Чем определяется положение плоскости в пространстве

Плоскость в пространстве – необходимые сведения

Плоскость – это одна из наиболее важных фигур в планиметрии, поэтому нужно хорошо понимать, что она из себя представляет. В рамках этого материала мы сформулируем само понятие плоскости, покажем, как ее обозначают на письме, и введем необходимые обозначения. Затем мы рассмотрим это понятие в сравнении с точкой, прямой или другой плоскостью и разберем варианты их взаимного расположения. Все определения будут проиллюстрированы графически, а нужные аксиомы сформулированы отдельно. В последнем пункте мы укажем, как правильно задать плоскость в пространстве несколькими способами.

Понятие плоскости и ее обозначения

Плоскость представляет собой одну из простейших фигур в геометрии наравне с прямой и точкой. Ранее мы уже объясняли, что точка и прямая размещаются на плоскости. Если эту плоскость разместить в трехмерном пространстве, то мы получим точки и прямые в пространстве.

В жизни представление о том, что такое плоскость, нам могут дать такие объекты, как поверхность пола, стола или стены. Но нужно учитывать, что в жизни их размеры ограничены, а здесь понятие плоскости связано с бесконечностью.

Если нам нужно графическое отображение плоскости, то обычно для этого используется замкнутое пространство произвольной формы или параллелограмм.

Плоскость принято рассматривать вместе с прямыми, точками, другими плоскостями. Задачи с этим понятием обычно содержат некоторые варианты их расположения друг относительно друга. Рассмотрим отдельные случаи.

Как могут располагаться плоскость и точка друг относительно друга

Первый способ взаимного расположения заключается в том, что точка расположена на плоскости, т.е. принадлежит ей. Можно сформулировать аксиому:

В любой плоскости есть точки.

Если некая плоскость задана в пространстве, то число точек, принадлежащих ей, является бесконечным. А какого минимального количества точек будет достаточно для определения плоскости? Ответом на этот вопрос будет следующая аксиома.

Через три точки, которые не расположены на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Другой способ взаимного расположения точки и плоскости можно выразить с помощью третьей аксиомы:

Можно выделить как минимум 4 точки, которые не будут находиться в одной плоскости.

Графически последнюю аксиому можно представить так:

Варианты взаимного расположения прямой и плоскости

Самый простой вариант – прямая находится в плоскости. Тогда в ней будут расположены как минимум две точки этой прямой. Сформулируем аксиому:

Если хотя бы две точки заданной прямой находятся в некоторой плоскости, это значит, что все точки этой прямой расположены в данной плоскости.

Графически этот вариант расположения выглядит так:

Если мы решаем задачу, в которой есть плоскость, нам необходимо знать, что из себя представляет нормальный вектор плоскости.

Нормальный вектор плоскости – это такой вектор, который лежит на перпендикулярной прямой по отношению к плоскости и не равен при этом нулю.

Примеры нормальных векторов плоскости показаны на рисунке:

Если прямая расположена внутри плоскости, то она делит ее на две равные или неравные части (полуплоскости). Тогда такая прямая будет называться границей полуплоскостей.

Любые 2 точки, расположенные в одной полуплоскости, лежат по одной сторону от границы, а две точки, принадлежащие разным полуплоскостям, лежат по разную сторону от границы.

Варианты расположения двух плоскостей друг относительно друга

1. Наиболее простой вариант – две плоскости совпадают друг с другом. Тогда они будут иметь минимум три общие точки.

2. Одна плоскость может пересекать другую. При этом образуется прямая. Выведем аксиому:

Если две плоскости пересекаются, то между ними образуется общая прямая, на которой лежат все возможные точки пересечения.

На графике это будет выглядеть так:

В таком случае между плоскостями образуется угол. Если он будет равен 90 градусам, то плоскости будут перпендикулярны друг другу.

3. Две плоскости могут быть параллельными друг другу, то есть не иметь ни одной точки пересечения.

Если у нас есть не две, а три и больше пересекающихся плоскостей, то такую комбинацию принято называть пучком или связкой плоскостей. Подробнее об этом мы напишем в отдельном материале.

Как задать плоскость в пространстве

В этом пункте мы посмотрим, какие существуют способы задания плоскости в пространстве.

1. Первый способ основан на одной из аксиом: единственная плоскость проходит через 3 точки, не лежащие на одной прямой. Следовательно, мы можем задать плоскость, просто указав три таких точки.

Если у нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой задана плоскость с помощью этого способа, то мы можем составить уравнение этой плоскости (подробнее см, соответствующую статью). Изобразим данный способ на рисунке:

2. Второй способ – задание плоскости с помощью прямой и точки, не лежащей на этой прямой. Это следует из аксиомы о плоскости, проходящей через 3 точки. См. рисунок:

3. Третий способ заключается в задании плоскости, которая проходит через две пересекающиеся прямые (как мы помним, в таком случае тоже есть только одна плоскость.) Проиллюстрируем способ так:

4. Четвертый способ основан на параллельных прямых. Вспомним, какие прямые называются параллельными: они должны лежать в одной плоскости и не иметь ни одной точки пересечения. Получается, что если мы укажем в пространстве две такие прямые, то мы тем самым сможем определить для них ту самую единственную плоскость. Если у нас есть прямоугольная система координат в пространстве, в которой уже задана плоскость этим способом, то мы можем вывести уравнение такой плоскости.

На рисунке этот способ будет выглядеть так:

Если мы вспомним, что такое признак параллельности, то сможем вывести еще один способ задания плоскости:

Если у нас есть две пересекающиеся прямые, которые лежат в некоторой плоскости, которые параллельны двум прямым в другой плоскости, то и сами эти плоскости будут параллельны.

Таким образом, если мы зададим точку, то мы сможем задать плоскость, которая проходит через нее, и ту плоскость, которой она будет параллельна. В таком случае мы тоже можем вывести уравнение плоскости (об этом у нас есть отдельный материал).

Вспомним одну теорему, изученную в рамках курса по геометрии:

Через определенную точку пространства может проходить только одна плоскость, которая будет параллельна заданной прямой.

Это значит, что можно задать плоскость путем указания конкретной точки, через которую она будет проходить, и прямой, которая будет перпендикулярна по отношению к ней. Если плоскость задана этим способом в прямоугольной системе координат, то мы можем составить уравнение плоскости для нее.

Также мы можем указать не прямую, а нормальный вектор плоскости. Тогда можно будет сформулировать общее уравнение.

Мы рассмотрели основные способы, с помощью которых можно задать плоскость в пространстве.

Источник

Расположение плоскости в пространстве

Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций П₁, П₂, П₃:

1) плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций;

2) плоскость перпендикулярна лишь к одной из них;

3) плоскость перпендикулярна одновременно к двум плоскостям проекций.

Плоскости положений 2 и 3 называют плоскостями частного положения.

Плоскость, не перпендикулярная ни одной плоскости проекций, называется плоскостью общего положения. Углы наклона к плоскостям проекций произвольные, но отличные от 0 и 90°. Плоская фигура, принадлежащая плоскости общего положения, проецируется на все три плоскости проекций с искажением. Плоскости общего положения могут быть заданы любым способом и представлены на рис. 28 и 29, кроме случаев на рис. 28, а, в.

Плоскость общего положения пересекает каждую из осей координат – x, y, z. Следы такой плоскости никогда не перпендикулярны к этим осям. Если следы плоскости общего положения образуют с осью проекций одинаковые углы, то это означает, что заданная плоскость наклонена к обеим плоскостям проекций под одинаковыми углами.

Другие примеры плоскостей общего положения приведены на рис. 30.

Плоскость, перпендикулярную к одной плоскости проекций, называют проецирующей. При этом различают:

а) горизонтально-проецирующую плоскость;

Пример дан на рис. 31, плоскость задана треугольником АВС. Горизонтальная проекция треугольника представляет собой отрезок прямой линии, значит, заданная плоскость является горизонтально-проецирующей плоскостью.

Следовательно, можно сделать вывод, что если одна из проекций плоскости есть отрезок прямой линии на какой-либо плоскости проекций, то заданная плоскость перпендикулярна этой плоскости проекций. На рис. 31 треугольник АВС проецируется на фронтальную и профильную плоскости проекций с искажением.

Любые геометрические фигуры, расположенные в таких плоскостях, проецируются на перпендикулярные им плоскости проекций в виде прямых линий. Проецирующие плоскости на эпюре обычно задаются линиями их пересечения с плоскостями проекций – следами. На рис. 32 а, в изображены соответственно фронтально- и горизонтально-проецирующие плоскости, заданные треугольниками. На рис. 32, б изображена плоскость общего положения, заданная двумя параллельными прямыми.

Плоскость, перпендикулярную двум плоскостям проекций называют плоскостью уровня, поскольку при таком положении плоскость становится в положение, параллельное третьей плоскости проекций. При этом различают плоскости уровня:

Соответственно горизонтальной плоскостью уровня называют плоскость, параллельную горизонтальной плоскости проекций; фронтальной уровня – плоскость, параллельную фронтальной плоскости проекций; профильной плоскостью уровня – плоскость, параллельную профильной плоскости проекций.

Отличительной особенностью плоскостей уровня является то, что на комплексном чертеже две проекции имеют вид прямой, расположенной под прямым углом к линиям связи, а третья проекция дает изображение всех геометрических элементов, лежащих в этой плоскости, в натуральную величину и без искажения.

На рис. 33 даны изображения плоскостей различного положения, из которых три плоскости F, K, T являются плоскостями уровня – горизонтальной, профильной и фронтальной соответственно.

На эпюре рис. 34 представлены проекции трех плоскостей уровня, наглядное изображение которых дано на рис. 33. Горизонтальная плоскость уровня F параллельна горизонтальной плоскости проекций, следовательно, она проецируется на эту плоскость без искажения. На оставшиеся две плоскости проекций плоскость F проецируется в виде прямых линий. На фронтальной плоскости проекций эта прямая параллельна координатной оси х, на профильной – параллельна оси y, обе же эти проекции перпендикулярны координатной оси z.

Аналогично в виде прямых линий плоскость Т проецируется на горизонтальную и профильную плоскости проекций, плоскость К – на горизонтальную и фронтальную.

При изображении плоскостей, заданных следами, на проекциях обычно выполняют небольшое утолщение для удобства распознавания чертежей.

Источник

Чем определяется положение плоскости в пространстве

Рассмотрим некоторые способы графического задания плоскости. Положение плоскости в пространстве может быть определено:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой линии (рис. 41 );

Рисунок 41. Плоскость, заданная тремя точками, не лежащими на одной прямой

2. прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой (рис. 4 2);

Рисунок 42. Плоскость, заданная прямой линией и точкой, не принадлежащей этой линии

3. двумя пересекающимися прямыми (рис.43);

Рисунок 43. Плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми

4. двумя параллельными прямыми (рис.44);

Рисунок 44. Плоскость, заданная двумя п араллельны ми прямы ми

5. О положении плоскости относительно плоскостей проекций удобно судить по её следам (рис.45).

С ледом плоскости называется прямая линия, по которой плоскость пересекается с плоскостью проекций. В зависимости от того, какую плоскость проекций пересекает данная a плоскость различают горизонтальный a _П1, фронтальный a _П2 и профильный a _П3 следы.

Рисунок 45. Плоскость, заданная следами

Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, а две другие разноименные проекции лежат на осях.

Источник

Положение плоскости в пространстве

Положение плоскости в пространстве можно определить:

1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой;

2. Прямой и точкой вне ее;

3. Двумя пересекающимися прямыми;

4. Двумя параллельными прямыми (рис.1).

(А1В1С1)	(a1С)	(m ∩ n)	δ (b ║ с)
Рис. 1.

Рис. 2.

Плоскость может быть задана также отсеками плоской фигуры (рис.2).

Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций:

1.Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения (рис.1 и 2).

2. Частные положения плоскости:

а) Плоскость, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций , называется горизонтально-проецирующей (рис.3). Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую, являющуюся следом этой плоскости = ∩ угол , который образуется между плоскостью и , проецируется на плоскость без искажения.

Горизонтальные проекции всех точек и любых фигур, лежащих в горизонтально-проецирующей плоскости, совпадают со следом этой плоскости α₁= (АВС)∩ (рис. 3).

Рис. 3.

б) Плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций , называется фронтально-проецирующей плоскостью, изображается следом плоскости, полученной от пересечения заданной плоскости (АВС) с фронтальной плоскостью проекций . = (АВС)∩ .

Рис. 4.

Фронтальные проекции всех точек и фигур, лежащих в этой плоскости, совпадают с ее фронтальным следом. Угол φ между плоскостью и проецируется без искажения, т.е.φ₂ ≡ φ (рис. 4.).

Плоскость, перпендикулярная к профильной плоскости проекций называется профильно-проецирующей плоскостью.

Частный случай, когда профильно-проецирующая плоскость проходит через ось ОХ и делит пополам угол между плоскостями и — плоскость симметрии (рис.5).

Рис.5

Основные свойства проецирующих плоскостей состоят в том, что все геометрические образы, лежащие в них, на одной из плоскостей проекций изображаются прямой, совпадающей со следом плоскости, т.е. с линией пересечения проецирующей плоскости с соответствующей плоскостью проекций.

Плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций, называется плоскостями уровня. Плоскость δ и . Фронтальная и профильная проекция такой плоскости – горизонтальные прямые. Любая фигура, расположенная в плоскости δ₂ на горизонтальную плоскость проекций проецируется без искажения.

а) Плоскость δ, параллельная горизонтальной плоскости проекций , называется горизонтальной плоскостью (рис.6). Изображается следом плоскости, полученным от пересечения плоскости δ с плоскостью проекций : δ₂= δ . АВС δ; А₂В₂С₂ δ₂; А₁В₁С₁=АВС.

Рис.6.

б) Плоскость , параллельная плоскости , называется фронтальной (рис.7). ₁= . АВС ; А₁В₁С_{1 1}; А₂В₂С₂=АВС.

Рис.7.

Любая фигура, расположенная в этой плоскости, проецируется на без искажений.

Все геометрические образы, расположенные в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на эти плоскости проекций без искажения.

3.2. ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ

1. Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с этой плоскостью две общие точки (рис.8).

2. Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна прямой, лежащей в этой плоскости (рис.9).

Рис.8.	Рис.9
с (а║b); [12] c (а║b)	С (АВС); С d; С1 d1; С2 d2; d║[AB]; d1║[A1B1]; d2║[A2B2].

Рис.10

3.3. ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ

Главными линиями плоскости называются прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные плоскостям проекций , или . Линии плоскости, параллельные называются горизонталями плоскости; линии плоскости, параллельные – фронталями плоскости; линии плоскости, параллельные – профильными прямыми (рис.11).

Линии наибольшего ската – прямые, проведенные по плоскости перпендикулярно к горизонталям (рис.12).

Линия наибольшего ската и ее горизонтальная проекция образуют линейный угол, которым измеряется двугранный угол, составленный плоскостью (f ∩ h) и плоскостью проекций .

С помощью главных линий плоскости оказывается удобным решать вопросы о взаимном расположении точки и плоскости (рис.13). Дана плоскость (f ∩ h) и точка А. Нужно определить принадлежит ли точка А плоскости. Для этого через точку А проводим горизонталь. Горизонтальная проекция точки А вне горизонтали, значит точка А не лежит в плоскости.

Рис.11	Рис.12а
Рис. 12б	Рис. 13

Дата добавления: 2017-10-04 ; просмотров: 4476 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник