11 классе, но вы планируете сдавать профиль на ЕГЭ, пожалуйста, начните работать с геометрией уже сейчас. 99% школьников совершенно не умеют работать с чертежом, понятия не имеют о масштабе, о проекциях, не могут провести сносную медиану (ну, чтоб она была хоть немного похожа на медиану) без линейки, пространственное мышление просто по нулям.
ФИПИ ежегодно публикует неутешительную статистику: максимальные три балла за планиметрическую задачу С16 получает только 1% от всех (!) участников экзамена. Хотите войти в это число? Тогда нарисуйте все возможные варианты развёрток куба и склейте парочку со своим первоклассником сегодня.
Учебники
1. Для разминки перед занятием: наглядная геометрия Шарыгина. Одна-две задачки настроят на рабочий лад и приведут мозг в нужное состояние.
2. Геометрия: базовый курс с решениями и указаниями Золотарёвой. Я искренне люблю и уважаю серию «МГУ-школе» за отличную подачу материала. Вся книга построена по спирали, каждый раз тема повторяется и углубляется. Если спокойно и самостоятельно работать даже только по ней — будет прекрасный результат. В учебнике есть и краткая теория (без доказательств), и разобранные задачи, и задачи для самостоятельного решения. Во второй главе книги — задачи с идеями и подсказками, которые направляют решение на путь истинный так, будто рядом сидит репетитор.
Алгебра, геометрия, начала анализа. Как хорошо вы сдадите базовый ЕГЭ по математике
Например, задача: внешний угол правильного многоугольника меньше внутреннего угла на 140 градусов. Найдите сумму углов данного многоугольника. Сидит ученик и не понимает, что с этим делать. Смотрим в учебник, а там идея: использовать формулу для суммы внутренних углов произвольного выпуклого n-угольника. Аааааа! Так вот оно что… Хотя нет, всё равно непонятно. Тогда смотрим дальше в учебник, а там подсказка #1: исходя из условия найти сначала внутренний угол многоугольника. Ааааааа! А дальше что…? Ладно, подсказка #2: найти количество углов многоугольника, используя формулу для суммы внутренних углов произвольного выпуклого n-угольника. А что за формула-то?
3. У этих же авторов есть продолжение для тех, кто хочет написать ЕГЭ на 95+, это геометрия: углубленный курс с решениями и указаниями. Ещё больше сложных построений, необычных чертежей, хитрых путей решения и ещё больше красоты.
4. Необычная книга «Геометрия в картинках» Акопяна. Ни одного слова, кроме заголовков, только чертежи, иллюстрирующие классические теоремы и то, как они работают. Для неподготовленного школьника книга, на мой взгляд, бесполезная, а вот с подготовленными идёт на ура. Мы каждое занятие с ребятами начинаем с одного чертежа и «я угадаю эту теорему с трёх букв».
5. Тематические книжечки из серии «ЕГЭ 20__», в которых каждое задание разобрано по отдельности. Мне нравятся книги Гордина (планиметрия и стереометрия). Там даны методы решения задач и доказательств, каждая теорема подробно разобрана по кусочкам. Но для задач там нет решений, только ответы, а значит, самостоятельно готовящемуся школьнику будет сложно проверить себя и проработать ошибку. А как методичка для учителя — отлично.
6. Всякие классические учебники типа Атанасяна и Мерзляка я лично не советую. Они и так-то не особо полезны, а на ЕГЭ в условиях «ааааааа, экзамен через два месяца» вообще неактуальны.
Что и где решать?
Тут всё просто и понятно, даже особо повторять не буду:
Как оформлять?
Так, чтобы ваше решение мог понять человек, уже 40 лет заточенный в одиночестве в тёмном-тёмном замке в тёмной-тёмной комнате за тёмным-тёмным столом. Каждый переход должен быть описан, ибо как эксперт догадается, с какого перепуга если MC=KA, то треугольники BDF и EGT подобны? А, так там что-то подразумевалось/ну по чертежу же понятно/я не стал писать ещё 15 действий, мне лень. Запомните, фразы в стиле «очевидно, что» и «легко видеть» может писать только автор учебника по высшей математике. Вам — нельзя!
Ещё важно научиться рисовать приличные окружности без циркуля, не страдать от отсутствия карандаша, отставить в сторону неадекватный перфекционизм и делать простые, но информативные чертежи. Да, сразу ручкой. Да, без линейки.
Что делать, если геометрия — это тёмный лес и не получается вообще ничего?
Если вы сдаёте ЕГЭ в этом году, то мой совет будет страшен. Забить. Геометрия станет обузой. Это огромное количество формул, теорем и методов доказательств. Это куча нервов и снижение самооценки.
Сейчас вам стоит сосредоточиться на алгебре, довести её до идеала, научиться решать параметры и/или финансовую задачу, которые для освоения будут проще, чем геометрия с нуля.
Если у ученика геометрия совсем провальная, там 100% есть, над чем поработать в алгебре. Я ещё не встречала случаев, когда параметры решают сходу, а задачу с прямоугольным треугольником решить не могут.
А если её вообще не трогать?
Да, пожалуйста. Если геометрию не решать вообще, а остальное написать так, что эксперт скажет «вах!», то это будет соответствовать 90 баллам на ЕГЭ. А если решить хотя бы геометрию из части В, то это потеря всего пяти баллов (2 за стереометрию в С14 и 3 за планиметрию в С16), а значит, можно получить даже 96 баллов. Только не удивляйтесь потом тому, что вы тоже не можете нормально положить багаж на полку самолета нормально, видели же это видео?
Вы находитесь в разделе «Блоги». Мнение автора может не совпадать с позицией редакции.
Геометрия на ЕГЭ по математике
Геометрия на ЕГЭ по математике — одна из сложных тем для абитуриентов. Дело в том, что когда-то экзамен по геометрии в школе был обязательным, а сейчас — нет. В результате у большинства абитуриентов знания по геометрии близки к нулю.
Начнем с планиметрии. Прежде всего, вам нужно выучить основные формулы геометрии.
Для решения задачи нужна более серьезная подготовка.
Первый этап — теория. Необходимый материал есть в учебнике по геометрии за класс (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян). Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.
Программа по геометрии.
1. Треугольники. Элементы треугольника. Вершины и стороны. Высоты, медианы, биссектрисы (определения).
3. Три признака равенства треугольников. Неравенство треугольника.
4. Постройте с помощью циркуля и линейки:
а) серединный перпендикуляр к отрезку;
б) биссектрису угла.
5. Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Их определение и свойства.
6. Теорема о сумме углов треугольника.
7. Внешний угол треугольника.
8. Постройте в одном и том же треугольнике
а) три высоты. Рассмотрите также случаи тупоугольного и прямоугольного треугольника.
б) три биссектрисы.
в) три медианы.
9. Равнобедренный треугольник. Определение и свойства. Высота в равнобедренном треугольнике.
10. Средняя линия треугольника и ее свойства.
11. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
12. Определения синуса, косинуса и тангенса
— для острого угла прямоугольного треугольника
— для произвольного угла.
13. Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника.
14. Параллелограмм. Определение и свойства. Площадь параллелограмма.
15. Виды параллелограммов и их свойства. (ромб, прямоугольник, квадрат).
16. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции.
17. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников.
19. Теоремы синусов и косинусов.
20. Чему равно отношение площадей подобных фигур.
21. Свойство медианы (в каком отношении делятся медианы в точке пересечения?)
22. Свойство биссектрисы (в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?)
23. Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга. Длина дуги и площадь сектора.
24. Теорема о радиусе, проведенном в точку касания.
25. Центральный и вписанный углы. Связь между ними.
26. Теоремы о вписанных углах.
27. Теорема о пересекающихся хордах.
28. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной точки.
29. Теорема о секущей и касательной.
31. Еще три формулы площади треугольника (через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формула Герона).
32. Когда можно вписать окружность в четырехугольник? Когда — описать вокруг четырехугольника?
(Программа по стереометрии будет размещена в ближайшее время.)
Решая на ЕГЭ задачи по геометрии, обращайте особое внимание на оформление. Помните совет, который дал абитуриентам автор бестселлера «Математика — абитуриенту» В. В. Ткачук. Вот он, этот ценнейший совет:
«Подробность решения должна быть такова, чтобы его мог понять человек в 10 (десять) раз глупее вас».
Если вы живете в Москве — приходите к нам на занятия. Геометрия на ЕГЭ станет для вас темой, где вы будете чувствовать себя уверенно.
Звоните нам: (495) 984 09 27 ЕГЭ-Студия.
Или нажмите на кнопку «Запишитесь в группу», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно вам перезвоним.
Планиметрия: хватит бояться, пора учиться!
Привет, друзья! Напоминаем, что сегодня с 17:00 у нас бесплатный стрим по Итоговому. Присоединяйтесь скорее!
Знаете ли вы, что средний балл на ЕГЭ-2021 по «профильной» математике в России – всего 55?
И непонятно – зачем сдавать «Профильный» ЕГЭ по математике на 55, если можно на высокие баллы сдать «Базовый» и выбрать вуз, где математика не нужна.
Мы надеемся, что вы все-таки собираетесь сдать ЕГЭ по математике на высокие баллы. А это значит, что вам не обойтись без планиметрии и стереометрии. Ниже вы найдете полезные материалы, которые помогут их освоить.
Бесплатный курс планиметрии и стереометрии
Планиметрия и стереометрия дадут вам два первичных балла в первой части Профильного ЕГЭ. И шесть – во второй, всего 8 первичных баллов.
Полезные материалы для освоения планиметрии и стереометрии – получайте прямо сейчас.
1. Самое важное – правильная методика подготовки. Не нужно начинать с реальных задач ЕГЭ. Сначала – теория. Свойства геометрических фигур и объемных тел. Определения и теоремы. Все это вы найдете в нашем ЕГЭ-Справочнике. Ничего лишнего там нет. Учите наизусть.
2. Лучшая тренировка на этом этапе – задание №3 (Планиметрия) и №5 (Стереометрия) из первой части ЕГЭ по математике.
Каждая из этих ссылок ведет в большой раздел, где вы найдете ответы на все вопросы по теории и разбор реальных задач ЕГЭ.
Когда освоите задачи 3 и 6 – впереди Часть 2, задачи 13 и 16 (оцениваются в 3 первичных балла каждая).
3. Задача 13 – Стереометрия.
Задача 13 по стереометрии оценивается в целых 3 первичных балла. При этом она не сложная. Любое задание № 13 можно отнести к одному из нескольких типов. О типах задач ЕГЭ по стереометрии и методах их решения читайте здесь.
5. Оказывается, многие задачи по планиметрии строятся по одной из так называемых классических схем. Учите их наизусть! И конечно, доказывайте вместе с нами! Лучше всего начинать именно с задач на доказательство.
Когда вы отлично знаете все теоремы, формулы, свойства геометрических фигур – у вас в голове выстраивается цепочка ассоциаций. Например, в условии задачи дан радиус описанной окружности. В каких формулах он встречается? – Правильно, в теореме синусов и в одной из формул для площади треугольника.
6. В учебнике нет, а на экзамене есть!
Есть такие теоремы, которые вроде и входят в школьную программу – а попробуй их найди в учебнике. Например, теорема о секущей и касательной или свойство биссектрисы. Или теорема о прямой и параллельной ей плоскости в стереометрии. А вы их знаете? Мы заметили, что на ЕГЭ часто предлагались задачи на теорему Менелая, теорему Чевы, лемму о трезубце.
Вот это да! Несправедливо! Но что же нам делать?
Вообще-то есть три выхода.
1) Оставить все как есть и не решать планиметрию. И другие сложные задачи тоже. Итог известен: 55 баллов на ЕГЭ. Платное отделение в не самом лучшем вузе.
3) Готовиться заранее. Вы знаете, где: на Онлайн-курсе Анны Малковой по математике. Разберем все типы задач. Сделаем еще больше занятий по стереометрии и планиметрии, чем в прошлом году.
Наши онлайн-курсы:
Выстроенная, проверенная система подготовки от опытных преподавателей с нуля до самых сложных тем:
Годовой онлайн-курс это:
Теория.
На всех тарифах будет отличный учебник. Это текст со встроенными видеопримерами. В него мы вложили весь 13-летний опыт подготовки на высокие баллы. Просто, понятно, без воды. Только то, что будет на ЕГЭ. Материал расставлен в порядке, идеальном для изучения.
Мастер-классы.
Тренажер для отработки задач ЕГЭ.
Связь с преподавателями.
Возможность задать вопрос и получить на него оперативный ответ!
Репетиционные ЕГЭ.
Во всех платных тарифах будут ежемесячные Онлайн репетиционные ЕГЭ с разбором. Проверяйте себя, планируйте свою подготовку, исправляйте слабые места.
Контроль.
Во всех тарифных планах будет доступна страница личных достижений учащегося. Время проведенное на каждой теме, общее время на платформе, количество решенных/не решенных задач, % прохождения текущей темы, завоеванные звания, результаты репетиционных ЕГЭ. При необходимости можно настроить ежемесячные или еженедельные отчеты (для родителей, например).
Индивидуальный исследовательский проект по математике на тему: «Стереометрия и планиметрия, сходства и различия» выполнен студенткой группы 1 НК Пикаловой Ольгой
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
ПАВЛОВСКИЙ ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧЕРЕЖДЕНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ
«ГУБЕРНСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
по учебному предмету «Математика»
«СТЕРЕОМЕТРИЯ И ПЛАНИМЕТРИЯ, СХОДСТВА И РАЗЛИЧИЯ»
студентка группы 1 НК
Пикалова Ольга Васильевна
преподаватель математики, ВВК
Данилова Любовь Александровна
1.2. История происхождения стереометрии………………………………….…. 5
1.3. Основные аксиомы и теоремы стереометрии……………………………… …6
1.4. Планиметрия. История происхождения планиметрии……………..………..8
1.5. Важные факты о планиметрии……………………………………………….11
Глава II Сходства и различия планиметрии и стереометрии в жизни…………..15
Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Планиметрия – это раздел геометрии, изучающий двумерные фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в одной плоскости.
Мы считаем, что данная тема актуальна всегда, так как каждый человек проходящий школьный курс или же в колледже, изучает эти два раздела. Стереометрия и планиметрия позволяет нашему воображению развиваться, строить разные фигуры на плоскости или представлять фигуры в пространстве.
Объект исследования – на студентов группы 1 НК, в которой проведена интеллектуальная игра.
Предмет исследования – стереометрия и планиметрия, сходства и различия. Цель исследования – выяснить, в чем же сходства и различия между разделами геометрии такими как планиметрия и стереометрия.
1. Рассмотреть понятия: стереометрии, планиметрии,
2. Изучить историю происхождения стереометрии и планиметрии,
3. Исследовать основы стереометрии и планиметрии,
4. Подобрать примеры из жизни
5. Разработать задания для игры «Знаешь ли ты стереометрию?»
Методы исследования: теоретическое, математическое.
Таким образом, в ходе нашего исследования мы пришли к выводу, что стереометрия и планиметрия могут обладать не только сходствами, но и различиями, которые мы рассмотрели в следующих главах.
Глава I . Планиметрия и стереометрия
Основными и простейшими фигурами в пространстве являются: точки, прямые и плоскости. Наряду с этими фигурами есть еще геометрические тела, которые окружают нас в жизни, где бы мы ни были. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками. [3;6]
Самый простой многогранник – это куб. Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром. Такую же форму имеет волейбольный мяч, мандарин и многое другое. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром.
В отличии от реальных предметов геометрические тела, как и всякие геометрическое фигуры, являются воображаемыми объектами. Мы представляем геометрическое тело как часть пространства, отделенную от остальной части пространства поверхностью – границей этого тела. Так, например, граница шара есть сфер, а граница цилиндра состоит из двух кругов – оснований цилиндра и боковой поверхности.
1.2. История происхождения стереометрии.
Геометрия зародилась в древнем Египте около двух тысяч лет до н.э. писал древнегреческий учёный Геродот. При строительстве даже самых примитивных сооружений необходимо было рассчитать сколько материала пойдёт на постройку, уметь вычислять расстояние между точками в пространстве и углы между прямыми и плоскостями, знать свойства простейших геометрических фигур. Так, египетские пирамиды, сооружённые за 2-4 тысячелетия до н.э., поражают точностью своих метрических соотношений, свидетельствующих, что строители уже знали многие стереометрические положения и расчёты.
Развитие торговли и мореплавания требовало умений ориентироваться во времени и пространстве. Начиная с 7 в. до н.э. в древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к теоретической геометрии. Одной из самых первых и известных школ была пифагорейская, названная в честь своего основателя. Для своих философских теорий пифагорейцы использовали правильные многогранники. Их форму придавали элементам первооснов бытия, а именно огонь – тетраэдр, земля – гексаэдр (куб), воздух – октаэдр, вода – икосаэдр. Название многогранников также древнегреческое происхождение, в них зашифровано число граней. [6;14]
По мнению древних Вселенная имела форму правильного додекаэдра, и мы живём внутри небесного свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра. Более поздняя философская школа- Александрийская – дала миру знаменитого учёного Евклида, который жил около 3000 лет до н.э. Им была написана знаменитая книга «Начала», по которой учились 2000 лет. В «Началах» Евклида было представлено стройное аксиометрическое строение геометрии.
Знания по стереометрии применяются в различных науках: в астрономии при изучении планет и их свойств, в физике, исследуя структуру молекул и атомов, имеющих форму шара и др. очень многие «беды» начинающих изучать стереометрию происходят от неумения сделать правильный и удобный для решения задачи рисунок, или чертёж. Причём говорим сейчас не об аккуратности, а о смысловой нагрузке чертежа. Чертёж в стереометрии резко отличается от чертежа в планиметрии. В планиметрии чертёж точно соответствует условию теоремы или данным задачи, в стереометрии, при изображении пространственных фигур на плоскости, наблюдается другая картина, чем в планиметрии, например, как изобразить куб.
В 7-9-х классах на уроках алгебры и в учебниках проблема пространственного воображения считается чужой, а в курсе геометрии всё внимание сосредотачивается на двухмерных объектах и учащимся не предоставляется возможность работать с пространственными объектами, развивая своё воображение, на первых же уроках стереометрии мы сталкиваемся с проблемами: пространственное мышление учеников не развито; они не умеют читать изображения пространственных тел, не умеют их изображать.
Благоприятное время для начала развития пространственного мышления это 5-6 классы средней школы. Поэтому, хоть и медленно, на уроки математики в этих классах проникают специальные упражнения, направленные на его развитие. Затем в 7-9-х классах эта проблема забывается и всплывает (по необходимости) в 10-м классе, поскольку явно даёт о себе знать. В 7-9 –х классах можно выполнять упражнения, которые направлены на формирование у учащихся умений читать изображение пространственных фигур, приучают их вносить мысленные изменения в восприятие, подготавливают к обучению в 10-м классе. [6;21]
1.3. Основные аксиомы и теоремы стереометрии
Аксиомы в стереометрии, рассмотрим по порядку:
· Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
· Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.
· Аксиома 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, которой принадлежат все общие точки этих плоскостей. В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.
· Аксиома 4. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. Таким образом, в любой плоскости пространства можно использовать все доказанные теоремы и формулы из планиметрии.
Основные теоремы стереометрии:
Теоремы о параллельности прямых и плоскостей
Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости β, то пишут: a // β
Теорема 1: Если прямая AB параллельна какой-нибудь прямой CD, расположенной в плоскости P, то она параллельна самой плоскости.
Теорема 2: Если плоскость R проходит через прямую AB, параллельную другой плоскости P, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения CD параллельна первой прямой AB.
Теорема 3: Если две параллельные плоскости P и Q пересекаются третьей плоскостью R, то линии пересечения AB и CD параллельны.
Теорема 4: Если две пересекающиеся прямые AB и DC одной плоскости соответственно параллельны двум прямым A1 B1 и C1 D1 другой плоскости, то эти плоскости параллельны. [5;8]
Теоремы о перпендикулярности прямых и плоскостей
Теорема 1: Для того что бы прямая AB была перпендикулярна плоскости P, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна двум произвольным непараллельным прямым CD и EF, лежащим в этой плоскости.
Теорема 2: Для того, чтобы прямая DE проведенная на плоскости P через основание наклонной AC была ей перпендикулярна, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна к проекции BC, наклонной на плоскость P.
Теорема 3: Если две прямые AB и CD перпендикулярны одной плоскости P, то они параллельны между собой.
Теорема 4: Если две плоскости P и Q перпендикулярны одной прямой AB, то они параллельны друг другу.
1.4. Планиметрия. История происхождения планиметрии.
§ Параллелограмм (частные случаи Квадрат, Прямоугольник, Ромб)
Первый дошедший до нас полный трактат по геометрии, представляющий собрание и систематизацию открытий греческих математиков, принадлежит знаменитому александрийскому геометру Эвклиду. Это бессмертное сочинение носит название «Начала» и представляет полный курс так называемой элементарной геометрии, имеющий, за весьма немногими исключениями, объем, в котором геометрия входит в настоящее время в круг преподавания средних учебных заведений. ( Приложение 2 ) [2;6]
Новинкой этого трактата является метода доказательства, состоящая в доказательстве абсурдности противоположного. В нем автор обнаруживает образцовую последовательность изложения и строгость доказательств. Известен анекдот о Птолемее (Лаге), желавшем познакомиться с геометрией, но упрекавшем Эвклида за длинноту изложения, на что геометр отвечал словами: «в математике нет царской дороги». Возможность события вероятна, ибо Птолемей, как начинающий, мог не видеть, что краткость изложения не всегда безопасна для строгости доказательства.
Кроме «Начал», Эвклидом написаны были несколько других работ, которые не дошли до нас; из этих работ наибольшей глубиной мысли отличается трактат под заглавием «Поризмы». Об этом трактате мы знаем лишь по неясным указаниям александрийского математика Паппуса. Некоторые из выдающихся геометров последних веков обратили свою пытливость к восстановлению и уяснению содержания этого трактата по темным намекам Паппуса.
Эти работы дали толчок к развитию новых приемов в геометрии, составляющих предмет так называемой проективной геометрией. Проективная геометрия рассматривает фигуры как перспективу или проекцию других фигур. При таком рассмотрении некоторые свойства фигур сохраняются в их перспективе, некоторые же теряются. Теряются так называемые метрические свойства, а именно перспектива меняет величину углов, а также относительные размеры частей фигур. Так, например, круг в перспективе обращается в эллипс.
Те же свойства фигур, которые сохраняются в перспективе, носят название проективных свойств фигур и составляют предмет изучения проективной геометрии. Так, например, касательная к кругу в перспективе остается касательной к эллипсу.
Под последним названием разумеется совокупность предложений, дающих числовые соотношения между геометрическими величинами, входящими в вопрос, в отличие от геометрического положения, рассматривающего свойства фигур, зависящие от их положения, но не зависящие от размеров этих фигур.
Перечисляя открытия Архимеда в геометрии, прежде всего надо остановиться на его изысканиях отношения окружности к диаметру, причем для несоизмеримого числа, выражающего это отношение, дано было первое приближение 22/7. Квадратура параболы представляет первый пример на измерение площадей, ограниченных кривыми линиями. Свойства спиралей, теорема о шаре и цилиндре, объемы сфероидов и коноидов суть главнейшие изобретения творческого гения, которому статика обязана столько же, как и геометрии.
Сочинения Аполлония относятся к геометрической форме. Главнейшей работой, давшей автору известность, был трактат о конических сечениях. Здесь мы имеем полную теорию трех линий, эллипса, гиперболы и параболы, носящих общее название конических сечений, свойства их сопряженных диаметров, асимптот, фокусов, нормалей, теорема о поляре, первое понятие об эволютах и ряд прекрасных вопросов на maxima и minima.
Теорию эпициклов, играющую роль в Птолемеевой системе мира, приписывают тоже Аполлонию. Последователи Архимеда и Аполлония направили свои изыскания на астрономию и на части геометрии, имеющие связь с этой наукой. [6;32]
Сюда относятся работы Гиппарха и Птолемея. В этих работах, а также в «Сфериках» Менелая мы находим прямолинейную и сферическую тригонометрии древних греков. Этот период александрийской школы есть уже период упадка геометрии; кроме указанных астрономов, мы встречаем тут лишь комментаторов, из которых по праву приобрел наибольшую известность Паппус.
Сочинение Паппуса, носящее заглавие «Collectanea mathematica», драгоценно как источник для знакомства с состоянием геометрии в Греции, ибо большинство сочинений древних геометров, как известно, не дошло до нас. В работах Паппуса мы встречаем известную теорему Гюльдена, зародыш учения об ангармонии и инволюции и свойства шестиугольника, вписанного в коническое сечение.
Вот краткий исторический обзор главнейших работ греков по геометрии. Они делили геометрию на три части: на элементы, прикладную геометрию, или геодезию, и высшую геометрию, которая представляла совокупность решений вопросов и теорий, в коих геометр мог найти необходимые указания для доказательства теорем и решения задач. Эту последнюю часть новейшие математики называют геометрическим анализом древних греков.
1.5. Важные факты о планиметрии
Среди всего прочего стоит выделить точку и прямую. Они являются двумя основными понятиями планиметрии. [ 9;8]
· Угол, который состоит из двух лучей, выходящих из одной точки.
В планиметрии это наиважнейшие правила, по которым работает вся наука. Да и не только в ней. По определению, речь идет об утверждениях, не требующих доказательств.
Аксиомы, которые буду рассмотрены ниже, входят в так называемую Евклидовую геометрию.
· Есть две точки. Через них всегда можно провести единственную прямую.
· Если существует прямая, то есть точки, которые на ней лежат, и точки, не лежащие на ней.
Это 2 утверждения принято называть аксиомами принадлежности, а следующие – порядка:
· Если на прямой расположены три точки, то одна из них обязательно находится между двумя другими.
· Плоскость делится любой прямой на две части. Когда концы отрезка лежат на одной половине, то значит и весь объект принадлежит ей. В ином случае исходная прямая и отрезок имеют точку пересечения.
· Каждый отрезок имеет длину, отличную от нуля. Если точка разбивает его на несколько частей, то их сумма будет равна полной длине объекта.
· У каждого угла есть определенная градусная мера, которая не равна нулю. Если разбить его лучом, то исходный угол будет равен сумме образованных.
· На плоскости расположена прямая. Через любую точку, не принадлежащую ей, можно провести лишь одну прямую, параллельную данной.
По сторонам (соотношения выплывают из названий):
Два угла независимо от ситуации всегда будут острыми, а третий определяется первой частью слова. То есть у прямоугольного треугольника один из углов равен 90 градусам.
· Чем больше угол, тем больше противоположная ему сторона.
· Всегда можно вписать окружность в треугольник или же описать ее вокруг него.
Об одной из основных формул планиметрии говорит теорема Пифагора. Работает она исключительно для прямоугольного треугольника и звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: AB2 = AC2 + BC2.
Информации на эту тему чрезвычайно много. Ниже приведена лишь самая важная. [ 9;16]
· Сума внутренних углов равна 360 градусам.