Что значит точка в информатике

Плавающая запятая

Плавающая запятая — форма представления дробных чисел, в которой число хранится в форме мантиссы и показателя степени. При этом число с плавающей запятой имеет фиксированную относительную точность и изменяющуюся абсолютную. Наиболее часто используемое представление утверждено в стандарте IEEE 754. Реализация математических операций с числами с плавающей запятой в вычислительных системах может быть как аппаратная, так и программная.

Содержание

«Плавающая запятая» и «плавающая точка»

Так как в некоторых, преимущественно англоязычных и англофицированных, странах (см. подробный список Decimal separator (англ.) ) при записи чисел целая часть отделяется от дробной точкой, то в терминологии этих стран фигурирует название «плавающая точка» (floating point (англ.) ). Так как в России целая часть числа от дробной традиционно отделяется запятой, то для обозначения того же понятия используется термин «плавающая запятая».

Происхождение названия

Название «плавающая запятая» происходит от того, что запятая в позиционном представлении числа (десятичная запятая, или, для компьютеров, двоичная запятая — далее по тексту просто запятая) может быть помещена где угодно относительно цифр в строке. Это положение запятой указывается отдельно во внутреннем представлении. Таким образом, представление числа в форме с плавающей запятой может рассматриваться как компьютерная реализация экспоненциальной записи чисел.

Преимущество использования представления чисел в формате с плавающей запятой над представлением в формате с фиксированной запятой (и целыми числами) состоит в том, что можно использовать существенно больший диапазон значений при неизменной относительной точности. Например, в форме с фиксированной запятой число, занимающее 8 разрядов в целой части и 2 разряда после запятой, может быть представлено в виде 123456,78; 8765,43; 123,00 и так далее. В свою очередь, в формате с плавающей запятой (в тех же 8 разрядах) можно записать числа 1,2345678; 1234567,8; 0,000012345678; 12345678000000000 и так далее.

Скорость выполнения компьютером операций с числами, представленными в форме с плавающей запятой, измеряется в англ. FLOPS — число операций с плавающей запятой в секунду ),

Структура числа

Число с плавающей запятой состоит из:

Нормальная форма

Использование в вычислительных машинах

Краткий обзор

Существует несколько способов того, как строки из цифр могут представлять числа:

Запись числа в форме с плавающей запятой позволяет производить вычисления над широким диапазоном величин, сочетая фиксированное количество разрядов и точность. Например, в десятичной системе предоставления чисел с плавающей запятой (3 разряда) операцию умножения, которую мы бы записали как

в нормальной форме представляется в виде

(1,20 × 10 −1 ) × (1,20 × 10 −1 ) = (1,44 × 10 −2 ).

В формате с фиксированной запятой мы бы получили вынужденное округление

Мы потеряли крайний правый разряд числа, так как данный формат не позволяет запятой «плавать» по записи числа.

Диапазон чисел, представимых в формате с плавающей запятой

Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. На обычной 32-битной вычислительной машине, использующей двойную точность (64 бита), мантисса составляет 52 бита + 1 знаковый, показатель — 11 бит. Таким образом получаем диапазон точности примерно от 4,94 × 10 −324 до 1.79 × 10 308 (от 2 −52 × 2 −1022 до

1 × 2 1024 ). Пара значений показателя зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел. К ним относятся значения бесконечность), получающихся в результате операций типа деления на ноль нуля, положительных и отрицательных чисел. Также сюда попадают денормализованные числа, у которых мантисса меньше единицы. В специализированных устройствах (например GPU) поддержка специальных чисел часто отсутствует. Существуют программные пакеты, в которых объём памяти выделенный под мантиссу и показатель задаётся программно, и ограничивается лишь объёмом доступной памяти ЭВМ.

Машинный эпсилон

В отличие от фиксированной запятой, сетка чисел, которые способна отобразить арифметика с плавающей запятой, неравномерна: она более густая для чисел малого порядка и более редкая — для больших чисел. Но относительная погрешность записи чисел одинакова и для малых чисел, и для больших. Поэтому можно ввести понятие машинного эпсилона.

Машинным эпсилоном называется наименьшее положительное число ε такое, что (знаком обозначено машинное сложение). Грубо говоря, числа a и b, соотносящиеся так, что , машина не различает.

Источник

Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой

В далекие времена, для IT-индустрии это 70-е годы прошлого века, ученые-математики (так раньше назывались программисты) сражались как Дон-Кихоты в неравном бою с компьютерами, которые тогда были размером с маленькие ветряные мельницы. Задачи ставились серьезные: поиск вражеских подлодок в океане по снимкам с орбиты, расчет баллистики ракет дальнего действия, и прочее. Для их решения компьютер должен оперировать действительными числами, которых, как известно, континуум, тогда как память конечна. Поэтому приходится отображать этот континуум на конечное множество нулей и единиц. В поисках компромисса между скоростью, размером и точностью представления ученые предложили числа с плавающей запятой (или плавающей точкой, если по-буржуйски).

Арифметика с плавающей запятой почему-то считается экзотической областью компьютерных наук, учитывая, что соответствующие типы данных присутствуют в каждом языке программирования. Я сам, если честно, никогда не придавал особого значения компьютерной арифметике, пока решая одну и ту же задачу на CPU и GPU получил разный результат. Оказалось, что в потайных углах этой области скрываются очень любопытные и странные явления: некоммутативность и неассоциативность арифметических операций, ноль со знаком, разность неравных чисел дает ноль, и прочее. Корни этого айсберга уходят глубоко в математику, а я под катом постараюсь обрисовать лишь то, что лежит на поверхности.

1. Основы

Множество целых чисел бесконечно, но мы всегда можем подобрать такое число бит, чтобы представить любое целое число, возникающее при решении конкретной задачи. Множество действительных чисел не только бесконечно, но еще и непрерывно, поэтому, сколько бы мы не взяли бит, мы неизбежно столкнемся с числами, которые не имеют точного представления. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов предсталения действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений.

Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных разрядов, условно разделенных на знак, экспоненту порядок и мантиссу. Порядок и мантисса — целые числа, которые вместе со знаком дают представление числа с плавающей запятой в следующем виде:

Математически это записывается так:

Основание определяет систему счисления разрядов. Математически доказано, что числа с плавающей запятой с базой B=2 (двоичное представление) наиболее устойчивы к ошибкам округления, поэтому на практике встречаются только базы 2 и, реже, 10. Для дальнейшего изложения будем всегда полагать B=2, и формула числа с плавающей запятой будет иметь вид:

Что такое мантисса и порядок? Мантисса – это целое число фиксированной длины, которое представляет старшие разряды действительного числа. Допустим наша мантисса состоит из трех бит (|M|=3). Возьмем, например, число «5», которое в двоичной системе будет равно 101₂. Старший бит соответствует 2 2 =4, средний (который у нас равен нулю) 2 1 =2, а младший 2 0 =1. Порядок – это степень базы (двойки) старшего разряда. В нашем случае E=2. Такие числа удобно записывать в так называемом «научном» стандартном виде, например «1.01e+2». Сразу видно, что мантисса состоит из трех знаков, а порядок равен двум.

Допустим мы хотим получить дробное число, используя те же 3 бита мантиссы. Мы можем это сделать, если возьмем, скажем, E=1. Тогда наше число будет равно

2 = 10 (в двоичной системе) = 1.000e+1 = 0.100e+2 = 0.010e+3. (E=1, E=2, E=3 соответственно)

Обратите внимание, что одно и то же число имеет несколько представлений. Это не удобно для оборудования, т.к. нужно учитывать множественность представлния при сравнении чисел и при выполнении над ними арифметических операций. Кроме того, это не экономично, поскольку число представлений — конечное, а повторения уменьшают множество чисел, которые вообще могут быть представлены. Поэтому уже в самых первых машинах начали использовать трюк, делая первый бит мантиссы всегда положительным. Такое предаставление назвали нормализованным.

Это экономит один бит, так как неявную единицу не нужно хранить в памяти, и обеспечивает уникальность представления числа. В нашем примере «2» имеет единственное нормализованное представление («1.000e+1»), а мантисса хранится в памяти как «000», т.к. старшая единица подразумевается неявно. Но в нормализованном представлении чисел возникает новая проблема — в такой форме невозможно представить ноль.

Строго говоря, нормализованное число имеет следующий вид:

Качество решения задач во многом зависит от выбора представления чисел с плавающей запятой. Мы плавно подошли к проблеме стандартизации такого представления.

2. Немного истории

В 60-е и 70-е годы не было единого стандарта представления чисел с плавающей запятой, способов округления, арифметических операций. В результате программы были крайне не портабельны. Но еще большей проблемой было то, что у разных компьютеров были свои «странности» и их нужно было знать и учитывать в программе. Например, разница двух не равных чисел возвращала ноль. В результате выражения «X=Y» и «X-Y=0» вступали в противоречие. Умельцы обходили эту проблему очень хитрыми трюками, например, делали присваивание «X=(X-X)+X» перед операциями умножения и деления, чтобы избежать проблем.

Инициатива создать единый стандарт для представления чисел с плавающей запятой подозрительно совпала с попытками в 1976 году компанией Intel разработать «лучшую» арифметику для новых сопроцессоров к 8086 и i432. За разработку взялись ученые киты в этой области, проф. Джон Палмер и Уильям Кэхэн. Последний в своем интервью высказал мнение, что серьезность, с которой Intel разрабатывала свою арифметику, заставила другие компании объединиться и начать процесс стандартизации.

Все были настроены серьезно, ведь очень выгодно продвинуть свою архитектуру и сделать ее стандартной. Свои предложения представили компании DEC, National Superconductor, Zilog, Motorola. Производители мейнфреймов Cray и IBM наблюдали со стороны. Компания Intel, разумеется, тоже представила свою новую арифметику. Авторами предложенной спецификации стали Уильям Кэхэн, Джероми Кунен и Гарольд Стоун и их предложение сразу прозвали «K-C-S».

Практически сразу же были отброшены все предложения, кроме двух: VAX от DEC и «K-C-S» от Intel. Спецификация VAX была значительно проще, уже была реализована в компьютерах PDP-11, и было понятно, как на ней получить максимальную производительность. С другой стороны в «K-C-S» содержалось много полезной функциональности, такой как «специальные» и «денормализованные» числа (подробности ниже).

В «K-C-S» все арифметические алгоритмы заданы строго и требуется, чтобы в реализации результат с ними совпадал. Это позволяет выводить строгие выкладки в рамках этой спецификации. Если раньше математик решал задачу численными методами и доказывал свойства решения, не было никакой гарантии, что эти свойства сохранятся в программе. Строгость арифметики «K-C-S» сделала возможным доказательство теорем, опираясь на арифметику с плавающей запятой.

Компания DEC сделала все, чтобы ее спецификацию сделали стандартом. Она даже заручилась поддержкой некоторых авторитетных ученых в том, что арифметика «K-C-S» в принципе не может достигнуть такой же производительности, как у DEC. Ирония в том, что Intel знала, как сделать свою спецификацию такой же производительной, но эти хитрости были коммерческой тайной. Если бы Intel не уступила и не открыла часть секретов, она бы не смогла сдержать натиск DEC.

Подробнее о баталиях при стандартизации смотрите в интервью профессора Кэхэна, а мы рассмотрим, как выглядит представление чисел с плавающей запятой сейчас.

3. Представление чисел с плавающей запятой сегодня

Разработчики «K-C-S» победили и теперь их детище воплотилось в стандарт IEEE754. Числа с плавающей запятой в нем представлены в виде знака (s), мантиссы (M) и порядка (E) следующим образом:

Замечание. В новом стандарте IEE754-2008 кроме чисел с основанием 2 присутствуют числа с основанием 10, так называемые десятичные (decimal) числа с плавающей запятой.

Чтобы не загромождать читателя чрезмерной информацией, которую можно найти в Википедии, рассмотрим только один тип данных, с одинарной точностью (float). Числа с половинной, двойной и расширенной точностью обладают теми же особенностями, но имеют другой диапазон порядка и мантиссы. В числах одинарной точности (float/single) порядок состоит из 8 бит, а мантисса – из 23. Эффективный порядок определяется как E-127. Например, число 0,15625 будет записано в памяти как

Рисунок взят из Википедии

3.1 Специальные числа: ноль, бесконечность и неопределенность

Неопределенность или NaN (от not a number) – это представление, придуманное для того, чтобы арифметическая операция могла всегда вернуть какое-то не бессмысленное значение. В IEEE754 NaN представлен как число, в котором E=E_max+1, а мантисса не нулевая. Любая операция с NaN возвращает NaN. При желании в мантиссу можно записывать информацию, которую программа сможет интерпретировать. Стандартом это не оговорено и мантисса чаще всего игнорируется.

Вернемся к примеру. Наш E_min=-1. Введем новое значение порядка, E=-2, при котором числа являются денормализованными. В результате получаем новое представление чисел:

Интервал от 0 до 0,5 заполняют денормализованные числа, что дает возможность не проваливаться в 0 рассмотренных выше примерах (0,5-0,25 и 1,5-1,25). Это сделало представление более устойчиво к ошибкам округления для чисел, близких к нулю.

Но роскошь использования денормализованного представления чисел в процессоре не дается бесплатно. Из-за того, что такие числа нужно обрабатывать по-другому во всех арифметических операциях, трудно сделать работу в такой арифметике эффективной. Это накладывает дополнительные сложности при реализации АЛУ в процессоре. И хоть денормализованные числа очень полезны, они не являются панацеей и за округлением до нуля все равно нужно следить. Поэтому эта функциональность стала камнем преткновения при разработке стандарта и встретила самое сильное сопротивление.

3.4 Очередность чисел в IEEE754

Одна из удивительных особенностей представления чисел в формате IEEE754 состоит в том, что порядок и мантисса расположены друг за другом таким образом, что вместе образуют последовательность целых чисел для которых выполняется:

4.2 Неассоциативность арифметических операций

В арифметике с плавающей запятой правило (a*b)*c = a*(b*c) не выполняется для любых арифметических операций. Например,

Допустим у нас есть программа суммирования чисел.

Некоторые компиляторы по умолчанию могут переписать код для использования нескольких АЛУ одновременно (будем считать, что n делится на 2):

Так как операции суммирования не ассоциативны, эти две программы могут выдать различный результат.

4.3 Числовые константы

Помните, что не все десятичные числа имеют двоичное представление с плавающей запятой. Например, число «0,2» будет представлено как «0,200000003» в одинарной точности. Соответственно, «0,2 + 0,2 ≈ 0,4». Абсолютная погрешность в отдельном
случае может и не высока, но если использовать такую константу в цикле, можем получить накопленную погрешность.

4.4 Выбор минимума из двух значений

4.5 Сравнение чисел

Очень распространенная ошибка при работе с float-ами возникает при проверке на равенство. Например,

Ошибка здесь, во-первых, в том, что 0,2 не имеет точного двоичного представления, а во-вторых 0,2 – это константа двойной точности, а переменная fValue – одинарной, и никакой гарантии о поведении этого сравнения нет.

Лучший, но все равно ошибочный способ, это сравнивать разницу с допустимой абсолютной погрешностью:

Недостаток такого подхода в том, что погрешность представления числа увеличивается с ростом самого этого числа. Так, если программа ожидает «10000», то приведенное равенство не будет выполняться для ближайшего соседнего числа (10000,000977). Это особенно актуально, если в программе имеется преобразование из одинарной точности в двойную.

Выбрать правильную процедуру сравнения сложно и заинтересованных читателей я отсылаю к статье Брюса Доусона. В ней предлагается сравнивать числа с плавающей запятой преобразованием к целочисленной переменной. Это — лучший, хотя и не портабельный способ:

5. Проверка полноты поддержки IEE754

Думаете, что если процессоры полностью соответствуют стандарту IEEE754, то любая программа, использующая стандартные типы данных (такие как float/double в Си), будет выдавать один и тот же результат на разных компьютерах? Ошибаетесь. На портабельность и соответствие стандарту влияет компилятор и опции оптимизации. Уильям Кэхэн написал программу на Си (есть версия и для Фортрана), которая позволяет проверить удовлетворяет ли связка «архитектура+компилятор+опции» IEEE754. Называется она «Floating point paranoia» и ее исходные тексты доступны для скачивания. Аналогичная программа доступна для GPU. Так, например, компилятор Intel (icc) по умолчанию использует «расслабленную» модель IEEE754, и в результате не все тесты выполняются. Опция «-fp-model precise» позволяет компилировать программу с точным соответствием стандарту. В компиляторе GCC есть опция «-ffast-math», использование которой приводит к несоответствию IEEE754.

Заключение

Напоследок поучительная история. Когда я работал над тестовым проектом на GPU, у меня была последовательная и параллельная версия одной программы. Сравнив время выполнения, я был очень обрадован, так как получил ускорение в 300 раз. Но позже оказалось, что вычисления на GPU «разваливались» и обращались в NaN, а работа с ними в GPU была быстрее, чем с обычными числами. Интересно было другое — одна и та же программа на эмуляторе GPU (на CPU) выдавала корректный результат, а на самом GPU – нет. Позже оказалось, что проблема была в том, что этот GPU не поддерживал полностью стандарт IEEE754 и прямой подход не сработал.

Сейчас арифметика с плавающей запятой почти совершенна. Практически всегда наивный подход сработает, и программа, не учитывающая все ее особенности, выдаст правильный результат, а описанные подводные камни касаются только экзотических случаев. Но нужно всегда оставаться бдительным: в таком вопросе как компьютерная математика легко наступить на грабли.

Источник

Сообщение, которое состоит из одной точки

Многие пользователи Интернета всё чаще стали замечать, что на телефон приходят сообщения, состоящие лишь из одной точки. Обычные люди считают, что отправитель, скорее всего, ошибся и удаляют это сообщение. Но это не ошибка – это новый, ещё более продвинутый язык общения молодёжи в Интернете.

Переход к сокращениям и знакам препинания

Современные люди в среднем мало читают бумажные книги и ещё меньше пишут от руки. Многим чтение и письмо сегодня заменяет Facebook, ВКонтакте или иная любимая социальная сеть.

Но, даже общаясь в Интернете, молодые люди и девушки постоянно сокращают слова. Они говорят на своём только им известном языке, а главное, хорошо понимают друг друга. И считается, что чем больше сокращений, тем выше мастерство отправителя.

Но и этого показалось мало современной молодёжи. Они перешли на более сложный язык, который вообще состоит только из знаков препинания.

Русский поэт А.С. Пушкин в романе «Евгений Онегин» (1823-1831 года) писал:

«Москва… как много в этом звуке
Для сердца русского слилось!
Как много в нем отозвалось!»

Исходя из современных реалий, бессмертные строки классика можно трансформировать по отношению к сообщениям, состоящим из одной точки, следующим образом: «Как много в этой точке для сердца русского слилось».

Рассмотрим, что может означать отправленная или полученная одна единственная точка в разных ситуациях.

Что такое «точка жизни»

В последнее время родители стали получать от своих детей сообщения с одной только точкой. Просто только единственная точка и больше ничего.

Такая бережливая СМС означает, что с ребёнком всё в порядке. То есть если родители хотят знать, где сейчас находится их ребёнок и как он себя чувствует, то в ответ от него получают СМС с точкой. Это означает, что ребенок, подросток жив и здоров, он находится на связи, но времени на переписку у него нет в данный момент. Благодаря этому в Интернете уже появился новый термин «точка жизни».

Больше мне нечего сказать и точка

Кроме рассмотренного выше, единственная точка в сообщении может означать, что сообщение получено, прочитано, и абоненту нечего сказать в ответ. Как бы ставится точка по данной теме общения.

Но иногда точка может означать нечто большее. Например, девушка отправляет молодому человеку сообщение, состоящее из одной точки, после длительных отношений. Если до этого были конфликты, то точка может означать, что отношения закончились, девушка поставила в них точку. Она приняла такое решение и отправила молодому человеку сообщение из одной точки. Если же не было ссоры, то, вероятно, девушке больше нечего сказать или нет желания что-либо объяснять.

«Точка угрозы» – что это значит

Есть у сообщения, состоящего из единственной точки, и ещё одно значение. Обычно все сообщения в Интернете пишутся без соблюдения правил пунктуации. Запятых и точек в сообщениях часто попросту нет. Мол, некогда их ставить. Поэтому сообщение без знаков препинания в некоторой степени свидетельствует о незавершенности общения, о недосказанности.

Но если в сообщении стоит точка, то предложение может принимать совершенно другое значение. Точка в конце предложения означает угрозу или ненависть. Сообщение с точкой придаёт агрессию сообщению. Точка означает, что всё серьёзно, сказал и точка. Компромисс уже невозможен. Отсюда возник и ещё один термин «точка угрозы».

Кстати, в старом советском 5-серийном телевизионном художественном фильме «Вариант «Омега» (снят в 1975 году) точка в конце шифровки, отправляемой разведчиком по рации, означала «работаю под контролем контрразведки». Так что точка в конце сообщения стала приобретать сакральный смысл задолго до появления интернета.

Скорее, дополнительная важность точки появилась вместе с радио и, особенно, с телетайпом, с отправкой телеграмм. Если кто-то ранее отправлял или получал телеграммы, то наверно, помнит, что три буквы подряд «тчк» – означало точку в тексте телеграммы, а «зпт» означало «запятая».

В мультфильме «Трое из Простоквашино» в говорящем письме птичка четко произносит «тчк» и «зпт».

Точка в комментариях ВКонтакте

Если в комментарии в социальной сети ВКонтакте стоит точка, это может означать, что человек просто хотел сохранить себе новость (или иную информацию), чтобы она не потерялась.

Если пользователь поставил единственную точку в комментарии, то в итоге новость останется в комментариях на его страничке ВКонтакте. И он сможет там ее легко найти.

Двоичный код общения

Сообщения из точки или из знаков препинания – что это, виртуозный ум детей-индиго или простая лень современной молодежи, неуважение к собеседнику и родителям? Общаться стало проще. Главное меньше ошибок.

Можно предположить, что если развитие языка пойдёт в этом направлении, то такие науки, как филология и лингвистика будут уже не нужны. Человек оцифрует сам себя и перейдёт на двоичный код общения: точка, тире.

Снижение количества символов в текстах, их упрощение, отказ от знаков препинания и грамматики с ее требованиями – это не что иное, как отказ от высокого контекста естественного языка, которым мы пользуемся в повседневной жизни. Для древнего мира было характерным, как раз наоборот – письменный язык, письменность была более сложная и «мудреная», чем устная речь. Это привело к развитию наук и философии.

Современное же движение в сторону упрощения письменности, по моему мнению, это неисследованная область, с пока еще неясными последствиями. Причины понятны – слишком большой объем информации и высокая скорость принятия решений, чего раньше не было. Ну, а следствия – увидим позже.

Видео-формат статьи

Источник