Что значит тождество в алгебре 7 класс
Тождества: определение, обозначение, примеры
Начнем разговор о тождествах, дадим определение понятия, введем обозначения, рассмотрим примеры тождеств.
Что представляет собой тождество
Начнем с определения понятия тождества.
Тождество представляет собой равенство, которое верно при любых значениях переменных. Фактически, тождеством является любое числовое равенство.
По мере разбора темы мы можем уточнять и дополнять данное определение. Например, если вспомнить понятия допустимых значений переменных и ОДЗ, то определение тождества можно дать следующим образом.
Тождество – это верное числовое равенство, а также равенство, которое будет верным при всех допустимых значениях переменных, которые входят в его состав.
Про любые значения переменных при определении тождества речь идет в пособиях и учебниках по математике для 7 класса, так как школьная программа для семиклассников предполагает проведение действий исключительно с целыми выражениями (одно- и многочленами). Они имеют смысл при любых значениях переменных, которые входят в их состав.
Программа 8 класса расширяется за счет рассмотрения выражений, которые имеют смысл только для значений переменных из ОДЗ. В связи с этим и определение тождества меняется. Фактически, тождество становится частным случаем равенства, так как не каждое равенство является тождеством.
Знак тождества
Обычно запись тождества ничем не отличается от записи обыкновенного равенства. Знак тождества может быть применен для того, чтобы подчеркнуть, что перед нами не простое равенство, а тождество.
Примеры тождеств
Обратимся к примерам.
Равенства 2 + 3 = 5 и 7 − 1 = 2 · 3 также можно считать тождествами, так как они являются вернными. Здесь также допустима запись 2 + 3 ≡ 5 и 7 − 1 ≡ 2 · 3 .
Тождества могут содержать не только числа, но также и переменные.
Это значит, что приведенные равенства не являются тождествами.
В математике мы постоянно имеем дело с тождествами. Делая записи действий, производимых с числами, мы работаем с тождествами. Тождествами являются записи свойств степеней, свойств корней и прочие.
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Тождественное равенство рациональных выражений
Перечень рассматриваемых вопросов:
• Тождественное равенство рациональных выражений.
Тождество – это верное числовое равенство, а также равенство, которое будет верным при всех допустимых значениях переменных, которые входят в его состав.
Равенство двух рациональных выражений называется тождеством или тождественным равенством, если оно обращается в верное числовое равенство для всех числовых значений букв, для которых оба эти выражения определены.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Более того, для каждого из этих значений с (кроме с = 2 и с = 1), числовые значения правой и левой частей в равенстве (1) равны между собой. Давайте проверим это.
Действительно 22 = 22.
Левая часть равенства – дробь, а правая, равная ей дробь, полученная умножением её числителя и знаменателя на одно и то же, не равное нулю, число.
Равенство двух рациональных выражений называется тождеством или тождественным равенством, если оно обращается в верное числовое равенство для всех числовых значений букв, для которых оба эти выражения определены.
Следовательно, правая часть равенства равна левой, при любых значениях букв, при которых определены обе части равенства, что и требовалось доказать.
Для любых значений букв, при которых определены обе части равенства (кроме a = 0 и b = 0), имеем:
Следовательно, правая часть равенства равна левой при любых значениях букв, при которых определены обе части равенства, что и требовалось доказать.
Тождество – это верное числовое равенство, а также равенство, которое будет верным при всех допустимых значениях переменных, которые входят в его состав.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
Тождество — что это такое в математике
Очень часто в математике встречаются такие слова «тождество», «тождественно равные», «тождественное преобразование». Многие учащиеся путают значения этих слов. Давайте с вами разберемся, что означают эти слова.
В математике и, в более общем плане, в научных областях тождество — это открытие, что два математических объекта (имеющих два разных математических сценария) на самом деле являются одним и тем же объектом. В частности, тождество — это равенство между двумя выражениями, которое истинно независимо от значений различных используемых переменных. Тождества обычно используются для преобразования одного математического выражения в другое, особенно для решения уравнения.
Определение тождества
Равенство, которое является верным при любом значении, входящей в него переменной, называется тождеством. Тождество, как и уравнение, имеет переменную — x, y или любую другую букву. Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что уравнение имеет корень — то есть значение переменной, при которой выполняется данное равенство. А в тождестве равенство должно выполняться при любом значении переменной. То есть, равенство не всегда будет тождеством.
является уравнением, поскольку верно только при 
.
А равенство 
является и тождеством и уравнением, так как верно при любом значении переменной 
, и как решение уравнения — — любое число.
Пример: 
— это тождественное преобразование левой части выражения — получаем тождество.
Уравнение или тождество
Как и уравнение, тождество имеет переменную. Уравнение содержит вопрос: при каких значениях переменной получается равенство. Тождество — это утверждение в том, что равенство верно при любом значении переменной.
Определите, где в перечисленных ниже выражениях будет тождество, а где только уравнение.
Вы увидите, что все выражения, кроме третьего, являются уравнениями. А тождество у нас получается только в третьем выражении, так как при раскрытии скобок в правой части уравнения, мы получаем взаимоуничтожение переменных в правой и левой частях равенства, которое остается верным.
Очень часто тождества используются в тригонометрии. Вы можете посмотреть статью на эту тему подробнее: тригонометрические тождества часть 1 и тригонометрические тождества часть 2.
Например, самое известное, так называемое основное тригонометрическое тождество:
— верно при любом значении 
.
Некоторые алгебраические тождества квалифицируются как «замечательные» и позволяют облегчить вычисление или факторизацию полиномиальных выражений.
,
.
То есть, умножение осуществлялось с помощью вычитания квадратов чисел — для этого у вавилонян имелись таблицы квадратов чисел.
А еще вы можете ознакомиться с основным логарифмическим тождеством. Удачи при изучении математики.
Что необходимо знать ученику о тождествах в алгебре
Тождественные преобразования — основные понятия и определения
Перед началом работы с тождественными выражениями в математике необходимо разобраться что называют тождеством. Тождество — это равенство, верное при любых значениях переменных. Можно сказать, что тождеством является любое числовое равенство.
Тождества проходят в курсе алгебры за 7 класс. Однако с первыми представлениями о тождествах (равенствах) начинают знакомиться еще в начальной школе.
Справа и слева от знака равенства (=) располагаются одинаковые числа или выражения. Обычно запись тождества ничем не отличается от записи обыкновенного равенства.
Знак тождества ( ≡ ) может быть применен для того, чтобы подчеркнуть, что перед нами не простое равенство, а тождество.
Можно дать определение тождеству:
Тождественными выражениями в алгебре называют буквенные выражения, которые при любых числовых значениях этих букв (переменных) равны между собой.
Тождественным преобразованием называют получение таких выражений, значения которых равны исходным при любых допустимых значениях переменных.
Тождественное преобразование всегда предполагает замену данного выражения другим, сохраняя при этом их равенства.
Тождественные выражения в математике
Также тождество образует равенство после нахождения корней уравнения, например уравнение x-3=7, при x=10 образует тождество.
В тригонометрии тождественными выражениями можно считать формулы приведения и основное тригонометрическое тождество.
Тождественные преобразования выражений
В курсе алгебры 7 класс при работе с тождественными выражениями учатся также доказывать тождества. Доказать тождество — значит установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части представляют собой тождественно равные выражения. Чтобы доказать тождество, необходимо выполнить тождественные преобразования одной или обеих частей равенства.
Существует несколько способов тождественных преобразований выражений, приведем некоторые из них:
Пояснения на примерах
Разберем несколько примеров решения тождеств.
Доказать это тождество можно, воспользовавшись распределительным свойством умножения вида:
Докажем это тождество, воспользовавшись формулами сокращенного умножения (квадрата разности) в левой части.
Приведем в нем подобные, в итоге выражение примет вид:
Таким образом, выражение в левой части с помощью преобразования было приведено к выражению в правой части.
В левой части тождества выполним преобразование: вынесение общего множителя за скобки (в числителе дроби).
В числителе и знаменателе имеется одинаковое выражение, которое можно сократить.
В результате выражение в левой части будет равно 7.
Для доказательства тождества вспомним, что синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тогда выразим синус и косинус угла через стороны прямоугольного треугольника.
Пусть АВ — гипотенуза треугольника, а АС и СВ — его катеты.
Далее по теореме Пифагора — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
Левая часть равна правой, значит тождество доказано.
Тождество. Тождественные преобразования. Примеры.
Тождества в основном применяются для решения линейных уравнений.
Тождеством называется равенство, которое верно при всех значениях переменных.
Или другими словами, тождество — это равенство, которое выполняется на всём множестве значений переменных, входящих в него, например:
В этих выражениях при всех значениях a и b равенство верное.
2 выражения с равными значениями при всех значениях переменных являются тождественно равными.
Равенство x+2=5 может существовать не при всех значениях x, а лишь при x=3. Это равенство не будет тождеством, это будет уравнением. Кроме того, тождеством будет равенство, которое не содержит переменные, например 25 2 =625.
Тождественное равенство обозначают символом «≡» (тройное равенство).
Примеры тождеств.
— Тождество Эйлера (кватернионы);
— Тождество Эйлера (теория чисел);
— Тождество четырёх квадратов;
— Тождество восьми квадратов;
Тождественные преобразования.
Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) – это подмена одних выражений другими, тождественно равными друг другу.
Для тождественных преобразований используют формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.
Выполним тождественные преобразования с такой дробью: 
.
Полученное тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения), т.к. знаменатель левой части не может быть равен нулю.
Доказательство тождеств.
Для того, чтоб доказать тождество нужно сделать тождественные преобразования обеих или одной части равенства, и получить слева и справа одинаковые алгебраические выражения.
Например, доказать тождество:
Вынесем х за скобки:
Это равенство есть тождество, при х≠0 и х≠1.
Чтоб доказать, что равенство не является тождеством, нужно найти 1-но значение переменной (которое допустимо) у которой числовые выражения (которые были получены) станут не равными друг другу.
5−1 ≠ 5+1 — подставим, к примеру, 5.
Это равенство не тождество.
Разница между тождеством и уравнением.
Тождество верно при всех значениях переменных, а уравнение – это равенство, которое верно только при одном либо нескольких значениях переменной.
Это выражение верно лишь при х = 10.
Тождеством будет равенство, которое не содержит переменных.