В точке P эти волны приобретут дополнительную фазу и будут иметь вид
Здесь мы пренебрегаем геометрическим фактором – уменьшением амплитуды с расстоянием.
Рассмотрим результат интерференции этих волн. Согласно формуле (1)
При усреднении по времени учтем, что фазы и – постоянны, последний член в сумме равен нулю, а среднее значение квадрата косинуса (синуса) равно 1/2. Получим
Но Точно так же и для второго поля. Поэтому
или, подставляя значения фаз,
(2)
(3)
В выражении (3) два слагаемых. Первое – разность фаз, приобретенная лучами на пути от источников до точки наблюдения – зависит от прибора. Второе – разность начальных фаз – зависит от процессов в источниках света. Для монохроматических источников вторая часть постоянна. Положим ее равной нулю. Тогда – интенсивность света в точке наблюдения зависит от разности хода лучей.
Интенсивность света от двух источников больше, чем сумма их интенсивностей. Но или
Амплитуда суммарной волны равна сумме амплитуд складываемых волн
Интенсивность будет минимальной при
Итак: интенсивность меняется в пространстве в зависимости от разности хода лучей. Электрическое поле меняется от (когда cos=+1) до (когда cos=-1). Таким образом, складываются не интенсивности, а амплитуды колебаний.
Второе расстояние подсчитывается аналогично
SHAPE \* MERGEFORMAT
Подставив это в выражение для интенсивности, получим
1. Закон сохранения энергии выполняется, т.к. имеет место просто перераспределение интенсивности в пространстве.
2. Постоянная добавка разности начальных фаз в выражении для означает сдвиг всей интерференционной картины вдоль оси x на постоянную величину. Ширина полосы при этом сохраняется.
2. Интерференция квазимонохроматических волн.
Этот случай имеет большое практическое применение. Если взять два независимых источника света (даже если пропустить этот свет через поляризатор и светофильтр) и наблюдать наложение волн, интерференции не получится. Причина в том, что реальные волны никогда не бывают монохроматическими. Даже излучение одного атома, излучающего одну спектральную линию – не бесконечная синусоида, т.к. возбужденный атом имеет конечное время жизни. В реальном источнике света излучает сразу много атомов и фазы колебаний в их излучении никак не согласованы. В двух источниках излучают два разных набора атомов и разность фаз этих волн хаотически меняется. Меняется, конечно, и амплитуда, но эти изменения не очень сильные. Поэтому будем рассматривать квазимонохроматические волны с постоянными амплитудами (принципиально это мало что изменит, а рассмотрение проще). Итак
где (со значками «1» и «2»). Второе слагаемое постоянно для данной точки наблюдения, а начальные фазы медленно по сравнению с периодом колебаний, (но не по сравнению с временем наблюдения!) меняются. В каждый момент времени объективно существует «мгновенная» интерференционная картина, определяемая формулами (2) и (3), где – значение фазы в момент t :
зависит от времени и, значит
Мы наблюдаем некоторую среднюю (за время наблюдения) интенсивность
Если разность остается постоянной, то этот случай ничем не отличается от случая монохроматических волн.
Таким образом, необходимое условие наличия четкой интерференционной картины (в случае квазимонохроматических волн с постоянными амплитудами) – разность фаз двух складываемых колебаний сохраняет свое значение за время усреднения, хотя сама фаза может меняться (хотя бы и хаотически и в больших пределах). Это свойство широко применяется в оптике для осуществления интерференционных схем.
Пусть, однако, разность фаз не остается постоянной. Тогда интерференционная картина размывается. Действительно, хотя в «мгновенной» интерференционной картине распределение интенсивности синусоидальное, но положение центра светлой (и, соответственно, темной) полос постоянно меняется, картинка «гуляет» по экрану, а мы наблюдаем некоторое среднее ее значение. Поэтому максимумы будут не столь интенсивны, а минимумы интенсивности не равны нулю. Насколько размыта картинка зависит от того, как меняется разность фаз. Если разность меняется незначительно, то картинка может быть более или менее четкой (частично когерентные источники света), если же фазы совсем не согласованны между собой, то разность может принимать всевозможные значения, меняясь хаотически и принимая то положительные. то отрицательные значения, и тогда интерференционная картина исчезает совсем (некогерентные источники).
Формула для интенсивности получается такой
Чтобы получить формулу (7) запишем усреднение в (6) в комплексной форме.
Если возьмем реальную часть от начального и конечного выражений, получим
Экспериментальной количественной оценкой согласованности фаз и, следовательно, когерентности колебаний, может служить видность интерференционной картины. Она равна
Осуществление когерентных колебаний в оптике.
Мы видели, что для получения когерентных волн (и, значит интерференционной картины) два разных источника непригодны. Френель (1818г) показал, что для этого можно использовать излучение одного и того же источника света. Необходимо испускаемое излучение разделить на два потока, распространяющихся по разным путям (возможно – в разных условиях), а затем свести их вместе. Тогда разность начальных фаз останется постоянной т.к. это волны от одного и того же источника. Необходимо только, чтобы разность времен была небольшой, чтобы фаза колебаний за это время не успела заметно измениться.
Можно делить поток излучения по-разному. Различают: а) деление фронта волны и б) деление амплитуды волны.
Деление фронта волны.
Примеры таких интерференционных схем: опыт Юнга, бипризма Френеля, бизеркала Френеля, билинза Бийе. Эти и другие подобные схемы описаны в любом учебнике по оптике и здесь они не приводятся.
В точке P эти волны приобретут дополнительную фазу и будут иметь вид
Здесь мы пренебрегаем геометрическим фактором – уменьшением амплитуды с расстоянием.
Рассмотрим результат интерференции этих волн. Согласно формуле (1)
При усреднении по времени учтем, что фазы и – постоянны, последний член в сумме равен нулю, а среднее значение квадрата косинуса (синуса) равно 1/2. Получим
Но Точно так же и для второго поля. Поэтому
или, подставляя значения фаз,
(2)
(3)
В выражении (3) два слагаемых. Первое – разность фаз, приобретенная лучами на пути от источников до точки наблюдения – зависит от прибора. Второе – разность начальных фаз – зависит от процессов в источниках света. Для монохроматических источников вторая часть постоянна. Положим ее равной нулю. Тогда – интенсивность света в точке наблюдения зависит от разности хода лучей.
Интенсивность света от двух источников больше, чем сумма их интенсивностей. Но или
Амплитуда суммарной волны равна сумме амплитуд складываемых волн
Интенсивность будет минимальной при
Итак: интенсивность меняется в пространстве в зависимости от разности хода лучей. Электрическое поле меняется от (когда cos=+1) до (когда cos=-1). Таким образом, складываются не интенсивности, а амплитуды колебаний.
Второе расстояние подсчитывается аналогично
SHAPE \* MERGEFORMAT
Подставив это в выражение для интенсивности, получим
1. Закон сохранения энергии выполняется, т.к. имеет место просто перераспределение интенсивности в пространстве.
2. Постоянная добавка разности начальных фаз в выражении для означает сдвиг всей интерференционной картины вдоль оси x на постоянную величину. Ширина полосы при этом сохраняется.
2. Интерференция квазимонохроматических волн.
Этот случай имеет большое практическое применение. Если взять два независимых источника света (даже если пропустить этот свет через поляризатор и светофильтр) и наблюдать наложение волн, интерференции не получится. Причина в том, что реальные волны никогда не бывают монохроматическими. Даже излучение одного атома, излучающего одну спектральную линию – не бесконечная синусоида, т.к. возбужденный атом имеет конечное время жизни. В реальном источнике света излучает сразу много атомов и фазы колебаний в их излучении никак не согласованы. В двух источниках излучают два разных набора атомов и разность фаз этих волн хаотически меняется. Меняется, конечно, и амплитуда, но эти изменения не очень сильные. Поэтому будем рассматривать квазимонохроматические волны с постоянными амплитудами (принципиально это мало что изменит, а рассмотрение проще). Итак
где (со значками «1» и «2»). Второе слагаемое постоянно для данной точки наблюдения, а начальные фазы медленно по сравнению с периодом колебаний, (но не по сравнению с временем наблюдения!) меняются. В каждый момент времени объективно существует «мгновенная» интерференционная картина, определяемая формулами (2) и (3), где – значение фазы в момент t :
зависит от времени и, значит
Мы наблюдаем некоторую среднюю (за время наблюдения) интенсивность
Если разность остается постоянной, то этот случай ничем не отличается от случая монохроматических волн.
Таким образом, необходимое условие наличия четкой интерференционной картины (в случае квазимонохроматических волн с постоянными амплитудами) – разность фаз двух складываемых колебаний сохраняет свое значение за время усреднения, хотя сама фаза может меняться (хотя бы и хаотически и в больших пределах). Это свойство широко применяется в оптике для осуществления интерференционных схем.
Пусть, однако, разность фаз не остается постоянной. Тогда интерференционная картина размывается. Действительно, хотя в «мгновенной» интерференционной картине распределение интенсивности синусоидальное, но положение центра светлой (и, соответственно, темной) полос постоянно меняется, картинка «гуляет» по экрану, а мы наблюдаем некоторое среднее ее значение. Поэтому максимумы будут не столь интенсивны, а минимумы интенсивности не равны нулю. Насколько размыта картинка зависит от того, как меняется разность фаз. Если разность меняется незначительно, то картинка может быть более или менее четкой (частично когерентные источники света), если же фазы совсем не согласованны между собой, то разность может принимать всевозможные значения, меняясь хаотически и принимая то положительные. то отрицательные значения, и тогда интерференционная картина исчезает совсем (некогерентные источники).
Формула для интенсивности получается такой
Чтобы получить формулу (7) запишем усреднение в (6) в комплексной форме.
Если возьмем реальную часть от начального и конечного выражений, получим
Экспериментальной количественной оценкой согласованности фаз и, следовательно, когерентности колебаний, может служить видность интерференционной картины. Она равна
Осуществление когерентных колебаний в оптике.
Мы видели, что для получения когерентных волн (и, значит интерференционной картины) два разных источника непригодны. Френель (1818г) показал, что для этого можно использовать излучение одного и того же источника света. Необходимо испускаемое излучение разделить на два потока, распространяющихся по разным путям (возможно – в разных условиях), а затем свести их вместе. Тогда разность начальных фаз останется постоянной т.к. это волны от одного и того же источника. Необходимо только, чтобы разность времен была небольшой, чтобы фаза колебаний за это время не успела заметно измениться.
Можно делить поток излучения по-разному. Различают: а) деление фронта волны и б) деление амплитуды волны.
Деление фронта волны.
Примеры таких интерференционных схем: опыт Юнга, бипризма Френеля, бизеркала Френеля, билинза Бийе. Эти и другие подобные схемы описаны в любом учебнике по оптике и здесь они не приводятся.
Необходимы более веские доказательства того, что свет при распространении ведет себя как волна. Любому волновому движению присущи явления интерференции и дифракции. Для того чтобы быть уверенным в том, что свет имеет волновую природу, необходимо найти экспериментальные доказательства интерференции и дифракции света.
Сложение волн. Очень часто в среде одновременно распространяется несколько различных волн. Например, когда в комнате беседуют несколько человек, то звуковые волны накладываются друг на друга. Что при этом происходит?
Проще всего проследить за наложением механических волн, наблюдая волны на поверхности воды. Если мы бросим в воду два камня, создав этим две кольцевые волны, то нетрудно заметить, что каждая волна проходит сквозь другую и ведет себя в дальнейшем так, как будто бы другой волны совсем не существовало. Точно так же любое число звуковых волн может одновременно распространяться в воздухе, ничуть не мешая друг другу. Множество музыкальных инструментов в оркестре или голосов в хоре создают звуковые волны, одновременно улавливаемые нашим ухом. Причем ухо в состоянии отличить один звук от другого.
Теперь посмотрим более внимательно, что происходит в местах, где волны накладываются друг на друга. Наблюдая волны на поверхности воды от двух брошенных в воду камней, можно заметить, что некоторые участки поверхности не возмущены, в других же местах возмущение усилилось. Если две волны встречаются в одном месте гребнями, то в этом месте возмущение поверхности воды усиливается.
Если же, напротив, гребень одной волны встречается с впадиной другой, то поверхность воды не будет возмущена.
Вообще же в каждой точке среды колебания, вызванные двумя волнами, просто складываются. Результирующее смещение любой частицы среды представляет собой алгебраическую (т. е. с учетом их знаков) сумму смещений, которые происходили бы при распространении одной из волн в отсутствие другой.
Интерференция. Сложение в пространстве волн, при котором образуется постоянное во времени распределение амплитуд результирующих колебаний, называется интерференцией.
Выясним, при каких условиях имеет место интерференция волн. Для этого рассмотрим более подробно сложение волн, образуемых на поверхности воды.
Результат сложения волн, приходящих в точку M, зависит от разности фаз между ними. Пройдя различные расстояния d1 и d2, волны имеют разность хода Δd = d2—d1. Если разность хода равна длине волны λ, то вторая волна запаздывает по сравнению с первой ровно на один период (как раз за период волна проходит путь, равный длине волны). Следовательно, в этом случае гребни (как и впадины) обеих волн совпадают.
Амплитуда колебаний среды в данной точке максимальна, если разность хода двух волн, возбуждающих колебания в этой точке, равна целому числу длин волн:
Условие минимумов. Пусть теперь на отрезке Δd укладывается половина длины волны. Очевидно, что при этом вторая волна отстает от первой на половину периода. Разность фаз оказывается равной п, т. е. колебания будут происходить в противофазе. В результате сложения этих колебаний амплитуда результирующего колебания равна нулю, т. е. в рассматриваемой точке колебаний нет (рис. 121). То же самое произойдет, если на отрезке укладывается любое нечетное число полуволн.
Амплитуда колебаний среды в данной точке минимальна, если разность хода двух волн, возбуждающих колебания в этой точке, равна нечетному числу полуволн:
Когерентные волны. Для образования устойчивой интерференционной картины необходимо, чтобы источники волн имели одинаковую частоту и разность фаз их колебаний была постоянной.
Источники, удовлетворяющие этим условиям, называются когерентными. Когерентными называют и созданные ими волны. Только при сложении когерентных волн образуется устойчивая интерференционная картина.
Если же разность фаз колебаний источников не остается постоянной, то в любой точке среды разность фаз колебаний, возбуждаемых двумя волнами, будет меняться. Поэтому амплитуда результирующих колебаний с течением времени изменяется. В результате максимумы и минимумы перемещаются в пространстве и интерференционная картина размывается.
Распределение энергии при интерференции. Волны несут энергию. Что же с этой энергией происходит при гашении волн друг другом? Может быть, она превращается в другие формы и в минимумах интерференционной картины выделяется тепло? Ничего подобного. Наличие минимума в данной точке интерференционной картины означает, что энергия сюда не поступает совсем. Вследствие интерференции происходит перераспределение энергии в пространстве. Она не распределяется равномерно по всем частицам среды, а концентрируется в максимумах за счет того, что в минимумы не поступает совсем.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТОВЫХ ВОЛН
Если свет представляет собой поток волн, то должно наблюдаться явление интерференции света. Однако получить интерференционную картину (чередование максимумов и минимумов освещенности) с помощью двух независимых источников света, например двух электрических лампочек, невозможно. Включение еще одной лампочки лишь увеличивает освещенность поверхности, но не создает чередования минимумов и максимумов освещенности.
Выясним, в чем причина этого и при каких условиях можно наблюдать интерференцию света.
Условие когерентности световых волн. Причина состоит в том, что световые волны, излучаемые различными источниками, не согласованы друг с другом. Для получения же устойчивой интерференционной картины нужны согласованные волны. Они должны иметь одинаковые длины волн и постоянную разность фаз в любой точке пространства. Напомним, что такие согласованные волны с одинаковыми длинами волн и постоянной разностью фаз называются когерентными.
Почти точного равенства длин волн от двух источников добиться нетрудно. Для этого достаточно использовать хорошие светофильтры, пропускающие свет в очень узком интервале длин волн. Но невозможно осуществить Постоянство разности фаз от двух независимых источников. Атомы источников излучают свет независимо друг от друга отдельными «обрывками» (цугами) синусоидальных волн, имеющими длину около метра. И такие цуги волн от обоих источников налагаются друг на друга. В результате амплитуда колебаний в любой точке пространства хаотически меняется со временем в зависимости от того, как в данный момент времени цуги волн от различных источников сдвинуты друг относительно друга по фазе. Волны от различных источников света некогерентны из-за того, что разность фаз волн не остается постоянной. Никакой устойчивой картины с определенным распределением максимумов и минимумов освещенности в пространстве не наблюдается.
Интерференция в тонких пленках. Тем не менее интерференцию света удается наблюдать. Курьез состоит в том, что ее наблюдали очень давно, но только не отдавали себе в этом отчета.
Вы тоже много раз видели интерференционную картину, когда в детстве развлекались пусканием мыльных пузырей или наблюдали за радужным переливом цветов тонкой пленки керосина или нефти на поверхности воды. «Мыльный пузырь, витая в воздухе. зажигается всеми оттенками цветов, присущими окружающим предметам. Мыльный пузырь, пожалуй, самое изысканное чудо природы» (Марк Твен). Именно интерференция света делает мыльный пузырь столь достойным восхищения.
Английский ученый Томас Юнг первым пришел к гениальной мысли о возможности объяснения цветов тонких пленок сложением волн 1 и 2 (рис. 123), одна из которых (1) отражается от наружной поверхности пленки, а вторая (2) —от внутренней. При этом происходит интерференция световых волн — сложение двух волн, вследствие которого наблюдается устойчивая во времени картина усиления или ослабления результирующих световых колебаний в различных точках пространства. Результат интерференции (усиление или ослабление результирующих колебаний) зависит от угла падения света на пленку, ее толщины и длины волны. Усиление света произойдет в том случае, если преломленная волна 2 отстанет от отраженной волны 1 на целое число длин волн. Если же вторая волна отстанет от первой на половину длины волны или на нечетное число полуволн, то произойдет ослабление света.
Когерентность волн, отраженных от наружной и внутренней поверхностей пленки, обеспечивается тем, что они являются частями одного и того же светового пучка. Цуг волн от каждого излучающего атома разделяется пленкой на два, а затем эти части сводятся вместе и интерферируют.
Юнг также понял, что различие в цвете связано с различием в длине волны (или частоте световых волн). Световым пучкам различного цвета соответствуют волны различной длины. Для взаимного усиления волн, отличающихся друг от друга длиной (углы падения предполагаются одинаковыми), требуется различная толщина пленки. Следовательно, если пленка имеет неодинаковую толщину, то при освещении ее белым светом должны появиться различные цвета.
Кольца Ньютона. Простая интерференционная картина возникает в тонкой прослойке воздуха между стеклянной пластиной и положенной на нее плоско-выпуклой линзой, сферическая поверхность которой имеет большой радиус кривизны. Эта интерференционная картина имеет вид концентрических колец, получивших название кольца Ньютона.
Удовлетворительно объяснить, почему возникают кольца, Ньютон не смог. Удалось это Юнгу. Проследим за ходом его рассуждений. В их основе лежит предположение о том, что свет — это волны. Рассмотрим случай, когда волна определенной длины падает почти перпендикулярно на плоско-выпуклую линзу (рис. 124). Волна 1 появляется в результате отражения от выпуклой поверхности линзы на границе стекло — воздух, а волна 2 — в результате отражения от пластины на границе воздух — стекло. Эти волны когерентны: они имеют одинаковую длину и постоянную разность фаз, которая возникает из-за того, что волна 2 проходит больший путь, чем волна 1. Если вторая волна отстает от первой на целое число длин волн, то, складываясь, волны усиливают друг друга. Вызываемые ими колебания происходят в одной фазе.
Напротив, если вторая волна отстает от первой на нечетное число полуволн, то колебания, вызванные ими, будут происходить в противоположных фазах и волны гасят друг друга.
Если известен радиус кривизны R поверхности линзы, то можно вычислить, на каких расстояниях от точки соприкосновения линзы со стеклянной пластиной разности хода таковы, что волны определенной длины λ гасят друг друга. Эти расстояния и являются радиусами темных колец Ньютона. Ведь линии постоянной толщины воздушной прослойки представляют собой окружности. Измерив радиусы колец, можно вычислить длины волн.
Явление интерференции не только доказывает наличие у света волновых свойств, но и позволяет измерить длину волны. Подобно тому как высота звука определяется его частотой, цвет света определяется частотой колебаний или длиной волны.
При переходе света из одной среды в другую длина волны изменяется. Это можно обнаружить так. Заполним водой или другой прозрачной жидкостью с показателем преломления п воздушную прослойку между линзой и пластиной. Радиусы интерференционных колец уменьшатся.
Почему это происходит? Мы знаем, что при переходе света из вакуума в какую-нибудь среду скорость света уменьшается в n раз. Так как v = λv, то при этом должна уменьшиться в n раз либо частота, либо длина волны. Но радиусы колец зависят от длины волны. Следовательно, когда свет входит в среду, изменяется в n раз именно длина волны, а не частота.
Интерференция электромагнитных волн. На опытах с генератором СВЧ можно наблюдать интерференцию электромагнитных (радио) волн.
Генератор и приемник располагают друг против друга (рис. 125). Затем подводят снизу металлическую пластину в горизонтальном положении. Постепенно поднимая пластину, обнаруживают поочередное ослабление и усиление звука.
Явление объясняется следующим образом. Часть волны из рупора генератора непосредственно попадает в приемный рупор. Другая же ее часть отражается от металлической пластины. Меняя расположение пластины, мы изменяем разность хода прямой и отраженной волн. Вследствие этого волны либо усиливают, либо ослабляют друг друга в зависимости от того, равна ли разность хода целому числу длин волн или нечетному числу полуволн.
и 
– начальные фазы.
и 
– постоянны, последний член в сумме равен нулю, а среднее значение квадрата косинуса (синуса) равно 1/2. Получим
Точно так же и для второго поля. Поэтому
(2)
(3)
или 
(когда cos=+1) до 
(когда cos=-1). Таким образом, складываются не интенсивности, а амплитуды колебаний.
означает сдвиг всей интерференционной картины вдоль оси x на постоянную величину. Ширина полосы при этом сохраняется.
(со значками «1» и «2»). Второе слагаемое постоянно для данной точки наблюдения, а начальные фазы 
медленно по сравнению с периодом колебаний, (но не по сравнению с временем наблюдения!) меняются. В каждый момент времени объективно существует «мгновенная» интерференционная картина, определяемая формулами (2) и (3), где 
– значение фазы в момент t :
зависит от времени и, значит
остается постоянной, то этот случай ничем не отличается от случая монохроматических волн.
меняется незначительно, то картинка может быть более или менее четкой (частично когерентные источники света), если же фазы совсем не согласованны между собой, то разность может принимать всевозможные значения, меняясь хаотически и принимая то положительные. то отрицательные значения, и тогда интерференционная картина исчезает совсем (некогерентные источники).
была небольшой, чтобы фаза колебаний за это время не успела заметно измениться.
и 
– начальные фазы.
и 
– постоянны, последний член в сумме равен нулю, а среднее значение квадрата косинуса (синуса) равно 1/2. Получим
Точно так же и для второго поля. Поэтому
(2)
(3)
или 
(когда cos=+1) до 
(когда cos=-1). Таким образом, складываются не интенсивности, а амплитуды колебаний.
означает сдвиг всей интерференционной картины вдоль оси x на постоянную величину. Ширина полосы при этом сохраняется.
(со значками «1» и «2»). Второе слагаемое постоянно для данной точки наблюдения, а начальные фазы 
медленно по сравнению с периодом колебаний, (но не по сравнению с временем наблюдения!) меняются. В каждый момент времени объективно существует «мгновенная» интерференционная картина, определяемая формулами (2) и (3), где 
– значение фазы в момент t :
зависит от времени и, значит
остается постоянной, то этот случай ничем не отличается от случая монохроматических волн.
меняется незначительно, то картинка может быть более или менее четкой (частично когерентные источники света), если же фазы совсем не согласованны между собой, то разность может принимать всевозможные значения, меняясь хаотически и принимая то положительные. то отрицательные значения, и тогда интерференционная картина исчезает совсем (некогерентные источники).
была небольшой, чтобы фаза колебаний за это время не успела заметно измениться.
