Чем определяется период колебаний вынужденных колебаний

13.04.202213.04.2022 admin 0 Comments

Содержание:

Вынужденные колебания:

Происходящие в какой-либо среде свободные колебания являются затухающими (рис. 5.5), потому что колеблющееся тело в период колебания встречает сопротивление со стороны среды в результате трения.

По этой причине свободными колебаниями на практике не пользуются.

Чтобы колебания не затухали, требуется периодически пополнять использованную энергию. Для этого на колеблющую систему нужно периодически воздействовать с помощью внешних сил. Простой макет такого оборудования, где со стороны действует внешняя сила, приводится на рисунке 5.6. Если груз, подвешенный на пружине, потянуть и отпустить, то он будет колебаться. Если в это время крутить ручку железной оси, к которой подвешена пружина, то колебания не угаснут. Колебания системы, которые происходят под периодическим воздействием внешних сил, называются вынужденными колебаниями.

Периодически меняющаяся внешняя сила, которая создает эти вынужденные колебания, называется вынуждающей силой.

Можно привести множество примеров вынужденных колебаний из повседневной жизни. Мембраны радиодинамиков ваших любимых радиоприемников, магнитофонов, телевизоров колеблются под воздействием проходящего через них вынуждающего тока. Когда рядом с домом или классом проезжают большегрузные автомобили, то вы слышите, как дребезжат стекла. Пневматические молотки (отбойные молотки), с помощью которых ломают бетонные конструкции (фундамент, столбы), рушат горные породы, тоже работают под воздействием периодических внешних сил.

Чтобы воспользоваться вынужденными колебаниями или избавиться от них, нужно изучить это явление. С помощью оборудования, приведенного на рисунке 5.6, рассмотрим воздействие внешних вынуждающих сил на колебания, происходящие в колебательной системе.

Пружина (3) с подвешенным грузом (4) висит на крючке (2). Кончик крючка имеет форму кольца, и может скользить по металлической оси (1), согнутой в виде дуги. Когда ось начинает вращаться под воздействием внешней силы, колебания груза сначала немножко отстают, а затем совпадают с вращением оси. Колебание становится устойчивым.
Сколько раз за единицу времени будет вращаться ось, столько же раз будет колебаться пружина с грузом.

Значит, частота вынужденных колебаний, происходящих в колебательных системах, равна частоте вынуждающих сил.

Вынужденные колебания – это колебания, которые не затухают.

Явление резонанса

Теперь посмотрим, каким образом влияет амплитуда колебаний, происходящих в колебательной системе, на вынуждающую силу. Для этого проведем простой опыт. Веревку длиной 4–5 метров протянем из одного конца комнаты в другой с небольшим провисанием.

К этой веревке подвесим 3–4 груза на лентах разной длины (рис. 5.7).
Выберем для первого и четвертого груза ленты одинаковой длины. Если первый маятник вывести из равновесного состояния и отпустить, то он начинает колебаться. Его колебания, передаваясь по общей веревке, приводят в движение остальные маятники. После установления устойчивых колебаний второго, третьего и четвертого маятников, можно убедиться, что амплитуда четвертого маятника окажется самой большой. Из-за того, что длина четвертого и первого маятников одинаковы, их периоды свободного колебания (частота) получаются
взаимно равными.

Значит, в вынужденных колебаниях в случае, когда частота вынуждающей силы равна частоте собственного колебания колебательной системы, амплитуда колебаний будет самой большой, т.е. происходит резонанс.

Явление резкого увеличения амплитуды колебания в случае, когда частота внешней вынуждающей силы равняется собственной частоте колебательной системы, называется резонансом.

Причиной резкого увеличения амплитуды во время резонанса является взаимное совпадение направления вынуждающей силы и направления движения колеблющегося тела.

Резонанс широко используется в технике и в быту. В часах, во всех видах звонков, сиренах, пневматических молотках используют явление резонанса.
Однако явления резонанса не всегда полезны.

Например, когда человек проходит по висячему мосту через реку, он качается. В зависимости от скорости, с которой человек проходит по мосту (быстро или медленно), колебания моста могут увеличиваться или уменьшаться. Если частота шага совпадает с собственной частотой моста, его опоры могут не выдержать и трос или канат может оборваться.

В тех случаях, когда резонанс наносит вред, в целях уменьшения воздействия предпринимают соответствующие меры. Фундаменты производственных помещений строят тяжелыми и большими, чтобы в результате вращения деталей оборудования не возникал резонанс. Для быстрого погашения колебаний в автомобилях устанавливаются амортизаторы.

Автоколебания

Для того, чтобы вынужденные колебания не затухали, нужна внешняя периодическая сила. Но колебания системы могут быть негаснущими и без воздействия внешних периодических сил. Если внутри свободно колеблющейся системы будет иметься источник энергии, и система сможет направлять необходимую энергию из этого источника к колеблющемуся телу, чтобы восполнять затраченную энергию, то в такой системе появляются негаснущие колебания.

Самым простым примером системы такого типа являются обычные часы с маятником. Эта система имеет определенный запас энергии, т.е. потенциальную энергию поднятого на определенную высоту груза или энергию сжатой пружины.

Системы, которые создают негаснущие колебания за счет снабжения из источника энергии, называются автоколебательными системами. Электрический звонок, сердце и легкие человека тоже можно рассматривать как автоколебательные системы.

Негаснущие колебания, которые могут осуществляться в системе под воздействием внутреннего источника и без воздействия внешней периодической силы, называются автоколебаниями.

Частота вынужденного колебания будет совпадать с частотой внешних сил. Частота и амплитуда автоколебаний определяются собственными особенностями системы. Амплитуда автоколебаний не зависит от величины кратковременного воздействия (удара), которое привело к этим колебаниям.

Вынужденные колебания, резонанс

Под действием изменяющейся по гармоническому закону внешней силы (например, в колебательной системе создаются вынужденные колебания.

Частота вынужденных колебаний всегда совпадает с частотой изменения вынуждающей силы — с какой частотой изменяется внешняя сила, с такой же частотой колеблется система.

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При приближении значения частоты вынуждающей силы к значению частоты свободных колебаний системы амплитуда колебаний увеличивается (d). При равенстве этих частот наблюдается:

Форма резонансной кривой зависит от значения силы трения в системе. Так, при малых значениях силы трения резонансная кривая выше (1-я кривая), а при больших значениях силы трения, наоборот, резонансная кривая ниже (3-я кривая).

Исследуем это теоретически с помощью горизонтального пружинного маятника: предположим, что шарик массой совершает вынужденные колебания под действием внешней силы, изменяющейся по закону

(е).

Уравнение вынужденных колебаний маятника с учетом II закона Ньютона можно записать так:

Если в этом уравнении принять во внимание формулы смещения и ускорения, изменяющихся по периодическому закону и

то:

или

Если же принять во внимание

то:

Или

Где — циклическая частота свободных колебаний колебательной системы, — циклическая частота вынужденных колебаний, — амплитуда вынужденных колебаний.

Из формулы (4.33) зависимости амплитуды колебаний от циклической частоты видно, что при явлении резонанса, если амплитуда колебания увеличивается до бесконечности:

Резонанс вынужденных колебаний колебательной системы создает большую разрушительную силу, которая может быть причиной катастрофы. Например, если частота действия вынуждающей силы, создаваемая марширующей через мост войсковой частью, совпадает с частотой свободных колебаний моста, то амплитуда вынужденных колебаний моста резко увеличивается, что может привести к его разрушению. По этой причине при переходе через мосты солдатам приказывают идти вольным шагом.

Распространение колебаний в упругой среде: механическая волна

Как вы знаете, во время землетрясения скорость распространения продольных волн Р-типа, возникающих внутри Земли, больше скорости распространения поперечных волн L-типа, возникающих на поверхности Земли. На основании разности между этими скоростями ученые-сейсмологи определяют расстояние от точки расположения сейсмографа до эпицентра землетрясения.

Волна

Волна — это процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени.

Волна — это процесс переноса энергии без переноса вещества.

Механическая волна

В природе наиболее часто встречается механическая волна.

Механическая волна — это процесс распространения механических колебаний в среде (механическая волна в вакууме не распространяется). Механические волны распространяются только в упругих средах (твердых телах, жидкостях и газах).

Поперечная волна — это волна, распространяющаяся перпендикулярно направлению колебательного движения частиц среды. Поперечные волны могут распространяться только в твердых телах и по поверхности жидкостей. Поперечные волны распространяются в среде в форме сменяющих друг друга выпуклостей и впадин (d).

Продольная волна — это волна, распространяющаяся вдоль направления колебательного движения частиц среды. Продольные волны могут распространяться во всех средах (твердых телах, жидкостях и газах). Продольные волны распространяются в среде в форме сменяющих друг друга зон сгущения и разрежения среды. Например, пропустив через длинную пружину пластмассовую нить, закрепите горизонтально оба конца нити и один из концов пружины к опорам, затем, периодически двигая свободный конец пружины вправо-влево, можно наблюдать чередование зон сгущения и рассеивания колец пружины (е).

Характеристика волны

Колебания, происходящие в какой-либо точке среды, передаются в другие точки не мгновенно, а с определенной конечной скоростью, которая определяет скорость волны.

Скорость волны — это скорость распространения колебаний в среде.

Так как волна в однородной среде распространяется равномерно, скорость волны будет равна:

Где — расстояние, на которое распространяется волна за время

Другими характеристиками волны являются частота, период и длина волны.

Частота волны (период)—это частота (период) колебаний источника, создающего волну.

Приняв во внимание это определение в (4.34), получим выражение для скорости распространения волны:

или

Где (лямбда) — длина волны, в СИ единица ее измерения — метр. Из последних двух формул можно определить длину волны:

Скорость волны не зависит от ее частоты и периода. Скорость волны зависит от свойств и агрегатного состояния среды. Длина волны в однородной среде прямо пропорциональна периоду колебаний и обратно пропорциональна частоте колебаний.

При переходе из одной среды в другую частота и период волны не меняются, однако так как скорость волны в разных средах разная, то длина волны меняется.

Уравнение волны

Предположим, что источник волны колеблется по гармоническому закону колебательное движение распространяется со скоростью в окружающей источник среде, тогда в результате возникает волна, которая через определенный промежуток времени достигнет точки, находящейся на расстоянии от источника:

Это значит, что колебания в точке, находящейся на расстоянии от источника, происходят по тому же закону и возникнут с опозданием на секунд. Поэтому уравнение волны, достигшей произвольной точки на расстоянии от источника колебания, можно записать так:

График волны по форме схож с графиком гармонических колебаний, однако это не одно и то же. Так, если график гармонических колебаний показывает изменение по гармоническому закону одной из характеристик колеблющейся точки, например, смещения от времени (f), то график волны—это картина расположения связанных точек среды в данный момент времени, то есть гармоничность этой волны в среде (g).

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Вынужденные колебания

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе, называют свободными. Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Какие колебания называются вынужденными?

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели — если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку, такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

Например, часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний

Любое колебательное движение характеризуется величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Формула периода колебаний

T = t/N

N — количество колебаний [-]

Кстати, для математического и пружинного маятника есть свои формулы периода:

Формула периода колебания математического маятника

g — ускорение свободного падения [м/с^2]

На планете Земля g = 9,8 м/с2

Формула периода колебания пружинного маятника

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

N — количество колебаний [-]

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Уравнение гармонических колебаний

x — координата в момент времени t [м]

t — момент времени [с]

В данном уравнении 2πνt является фазой и обозначается греческой буквой φ.

Фаза колебаний

t — момент времени [с]

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

Курсы по физике за 9 класс в онлайн-школе Skysmart помогут разобраться в любой сложной теме.

Источник

Содержание:

Свободные и вынужденные колебания:

Работа силы вычисляется по формуле А =

Как Вам уже известно, механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний. Колебания, происходящие с постоянной во времени амплитудой, называются незатухающими колебаниями.

Незатухающие колебания, вызванные кратковременным внешним воздействием, называются свободными или собственными. Они происходят под действием внутренних сил, возникающих в самой системе. Свободные колебания — это колебания, происходящие в отсутствие внешних воздействий на систему, со строго определенной частотой, называемой частотой собственных колебаний системы. Эта частота зависит только от параметров системы. Примерами таких колебаний могут служить колебания математического и пружинного маятников, происходящие в отсутствие сил трения.

В любой реальной системе всегда присутствуют силы трения (сопротивления), поэтому механическая энергия системы с течением времени уменьшается, переходя во внутреннюю энергию. Вместе с тем убыль механической энергии означает и уменьшение амплитуды колебаний.

Колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени вследствие потери энергии колебательной системой, называются затухающими колебаниями (рис. 10, а, б).

Уменьшение механической энергии системы (превращение ее во внутреннюю энергию) происходит вследствие трения и сопротивления окружающей среды. Такие системы называют диссипативными (от латинского слова dissipation — рассеяние).

При малых потерях энергии колебания можно считать периодическими и пользоваться такими понятиями, как период и частота колебаний. Так, например, период — промежуток времени между двумя последовательными максимумами колеблющейся физической величины (см. рис. 10, а).

Любые собственные колебания в реальной системе рано или поздно затухают. Чтобы колебания не затухали, необходимо воздействие внешней силы. Однако не всякая внешняя сила заставляет систему двигаться периодически. Например, невозможно раскачать качели, если действовать на них с постоянной по модулю и направлению силой. Внешняя сила тоже должна быть периодической.

Колебания тел под действием внешней периодической силы называются вынужденными, а сила — вынуждающей. В случае гармонической силы . Частота установившихся вынужденных колебаний всегда равна частоте вынуждающей силы.

Амплитуда колебаний и энергия, передаваемая системе за период вынужденных колебаний, зависят от того, насколько различаются частота вынуждающей силы и частота собственных колебаний , а также от величины трения в системе.

При вынужденных колебаниях возможно явление, называемое резонансом (от латинского слова resono — откликаюсь, звучу в ответ).

Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при действии на колебательную систему внешней силы с частотой , совпадающей с собственной частотой системы (() (рис. 11).

При резонансе создаются оптимальные условия для передачи системе энергии от внешнего источника, так как в течение всего периода работа внешней силы над системой положительна. Вспомните процесс раскачивания на качелях — если качели толкать с большой частотой или с малой, то их практически невозможно раскачать. Если же подобрать частоту толчков, близкую к частоте собственных колебаний качелей, то раскачивание будет эффективным.

Пример №1

Определите модуль скорости v движения поезда, при которой маятник длиной l=11 см, подвешенный в вагоне, особенно сильно раскачивается. Длина рельса L = 12,5 м.

Решение

Маятник начинает сильно раскачиваться, когда частота его собственных колебаний совпадает с частотой вынуждающей

Частотой вынуждающей силы является частота ударов колес вагона о стыки рельс. Промежуток времени между двумя последовательными ударами (период)

(1)

Поскольку частота — величина, обратная периоду, то можно записать частоту вынуждающей силы

Частота собственных колебаний математического маятника

(2)

Приравняв формулы (I) и (2), получим

Ответ: о = .

Распространение колебаний в упругой среде. Продольные и поперечные волны

Опыт показывает, что колебания, возбужденные в какой-либо точке упругой среды, с течением времени передаются в ее другие точки. Так от камня, брошенного в спокойную воду озера, кругами расходятся волны, которые со временем достигают берега. Колебания сердца, расположенного внутри грудной клетки, можно ощутить на запястье, что используется для определения пульса.

Перечисленные примеры связаны с явлением распространения механических колебаний в среде.

Механической волной называется процесс распространения колебаний в упругой среде, который сопровождается передачей энергии от одной точки среды к другой.

Механические волны не могут распространяться в вакууме.

Источником механических волн является колеблющееся тело. Если источник колеблется синусоидально, то и волна в упругой среде будет иметь форму синусоиды. Колебания, вызванные в каком-либо месте упругой среды, распространяются в ней с определенной скоростью, зависящей от плотности и упругих свойств среды.

Подчеркнем, что при распространении волны отсутствует перенос вещества, т. е. частицы колеблются вблизи положений равновесия. Среднее смещение частиц относительно положения равновесия за большой промежуток времени равно нулю.

Механизм образования волны можно представить следующим образом. Источник волны — колеблющееся тело — воздействует на частицы упругой среды, соприкасающиеся с ними, и заставляет их совершать вынужденные колебания. Среда вблизи источника деформируется, и в ней возникают силы упругости, препятствующие деформации. Если частицы среды сближаются, то возникают силы отталкивания, а если они удаляются друг от друга, то — силы притяжения. Постепенно эти силы будут действовать на все более удаленные от источника частицы среды, приводя их в колебательное движение, которое будет распространяться в виде волны.

Рассмотрим основные характеристики волны.

Волновой фронт — это воображаемая поверхность, до которой дошло волновое возмущение в данный момент времени.

Линия, проведенная перпендикулярно волновому фронту в направлении распространения волны, называется лучом. Луч указывает направление распространения волны.

Основные характеристики волны:

Амплитуда (А) — модуль максимального смещения точек среды из положений равновесия при колебаниях (рис. 12).

Период (Т) — время полного колебания (период колебаний точек среды равен периоду колебаний источника волны):

где — промежуток времени, в течение которого совершаются N колебаний.

Частота (v) — число полных колебаний, совершаемых в данной точке в единицу времени:

Частота волны определяется частотой колебаний источника.

Скорость () — скорость перемещения гребня волны (это не скорость частиц! ).

Длина волны () — наименьшее расстояние между двумя точками, колебания в которых происходят в одинаковой фазе, т. е. это расстояние, на которое волна распространяется за промежуток времени, равный периоду колебаний источника (см. рис. 12):

Рассмотрим колебания источника волны, происходящие с циклической частотой и амплитудой А:

где x(t) — смещение источника от положения равновесия.

В некоторую точку среды колебания придут не мгновенно, а через промежуток времени, определяемый скоростью волны и расстоянием от источника до точки наблюдения. Если скорость волны в данной среде равна у, то зависимость от времени t координаты (смещения) х колеблющейся точки, находящейся на расстоянии г от источника, описывается уравнением

(1)

где k — волновое число — фаза волны.

Выражение (1) называется уравнением распространяющейся (бегущей) волны.

Бегущую волну можно наблюдать при следующем эксперименте: если один конец резинового шнура, лежащего на гладком горизонтальном столе, закрепить и, слегка натянув шнур рукой, привести его второй конец в колебательное движение в направлении, перпендикулярном шнуру, то по нему побежит волна.

Волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения волн. Продольную волну легко получить с помощью длинной пружины, которая лежит на гладкой горизонтальной поверхности и один конец ее закреплен. Упругие волны в газах и жидкостях возникают только при сжатии или разрежении среды. Поэтому в таких средах возможно распространение только продольных волн.

Легким ударом по свободному концу В пружины мы вызовем появление волны (рис. 13). При этом каждый виток пружины будет колебаться вдоль направления распространения волны ВС. Примерами продольных волн являются звуковые волны в газе и жидкости.

Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Используя длинную пружину, можно продемонстрировать распространение поперечных волн, если совершать колебания незакрепленного конца перпендикулярно продольной оси пружины (рис. 14). В твердых телах упругие волны могут возникать также и при смещении или сдвиге одних слоев среды относительно других. Поэтому в отличие от жидкостей и газов в твердых телах возможно распространение и поперечных волн.

Поперечные волны вызывают звучание струн музыкальных инструментов при их возбуждении.

Для характеристики энергии, переносимой волнами, используется понятие интенсивности волны (l), определяемое как энергия (W), переносимая волной в единицу времени (= 1с) через поверхность площадью S= I м2, расположенную перпендикулярно к направлению распространения волны:

Другими словами, интенсивность представляет собой мощность, переносимую волнами через поверхность единичной площади, перпендикулярно к направлению распространения волны. Единицей интенсивности в СИ является
ватт на метр в квадрате ().

Волны могут распространяться не только в среде, но и вдоль границы раздела двух сред. Такие волны получили название поверхностных волн. Примером данного типа волн служат хорошо знакомые всем волны на поверхности воды.

Пример №2

Определите длину X волны, излучаемой источником колебаний с частотой v = 200 Гц, если модуль скорости распространения волны v = 1450

Решение

Модуль скорости распространения волны можно вычислить по формуле

где — длина волны, v — частота колебаний. Откуда находим

Ответ: = 7,25 м.

Пример №3

Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью, модуль которой v = 5,0/ Период колебания точек шнура Т= 1,2 с, амплитуда колебаний A = 20 мм. Определите длину волны , фазу колебаний и смещение х точки, находящейся на расстоянии г= 15 м от источника колебаний, через промежуток времени = 4,0 с.

Решение

Длина волны находится из выражения

Волна пройдет расстояние г за время следовательно, фаза колебаний определится по формуле

Подставив вычисленное значение фазы в уравнение колебаний, получим:

Определение свободных и вынужденных колебаний

Силы взаимодействия тел системы называют внутренними. Тела, не входящие в систему, называют внешними телами. Силы, которые действуют на тела системы со стороны внешних тел, называют внешними силами.

Как вам уже известно, механическая энергия гармонического осциллятора (например, груза на пружине) пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний. Колебания, происходящие с постоянной во времени амплитудой, называются незатухающими колебаниями.

Колебания, которые совершает система около положения устойчивого равновесия под действием внутренних сил после того, как она была выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе, называются свободными (собственными) колебаниями.

Свободные колебания происходят со строго определенной частотой называемой частотой свободных (собственных) колебаний системы. Эта частота зависит только от параметров системы. Примерами таких колебаний могут служить колебания математического и пружинного маятников, происходящие в отсутствие сил трения. Амплитуда свободных колебаний определяется начальными условиями, т. е. тем начальным отклонением или толчком, которым маятник или груз на пружине приведен в движение. Свободные колебания являются самым простым видом колебаний.

В любой реальной колебательной системе всегда присутствуют силы трения (сопротивления), поэтому механическая энергия системы с течением времени уменьшается, переходя во внутреннюю энергию. Вместе с тем убыль механической энергии означает и уменьшение амплитуды колебаний.

Колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени вследствие потери энергии колебательной системой, называются затухающими колебаниями (рис. 15). Уменьшение механической энергии системы (превращение ее во внутреннюю энергию) происходит вследствие трения и сопротивления окружающей среды.

Систему называют диссипативной (от лат. dissipation — рассеяние), если ее механическая энергия с течением времени уменьшается за счет превращения ее во внутреннюю энергию.

Колебания в любой реальной системе рано или поздно затухают. Чтобы колебания не затухали, необходимо воздействие внешней силы. Однако не всякая внешняя сила заставляет систему двигаться периодически. Например, невозможно раскачать качели, если действовать на них постоянной силой. Внешняя сила тоже должна быть периодической.

Проведем следующий эксперимент. Соединим математический маятник с метрономом (рис. 16). Изменяя частоту колебаний маятника метронома, добиваемся увеличения амплитуды колебаний математического маятника. Оказывается, что его амплитуда будет максимальной при совпадении собственной частота колебаний маятника и маятника метронома.

Колебания тел под действием внешней периодической силы называются вынужденными, а сила — вынуждающей. В случае гармонической силы: Вначале действия внешней силы наблюдается достаточно сложное движение тела. Спустя некоторое время после начала действия внешней силы колебания приобретают стационарный характер и не зависят от начальных условий. Таким образом, при вынужденных колебаниях система полностью «забывает» свое начальное состояние. Частота установившихся вынужденных колебаний всегда равна частоте вынуждающей силы.

Амплитуда колебаний и энергия, передаваемая системе за период вынужденных колебаний, зависят от того, насколько различаются частота вынуждающей силы и частота собственных колебаний, а также от величины трения в системе.

При вынужденных колебаниях возможно явление, называемое резонансом (от лат. resono — откликаюсь, звучу в ответ).

Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при действии на колебательную систему внешней силы с частотой со, совпадающей с собственной частотой системы (рис. 17).

Подвесим на упругой нити четыре математических маятника с одинаковыми грузами, три из которых имеют различную длину, а длина четвертого равна длине второго (рис. 18). Сначала посмотрим, что будет с маятниками, если раскачать первый или третий маятник. Наблюдения показывают, что через некоторое время начнут качаться и остальные маятники. Но амплитуда их колебаний мала, и вскоре колебания затухают. А вот если раскачать второй маятник, то амплитуда колебаний четвертого будет непрерывно возрастать, пока не достигнет наибольшего значения.

Это происходит потому, что частота собственных колебаний четвертого маятника совпадает с частотой колебаний внешней силы (частотой колебаний второго маятника), так как их длины равны. А колебания первого и третьего маятников, как и в первом эксперименте, быстро затухают.

При резонансе создаются оптимальные условия для передачи системе энергии от внешнего источника, так как в течение всего периода работа внешней силы над системой положительна. Вспомните процесс раскачивания на качелях: если качели толкать очень быстро или очень медленно, их практически невозможно будет раскачать. Если же подбирать частоту толчков, близкую к частоте собственных колебаний качелей, то раскачивание будет эффективным.

Большинство сооружений и машин, обладая определенной упругостью, способны совершать свободные колебания. Поэтому при внешних периодических воздействиях в них вследствие явления резонанса могут возбуждаться колебания большой амплитуды, которые могут привести к разрушительным последствиям. Например, для исключения разрушения мостов вследствие явления резонанса при прохождении по ним войсковых частей приказывают идти вольным шагом (не в ногу). Поезда переезжают мосты либо очень медленно, либо с максимальной скоростью.

В 1750 г. цепной мост вблизи г. Анжер (Франция) был разрушен в результате резонанса, во время прохождения по нему отряда солдат, так как частота их шага совпала с частотой свободных колебаний моста.

В 1906 г. в г. Петербурге (Россия) обрушился Египетский мост, по которому проходил кавалерийский эскадрон.

7 ноября 1940 г. сильный порыв ветра вызвал резонансные колебания Такомского моста (США), что привело к его разрушению.

Пример №4

Определите модуль скорости движения поезда, при которой математический маятник, подвешенный в вагоне, особенно сильно раскачивается. Длина маятника длина рельса