Чем отличаются медиана биссектриса и высота треугольника

Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.

теория по математике 📈 планиметрия

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек на плоскости, которые не лежат на одной прямой, и трех последовательно соединяющих их отрезков.

Точки называют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Вершины треугольника обозначают заглавными латинскими буквами.

Виды треугольников по углам

Треугольники классифицируются по углам: остроугольные; тупоугольные; прямоугольные.

Виды треугольников по сторонам

Треугольники классифицируются по сторонам: разносторонний; равнобедренный; равносторонний.

Разносторонний	Равнобедренный	Равносторонний
Треугольник называется разносторонним, если у него длины всех сторон разные. На рисунке показан такого вида треугольник АВС.	Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. На рисунке показан равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ=ВС.	Треугольник называется равносторонним, если у него все стороны равны. На рисунке показан такой треугольник, у него АВ=ВС=АС.

Медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника

Медиана

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

В любом треугольнике можно провести три медианы, так как сторон – три. На рисунке показаны медианы треугольника АВС: AF, EC, BD.

По данному рисунку также видно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке – точке О. Это справедливо для любого треугольника.

Биссектриса

Биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла треугольника и делящий его пополам.

В любом треугольнике можно провести три биссектрисы, так как углов – три. На рисунке показаны биссектрисы треугольника ЕDC: DD₁, EE₁ и CC₁.

По рисунку также видно, что биссектрисы имеют одну точку пересечения. Это справедливо для любого треугольника.

Высота

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.

На рисунке показаны высоты треугольника АВС: АН₁, ВН₂ и СН₃.

По рисунку видно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это также справедливо для любого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке показаны три средние линии треугольника АВС: MN, KN и MK.

Средняя линия обладает следующими свойствами: она параллельна противоположной стороне; она равна половине противоположной стороны. Так, на данном рисунке MN параллельна АС, KN параллельна АВ, MK параллельна ВС. Также MN=0,5АС, KN=0,5АВ и MK=0,5ВС. Например, если известно, что сторона АС=20 см, то средняя линия МN равна половине АС, то есть МN=10 см. Или, например, если средняя линия МК=12 см, то сторона ВС будет в два раза больше, то есть ВС=24 см.

Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.

Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Составим отношение сторон:

Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.

Составим отношение сторон:

Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найти длину его средней линии, параллельной стороне АС.

Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, чтобы найти длину средней линии, надо сторону треугольника разделить пополам. Найдем сторону треугольника, которой параллельна средняя линия, т.е. АС, сосчитав клетки, получим, что АС равна 8. Значит, средняя линия равна 8:2=4.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 84 0 :2=42 0

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Треугольник. Важные факты о высоте, биссектрисе и медиане

Определения

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

Доказательство

Для других медиан треугольника \(ABC\) требуемое свойство доказывается аналогично.

Теорема

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).

Доказательство

Теорема

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.

Доказательство

Теорема

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.

Доказательство

Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть \[\dfrac>> = \dfrac = \dfrac\]

Теорема

Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.

Доказательство

Источник

Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».

Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.

Источник

Медианы, биссектрисы, высоты треугольника

Вы будете перенаправлены на Автор24

Начальные сведения о треугольниках

Выберем на плоскости три произвольные точки, которые будут удовлетворять условию аксиомы 1. Соединим эти точки между собой отрезками. Тогда

Треугольником будем называть такую геометрическую фигуру, которая состоит из трех точек, не имеющих общей прямой, соединенных отрезками.

Точки в рамках определения 1 называются вершинами треугольника.

Отрезки в рамках определения 1 называются сторонами треугольника.

Треугольник будем обозначать тремя точками его вершин (рис. 1)

Медиана

Введем такое понятие, связанное с треугольниками как медиана.

Медианой будем называть отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны.

Для более легкого запоминания можно пользоваться следующей «шуточной» иллюстрацией (рис. 2):

Готовые работы на аналогичную тему

Очевидно, что треугольник имеет три медианы. Для них справедлива следующая теорема (её доказательство в этой статье рассматривать не будем):

Все три медианы в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться центроидом треугольника.

Биссектриса

Введем такое понятие, связанное с треугольниками как биссектриса.

Биссектрисой будем называть луч, который проведен из вершины так, что делит угол в этой вершине на две равные части.

Для более легкого запоминания можно пользоваться следующей «шуточной» иллюстрацией (рис. 3):

Очевидно, что треугольник имеет три биссектрисы. Для них справедлива следующая теорема (её доказательство в этой статье рассматривать не будем):

Все три биссектрисы в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться инцентром треугольника.

Высота

Введем такое понятие, связанное с треугольниками как высота.

Высотой будем называть отрезок, который проведен из вершины так, что падает на противоположную сторону под прямым углом.

Для более легкого запоминания можно пользоваться следующей «шуточной» иллюстрацией (рис. 4):

Очевидно, что треугольник имеет три высоты. Для них справедлива следующая теорема (её доказательство в этой статье рассматривать не будем):

Все три высоты в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться ортоцентром треугольника.

Пример задач

Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 5).

Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 6).

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 05 07 2021

Источник

Чем отличается медиана и биссектриса треугольника?

Чем отличается понятие биссектриса угла и биссектриса треугольника?

Биссектриса угла – это линия, делящая угол пополам. Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленых от сторон угла. Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Что называется медианой высотой и биссектрисой треугольника?

Чем отличается Меридиан от биссектрисы?

В чем разница между биссектрисой и медианой и высотой?

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Что такое биссектриса в прямоугольнике?

Биссектриса прямоугольника отсекает от него равнобедренный треугольник.

Чему равна биссектриса в треугольнике?

Формула длины биссектрисы через длины сторон и пропорциональные отрезки Биссектриса угла треугольника равна корню квадратному из произведения сторон, образующих этот угол минус произведение отрезков, на которые биссектриса делит сторону треугольника.

Когда высота является медианой и биссектрисой?

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Что такое биссектриса вершина?

Биссектри́са (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон этого угла.

Что такое медиана угла?

mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.

В каком отношении биссектриса делит медиану?

а) Биссектриса угла А треугольника АВС делит медиану, проведенную из вершины В, в отношении 5 : 4, считая от вершины В.

В каком отношении биссектриса делит сторону?

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Как доказать то что биссектриса является медианой?

Если у него две стороны равны либо два угла равны. Значит, нам нужно доказать либо равенство сторон AC и BC, либо равенство углов A и B. Любое из этих равенств следует из равенства треугольников. В треугольниках AKC и BKC биссектриса CK образует равные углы ACK и BCK, медиана CK — равные отрезки AK и BK.

Как доказать что отрезок является биссектрисой угла?

Руководствуясь теоремой о параллельных прямых, которые пересекают стороны угла, вы получите равенство: АК/КС=АВ/ВМ=АВ/ВС. Таким образом, биссектриса внутреннего угла делит противоположную сторону треугольника на пропорциональные его прилежащим сторонам части и является отрезком, что и требовалось доказать.

В каком случае медиана является высотой?

Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник — равнобедренный.

Как найти длину медианы в прямоугольном треугольнике?

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине квадратного корня из суммы квадратов катетов.

Источник