Чем определяется ускорение грузов в машине атвуда

Изучение законов поступательного движения на машине Атвуда: формулы и пояснения

Использование простых механизмов в физике позволяет изучать различные природные процессы и законы. Одним из этих механизмов является машина Атвуда. Рассмотрим в статье, что она собой представляет, для чего используется, и какие формулы описывают принцип ее работы.

Что такое машина Атвуда?

Названная машина представляет собой простой механизм, состоящий из двух грузов, которые соединены переброшенной через неподвижный блок нитью (веревкой). В данном определении следует пояснить несколько нюансов. Во-первых, массы грузов в общем случае являются разными, что обеспечивает наличие у них ускорения под действием силы тяжести. Во-вторых, нить, связывающая грузы, считается невесомой и нерастяжимой. Эти предположения значительно облегчают последующие расчеты уравнений движения. Наконец, в-третьих, неподвижный блок, через который переброшена нить, также считается невесомым. Кроме того, во время его вращения пренебрегают силой трения. Ниже на схематическом рисунке показана эта машина.

Вам будет интересно: Пространственная экономика: описание специальностей и структура

Вам будет интересно: Что такое подполье? Подпольная организация «Молодая гвардия». Антифашистское движение

Машина Атвуда была изобретена английским физиком Джорджем Атвудом в конце XVIII века. Служит она для изучения законов поступательного движения, точного определения ускорения свободного падения и экспериментальной проверки второго закона Ньютона.

Уравнения динамики

Каждый школьник знает, что ускорение у тел появляется только в том случае, если на них оказывают действие внешние силы. Данный факт был установлен Исааком Ньютоном в XVII веке. Ученый изложил его в следующем математическом виде:

Где m – инерционная масса тела, a – ускорение.

Изучение законов поступательного движения на машине Атвуда предполагает знание соответствующих уравнений динамики для нее. Предположим, что массы двух грузов равны m1 и m2, причем m1>m2. В таком случае первый груз будет перемещаться вниз под действием силы тяжести, а второй груз будет двигаться вверх под действием силы натяжения нити.

Рассмотрим, какие силы действуют на первый груз. Их две: сила тяжести F1 и сила натяжения нити T. Силы направлены в разных направлениях. Учитывая знак ускорения a, с которым перемещается груз, получаем следующее уравнение движения для него:

Что касается второго груза, то на него действуют силы той же природы, что и на первый. Поскольку второй груз движется с ускорением a, направленным вверх, то уравнение динамики для него принимает вид:

Таким образом, мы записали два уравнения, в которых содержатся две неизвестных величины (a и T). Это означает, что система имеет однозначное решение, которое будет получено далее в статье.

Расчет уравнений динамики для равноускоренного движения

Как мы видели из записанных выше уравнений, результирующая сила, действующая на каждый груз, остается неизменной в процессе всего движения. Масса каждого груза также не меняется. Это означает, что ускорение a будет постоянным. Такое движение называют равноускоренным.

Изучение равноускоренного движения на машине Атвуда заключается в определении этого ускорения. Запишем еще раз систему динамических уравнений:

Чтобы выразить значение ускорения a, сложим оба равенства, получаем:

Подставляя явное значение сил тяжести для каждого груза, получаем конечную формулу для определения ускорения:

Отношение разницы масс к их сумме называют числом Атвуда. Обозначим его na, тогда получим:

Проверка решения уравнений динамики

Выше мы определили формулу для ускорения машины Атвуда. Она является справедливой только в том случае, если справедлив сам закон Ньютона. Проверить этот факт можно на практике, если провести лабораторную работу по измерению некоторых величин.

Лабораторная работа с машиной Атвуда является достаточно простой. Суть ее заключается в следующем: как только грузы, находящиеся на одном уровне от поверхности, отпустили, необходимо засечь время движения грузов секундомером, а затем, измерить расстояние, на которое переместился любой из грузов. Предположим, что соответствующие время и расстояние равны t и h. Тогда можно записать кинематическое уравнение равноускоренного движения:

Откуда ускорение определяется однозначно:

Отметим, что для увеличения точности определения величины a, следует проводить несколько экспериментов по измерению hi и ti, где i – номер измерения. После вычисления значений ai, следует рассчитать среднюю величину acp из выражения:

Где m – количество измерений.

Приравнивая это равенство и полученное ранее, приходим к следующему выражению:

Если данное выражение оказывается справедливым, то таковым также будет и второй закон Ньютона.

Расчет силы тяжести

Выше мы предположили, что значение ускорения свободного падения g нам известно. Однако при помощи машины Атвуда определение силы тяжести также оказывается возможным. Для этого вместо ускорения a из уравнений динамики следует выразить величину g, имеем:

Чтобы найти g, следует знать, чему равно ускорение поступательного перемещения. В пункте выше мы уже показали, как его находить экспериментальным путем из уравнения кинематики. Подставляя формулу для a в равенство для g, имеем:

Вычислив значение g, несложно определить силу тяжести. Например, для первого груза ее величина будет равна:

Определение силы натяжения нити

Сила T натяжения нити является одним из неизвестных параметров системы динамических уравнений. Выпишем еще раз эти уравнения:

Если в каждом равенстве выразить a, и приравнять оба выражения, тогда получим:

T = (m2*F1 + m1*F2)/(m1 + m2).

Подставляя явные значения сил тяжести грузов, приходим к конечной формуле для силы натяжения нити T:

Машина Атвуда имеет не только теоретическую пользу. Так, подъемник (лифт) использует при своей работе контргруз с целью подъема на высоту полезного груза. Такая конструкция значительно облегчает работу двигателя.

Источник

Методические указания к лабораторной работе «Машина Атвуда»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Экспериментальная проверка основных уравнений и законов поступательного движения тела в поле сил земного тяготения, определение ускорения свободного падения лабораторной установке – машине Атвуда.

Время движения грузов измеряется с помощью ручного или стационарного секундомера.

Для выполнения работы машина Атвуда должна быть установлена строго вертикально, что легко проверить по параллельности шкалы и нити.

Второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось для каждого из тел системы (рис.2) в предположении невесомости блока, отсутствия силы трения и нерастяжимости нити дает:

(1)

(2)

Так как начальная скорость в опытах на машине Атвуда обычно равна нулю и движение условно начинается из начала координат, то

(3)

Третье соотношение часто называют законом перемещений: «Перемещение при равноускоренном движении прямо пропорционально квадрату времени движения».

Соотношение (3) может быть проверено экспериментально на машине Атвуда. Кроме того, машина Атвуда дает возможность экспериментально проверить второй закон Ньютона для поступательного движения: «Ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально равнодействующей действующих на него сил и обратно пропорционально массе этого тела».

Подставляя a _i в (2) получаем следующую формулу:

(4)

(5)

— сумма проекций на ось Z всех сил, действующих на вращающиеся тело; α- угловое ускорение блока; J – его момент инерции

(6)

Выразим из уравнения (1) разность сил натяжения ( T ₁ – T ₂ ) и подставив ее в уравнение (6) получим:

(7)

Выразим ускорение грузов a :

(8)

Учитывая, что значение момента инерции блока

(9),

k- коэффициент распределения массы блока относительно оси вращения (k

11)

Задание 1. Проверка второго закона Ньютона.

Поскольку ускорение движения является функцией двух переменных – силы и массы, то изучение второго закона Ньютона выполняется путем раздельного исследования двух зависимостей: 1) зависимости ускорения от действующей силы при постоянной массе системы и 2) зависимости ускорения от массы системы при постоянной действующей силе.

Исследование зависимости ускорения от силы при постоянной массе

Измерения и обработка результатов

3. Измеряют время равноускоренного движения системы на пути, например, 1 метр. Все данные заносят в таблицу 1.3 отчета.

4. Пользуясь законом путей (1.6), вычисляют ускорение а.

5. Поводят еще 5-6 опытов, последовательно увеличивая массу перегрузков.

6. Строят график зависимости ускорения движения от действующей силы. Точку ( F =0, a =0) на графике не откладывают. Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом и прямая проходит через начало координат, то можно сделать вывод о том, что ускорение действительно прямо пропорционально силе.

7. По угловому коэффициенту полученной прямой определяют массу системы и сравнивают ее реальной массой.

Исследование зависимости ускорения от массы при постоянной силе

Измерения и обработка результатов

1. Все опыты проводят с одним и тем же перегрузком, т.е. при постоянной действующей силе. Ускорение системы измеряется также как и в предыдущем задании.

2. Для изменения массы системы одновременно на правый и левый груз кладут дополнительные одинаковые грузы. Все данные записывают в таблицу отчета.

3. График обратно пропорциональной зависимости ускорения от массы представляет собой гиперболу, которую невозможно идентифицировать. Для проверки предположения об обратно пропорциональной зависимости между ускорением и массой необходимо построить график зависимости ускорения от обратного значения массы системы: a = f (М -1 ). Подтверждением предположения является прямолинейность этого графика.

4. По угловому коэффициенту полученной прямой определяют значение приложенной силы и сравнивают ее с реально действующей в системе

Задание 2. Определение ускорения движения грузов

В полученном уравнении прямой коэффициент k равен половине ускорения системы: k=a/2. Это позволяет вычислить ускорение грузов ( a =2 k ) в данном опыте и определить погрешность его измерения. Произведите необходимые вычисления и занесите результаты в отчет.

Задание 3. Определение ускорения свободного падения

(Выполняется по результатам измерений и вычислений, проведенных в первом и втором заданиях). Зная массы грузов и перегрузка, а также ускорение движения системы, из формулы (3) найдите ускорение свободного падения. Результаты занесите в отчет. В выводе сравните полученный результат с табличной величиной.

Для нахождения погрешности измерения величины ускорения свободного падения Δ g используем формулу:

12)

где ; ; ; ;

– частные производные функции

Проанализируйте результаты своих наблюдений и сформулируйте вывод.

Контрольные вопросы

Какое движение называется поступательным?

Дайте определение инерциальной системы отсчета. Приведите примеры ИСО.

Сформулируйте первый закон Ньютона. Приведите примеры его проявления.

Дайте определение инертной массы тела. Гравитационной? От чего и как зависит масса тела?

Сформулируйте второй закон Ньютона. Приведите варианты его математической формы.

Покажите все силы, действующие на один из грузов в машине Атвуда, и составьте для него уравнение динамики.

Запишите систему уравнений динамики для машины Атвуда с учетом момента инерции блока. Силы трения в блоке?

Источник

Машина Атвуда

Машина Атвуда — лабораторное устройство для изучения поступательного движения с постоянным ускорением. Была изобретена в 1784 году английским физиком и математиком Джорджем Атвудом.

Содержание

Описание

Идеальная Машина Атвуда имеет конструкцию: через блок, укрепленный на некоторой высоте от стола, переброшена нить, к концам которой привязаны два тела с массами и .

Когда массы тел равны () система находится в состоянии безразличного равновесия вне зависимости от положения грузов.

Если , тогда вся система тел приходит в поступательное движение.

Формула для нахождения ускорения

Это движение описывается с помощью второго закона Ньютона, представленного в общем виде:

Применительно к нашей задаче для левого и правого тел уравнение движения запишется в виде двух уравнений в проекциях на ось :

Мы считаем, что нить идеальна (то есть невесома и нерастяжима) и блок невесом, значит и , получим:

Формула для нахождения ускорения свободного падения

Измерив время прохождения грузами определённого расстояния, можно вычислить их ускорение. Отсюда:

Формула для нахождения силы натяжения нити

Для нахождения натяжения нити в любое из уравнений подставляем выражение для ускорения, полученное выше. Например, подставляя в первое уравнение системы выражение для ускорения, получаем:

Литература

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Машина Атвуда» в других словарях:

машина Атвуда — Atvudo mašina statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tolygiai greitėjančio judesio dėsnių demonstravimo ir tikrinimo įtaisas. Juo nustatoma trinties jėga, patikrinamas antrasis Niutono dėsnis. atitikmenys: angl. Atwood’s… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

машина Атвуда — Atvudo mašina statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Atwood’s free fall apparatus; Atwood’s machine vok. Atwoodsche Maschine, f rus. машина Атвуда, f pranc. machine d’Atwood, f; machine de chute d’Atwood, f … Fizikos terminų žodynas

АТВУДОВА МАШИНА — (от собств. им. физика Атвуда; устроен. в 1784 г.). Прибор, объясняющий законы падения тел. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. АТВУДОВА МАШИНА от собственного имени. Физический прибор для определения… … Словарь иностранных слов русского языка

Атвуд, Джордж — Джордж Атвуд George Atwood Род деятельности: физик, математик, изобретатель, шахматист Дата рождения: 1745 год(1745) … Википедия

Лагранжева механика — Классическая механика … Википедия

Суточное вращение Земли — Наклон земной оси по отношению к плоскости эклиптики (плоскости орбиты Земли). Суточное вращение Земли вращение … Википедия

Atvudo mašina — statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tolygiai greitėjančio judesio dėsnių demonstravimo ir tikrinimo įtaisas. Juo nustatoma trinties jėga, patikrinamas antrasis Niutono dėsnis. atitikmenys: angl. Atwood’s machine vok.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

Atwoodsche Maschine — Atvudo mašina statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tolygiai greitėjančio judesio dėsnių demonstravimo ir tikrinimo įtaisas. Juo nustatoma trinties jėga, patikrinamas antrasis Niutono dėsnis. atitikmenys: angl. Atwood’s… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

Atwood’s machine — Atvudo mašina statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tolygiai greitėjančio judesio dėsnių demonstravimo ir tikrinimo įtaisas. Juo nustatoma trinties jėga, patikrinamas antrasis Niutono dėsnis. atitikmenys: angl. Atwood’s… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

Fallmaschine — Atvudo mašina statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tolygiai greitėjančio judesio dėsnių demonstravimo ir tikrinimo įtaisas. Juo nustatoma trinties jėga, patikrinamas antrasis Niutono dėsnis. atitikmenys: angl. Atwood’s… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

Источник

МУ 4586: Изучение динамики поступательного движения тела с помощью машины Атвуда

Лабораторная работа 1-16: Изучение динамики поступательного движения тела с помощью машины Атвуда

Цель работы: изучение динамики поступательного движения тела в поле сил земного тяготения, определение ускорения свободного паде- ния.

Приборы и принадлежности: машина Атвуда, блок электронный ФМ-1/1, набор грузов и перегрузков.

Элементы теории и метод эксперимента

Машина Атвуда используется для изучения законов динамики движения тел в поле земного тяготения. Она представляет собой на- стольный прибор, изображенный на рис. 1.

Принцип работы машины Атвуда заключается в следующем. Если на концах нити висят грузы A и B одинаковой массы M, то система должна находиться в положении безразличного равновесия. Когда на один из грузов (например, груз B) кладут перегрузок С массы m, то система выходит из положения равновесия и грузы А и B начинают двигаться равноускоренно. В комплект установки, помимо грузов, входит несколько перегрузков различной массы, что позволяет изучать движение с различными ускорениями.

Согласно второму закону Ньютона

где a – ускорение груза вместе с перегрузком.

На левый груз будут действовать две силы: Mg и

Так как блок невесом, то равен

Измеряя пройденный правым грузом путь S и время движения t, можно проверить равноускоренный характер движения груза:

Определение ускорения свободного падения, казалось бы, можно провести на основе формулы (4). Пусть а_э — экспериментальное ускоре- ние, вычисленное из (5). Подставляя а_э в (4), получаем

Однако вычисление g по формуле (6) и сопоставление его с таб- личным покажут, что вычисленное и табличное значения g плохо согла- суются друг с другом. Такое расхождение связано со следующими при- чинами.

Попробуем учесть теоретически, как эти величины видоизменяют соответствующие формулы для вычисления величин а и g, и опишем методику обработки полученных результатов в каждом опыте.

Для этого рассмотрим вращательное движение блока машины Атвуда. Основной закон динамики вращательного движения тела имеет вид

Сумма Mzi — сумма проекций на ось z всех моментов сил, действующих на вращающееся тело; e — его угловое ускорение; J — момент инерции тела.

Направим ось z вдоль оси вращения блока. При движении грузов

на блок действуют вращающий момент (T1 — T2 )r и момент силы трения –M_тр. Тогда уравнение (7) примет вид

где g_э — экспериментальное значение ускорения свободного падения.

Формула (16) может служить основой для экспериментального оп- ределения ускорения свободного падения.

Подготовка установки к работе

Порядок выполнения работы

Для каждого из перегрузков m_i, входящих в комплект лаборатор- ной установки, проведите серии опытов в указанном порядке.

8. Повторите пп. 3 – 7 ещё два раза.

9. Повторите пп. 1 – 8 ещё два раза для различных значений пути S.

Задание 1. Проверка равноускоренного характера движения перегрузков

Для каждого перегрузка m_iпостройте график зависимости S от

Ошибки измерений часто приводят к тому, что экспериментальные точки данной зависимости не лежат на одной прямой. Поэтому через точки следует провести «наилучшую прямую», т. е. прямую, проходящую на наименьшем расстоянии от большинства точек.

Задание 2. Определение ускорения свободного падения

Вопросы и задания для самоконтроля

Библиографический список

Изучение динамики поступательного движения тела с помощью машины Атвуда / Рязан. гос. радиотехн. ун-т; cост.: М.А. Буробин. Рязань, 2012. 8 с.

Содержат основные теоретические сведения, порядок выполнения работы и итоговые контрольные вопросы.

Предназначены для студентов всех направлений подготовки бакалавров и специальностей, изучающих дисциплину «Физика».

Табл. 1. Ил. 2. Библиогр.: 3 назв.

Машина Атвуда, ускорение, равноускоренное движение, ускорение свободного падения

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанского государственного радиотехнического университета.

Рецензент: кафедра общей и экспериментальной физики РГРТУ (зав. кафедрой доц. М.В. Дубков)

Изучение динамики поступательного движения тела с помощью машины Атвуда

Составитель: Б у р о б и н Михаил Анатольевич

Редактор Р.К. Мангутова Корректор С.В. Макушина

Подписано в печать 20.04.12. Формат бумаги 60 × 84 1/16.

Бумага газетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 0,5.

Тираж 200 экз. Заказ

Рязанский государственный радиотехнический университет.

Источник