Что значит точка принадлежит прямой

Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок

Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.

Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.

Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.

Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.

Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.

То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:

Как обозначить прямую

Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.

Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.

Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс

Решение задачи

Опишем взаимное расположение точек и прямой.

Как обозначается пересечение прямых

Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).

Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.

Взаимное расположение прямой и точек

Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.

Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.

Сколько общих точек имеют две прямые

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.

Первый случай расположения прямых

На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.

Второй случай расположения прямых

Третий случай расположения прямых

Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс

Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение задачи

Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.

Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.

Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.

Ответ: точек пересечения получается одна или три.

Что такое отрезок

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.

В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.

Источник

Что значит точка принадлежит прямой

Если точка принадлежит прямой, то её проекции должны принадлежать одноименным проекциям этой прямой (аксиома принадлежности точки прямой). Из четырех предложенных на рисунке 28 точек, только одна точка С лежит на прямой АВ.

а) эпюр		б) модель
Рисунок 28. Взаимное расположение точки и прямой

В тех случаях, когда точка и прямая лежат в плоскости уровня (параллельной какой-либо из плоскостей проекций П₁, П₂ и П₃), то вопрос о взаимном расположении прямой и точки решается при построении проекций на плоскость соответственно П₁, П₂ или П₃. Нап ример, прямая АВ и точка К лежат в плоскости параллельной профильной плоскости проекций (рис. 29 ).

Рисунок 29. Точка и прямая, расположенные в профильной плоскости уровня

Из свойств параллельного проецирования известно, что если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же соотношении.

Зная это условие можно определить принадлежность точки К прямой АВ:

Источник

Плоскость, прямая линия, луч

Плоскость в математике можно сравнить с другими плоскостями, которые окружают нас в повседневной жизни: школьная доска, лист бумаги, экран планшета или смартфона и т.д. На них мы можем легко обозначить точки и линии, которые мы изучали на предыдущем уроке. На школьной доске мы это делаем мелом или фломастером, на листе бумаги можем нарисовать их ручкой, карандашом, фломастером; когда мы прокручиваем окно сайта или приложения на смартфоне, мы проводим на экране пальцем линию, когда переходим по ссылкам – ставим на его плоскости точку.

Но эти примеры плоскостей из жизни имеют свои размеры и границы, они конечные, их можно измерять.

Плоскость – это воображаемая абсолютно ровная и неизменяемая поверхность, которая не имеет толщины, но обладает бесконечными длиной и шириной.

Плоскость нельзя измерять, потому что она бесконечная.

Плоскость нельзя согнуть, в каком бы положении она ни находилась.

Все объекты и фигуры, которые изучаются в курсе математики 5 класса, находятся на плоскости.

Прямая линия

Прямая линия – абсолютно ровная линия, которая длится бесконечно в обе стороны, и на всем ее протяжении не изгибается и не преломляется.

Обозначение прямой

Например, на рисунке 1 обозначены такие прямые:

Рис. 1 Обозначение прямой линии

Рис. 2 Обозначение прямой с несколькими точками

Некоторые свойства прямой

Две точки, лежащие на одной прямой, создают отрезок этой прямой.

Через две любые точки на плоскости можно провести единственную прямую.

Рис. 3 Отрезок на прямой

Две разные прямые могут пересекаться или не пересекаться.

Две прямые пересекаются в том случае, если у них есть общая точка.

Рис. 5 Пересечение прямых

Более подробно об этих и других свойствах прямой написано в уроке геометрии 7 класса.

Луч – это часть прямой, которая начинается в определенной точке и длится бесконечно в одну сторону.

Рис. 6 Деление прямой линии точкой

У луча есть начало, но нет конца. От прямой луч отличается тем, что луч бесконечно продолжается только в одну сторону.

Свое название этот математический объект получил по аналогии с лучом света, который имеет начало (источник света), но определенного конца у него нет.

Обозначение луча

Луч, как и прямую, обозначают двумя способами.

Рис. 7 Обозначение луча

На рисунке 2 приведены примеры обозначения луча:

Луч имеет второе название – полупрямая.

Рис. 8 Дополнительные друг другу и совпадающие лучи

На рисунке 8 видно, что:

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.6 / 5. Количество оценок: 22

Источник

На уроках математики в предыдущих классах и в главе 1 вы уже познакомились со свойствами некоторых геометрических фигур. Теперь вы приступаете к систематическому изучению геометрии.

Как уже отмечалось ранее, основными геометрическими фигурами являются точка, прямая, плоскость. Представление об этих фигурах вы уже имеете.

Например, туго натянутая нить дает представление о части прямой, страница книги или грань прямоугольного параллелепипеда — о части плоскости (рис. 22, а, б, в).

Если точка А принадлежит прямой b, то говорят, что прямая b проходит через точку А. Это записывают так: А

Если точка А не принадлежит прямой b, то говорят, что прямая b не проходит через точку А. В этом случае используется запись А b (читают: «Точка А не принадлежит прямой b», «Точка А не лежит на прямой b» или «Прямая b не проходит через точку А»).

Например, на рисунке 23, а изображены точка С — вершина квадрата и точка Т, не лежащие на прямой l (С l, Т l), проходящей через вершины А и D квадрата (А l, D l). На рисунке 23, б, в изображена прямая l, проходящая через вершины О и F куба (O l, F l).

В курсе геометрии понятия « точка», « прямая» и «плоскость» относятся к основным понятиям и принимаются без определений, другие геометрические понятия определяются через основные. К основным понятиям относятся также понятия «принадлежать» и «лежать между». Свойства геометрических фигур устанавливаются путем логических рассуждений на основе некоторых утверждений (аксиом), которые принимаются без доказательств. Аксиомы выражают основные свойства геометрических фигур, которые соответствуют формам и отношениям, наблюдаемым в окружающем пространстве.

Утверждение, которое обосновывается путем логических рассуждений, называется теоремой, а само обоснование — доказательством. Доказать теорему — это значит путем рассуждений обосновать, что она следует из некоторых аксиом или ранее доказанных теорем.

Взаимное расположение точек и прямых на плоскости характеризуют следующие основные свойства (аксиомы):

Прямая, которая проходит через точки А и В, обозначается АВ или ВА.

Например, на рисунке 24, а изображена прямая ОF, которая проходит через точки О и F, а на рисунке 24, б, в показана прямая АС, которая проходит через вершины А и С куба и лежит в той же плоскости, что и грань АВСD куба.

1 Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки», «две прямые» и т. д., будем считать, что эти точки, прямые и т. д. различны.

Пересекающиеся и параллельные прямые

Рассмотрим понятия пересекающихся и параллельных прямых.

Определение. Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Если прямые а и b пересекаются в точке О, то это обозначается так: О = а b (читают: «Прямые а и b пересекаются в точке О»).

Например, на рисунке 25, а изображены прямые КЕ и TF, которые проходят через вершины прямоугольника и пересекаются в точке Р (Р =TF КЕ).

На рисунке 25, B изображены прямые АС и BD, которые проходят через вершины куба и пересекаются в точке О (О = АС ВD).

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельные прямые l₁ и l₂ обозначаются так: l₁ l₂ (читают: «Прямая l₁ параллельна прямой l₂ »).

Например, на рисунке 25, в изображены параллельные прямые ВС и АD (ВСАD).

Теорема. Если две прямые плоскости имеют общую точку, то она единственная.

Пусть две прямые а и b имеют общую точку О. Докажем, что других общих точек эти прямые не имеют. Допустим, что прямые а и b имеют еще одну общую точку O₁. Тогда получается, что через точки O и O₁ проходят две прямые а и b. Но этого быть не может, так как по аксиоме А3 через две точки проходит единственная прямая. Таким образом, наше предположение неверно, и прямые а и b имеют единственную общую точку.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Точка и прямая

Точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости.

Определение точки и прямой в геометрии не вводят, эти понятия рассматриваются на интуитивно-понятийном уровне.

Точки обозначают прописными (заглавными, большими) латинскими буквами: A, B, C, D, …

Прямые обозначают одной строчной (маленькой) латинской буквой, например,

Прямая состоит из бесконечного множества точек и не имеет ни начала, ни конца. На рисунке изображают только часть прямой, но понимают, что она простирается в пространстве бесконечно далеко, неограниченно продолжаясь в обе стороны.

О точках, которые лежат на прямой, говорят, что они принадлежат этой прямой. Принадлежность отмечают знаком ∈. О точках вне прямой говорят, что они не принадлежат этой прямой. Знак «не принадлежит» — ∉.

Например, точка B принадлежит прямой a (пишут: B∈a),

точка F не принадлежит прямой a, (пишут: F∉a).

Основные свойства принадлежности точек и прямых на плоскости:

Каковы бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Прямые также обозначают двумя большими латинскими буквами, по названию точек, которые лежат на прямой.

— эту прямую можно назвать MK или MN или NK.

Две прямые могут пересекаться и не пересекаться. Если прямые не пересекаются, они не имеют общих точек. Если прямые пересекаются, они имеют одну общую точку. Знак пересечения — ∩.

Например, прямые a и b пересекаются в точке O

(пишут: a ∩ b=O).

Прямые c и d также пересекающиеся, хотя на рисунке нет их точки пересечения.

Прямые m и n не имеют общих точек.

Источник