Что значит точка принадлежит

Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок

Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.

Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.

Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.

Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.

Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.

То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:

Как обозначить прямую

Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.

Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.

Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс

Решение задачи

Опишем взаимное расположение точек и прямой.

Как обозначается пересечение прямых

Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).

Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.

Взаимное расположение прямой и точек

Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.

Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.

Сколько общих точек имеют две прямые

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.

Первый случай расположения прямых

На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.

Второй случай расположения прямых

Третий случай расположения прямых

Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс

Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение задачи

Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.

Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.

Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.

Ответ: точек пересечения получается одна или три.

Что такое отрезок

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.

В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.

Источник

Методы определения принадлежности точки многоугольнику

Недавно на хабре была статья, в которой описывалось как можно определить, где находится точка по отношению к многоугольнику: внутри или снаружи. Подобная проблема встречается в геометрическом моделировании и в компьютерной графике достаточно часто. А так как метод, описанный в статье, был несколько не оптимален, а в комментариях был небольшой хаос, возникла мысль написать эту статью. Итак, какие алгоритмы существуют в современной компьютерной графике, чтобы определить, принадлежит ли заданная точка многоугольнику или нет.

Прежде, чем начать, хочу сразу описать проблему. Хотя сама проблема проста: у нас задан набор точек и задан порядок, в котором эти точки соединяются. И задана точка, которую мы тестируем на принадлежность. Подразумевается, что у нас многоугольник замкнутый, и в общем случае ребра многоугольника не пересекаются друг с другом, то есть он избавлен от самопересечений. Ограничений на количество вершин нет, то есть легко может быть задан многоугольник с миллионом вершин. Мы надеемся, что пользователь не задаст нам непонятно что, но и гарантировать это тоже не можем. И еще один нюанс: так как мы работаем с компьютерной графикой, что означает, что мы используем арифметику с плавающей точкой, которая хотя и позволяет оперировать с числами достаточно точно, все равно не избавлена от ошибок.

Ну вроде определились с проблемой, давайте теперь посмотрим, какие методы решения существуют.

Метод 1. Трассировка лучей

Начну я с того, который считается наиболее популярным в мире графики и игр: трассировка лучей. Вкратце, алгоритм можно описать следующим образом:

Метод простой, но, к сожалению, в общем случае его лучше не применять. Причиной этого является случай, когда мы пересекаем лучом вершину многоугольника или ребро, которое частично совпадает с лучом. Иллюстрирую это на примере.

Допустим, у нас есть многоугольник, и есть точка. В самом начале мы договорились, что направление будет вдоль оси х. Выпускаем из точки луч в положительном направлении оси x и луч благополучно пересек многоугольник в вершине. Тут возникает вопрос, как именно мы проверяем такую ситуацию? Не забываем, что мы работаем с числами с плавающей точкой, и небольшие погрешности возможны. Перейдем в мир аналитической геометрии, чтобы можно было оперировать не просто геометрическими понятиями, а числами.

Посмотрим в другом направлении. Отправили луч в отрицательном направлении. Там тоже не очень хорошо – луч пересекает вершину внутри многоугольника. Тоже может оказаться что угодно. Вместо горизонтального направления взять вертикальное? Никто не гарантирует, что вы опять не пересечете вершину. В конкретно выбранном мной примере наверху точка подобрана таким образом, что пересечение ее с лучом, параллельным оси y и идущий сверху вниз тоже пересекает многоугольник в вершине.

Причем если вы думаете, что пересечение с вершиной – это плохо, смотрите что еще может произойти:

Здесь мы пересекаем луч с отрезком, который с этим лучом совпадает. Как быть в таком случае? А если не совпадает, а почти совпадает? А представьте себе, что в многоугольнике множество почти вырожденных ребер, как с таким пересекать?

Самое печальное во всей этой ситуации то, что нам вот кажется: «мне надо что-то очень простое для моих простых целей, меня такая ситуация не коснется». По закону Мерфи, к сожалению, именно такая ситуация возникает всякий раз когда ее совсем не ждешь. И поэтому я плавно перехожу ко второму методу.

Метод 2. Ближняя точка и ее нормаль

Вообще у этого метода есть страшное название angle weighted pseudo normals и связан он в понятием так называемых полей расстояний со знаком (signed distance fields). Но пугать лишний раз я никого не хочу, так что пусть будет просто ближняя точка и ее нормаль (то есть перпендикулярный вектор).

Алгоритм в данном случае такой:

Рассмотрим пример. Точка A1, ближайшая точка для нее находится на ребре. Если все делаем правильно, нормаль к ребру параллельна вектору от тестируемой точки до ближайшей. В случае точки A1, угол между векторами = 0. Или почти нуль, так как из-за операций с плавающей точкой все возможно. Меньше 90 градусов, тестируемая точка A1 – внутри. Протестируем точку A2. У нее ближайшая точка – вершина, нормаль к которой – усредненная нормаль ребер прилегающих к этой вершине. Считаем скалярное произведение двух векторов, должно быть отрицательным. Мы – снаружи.

Так, вроде бы с сутью метода разобрались. Что там с производительностью и проблемами, связанной с плавающей точкой?

Как и в случае трассировки точек, производительность – O(log n), если использовать деревья для хранения информации о ребрах. С вычислительной точки зрения метод, хотя и имеет подобную сложность, будет несколько помедленнее, чем трассировка. Прежде всего оттого, что расстояние между точкой и ребром чуть более дорогостоящая операция, чем пересечение двух линий. Неприятности, связанные с плавающей точкой, возникают в этом методе, как правило недалеко от ребер многоугольника. Причем чем мы ближе к ребру, тем больше вероятность неправильного определения знака. К счастью, чем мы ближе к ребру, тем меньше расстояние. То есть если мы, например, говорим, что если полученное расстояние меньше заранее заданного минимального (это может быть константа вроде DBL_EPSILON или FLT_EPSILON), то точка принадлежит ребру. А если она принадлежит ребру, то мы уже сами решаем, часть ли многоугольника его ребро или нет (как правило – часть).

Описывая предыдущий метод, достаточно много было сказано о недостатках. Пришло время назвать несколько недостатков и этого способа. Прежде всего, этот метод требует, чтобы все нормали к ребрам были направлены в правильную сторону. То есть до того, как определять, снаружи мы или внутри, надо провести некую работу по вычислению этих нормалей и правильное их ориентирование. Очень часто, особенно когда на входе большая свалка из вершин и ребер, этот процесс не всегда прост. Если надо определить только для одной точки, процесс ориентации нормалей может занять большую часть времени, которую можно было бы потратить на что-то еще. Также, этот метод очень не любит, когда на вход подается многоугольник с самопересечениями. В начале я сказал, что в нашей задаче такой случай не рассматривается, но если бы он рассматривался, то этот метод мог выдать совершенно неочевидные результаты.

Но в целом метод неплох, особенно если у нас на входе многоугольник с большим количеством вершин и ребер, а точек на принадлежность надо протестировать много. Если же точек мало, трассировка лучей нестабильна, а хочется чего-то более-менее надежного, то есть и третий способ.

Метод 3. Индекс точки относительно многоугольника

Этот метод известен довольно давно, но в основном остается теоретическим, по большей части потому, что он не так эффективен, как предыдущие два. Вот его суть «на пальцах». Возьмем единичную окружность с центром в тестируемой точке. Потом каждую вершину многоугольника спроецируем на эту окружность лучами, которые проходят через вершину и тестируемую точку. Как-то примерно так:

На рисунке точки P1, P2 и так далее – вершины многоугольника, а точки P1’, P2’ и так далее – их проекции на окружность. Теперь когда мы рассматриваем ребро многоугольника, по проекциям можно определить, происходит ли вращение против часовой стрелки или по часовой стрелке при переходе от одной вершины к другой. Вращение против часовой стрелки будем считать положительным поворотом, а вращение по часовой стрелке – отрицательным. Угол, который соответствует каждому ребру – это угол между сегментами окружности через проекции вершин этого ребра. Так как поворот у нас может быть положительный или отрицательный, то и угол может быть положительный или отрицательный.

Алгоритм в этом случае следующий:

Рассмотрим пример. Есть многоугольник, порядок которого установлен против часовой стрелки. Есть точка А, которую мы тестируем. Для тестирования сначала вычисляем угол между векторами AP1 и AP2. Векторное произведение этих же векторов смотрит на нас, значит прибавляем к сумме. Переходим дальше и считаем угол между AP2 и AP3. Векторное произведение смотрит на нас, полученный угол вычитаем. И так далее.

Для конкретно этого рисунка я все посчитал и вот что получилось:

(AP1, AP2)=74.13, (AP2, AP3)=51.58, (AP3, AP4)=89.99, (AP4, AP5)=126.47, (AP5, AP1)=120.99.
sum=74.13-51.58+89.99+126.47+120.99=360. 360/360=1 Точка – внутри.

(BP1, BP2)=44.78, (BP2, BP3)=89.11, (BP3, BP4)=130.93, (BP4, BP5)=52.97, (BP5, BP1)=33.63.
sum=-44.78+89.11-130.93+52.97+33.63=0. Точка – снаружи.

И традиционно опишем плюсы и минусы данного подхода. Начнем с минусов. Метод прост математически, но не так-то эффективен с точки зрения производительности. Во-первых, его алгоритмическая сложность O(n) и, как ни крути, а все ребра многоугольника придется перебрать. Во-вторых, для вычисления угла придётся воспользоваться операцией арккосинуса и двумя операциями взятия корня (формула скалярного произведения и связь его с углом тем в помощь, кто не понимает, почему). Эти операции очень недешевы с точки зрения скорости, и, к тому же, погрешности связанные с ними могут быть существенны. И в третьих, алгоритм напрямую не определяет точку, лежащую на ребре. Либо – снаружи, либо – внутри. Третьего не дано. Впрочем, последний недостаток легко определяется: если хотя бы один из углов равен (или почти равен) 180 градусам, это автоматически означает ребро.

Недостатки метода в чем-то компенсируются его достоинствами. Во-первых, это самый стабильный метод. Если многоугольник на вход подан корректный, то результат получается корректный для всех точек, за исключением разве что точек на ребрах, но о них смотри выше. Более того, метод позволяет частично бороться с некорректными входными данными. Многоугольник самопересекается? Не беда, метод скорее всего определит большинство точек правильно. Многоугольник не замкнут или вообще не многоугольник а малоосмысленный набор сегментов? Метод определит точки верно в большом количестве случаев. В общем, всем метод хорош, но медленный и требует вычислений арккосинусов.

Чем бы хотелось закончить этот обзор? А тем, что методов для решения проблемы определения принадлежности точки многоугольнику существует не один и даже не два. Они служат для разных целей и некоторые более подходят в случаях, когда важна скорость, другие – когда важно качество. Ну и не забываем о том, что у нас непредсказуемые входные данные и мы работаем с компьютером, у которого арифметика с плавающей точкой подвержена погрешностям. Если нужна скорость и качество совершенно неважно – трассировка лучей в помощь. В большинстве реальных приложений скорее всего поможет метод ближней точки и нормали. Если же на первом месте – точность определения при непонятных входных данных, метод индекса точки должен помочь.

Если будут какие-то вопросы, задавайте. Как человек, занимающийся геометрией и подобными проблемами связанными с графикой, буду рад помочь чем смогу.

Источник

Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием. Часть 2

Вступление

Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.

Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.

Задача №1

Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.

Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P₁P₂ и P₁M и по его знаку сделать вывод.

Задача №2

Определить принадлежит ли точка лучу.

Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P₁(x₁, y₁) — начало луча, а P₂(x₂, y₂) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P₁(x₁, y₁), где P₂(x₂, y₂) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P₁P₂, P₁M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)

Задача №3

Определить принадлежит ли точка отрезку.

Решение
Пусть точки P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P₁, P₂. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P₁ и P₂, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP₁, MP₂). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP₁,MP₂) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P₁ и P₂)

Задача №4

Взаимное расположение двух точек относительно прямой.

Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.

Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] ≤ 0.

Задача №5

Определить пересекаются ли две прямые.

Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a₁b₂ — a₂b₁ = 0.
Если же прямые заданы точками P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), M₁(x₃, y₃), M₂(x₄, y₄), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P₁P₂ и M₁M₂: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b₁, a₁), (-b₂, a₂) которые называются направляющими векторами.

Задача №6

Определить пересекаются ли два отрезка.

Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P₁P₂, P₁M₂] > 0, [P₁P₂, P₁M₁] [P₁P₂, P₁M₂] * [P₁P₂, P₁M₁] 2 + b 2 ).

Задача №8

Расстояние от точки до луча.

Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.

Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O₂ находится между точками O₁ и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d₂. Использование отрицательного значения d₂ приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.

Заключение

Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.

Источник