Что значит ступенчатая матрица

03. Ступенчатая матрица

Определение 6. Матрицей размерности называется прямоугольная таблица

Определение 7. Матрицей ступенчатого вида называется такая матрица, которая обладает свойствами:

1) в каждой строке матрицы имеется неравный нулю элемент;

2) в каждой строке матрицы, начиная со второй, первый слева неравный нулю элемент расположен правее первого слева неравного нулю элемента предыдущей строки матрицы.

Матрицу ступенчатого вида называют также Трапециидальной матрицей, а квадратную матрицу ступенчатого вида называют Треугольной матрицей. Ниже показаны две не ступенчатые матрицы и три ступенчатые матрицы (последняя матрица треугольная).

, , , , .

Определение 8. Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие ее преобразования:

1) перестановка любых двух строк матрицы местами;

2) умножение одной строки матрицы на любое число ;

3) прибавление к одной строке матрицы другой ее строки умноженной на любое число k ;

(при этом все остальные строки матрицы остаются неизменными).

Аналогично можно рассматривать элементарные преобразования столбцов матрицы.

Теорема 2. Любую ненулевую матрицу конечным числом элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевой строки можно привести к матрице ступенчатого вида.

Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по числу M строк матрицы. Для m=1 утверждение теоремы справедливо, так как ненулевая однострочная матрица по определению имеет ступенчатый вид.

.

. (9)

Рассмотрим матрицу, состоящую из последних M-1 строк матрицы (9):

. 10)

Если матрица (10) нулевая, то все строки в матрице (9) кроме первой нулевые. Вычеркивая их, приходим к матрице ступенчатого вида. Если матрица (10) ненулевая, то по индуктивному предположению конечным число элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевой строки может быть приведена к матрице ступенчатого вида: ,

Где элементы и не равны нулю. Тогда соответствующими преобразованиями строк матрица (9) преобразуется в матрицу ступенчатого вида:

; (11)

Элементы , . не равны нулю. Теорема доказана.

Источник

Матрицы: метод Гаусса. Вычисление матрицы методом Гаусса: примеры

Линейная алгебра, которая преподается в вузах на разных специальностях, объединяет немало сложных тем. Одни из них связаны с матрицами, а также с решением систем линейных уравнений методами Гаусса и Гаусса – Жордана. Не всем студентам удается понять эти темы, алгоритмы решения разных задач. Давайте вместе разберемся в матрицах и методах Гаусса и Гаусса – Жордана.

Основные понятия

Под матрицей в линейной алгебре понимается прямоугольный массив элементов (таблица). Ниже представлены наборы элементов, заключенные в круглые скобки. Это и есть матрицы. Из приведенного примера видно, что элементами в прямоугольных массивах являются не только числа. Матрица может состоять из математических функций, алгебраических символов.

Вам будет интересно: Вглядитесь внимательно. Не попались ли среди встречных шедшие на вы?

Для того чтобы разобраться с некоторыми понятиями, составим матрицу A из элементов aij. Индексы являются не просто буквами: i – это номер строки в таблице, а j – это номер столбца, в области пересечения которых располагается элемент aij. Итак, мы видим, что у нас получилась матрица из таких элементов, как a11, a21, a12, a22 и т. д. Буквой n мы обозначили число столбцов, а буквой m – число строк. Символ m × n обозначает размерность матрицы. Это то понятие, которое определяет число строк и столбцов в прямоугольном массиве элементов.

Необязательно в матрице должно быть несколько столбцов и строк. При размерности 1 × n массив элементов является однострочным, а при размерности m × 1 – одностолбцовым. При равенстве числа строчек и числа столбцов матрицу именуют квадратной. У каждой квадратной матрицы есть определитель (det A). Под этим термином понимается число, которое ставится в соответствие матрице A.

Еще несколько важных понятий, которые нужно запомнить для успешного решения матриц, – это главная и побочная диагонали. Под главной диагональю матрицы понимается та диагональ, которая идет вниз в правый угол таблицы из левого угла сверху. Побочная диагональ идет в правый угол вверх из левого угла снизу.

Ступенчатый вид матрицы

Взгляните на картинку, которая представлена ниже. На ней вы увидите матрицу и схему. Разберемся сначала с матрицей. В линейной алгебре матрица подобного вида называется ступенчатой. Ей присуще одно свойство: если aij является в i-й строке первым ненулевым элементом, то все другие элементы из матрицы, стоящие ниже и левее aij, являются нулевыми (т. е. все те элементы, которым можно дать буквенное обозначение akl, где k>i, а l Понравилась статья? Поделись с друзьями:

Источник

Матрицы: метод Гаусса. Вычисление матрицы методом Гаусса: примеры

Линейная алгебра, которая преподается в вузах на разных специальностях, объединяет немало сложных тем. Одни из них связаны с матрицами, а также с решением систем линейных уравнений методами Гаусса и Гаусса – Жордана. Не всем студентам удается понять эти темы, алгоритмы решения разных задач. Давайте вместе разберемся в матрицах и методах Гаусса и Гаусса – Жордана.

Основные понятия

Под матрицей в линейной алгебре понимается прямоугольный массив элементов (таблица). Ниже представлены наборы элементов, заключенные в круглые скобки. Это и есть матрицы. Из приведенного примера видно, что элементами в прямоугольных массивах являются не только числа. Матрица может состоять из математических функций, алгебраических символов.

Вам будет интересно: Закон Максвелла. Распределение Максвелла по скоростям

Для того чтобы разобраться с некоторыми понятиями, составим матрицу A из элементов aij. Индексы являются не просто буквами: i – это номер строки в таблице, а j – это номер столбца, в области пересечения которых располагается элемент aij. Итак, мы видим, что у нас получилась матрица из таких элементов, как a11, a21, a12, a22 и т. д. Буквой n мы обозначили число столбцов, а буквой m – число строк. Символ m × n обозначает размерность матрицы. Это то понятие, которое определяет число строк и столбцов в прямоугольном массиве элементов.

Необязательно в матрице должно быть несколько столбцов и строк. При размерности 1 × n массив элементов является однострочным, а при размерности m × 1 – одностолбцовым. При равенстве числа строчек и числа столбцов матрицу именуют квадратной. У каждой квадратной матрицы есть определитель (det A). Под этим термином понимается число, которое ставится в соответствие матрице A.

Еще несколько важных понятий, которые нужно запомнить для успешного решения матриц, – это главная и побочная диагонали. Под главной диагональю матрицы понимается та диагональ, которая идет вниз в правый угол таблицы из левого угла сверху. Побочная диагональ идет в правый угол вверх из левого угла снизу.

Ступенчатый вид матрицы

Взгляните на картинку, которая представлена ниже. На ней вы увидите матрицу и схему. Разберемся сначала с матрицей. В линейной алгебре матрица подобного вида называется ступенчатой. Ей присуще одно свойство: если aij является в i-й строке первым ненулевым элементом, то все другие элементы из матрицы, стоящие ниже и левее aij, являются нулевыми (т. е. все те элементы, которым можно дать буквенное обозначение akl, где k>i, а l Понравилась статья? Поделись с друзьями:

Источник

Что значит ступенчатая матрица

— -матрица над полем . Ведущим элементом строки матрицы называется первый (считая слева направо) ненулевой элемент строки. Столбец матрицы называется основным, если он содержит ведущий элемент какой-либо строки матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица А называется ступенчатой, если она удовлетворяет условиям:

(1) нулевые строки матрицы (если они есть) расположены ниже всех ненулевых строк;

(2) если — ведущие элементы ненулевых строк матрицы, то

Примеры ступенчатых матриц: 1) нулевая матрица, 2) однострочная матрица, 3) единичная матрица, 4) верхнетреугольная матрица

Над системой вектор-строк (столбцов) данной матрицы можно проводить элементарные преобразования.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарные преобразования над системой строк (столбцов) матрицы называются элементарными преобразованиями матрицы. Две матрицы называются строчечно-эквивалентными, если одна получается из другой при помощи цепочки элементарных преобразований над строками.

Отношение строчечной эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. является отношением эквивалентности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Строчечным рангом матрицы называется ранг системы ее строк. Столбцовым рангом матрицы называется ранг системы ее столбцов.

Из этого определения в силу теоремы 1.8 следует предложение 3.1.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. Если одна матрица получается из другой в результате цепочки элементарных преобразований над строками, то строчечные ранги этих матриц равны.

ТЕОРЕМА 3.2. Любая -матрица строчечно эквивалентна ступенчатой -матрице.

Доказательство (проводится индукцией по числу строк матрицы). Если число строк матрицы равно единице, то матрица ступенчатая. Предполагая, что теорема верна для матриц с строками, докажем, что тогда она верна для матриц с строками. Пусть А есть -строчная матрица:

Если в первом столбце матрицы есть элемент, отличный от нуля, то строку с этим ненулевым элементом можно переставить с первой строкой. Легко показать, что перестановка строк — результат цепочки элементарных преобразований над строками. Поэтому будем считать, что . Матрицу А можно преобразовать в матрицу В:

при помощи цепочки элементарных преобразований. Для этого первую строку матрицы А надо умножить на Затем полученную первую строку, умноженную на прибавить к строке для .

Матрица, полученная из матрицы В вычеркиванием первой строки, содержит строк и, по индуктивному предположению, строчечно эквивалентна некоторой ступенчатой -матрице С:

На основании этого и строчечной эквивалентности матриц А и В заключаем, что матрица А строчечно эквивалентна ступенчатой матрице С:

Матрица С — ступенчатая, потому что матрица С является ступенчатой.

Если первый столбец или несколько первых столбцов матрицы — нулевые, то рассмотрим матрицу, получающуюся в результате вычеркивания этих столбцов. Эта матрица содержит в первом столбце ненулевой элемент. Поэтому из первой части доказательства следует, что она строчечно эквивалентна ступенчатой матрице. Легко видеть, что, приписав слева к этой ступенчатой матрице вычеркнутые прежде нулевые столбцы, получим матрицу, строчечно эквивалентную исходной матрице .

ТЕОРЕМА 3.3. Строчечный ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Доказательство. Теорема, очевидно, верна для нулевой матрицы. Предположим, что — ступенчатая матрица с ненулевыми строками. Для удобства записи будем считать, что ведущие элементы матрицы расположены в первых столбцах, т. е.

где для Таким образом, первые строк матрицы ненулевые, а остальные (если они есть) — нулевые.

Покажем, что строки линейно независимы. Надо показать, что для любых скаляров из равенства

Так как то из (1) следуют равенства

Поскольку при , из (3) следуют равенства (2). Таким образом, система ненулевых строк матрицы А линейно независима. Следовательно, строчечный ранг матрицы А равен . В общем случае доказательство проводится аналогично.

На основании теоремы 3.3 приходим к следующему правилу вычисления ранга матрицы. Для вычисления строчечного ранга матрицы А надо привести ее к ступенчатому виду С при помоьци цепочки элементарных преобразований над строками. Число ненулевых строк матрицы С равно строчечному рангу матрицы А.

Источник

Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:

I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.

II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.

III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.

Элементарные преобразования применяются для упрощения матриц, что будет в дальнейшем использоваться для решения разных задач.

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.

1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля ( ведущий элемент ). Строку с ведущим элементом ( ведущая строка ), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.

2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.

3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).

4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.

Пример 1.29. Привести к ступенчатому виду матрицы

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2):

Первый столбец и первую строку исключаем из рассмотрения. В оставшейся части матрицы имеется один элемент (-2), который выбираем в качестве ведущего. Разделив последнюю строку на ведущий элемент, получаем матрицу ступенчатого вида

Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя. Заметим, что получившаяся матрица является верхней треугольной.

Пункт 3 алгоритма делать не надо, так как под ведущим элементом стоит нуль. Исключаем из рассмотрения первую строку и первый столбец. В оставшейся части ведущий элемент — число 2. Разделив ведущую строку (вторую) на 2, получаем ступенчатый вид:

Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя.

Ко второй и третьей строкам прибавим первую, умноженную на (-3) и на (-6) соответственно:

Обратим внимание на то, что полученная матрица еще не является матрицей ступенчатого вида, так как вторую ступеньку образуют две строки (2-я и 3-я) матрицы. Исключив 1-ю строку и 1-й столбец, ищем в оставшейся части ведущий элемент. Это элемент (-1). Делим вторую строку на (-1), а затем к третьей строке прибавляем ведущую (вторую), умноженную на 5:

Исключим из рассмотрения вторую строку и второй столбец. Поскольку исключены все столбцы, дальнейшие преобразования невозможны. Полученный вид — ступенчатый.

1. Говорят, что матрица имеет ступенчатый вид также и в случае, когда на месте ведущих элементов (обозначенных на рис. 1.4 единицей) стоят любые отличные от нуля числа.

2. Считается, что нулевая матрица имеет ступенчатый вид.

Пример 1.30. Привести к ступенчатому виду матрицу

Решение. Первый столбец матрицы — нулевой. Исключаем его из рассмотрения и исследуем оставшуюся часть (последние 5 столбцов):

Вторую строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Берем элемент в качестве ведущего. Делим третью строку на число 2 (умножаем на 0,5):

К четвертой строке прибавляем третью, умноженную на (-2):

Третью строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку в оставшейся части матрицы все элементы (один) нулевые, преобразования закончены. Матрица приведена к ступенчатому виду (см. рис. 1.4).

Замечание 1.9. Продолжая выполнять элементарные преобразования над строками матрицы, можно упростить ступенчатый вид, а именно привести матрицу к упрощенному виду (рис. 1.5).

Здесь символом 1 обозначены элементы матрицы, равные единице, символом * — обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. Заметим, что в каждом столбце с единицей остальные элементы равны нулю.

Пример 1.31. Привести к упрощенному виду матрицу

Решение. Матрица имеет ступенчатый вид. Прибавим к первой строке третью, умноженную на (-1), а ко второй строке третью, умноженную на (-2):

Теперь к первой строке прибавим вторую, умноженную на (-1). Получим матрицу упрощенного вида (см. рис. 1.5):

Замечание 1.10. При помощи элементарных преобразований (строк и столбцов) любую матрицу можно привести к простейшему виду (рис. 1.6).

Пример 1.32. Привести матрицу к простейшему виду.

Умножим все элементы последнего столбца на (-1) и переставим его на место второго:

Таким образом, исходная матрица при помощи элементарных преобразований приведена к простейшему виду (см. рис. 1.6).

Свойства элементарных преобразований матриц

Следствие (о приведении матрицы к простейшему виду). Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк и столбцов можно привести к простейшему виду.

2. В теореме 1.1 говорится о приведении матрицы к ступенчатому (упрощенному) виду при помощи элементарных преобразований только ее строк, не используя преобразования ее столбцов. Чтобы привести произвольную матрицу к простейшему виду (следствие теоремы 1.1), нужно использовать преобразования и строк, и столбцов матрицы.

3. Рассмотрим следующую модификацию пункта 3 метода Гаусса. Ведущий элемент, выбранный в п. 1 метода Гаусса, определяет ведущую строку и ведущий столбец матрицы (он находится на их пересечении). Делим все элементы ведущей строки на ведущий элемент (см. п.2 метода Гаусса). Прибавляя ведущую строку, умноженную на соответствующие числа, к остальным строкам матрицы (аналогично п.3 метода Гаусса), делаем равными нулю все элементы ведущего столбца, за исключением ведущего элемента. Затем, прибавляя полученный ведущий столбец, умноженный на соответствующие числа, к остальным столбцам матрицы, делаем равными нулю все элементы ведущей строки, за исключением ведущего элемента. При этом получаем ведущие строку и столбец, все элементы которых равны нулю, за исключением ведущего элемента, равного единице.

Источник