Чем определяется собственная частота колебательной системы
Колебательная система и ее частота: примеры колебательных систем
Содержание:
В природе полно примеров систем, способных к совершению свободных периодических колебаний. Человек широко применяет это явление при создании технических средств: механических и электронных агрегатов. Рассмотрим, какие системы называются колебательными, приведём примеры таких в окружающем мире.
Теория
Помимо механических, есть электромагнитные колебательные системы. В них вместо физических предметов периодические движения совершают электромагнитные волны – полевые образования. Такие системы – основа радиоэлектроники, электрических устройств.
Собственная частота колебательной системы – частота совершаемых ею свободных колебаний. Определяется параметрами самой системы.
Линейные механические колебательные системы описывают дифференциальные уравнения с граничными условиями. В них по превышению допустимого порога амплитуда повторяющихся движений неконтролируемо повышается, ведь приход и растрата энергии в таком случае будут пропорциональными квадрату амплитуды.
Где используются
Популярные вопросы с ответами
Второе задание: какая из систем не является колебательной из приведённых на рисунке ниже. Объясните, почему.
К таким относится изображённая под буквой В система. Натянутая струна долго совершает периодические движения после отпускания, даже если к ней не подводить энергию извне. Пружина, при условии, что на ней находится лёгкий груз, может какое-то время сжиматься и разжиматься. Отпущенный на рисунке В шарик скатится вниз и остановится, его энергии для обратного подъёма не хватит.
Как определить собственную частоту колебаний
Вы будете перенаправлены на Автор24
Собственные колебания
Собственные или свободные колебания – это колебания, происходящие в системе при отсутствии переменных внешних воздействий. Такие колебания возникают по причине начального отклонения одного из параметров от состояния равновесия.
В целом колебания представляют собой повторяющийся во времени процесс изменения состояния системы около точки равновесия (при колебании маятника все углы его отклонения от вертикали повторяются с определенной периодичностью.
В реальных макроскопических системах собственные колебания затухают по причине потерь энергии. Любой колебательный процесс связан с переходом энергии из одной формы в другую.
Следует заметить, что колебания различной физической природы имеют ряд общих закономерностей и тесно связаны с волнами. В этой связи исследованием таких закономерностей занимается теория колебаний и волн. Принципиальное отличие колебаний от волн заключается в том, что распространение последних сопровождается переносом, а не переходом энергии.
По характеру взаимодействия с окружающей средой колебания разделяют на:
В настоящей статье речь пойдет о собственных колебаниях, т.е. о колебаниях системы под действием внутренних сил после выведения системы из равновесия.
При небольших отклонениях от состояния равновесия движение любой системы будет удовлетворять принципу суперпозиции. Согласно данному принципу сумма произвольных движений составляет допустимое движение системы. Подобные движения описываются линейными (дифференциальными) уравнениями.
В случае, если в системе нет потерь энергии (она консервативна), а ее параметры не изменяются во времени, то любое собственное колебание может быть представлено, как совокупность нормальных колебаний, изменяющихся во времени по закону синуса с определенными частотами собственных колебаний.
Если положение системы в любой момент времени описывается единственным параметром, то такая система имеет одну степень свободы. Идеальным примером такой системы является маятник, колеблющийся в плоскости. И действительно, положение маятника в любой момент может определяться лишь углом его отклонения от вертикали.
Готовые работы на аналогичную тему
В природе существует большое количество весьма интересных систем, имеющих две степени свободы. Например, молекулы и элементарные частицы (наиболее примечательны нейтральные К-мезоны). Более простым и понятным примером является двойной маятник (один маятник подвешивается к опоре, второй – к гире первого маятника; два маятника, объединенные пружиной).
Чтобы описать состояние системы с двумя степенями свободы необходимо уже две переменные. Например, в случае со сферическим маятником роль таких переменных будут выполнять положения маятника в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. В случае объединенных маятников эти переменные соответствуют положению каждого из маятников.
В общем виде движение системы, имеющей две степени свободы, может иметь весьма сложный вид, не напоминающий простое гармоническое движение.
Для двух степеней свободы, а также при линейных уравнениях движения общий вид движения представляет собой суперпозицию двух простейших гармонических зависимостей, происходящих в один момент. Эти два элементарных движения называют нормальными (собственными) колебаниями или гармониками.
Колебательные системы с сосредоточенными параметрами, состоящими из N связанных осцилляторов (например, цепочка из связанных между собой пружинками шариков), число гармоник будет равно N. В системах с распределенными параметрами (мембрана или резонатор) таких колебаний существует бесчисленное множество. Например, для закрепленной струны длиной L гармоники будут отличаться количеством полуволн, которые возможно уложить по всей длине струны. Если скорость распространения волн струны равна v, то спектр собственных частот определяется по формуле:
Рисунок 1. Формула 1. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Наличие дисперсии волн искажает данное простое распределение частот, спектр которых определяется уже из дисперсионных уравнений.
Колебания в нелинейных системах
Собственные колебания нелинейных систем не поддаются простой классификации. Нелинейность систем с дискретным спектром частот собственных колебаний приводят к переходу энергии по спектральным компонентам. При этом возникает явление конкуренции гармоник – выживание одних и подавление других.
Подобный процесс может стабилизировать дисперсия. Она может привести к появлению устойчивых пространственно-временных образований (например, солитоны).
Большое значение при возбуждении колебаний может иметь явление резонанса, которое заключается в резком увеличении амплитуды колебаний (отклика). Данное явление наблюдается при приближении частоты внешних воздействий на систему к некоторой резонансной частоте, которая характеризует настоящую систему.
Раскачка будет происходить до тех пор, пока энергия, поступающая извне (например, полученная при отклонении маятника от положения равновесия) будет превышать потери за время осцилляции. Что касается линейных колебаний, то энергия, вносимая извне будет пропорциональна амплитуде, а потери будут расти пропорционально ее квадрату. Отсюда следует, что баланс энергии достижим во всех случаях.
Как определить собственную частоту колебаний
Для лучшего понимания вопроса рассмотрим, что собой представляют собственные колебания и колебания в нелинейных системах.
Собственные колебания
Колебания очень схожи по природе с волнами, они подчиняются общим закономерностям, единственное их отличие в том, что в процессе распространения волн энергия не переходит из одной формы в другую, а всего лишь переносится. Исследованием закономерностей физической природы волн и колебаний занимается теория колебаний и волн. На практике в реальных условиях без воздействия внешних факторов любые колебания со временем затухают, это связано с потерей энергии.
Колебания, по характеру взаимодействия с внешней средой, разделают на:
Рассмотрим подробнее собственные колебания.
Причиной возникновения таких колебаний является отклонение от равновесия одного или нескольких параметров системы. Такие колебания возникают под воздействием внутренних сил после выведения системы из равновесия.
Рассмотрим принцип суперпозиции, который гласит о том, что допустимое движение системы равно сумме ее произвольных движений. При незначительных отклонениях характеристик системы от положения равновесия, ее движение будет соответствовать принципу суперпозиции. Подобные движения описываются дифференциальными уравнениями линейного характера. Если рассмотреть консервативную систему, т.е. такую, в которой отсутствуют потери энергии и ее параметры постоянны во времени, то любое свободное колебание такой системы представляет собой сумму простых колебаний, меняющихся во времени с определенными частотами свободных колебаний по закону синуса.
Не нашли что искали?
Просто напиши и мы поможем
Системы бывают с одной или несколькими степенями свободы. Если состояние системы в любой конкретный момент времени описывается одним параметром, то такая система имеет одну степень свободы, если двумя – то две, тремя – три, и так далее. Как пример системы с одной степенью свободы, можно рассмотреть маятник, который совершает колебательные движения в плоскости. В этом случае любое конкретное его положение характеризуется углом его отклонения от оси вертикали. Для описания колебательной системы с двумя степенями свободы нужны два переменных параметра. Примером таких колебаний является маятник, колеблющийся в сфере. В этом случае переменными параметрами будут являться углы положения маятника относительно двух перпендикулярных плоскостей. Но зачастую движения системы с двумя степенями свободы имеют сложный негармоничный характер. Они описываются линейными уравнениями суперпозиций двух простых переменных параметров, которые происходят одновременно. Так вот, каждое из этих двух простых элементарных колебаний называют собственной или свободной, так называемой гармоникой.
Для колебательных систем, состоящих из определенного количества осцилляторов (к примеру вереница шариков, соединенных между собой маленькими пружинками), число гармоник будет равняться их числу. Для более сложных систем, таких как мембрана, например, гармоники будут различные по длине волн и их будет бесконечное множество. При заданной скорости распространения таких волн, спектр собственных частот определяется простой линейной формулой. При наличии волн с разной скоростью распространения такой линейный закон уже не действует, здесь в силу вступают различные дисперсионные уравнения.
Если рассмотреть реальные существующие системы, в которых собственные колебания затухают со временем, то их считают лишь относительно гармоничными в небольшом конкретном отрезке времени. Свободные колебания, затухающие во времени, могут состоять из нескольких гармоник в определенном диапазоне частот. В таком случае имеет место так называемая добротность, то есть расширение спектральной линии, которое равно отношению запасенной энергии к потерям системы. Соответственно, сгущение спектра за счет потерь влечет за собой трансформацию его дискретной формы в сплошную в том случае, если ширина линий приближается к ширине между ними.
Сложно разобраться самому?
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Колебания в нелинейных системах
Свободные или собственные колебания в нелинейных системах сложно поделить на какие-либо классы. В нелинейных системах спектр частоты свободных колебаний дискретен, что приводит к движению энергии по различным компонентам спектра. В таких колебательных системах наблюдается явление конкуренции гармоник, т.е. выживание одних за счет подавления других. Лишь дисперсия может уравновесить подобный процесс, приводя к образованию устойчивых в пространстве и времени форм колебаний.
В колебательных системах частым явлением, имеющим большое значение, является процесс резонанса. Его суть заключается в резком возрастании амплитуды колебаний. Это происходит из-за приближения частоты внешнего воздействия к частоте колебания внутреннего собственного параметра системы.
Если линейная система и ее параметры находятся вне времени, то частота резонанса совпадает с частотой ее собственных колебаний. Амплитуда колебаний системы будет усиливаться с ростом параметра ее добротности. В таком случае раскачка амплитуды будет происходить до того момента, пока поступающая энергия будет больше потерь при осцилляции.
Если говорить о линейных колебаниях, то поступающая внешняя энергия пропорциональна амплитуде, а потери пропорциональны амплитуде в квадрате. Таким образом можно сказать, что баланс энергии достигается во всех известных случаях.
помогите решить вариант по физике
В2. Последовательно с лампочкой карманного фонаря к звуковому генератору подключена катушка. Как изменится индуктивное сопротивление катушки, действующее значение тока в лампочке и накал лампочки, если уменьшить частоту тока?
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
А) индуктивное сопротивление
Б) действующее значение тока
В) накал лампочки
ИХ ИЗМЕНЕНИЯ
1) увеличивается
2) не изменяется
3) уменьшается
В3. Конденсатор включен в цепь переменного тока с частотой 100 Гц. Напряжение в цепи 200 В, сила тока 3,14 А. Какова емкость конденсатора.
Запишите полученный ответ (в мкФ) : __________________
В4. Заряд q пластинах конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени в соответствии с уравнением q=5·10-4cos104πt. Чему равна амплитуда колебаний силы тока? Напишите уравнение i=i(t).
Часть С
С1. В колебательном контуре индуктивность катушки 10 мГн, амплитуда колебаний силы тока 30 мА. Найдите энергию электрического поля кондесатора и магнитного поля катушки в тот момент, когда мгновенное значение силы тока в 3 раза меньше амплитудного значения.
С2. Катушка индуктивностью 30 мГн присоединена к плоскому конденсатору с площадью перекрытия пластин 10 см2 и расстоянием между ними 2 мм. Диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами конденсатора, равна 6. Чему равна амплитуда напряжения в контуре, если амплитуда силы тока составляет 20 мА?
С3. Через какое время (в долях периода t/T) энергия электрического поля конденсатора впервые будет в 4 раза меньше ее максимального значения? В начальный момент времени заряд конденсатора максимален.
Гармонические колебания
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях
Как вы знаете, ускорение колебательного движения прямо пропорционально смещению с обратным знаком, поэтому а
Выясним, чему равны амплитудные значения скорости и ускорения.
За время, равное периоду колебаний Т, точка, двигаясь по окружности, делает один оборот, а её проекция совершает одно полное колебание. За это время точка проходит путь S, равный длине окружности, т. е. S = 2πR или S = 2πхm. Соответственно линейная скорость движения точки по окружности υ равна максимальной скорости колебаний проекции этой точки на ось ОХ:
За это же время, равное периоду, радиус-вектор точки поворачивается на угол, равный 2л, и угловая скорость точки и соответственно циклическая частота колебаний равна 
Подставив это равенство в формулу скорости, получим υm = ωхm.
Центростремительное ускорение, с которым точка движется по окружности, и соответственно амплитуда ускорения колебаний его проекции равна аm = ω 2 хm. Это равенство справедливо и для мгновенных значений смещения и ускорения: а = ω 2 x.
Учитывая полученные выражения для амплитудных значений скорости и ускорения колебаний, перепишем уравнения зависимости скорости и ускорения колебаний от времени:
На рисунке 73 приведены графики зависимости скорости и ускорения от времени при гармонических колебаниях.
Уточним физический смысл понятия фазы колебаний. Из полученных уравнений видно, что при заданной амплитуде гармонических колебаний, зная фазу колебаний, можно в любой момент времени определить значения смещения, скорости и ускорения колебаний. Таким образом,
фаза позволяет определить состояние колебательной системы в любой момент времени.
Собственная частота колебательной системы
3. Выведенная из состояния равновесия колебательная система совершает свободные колебания с определённой частотой. Эта частота определяется параметрами системы, поэтому её называют собственной частотой колебательной системы.
Приравнивая выражения для ускорения 
и а = ω 2 x, можно сделать вывод, что для пружинного маятника собственная частота колебаний определяется равенством
Следовательно, собственная частота пружинного маятника зависит от параметров колебательной системы — массы груза и жёсткости пружины.
Аналогично можно записать формулу, выражающую зависимость частоты колебаний математического маятника от параметров этой колебательной системы. Напомним, что в данном случае колебательной системой является система «маятник — Земля». Поскольку 
и а = ω 2 x, можно записать