Чем обусловлено затухание электромагнитных колебаний в контуре

Затухающие колебания в контуре и их уравнение

Именно наличие сопротивления становится главной причиной их затухания. Данный процесс возможен посредствам потерь энергии на выделение джоулева тепла. Аналог сопротивления в механике – действие сил трения.

Характеристики затухающих колебаний

Для R L C контура применима формула с ω частотой.

При рассмотрении затухающих колебаний последовательного контура колебательный контур характеризуется добротностью Q :

R является входным сопротивлением параллельного контура.

Эквивалентное определение добротности применяется при слабых затуханиях. Его выражают через отношение энергий:

Уравнения затухающих колебаний

Если R > 2 L C изменения заряда не относят к колебаниям, разряд называют апериодическим.

Решение

Для нахождения I ( t ) :

Очевидно, что электрическая энергия W q запишется как:

Тогда значение магнитной энергии контура W m равняется:

Запись полной энергии будет иметь вид:

Решение

Если колебания в контуре затухают медленно, то:

Очевидно, выражение энергии, запасенной в контуре, вычислим из

Источник

Электромагнитные колебания в контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, происходят благодаря периодическому превращению электрической энергии в магнитную и обратно. При этом периодически изменяются электрический заряд на обкладках конденсатора и величина тока через катушку.

Электромагнитные колебания бывают свободными и вынужденными. Свободные колебания, как правило, являются затухающими из-за ненулевого сопротивления контура, а вынужденные колебания — это, обычно, автоколебания.

Чтобы получить в колебательном контуре свободные колебания, необходимо сначала вывести данную систему из состояния равновесия: сообщить конденсатору начальный заряд q0, либо каким-то образом инициировать импульс тока I0 через катушку.

Колебания, которые поддерживаются в цепи под действием внешней переменной электродвижущей силы, называются вынужденными колебаниями. Итак, как вы уже поняли, примером простейшей колебательной системы, в которой можно наблюдать свободные электромагнитные колебания, является колебательный контур, состоящий из конденсатора электроемкостью C и катушки индуктивностью L.

В реальном колебательном контуре процесс перезарядки конденсатора периодически повторяется, но колебания быстро затухают, так как энергия рассеивается в основном на активном сопротивлении R провода катушки.

Рассмотрим схему с идеальным колебательным контуром. Зарядим сначала конденсатор от батареи — сообщим ему начальный заряд q0, то есть наполним конденсатор энергией. Это будет максимальная энергия конденсатора Wэ.

Следующим шагом отключим конденсатор от батареи и подключим его параллельно к катушке индуктивности. В этот момент конденсатор начнет разряжаться, и в цепи катушки возникнет нарастающий ток. Чем дольше разряжается конденсатор — тем больше заряда из него постепенно переходит в катушку, тем большим становится ток в катушке, катушка запасает таким образом энергию в форме магнитного поля.

Этот процесс происходит не мгновенно а постепенно, так как катушка обладает индуктивностью, а значит проявляется явление самоиндукции, которое заключается в том, что катушка как-бы противится нарастанию тока. В какой-то момент энергия магнитного поля катушки доходит до максимально возможного значения Wм (в зависимости от того, сколько заряда изначально было сообщено конденсатору и каково сопротивление цепи).

Далее, из-за явления самоиндукции, ток через катушку поддерживается в том же направлении, но величина его спадает, и электрический заряд в конце концов снова накапливается в конденсаторе. Конденсатор, таким образом, перезарядился. Его обкладки теперь имеют противоположные знаки заряда чем это было в начале эксперимента, когда мы подключали конденсатор к батарее.

Энергия конденсатора достигла максимально возможного для данной цепи значения. Ток в цепи прекратился. Теперь процесс начинает идти в обратном направлении. И так будет продолжаться вновь и вновь, то есть будут иметь место свободные электромагнитные колебания.

Если бы активное сопротивление цепи R было равно нулю, то напряжение на обкладках конденсатора и ток через катушку изменялись бы бесконечно по гармоническому закону — косинуса или синуса. Это и называется гармонические колебания. Заряд на обкладках конденсатора изменялся бы также по гармоническому закону.

В идеальном контуре отсутствуют потери. И если бы так было на самом деле, то период свободных колебаний в контуре зависел бы лишь от величины емкости C конденсатора и индуктивности L катушки. Этот период можно найти (для идеального контура, у которого R=0) по формуле Томсона:

Соответствующие частота и циклическая частота находятся для идеального контура без потерь по следующим формулам:

Но идеальных контуров не существует, и электромагнитные колебания затухают из-за потерь на нагрев проводов. В зависимости от величины сопротивления цепи контура R, каждый последующий максимум напряжения на конденсаторе будет ниже предыдущего.

В связи с данным явлением в физике вводится такой параметр как логарифмический декремент колебаний или декремент затухания. Он находится как натуральный логарифм отношения двух последующих максимумов (одного знака) колебаний:

Логарифмический декремент колебаний связан с идеальным периодом колебаний следующим соотношением, где может быть введен дополнительных параметр, так называемый коэффициент затухания:

Затухание влияет на частоту свободных колебаний. Поэтому формула для нахождения частоты свободных затухающих колебаний в реальном колебательном контуре отличается от формулы для идеального контура (учитывается коэффициент затухания):

Чтобы колебания в контуре сделать незатухающими, необходимо эти потери каждые пол периода восполнять, компенсировать. Что и достигается в генераторах незатухающих колебаний, где источник внешней ЭДС компенсирует своей энергией тепловые потери. Такая система колебаний с источником внешней ЭДС называется автоколебательной.

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Подписывайтесь на наш канал в Telegram!

Просто пройдите по ссылке и подключитесь к каналу.

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:

Источник

Затухающие колебания в контуре и их уравнение

Вы будете перенаправлены на Автор24

Определение, характеристики затухающих колебаний

Причиной затухания колебаний в таком контуре является наличие сопротивления. Его существование ведет к тому, что в контуре происходят потери энергии на выделение джоулева тепла. В механике аналогом сопротивления являются силы трения.

Рассматривая затухающие колебания, колебательный контур характеризуют его добротностью ($O$). Он равен:

Для слабого затухания добротность можно выразить как:

Также при слабом затухании электрических колебаний добротность можно выразить через отношение энергий:

Готовые работы на аналогичную тему

Уравнение затухающих колебаний

Обратимся вновь к контуру, который изображен на рис.1. Изменение заряда ($q$) на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением вида:

Начальная фаза колебаний ($<\alpha >_0$) равна:

График функции (10) изображают как на рис.2.

Решение:

Следовательно, электрическая энергия контура ($W_q$) имеет вид:

Магнитная энергия контура ($W_m$) равна:

Полная энергия равна:

Задание: Используя результат Примера 1, запишите выражение для энергии, запасенной в контуре ($W(t)$), если колебания затухают в контуре очень медленно. Изобразите график убывания энергии запасенной в контуре.

Решение:

Если колебания в контуре затухают медленно, то это значит:

Следовательно, выражение для энергии, запасенной в контуре:

можно преобразовать к виду:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 26 04 2021

Источник

Свободные затухающие электромагнитные колебания.

Свободные затухающие колебания – это такие колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени вследствие потерь энергии колебательной системой. В электрическом колебательном контуре энергия расходуется на джоулево тепло и на электромагнитное излучение.

Мы рассматривали процесс колебаний в контуре без потерь. Однако в реальных контурах всегда происходят необратимые потери энергии на нагрев проводов и диэлектрика, а также на из­лучение, что приводит к постепенному уменьшению амплитуды электрических колебаний, или, как говорят, к их зату­ханию. При расчете затухания контура полагают, что он имеет сосредоточенное сопротивление, потреб­ляющее то же количество энергии, которое расходуется в контуре на все ви­ды потерь.

Колебания в контуре затухают тем быстрее, чем большая доля первона­чально запасенной в контуре энергии теряется за период колебаний, т. е. чем больше сопротивление потерь по срав­нению с его характеристическим сопротивлением. Отношение характеристиче­ского сопротивления контура, к сопротивлению потерь называется добротностью:

Поскольку мощность потерь пропор­циональна активному сопротивлению контура, а развиваемая в его элементах реактивная мощность пропорциональна их реактивным сопротивлениям, то доб­ротность характеризует также отноше­ние этих мощностей. Чем больше добротность, тем медленнее затухают сво­бодные колебания в контурах с одинаковой частотой собственных колебаний. Используемые в радиотехнике контуры из катушек и конденсаторов обычно имеют добротность от 50 до 300.

Энергия, получаемая антенной передатчика из колебательного контура, распространяется в пространстве в виде электромагнитных волн. Расстояние. которое проходит такая волна за время, равное периоду колебаний, называется длиной волны λ. В соответствии с этим определением λ= υТ= υ/f_о,где υ- скорость распространения электромагнитных волн.

где с- скорость распространения света в вакууме, 3.10 8 м/сек,ε μ-соответственно относительные диэлектрическая и магнитная постоянные среды.

Для воздуха можно считать υ=с и,следовательно, если подставить υ в м/сек,а fо в Мгц, то λ(м)=300/f_о(Мгц).

Дифференциальное уравнение затухающих электрических колебаний в контуре, имеющем электрическое сопротивление :

,

где – коэффициент затухания, (здесь – индуктивность контура).

Уравнение затухающих колебаний в случае слабого затухания ( ) (рис. 4.2):

,

где – амплитуда затухающих колебаний заряда конденсатора; – начальная амплитуда колебаний; – циклическая частота затухающих колебаний, .

Время релаксации – это промежуток времени , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в раз:

.

Время релаксации связано с коэффициентом затухания соотношением

.

Логарифмический декремент затухания колебаний

,

где – период затухающих колебаний.

Формула, связывающая логарифмический декремент колебаний с коэффициентом затухания и периодом затухающих колебаний:

.

30.Вынужденные электромагнитные колебания.

Вынужденные колебания – это такие колебания, которые совершаются при наличии внешнего периодически изменяющегося воздействия.

Дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний в контуре, имеющем электрическое сопротивление , при наличии вынуждающей ЭДС , изменяющейся по гармоническому закону , где – амплитудное значение ЭДС, а – циклическая частота изменения ЭДС (рис. 4.3):

,

где – коэффициент затухания, ; – индуктивность контура.

Рис. 4.3. Контур для наблюдения вынужденных электрических колебаний

Уравнение установившихся вынужденных электрических колебаний:

,

где – разность фаз колебаний заряда конденсатора и вынуждающей ЭДС источника тока.

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний заряда конденсатора

.

Разность фаз колебаний заряда конденсатора и вынуждающей ЭДС источника тока

.

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения между циклическими частотами вынуждающего воздействия и собственных колебаний . Резонансная частота и резонансная амплитуда:

; .

Источник

Чем обусловлено затухание электромагнитных колебаний в контуре

Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением (рис. 4.3). Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего колебания затухают.

По второму закону Кирхгофа:

, или

Обозначим – коэффициент затухания и, учитывая, что собственная частота контура , получим уравнение затухающих колебаний в контуре с R, L и С:

При , т.е. , решение этого уравнения имеет вид:

где – частота затухающих колебаний контура, или , т.е. .

На рис. 4.4 показан вид затухающих колебаний заряда q и силы тока I. Если сравнить электрические затухающие колебания с механическими (рис. 3.1), то хорошо видны общие закономерности этих явлений: колебаниям q соответствует x – смещение маятника из положения равновесия, силе тока I – скорость υ.

Затухание принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания χ:

Найдём выражение χ для электрических колебаний. Т.к.

, ,

.

Поскольку R, L, ω определяются параметрами контура, следовательно χ является характеристикой контура.

Если затухание невелико, т.е. , то тогда

Колебательный контур часто характеризуют добротностью Q, которая определяется как величина, обратно пропорциональная χ: , а т.к. , где N – число колебаний, то , т.е. добротность Q тем больше, чем больше колебаний успевает совершиться, прежде чем амплитуда уменьшится в е раз.

Добротность определяется и по-другому:

где W – энергия контура в данный момент, ΔW – убыль энергии за один период, следующий за этим моментом.

При т.е. при , происходит апериодический разряд (рис. 4.5).

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим сопротивлением . Найдем это сопротивление из равенства:

,

где R_вол – волновое сопротивление, определяемое параметрами L и C.

Источник