Составно́е число́ — натуральное число, бо́льшее 1, не являющееся простым. Каждое составное число является произведением двух натуральных чисел, бо́льших 1.
Последовательность составных чисел начинается так:
Основная теорема арифметики утверждает, что любое составное число может быть разложено в произведение простых множителей, причём единственным способом (с точностью до порядка множителей).
Покажем, что в натуральном ряду можно найти последовательности составных чисел любой длины. Обозначим, например:
Тогда миллион последовательных чисел содержит только составные числа: делится на 2, делится на 3 и т. д.
См. также
Источники
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Составное число» в других словарях:
СОСТАВНОЕ ЧИСЛО — натуральное число, не являющееся простым числом. Напр., 4; 18; 105 составное число … Большой Энциклопедический словарь
составное число — натуральное число, не являющееся простым числом. Например, 4; 18; 105 составное число. * * * СОСТАВНОЕ ЧИСЛО СОСТАВНОЕ ЧИСЛО, натуральное число, не являющееся простым числом. Напр., 4; 18; 105 составное число … Энциклопедический словарь
Составное число — натуральное число, не являющееся простым, т. е. имеющее делители, отличные от единицы и самого себя; например, 4; 18; 105 суть С. ч. Всякое С. ч. можно единственным способом представить в виде произведения простых множителей. См.… … Большая советская энциклопедия
СОСТАВНОЕ ЧИСЛО — натуральное число, не являющееся простым числом. Напр., 4; 18; 105 С. ч … Естествознание. Энциклопедический словарь
разлагать составное число на множители — — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23] Тематики защита информации EN factor a composite number … Справочник технического переводчика
Число Смита — такое составное число, сумма цифр которого (в данной системе счисления) равняется сумме цифр всех его простых сомножителей. Так, примером числа Смита может служить 202, поскольку 2 + 0 + 2 = 4, и 2 + 1 + 0 + 1 = 4 (202 = 2 * 101). Понятие чисел… … Википедия
Число Кармайкла — В теории чисел числом Кармайкла (кармайкловым числом) называется всякое составное число n, которое удовлетворяют сравнению для всех целых b, взаимно простых с n. Другими словами, числом Кармайкла называется составное число n, которое… … Википедия
Число — Число. Для того, чтобы описать совокупность однородных предметов,надо указать, какие предметы и сколько их. Напр. на этом столе лежатпять карандашей, в этой комнате семь стульев, в этом шкафу двеститридцать шесть книг. Слова: пять, семь, двести … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона
Составное звено — Группа атомов, с помощью которой можно описать строение полимера. Составное звено, которое многократно повторяется, называют повторяющимся составным звеном. Если при получении полимера мономер полностью входит в его состав, то повторяющееся… … Википедия
В этой статье мы изучим простые и составные числа. Сначала дадим определения простых и составных чисел, а также приведем примеры. После этого докажем, что простых чисел бесконечно много. Далее запишем таблицу простых чисел, и рассмотрим методы составления таблицы простых чисел, особо тщательно остановимся на способе, получившем название решето Эратосфена. В заключение осветим основные моменты, которые нужно учитывать при доказательстве того, что данное число является простым или составным.
Навигация по странице.
Простые и составные числа – определения и примеры
Понятия простые числа и составные числа относятся к целым положительным числам, которые больше единицы. Такие целые числа, в зависимости от количества их положительных делителей, подразделяются на простые и составные числа. Таким образом, чтобы понять определения простых и составных чисел, нужно хорошо представлять себе, что такое делители и кратные.
Составные числа – это целые числа, большие единицы, которое имеют, по крайней мере, три положительных делителя.
Учитывая, что целые положительные числа – это натуральные числа, и что единица имеет только один положительный делитель, можно привести другие формулировки озвученных определений простых и составных чисел.
Простыми числами называют натуральные числа, которые имеют только два положительных делителя.
Составными числами называют натуральные числа, имеющие более двух положительных делителей.
Исходя из информации предыдущего абзаца, можно дать следующее определение составных чисел.
Натуральные числа, которые не являются простыми, называются составными.
Приведем примеры простых и составных чисел.
В заключение этого пункта хочется еще обратить внимание на то, что простые числа и взаимно простые числа – это далеко ни одно и то же.
Таблица простых чисел
Теперь разберемся с возможностью (а точнее с невозможностью) составления таблицы всех существующих простых чисел. Мы не можем составить таблицу всех простых чисел, потому что простых чисел бесконечно много. Последнее утверждение представляет собой теорему, которую мы докажем после следующей вспомогательной теоремы.
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.
Теперь мы можем доказать, что простых чисел бесконечно много.
Простых чисел бесконечно много.
Так доказано, что всегда может быть найдено новое простое число, не заключающееся среди любого количества наперед заданных простых чисел. Следовательно, простых чисел бесконечно много.
Решето Эратосфена
Опишем несколько первых шагов.
Такой подход к составлению таблицы простых чисел является далеко не идеальным. Так или иначе, он имеет право на существование. Отметим, что при этом способе построения таблицы целых чисел можно использовать признаки делимости, которые немного ускорят процесс поиска делителей.
Существует более удобный способ для составления таблицы простых чисел, называемый решето Эратосфена. Присутствующее в названии слово «решето» не случайно, так как действия этого метода помогают как бы «просеять» сквозь решето Эратосфена целые числа, большие единицы, чтобы отделить простые от составных.
Первое записанное число 2 является простым. Теперь от числа 2 последовательно перемещаемся вправо на два числа и зачеркиваем эти числа, пока не доберемся до конца составляемой таблицы чисел. Так будут вычеркнуты все числа, кратные двум.
Давайте еще сформулируем и докажем теорему, которая позволит ускорить процесс составления таблицы простых чисел при помощи решета Эратосфена.
Что же нам дает доказанная теорема, касательно решета Эратосфена?
Данное число простое или составное?
Некоторые задания требуют выяснения, является ли данное число простым или составным. В общем случае эта задача далеко не проста, особенно для чисел, запись которых состоит из значительного количества знаков. В большинстве случаев приходится искать какой-либо специфический способ ее решения. Однако мы попробуем дать направление ходу мыслей для несложных случаев.
Несомненно, можно попробовать воспользоваться признаками делимости для доказательства того, что данное число является составным. Если, к примеру, некоторый признак делимости показывает, что данное число делится на некоторое целое положительное число большее единицы, то исходное число является составным.
Докажите, что число 898 989 898 989 898 989 составное.
Существенный недостаток такого подхода заключается в том, что признаки делимости не позволяют доказать простоту числа. Поэтому при проверке числа на то, является ли оно простым или составным, нужно действовать иначе.
Давайте посмотрим на число 2, которое можно разделить только на 1 и 2. Число 3 также имеет два делителя: 1 и 3. Следовательно, они оба простые. Теперь давайте посмотрим на число 12, которое мы можем точно разделить на 2, 3, 4, 6 и 12. Имея 5 делителей, 12 является составным числом.
А что происходит с числом 1, которое разделяет все остальные? Ну, это не простое число, потому что у него нет двух делителей, и оно не составное, поэтому 1 не попадает ни в одну из этих двух категорий. Но есть еще много других цифр.
Составные числа можно выразить как произведение простых чисел, и это произведение, за исключением порядка множителей, является уникальным для каждого числа. Это подтверждается основной теоремой арифметики, продемонстрированной греческим математиком Евклидом (325–365 до н.э.).
Вернемся к числу 12, которое можно выразить по-разному. Попробуем:
12 = 4 х 3 = 2 х 6 = 12 х 1 = 2 2 х 3 = 3 х 2 2 = 3 х 2 х 2 = 2 х 2 х 3 = 2 х 3 х 2
Примеры составных чисел
Если мы хотим разложить составное число на его простые множители, мы должны разделить его между простыми числами таким образом, чтобы деление было точным, то есть чтобы остаток был равен 0.
Эта процедура называется простые множители или каноническое разложение. Основные факторы могут быть увеличены до положительных показателей.
Мы собираемся разложить число 570 на разложение, заметив, что оно четное и поэтому делится на 2, что является простым числом.
Мы будем использовать полосу, чтобы отделить число слева от разделителей справа. Соответствующие частные помещаются под числом по мере их получения. Разложение завершено, когда последняя цифра в левом столбце равна 1:
При делении на 2 получается частное 285, которое делится на 5, другое простое число, заканчивающееся на 5.
57 делится на 3, тоже простое число, поскольку сумма его цифр 5 + 7 = 12 делится на 3.
В итоге мы получаем 19, простое число, делители которого равны 19 и 1:
570 │2 285 │5 57 │3 19 │19 1 │
Получив 1, мы можем выразить 570 следующим образом:
570 = 2 х 5 х 3 х 19
И мы видим, что на самом деле это произведение 4 простых чисел.
В этом примере мы начинаем с деления на 2, но те же множители (в другом порядке) были бы получены, если бы мы начали, например, с деления на 5.
Критерии делимости
–Делимость на 2
Все четные числа, заканчивающиеся на 0 или четное число, делятся на 2.
–Делимость на 3
Если сумма цифр числа кратна 3, то число также делится на 3.
–Делимость на 5
Числа, оканчивающиеся на 0 или 5, делятся на 5.
-Делимость на 7
Число делится на 7, если при разделении последней цифры, умножении ее на 2 и вычитании оставшегося числа полученное значение будет кратным 7.
Это правило кажется немного более сложным, чем предыдущие, но на самом деле его не так уж и много, поэтому давайте рассмотрим пример: будет ли 98 делиться на 7?
-Делимость на 11
Если сумму цифр в четной позиции (2, 4, 6…) вычесть из суммы цифр в нечетной позиции (1, 3, 5, 7…), и мы получим 0 или кратное 11, число будет делится на 11.
В качестве примера давайте посмотрим, делится ли 143 на 11.
Обе суммы вычитаются: 4-4 = 0, и поскольку получается 0, оказывается, что 143 делится на 11.
-Делимость на 13
Число без разряда единиц необходимо вычесть из 9-кратной этой цифры. Если счетчик возвращает 0 или кратное 13, число кратно 13.
Но 39 равно 3 x 13, поэтому 56 делится на 13.
Простые числа друг к другу
Два или более простых или составных числа могут быть простыми или взаимно простыми числами. Это означает, что их единственный общий делитель равен 1.
Когда дело доходит до взаимных простых чисел, следует помнить о двух важных свойствах:
-Два, три и более последовательных числа всегда просты по отношению друг к другу.
-То же самое можно сказать о двух, трех и более последовательных нечетных числах.
Например, 15, 16 и 17 являются простыми числами друг для друга, а также 15, 17 и 19.
Как узнать, сколько делителей у составного числа
У простого числа два делителя, одно и то же число и 1. А сколько делителей у составного числа? Это могут быть двоюродные братья и сестры.
Пусть N составное число, выраженное в терминах его канонического разложения следующим образом:
C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)
С C = простые делители + составные делители + 1
Например, 570, что выражается так:
570 = 2 х 5 х 3 х 19
Все простые множители увеличиваются до 1, поэтому 570 имеет:
C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 делителей
Из этих 10 делителей мы уже знаем: 1, 2, 3, 5, 19 и 570. Отсутствуют еще 10 делителей, которые являются составными числами: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 и 285. Их можно найти, наблюдая разложение на простые множители, а также умножая комбинации этих множителей вместе.
Именная карта банка для детей с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Все вещи можно представить в виде чисел.
Рассмотрим привычный всем карандаш. Привычный, обыденный предмет. Большинство людей даже не задумываются, из чего он состоит.
На самом деле, для изготовления карандаша понадобится древесина, грифель, краска. И это самый простейший перечень составляющих. Ведь собственные составляющие имеют краска, грифель, древесина. Поэтому список компонентов, необходимых для изготовления обычного карандаша, можно продолжать очень долго. Точно так происходит и с математическими числами. Каждое число имеет свой состав, в зависимости от состава – название.
А из чего состоят числа? Какие бывают? Как разложить число? На эти и многие другие вопросы ищите ответы в нашем уроке!
Простые и составные числа
На столе лежало 2 яблока, 4 апельсина. Сколько детей, смогут полакомиться, каждым видом фруктов?
Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно выяснить на какое количество человек можно разделить фрукты, не деля их на части (целыми).
В математике такие числа называют простыми
Получается, четыре мы можем разделить на 1, на само себя и еще на два. Такой вид чисел в арифметике называют составными:
Разложение на простые множители
В математике возникают ситуации, когда для выполнения определенных вычислений нужно знать, какие множители входят в состав того, или иного числа.
Например в состав 6, входит два простых множителя:
А как быть с большими числами, в записи, которых 2 и более знака? Как правильно выполнять и записывать разложение на простые множители?
Что значит «Разложить на простые множители?».
В арифметике для выполнения разложения на простые множители, существует специальный вид записи и алгоритм действий.
Давайте рассмотрим алгоритм действий:
Запись разложения числа на простые множители выполняется столбиком, состоящим из двух колонок. В правой колонке записываем делимое и полученное частное, в левой – пишем подходящие, простые делители. Между собой колонки разделены вертикальной чертой:
Разложим на множители число 20.
Для выполнения данного задания, используем рассмотренный алгоритм.
20 можно разделить на: 1, 2, 4, 5, 10,20.
Мы подобрали шесть делителей, значит, делимое, является составным числом.
Для этого вспоминаем изученные признаки делимости, и проверяем данное число.
Начнем с наименьшего простого числа 2
Делимое 20 оканчивается цифрой 0, значит, оно делится без остатка на 2.
Далее, подбираем делитель к полученному частному. Опять начинаем с наименьшего простого числа 2. Так как запись 10, оканчивается 0, по признаку делимости, число делится на 2 без остатка:
В результате мы получили простое число, которое можно разделить, только на само себя (на 1 деление не выполняем, оно не является простым числом).
Когда в частном получилась единица, то говорят, разложение числа на простые множители окончено.
Давайте запишем данную математическую операцию.
Выполнять запись будем в столбик.
Сначала записываем делимое и проводим вертикальную черту.
Рядом, с правой стороны, пишем первый делитель.
Выполняем деление и записываем частное под делимым.
После, снова подбираем делитель к полученному частному, справа пишем подходящий делитель. Выполняем деление до тех пор, пока в результате не увидим 1.
Выходит, 20 = 2×2×5. Полученное выражение можно записать немного иначе. В записи использовано два одинаковых множителя, повторяющихся два раза. Используя определение степени
Ничего сложного. Главное – запомнить порядок действий!
Рассмотрим еще один пример.
Разложим число 156.
Чтобы выполнить данное задание используем правило разложения числа на простые множители.
Выполняем деление и частное запишем под делимым: 156 : 2 = 78.
Полученное частное (78) оканчивается четной цифрой, следовательно,делится на 2. Рядом записываем делитель, выполняем деление:
Новый результат оканчивается нечетной цифрой, поэтому на два разделить нельзя. Смотрим, подойдет ли в качестве делителя следующее – 3. Вспоминаем признак делимости на 3:
В записи 39 использованы цифры 3,9. Найдем их сумму:
Полученная сумма делится на 3, следовательно, все число делится на 3.
Записываем делитель и выполняем деление 39 : 3 = 13. Частное, пишем в левый столбик:
Частное 13 – простое, делится на 1 и на само себя. Поэтому:
Разложение на простые множители выполнено.
Очень важно запомнить рассмотренные определения и алгоритм, так как умение раскладывать число на простые множители пригодится вам в течение всего учебного процесса!
Минутка истории
Интерес ученых к простым числам проснулся в третьем веке до нашей эры. Первым заинтересовался Евклид, нашел доказательство, что ряд простых чисел бесконечен. К сожалению,перечень известных, пополнялся новыми, очень медленно, пока не появились первые вычислительные машины, самостоятельно подбирающие делители к огромным числовым значениям. В 1952 г. самое большое простое числовое значение, известное науке содержало 157 цифр, уже в 1985 году количество цифр стало 65050. Сегодня, математики продолжают работать над этим вопросом. Результатом проделанной работы стало открытие американскими учеными нового, самого большого простого числового значения, состоящего из 65087 цифр. Научные сотрудники более 12 месяцев проверяли, подходящие под требования числовые значения. Проверено более 350000 чисел, подобрано несколько миллиардов различных делителей.
В декабре 2018, американский разработчик Патрик Ларош, побил мировые рекорды и открыл наибольшее простое число 2 82 589 933 – 1. Количество цифр этого числа равно 24 862 048. За свое открытие Патрик получил премию в размере 2 миллионов долларов.
Математика по-разному называет числа и делит их на определенные группы. На уроках услышите о простых и составных числах. Чем обосновано такое деление и как научиться различать эти категории чисел? Помогут разобраться в этом вопросе примеры.
Простые числа и их особенности
Сложение, вычитание, умножение, деление — все эти операции привычны для математиков, которые ловко оперируют самыми разными числами и способны вести подсчеты в уме не хуже, чем вычислительные машины. Помогают им в этом простые и составные числа.
Познакомимся с первой группой чисел. Простое число — это любое число, которое можно разделить само на себя и на единицу. Яркий и простой для запоминания пример — число 13. Легко заключить, что разделить его получится:
Любое число, которому подходит под это определение, попадает в группу простых. Следует помнить о том, что подразумевается деление числа нацело. С целым или дробным остатком деление возможно практически для любых чисел.
Числа в математике: Freepick
Для удобства в математике используются таблицы простых чисел. При их составлении вручную последовательно проверяется каждое число. Например:
Такие операции можно выполнять до числа 100 и далее.
Но в книге о простых числах выдающегося математика Л. Г. Шнирельмана указано, что существует бесконечное множество простых чисел. Как быть и можно ли ускорить процесс их нахождения?
Математики нашли решение этой задачи. Быстро отобрать простые числа можно с помощью решета Эратосфена:
На уроках часто пользуются уже готовыми таблицами, но важно помнить о том, каким образом в них оказываются те или иные числа. Кроме простых, выделяют также группу взаимно простых чисел, у которых есть только один общий делитель — единица (например, 14 и 25).
Что такое составные числа
Количество составных чисел в разы превышает количество простых. Составными числами называют такие, которые не относятся к простым, то есть имеют делители, кроме единицы и самого себя. Иногда составные числа называют сложными.
Рассмотрим это на примере:
Таким образом, составным числом называют такое число, у которого есть два и более простых множителей.
Зачем математики используют простые и составные числа? Это необходимо для упрощения разложения на множители. Вместо долгих поисков того, на какие числа можно разложить большое значение, достаточно использовать специальную таблицу.
Разложение на простые множители необходимо для определения самого большого общего делителя и самого маленького общего кратного. Эти значения применяют в сложении, вычитании и сравнении дробей.
Математические расчеты: Freepick
Обсуждая простые и составные числа, не было сказано, в какую группу отнести ноль и единицу. Остановимся на единице. Согласно определению, у простого числа должно быть два делителя — единица и оно само.
Но для единицы делитель фактически один, потому к простым числам ее нельзя отнести. Составным числом единица также не может быть (нет более двух делителей), а потому она остается числом без категории.
Как быть с нулем? Ноль, в отличие от единицы, делится на любые числа и получается при этом все тот же ноль. Кроме того, его не получится разложить на простые множители. С учетом теории и определения простых и составных чисел математики приняли решение ноль, как и единицу, исключить из категорий простых и составных чисел.
Таким образом, математикам удалось классифицировать и разделить на две большие группы все многообразие чисел. Ученые сделали это, найдя для них общие признаки. Простые числа имеют только два делителя, а у составных их гораздо больше. Вне этой классификации остались лишь единица и ноль.
Уникальная подборка новостей от нашего шеф-редактора
содержит только составные числа: 
делится на 2, 
делится на 3 и т. д.
