Что значит составить пропорцию

Прямая и обратная пропорциональность

Основные определения

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».

a и d называются крайними членами, b и c — средними.

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.

Формула прямой пропорциональности

y = kx,

где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.

Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».

Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

Формула обратной пропорциональности

где y и x — это переменные величины,

k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

Источник

Составить пропорцию

Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика обречена быть хромой и неполноценной. Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:

что тоже самое (это разная форма записи).

Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).

Основное правило пропорции:

произведение крайних членов равно произведению средних

*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти.

Если рассматривать форму записи вида:

то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали

Как видите результат тот же.

Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.

Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.

Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b, c – числа:

Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.

Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:

1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях » Задачи на проценты. Часть 1! » и » Задачи на проценты. Часть 2! «.

2. Многие формулы заданы в виде пропорций:

> отношение элементов в треугольнике

> теорема Фалеса и другие.

3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3 и прочие.

4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной мере, так и для перевода из одной меры в другую:

— часы в минуты (и наоборот).

— единицы объёма, площади.

— длины, например мили в километры (и наоборот).

— градусы в радианы (и наоборот).

здесь без составления пропорции не обойтись.

Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:

Необходимо определить число, которое составляет 35% от 700.

В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:

Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.

Иксу соответствует 35 процентов. Значит,

Переведём 50 минут в часы.

То есть 50 минут это пять шестых часа.

Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?

Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:

Одной миле соответствует 1,6 километра.

Икс миль это три километра.

Вы знаете, что для перевода градусов в радианы (и обратно) существуют формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.

Переведём 65 градусов в радианную меру.

Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.

Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.

Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.

Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан.

Если записать отношение в общем виде, то получится

То есть, если необходимо перевести градусы в радианы, то подставляете в эту пропорцию градусы и вычисляете радианы; если необходимо перевести радианы в градусы, то подставляете радианы и вычисляете градусы.

Можете изучить статью по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!

Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ — здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика.

Источник

Что такое пропорция

Что такое пропорция

Пропорция — это равенство двух отношения.

Пропорциональный — это такой, который находится в определенном отношении к какой-либо величине.

Пропорция всегда содержит равные коэффициенты.

Если выразить определение формулой, то выглядеть оно будет так:

a и d — крайние члены пропорции, b и с — средние члены пропорции.

Читается это выражение так: a так относится к b, как c относится к d

Например:

Это равенство двух отношений: 15 так относится к 5, как 9 относится к 3.

15 и 3 — крайние члены пропорции.

5 и 9 — средние члены пропорции.

Наглядный пример для понимания:

У нас есть восемь кусочков аппетитной пиццы и, предположим, четыре голодных друга.

Это значит, что 8 аппетитных кусочков пиццы будут так относиться к 4 голодным друзьям, что каждому голодающему достанется по 2 кусочка. Прекрасно!

А теперь представим, ситуацию, в которой есть только половина аппетитной пиццы, но при этом и голодных друга — всего два.

Что мы имеем: 4 кусочка и 2 друга, претендующих на них.

Это значит, что 4 аппетитных кусочка будут так относиться к 2 голодным друзьям, что каждому из них достанется по 2 кусочка.

Оценив обе ситуации, делаем вывод, что отношение 8/4 пропорционально отношению 4/2. Отношения в пропорции — равные.

Вывод: знание математических пропорций пригодится при заказе пиццы. Быстренько прикидываем отношение количества человек, претендующих на пиццу, и число кусочков — и сразу заказываем побольше пиццы, чтобы никто не остался голодным😉

Основное свойство пропорции

Запомните основное свойство пропорции:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов этой пропорции.

В виде формулы свойство выглядит так:

a : b = c : d
a * d = b * c

Мы знаем, что a и d — крайние члены пропорции, b и c — средние.

Это свойство следует применять, чтобы проверить пропорцию. Если все сходится согласно формулировке — пропорция составлена верно, и отношения в пропорции являются равными друг другу.

Давайте проверим несколько пропорций.

Пример 1. Дана пропорция:6/2 = 12/4

Делаем вывод, что пропорция 6/2 = 12/4 составлена верно.

Пример 2. Дана пропорция: 10/2 = 16/4

Отсюда делаем вывод, что отношения в пропорции 10/2 ≠ 16/4 не являются равными.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Примеры решения задач с пропорцией

Чтобы потренироваться в составлении пропорций, решим вместе несколько задачек.

Задачка 1. Дана математическая пропорция: 15/3 = x/4

Ответ: в пропорции 15/3 = x/4, x = 20

Задачка 2. Найдите четвертый член пропорции: 18, 9 и 24.

Ответ: четвертый член пропорции — 12.

Задачка 3. 18 человек могут съесть пять килограммов суши за 8 часов, сколько часов понадобится 9 людям?

Ответ: 16 часов понадобится 9 людям, чтобы съесть все суши.

Задачка 4. Дана пропорция: 20/2 = y/4

Источник

Составление и решение пропорций в математике

Пропорции — что это в математике

Валя съела 3 яблока из пяти. Какую часть яблок съела Валя?

Вначале узнаем, какую часть яблок составляет 1 яблоко. Всего у Вали было 5 яблок, значит, одно из них — это 1 5 часть всех яблок. Тогда 3 съеденных яблока составляют 3 5 всех яблок.

Тот же ответ получим, если 3 разделим на пять.

Получается, что 3 яблока соотносятся с пятью яблоками как 3 к 5.

Отношением двух чисел называют частное этих чисел.

Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого. Или какую часть первое число составляет от второго.

Термин «отношение» применяют в случаях, когда нужно выразить одну величину в долях другой. Например, одну площадь в долях другой площади. Это операцию выполняют с помощью деления.

Делимое в выражении отношения называют предыдущим членом. Делитель называют последующим членом.

В задаче 1 предыдущий член — это 3, последующий — 5.

Если есть два равных отношения, то они образуют пропорцию.

Пропорцией называют равенство двух отношений.

Даны два отношения: 3,8:2 и 5,7:3.

Можно ли составить из этих выражений пропорцию?

Найдем значения каждого из отношений:

Значения выражений оказались равными, значит, эти отношения равны.

Тогда можно записать равенство: 3,8:2=5,7:3.

Такое равенство называется пропорцией.

Ответ: да, можно составить из этих отношений чисел пропорцию.

Полученное равенство читают: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a относится к b, как c относится к d».

Числа a и d в пропорции называют крайними членами пропорции.

Числа b и c — средними членами пропорции.

Назовите крайние и средние члены пропорции 42:6=49:7.

Крайние члены пропорции — 42 и 7.

Средние члены пропорции — 6 и 49.

Средние члены пропорции — 5 и 35.

Понятие «пропорция» пришло из латинского языка. Слово в переводе означает соразмерность, определенное соотношение частей между собой.

Основное свойство пропорции, правило

Основное свойство пропорции

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов:

Определите, верна ли пропорция 6:2=9:3.

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Значит, 6:2=9:3. Пропорция верна.

Обратное утверждение тоже верно:

Если произведение средних членов равно произведению крайних членов, то пропорция верна.

Если поменять в это пропорции местами средние члены, получим 60:10=12:2. Эта пропорция тоже верна. При перестановке произведение крайних и средних членов не изменилось.

Если в пропорции поменять крайние члены — 2:10=12:60, то произведение тоже не изменится.

Пропорция будет верной, если поменять местами средние члены или крайние члены.

Если какой-то из членов пропорции неизвестен, то его можно найти.

По основному свойству пропорции можно найти ее неизвестный член, если все остальные компоненты известны.

Найдите неизвестный член пропорции: 4,8:b=8:2,5.

Используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.

Составление и решение пропорций

Запишите пропорцию: 6 так относится к 18, как 9 относится к 27.

Слово «относится» заменяем на знак деления.

Получаем два отношения: 6:18 и 9:27.

Если эти два отношения равны, то получаем верную пропорцию.

Проверяем, верна ли пропорция.

Для этого воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.

Чтобы проверить, верна ли пропорция, воспользуемся основным свойством пропорции.

Запишем произведения крайних и средних членов пропорции:

Значит, произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Вывод: пропорция верна.

Примеры уравнений с решением для 6 класса

Чтобы найти неизвестный член пропорции, используем основное свойство пропорции. Находим произведение крайних и средних членов. Выражаем неизвестный компонент.

Используем основное свойство пропорций. Записываем равенства произведений крайних и средних членов.

Решите уравнение: 0,25:x=3,75:3.

Но чтобы выражение осталось неизменным, нужно домножить на сто и делимое.

Чтобы найти неизвестный компонент пропорции, нужно воспользоваться основным свойством дроби.

По основному свойству дроби произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Записываем полученное выражение:

1 действие — умножение.

Переводим смешанное число в неправильную дробь и умножаем на вторую: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.

Сокращаем дробь: есть одинаковые числа в числителе и знаменателе.

2 действие — деление.

Смешанное число переводим в неправильную дробь.

Умножаем 7 5 на взаимно обратную дробь.

Источник

Пропорция.

Поскольку 3,6 : 0,9 = 4 и 1,2 : 0,3 = 4, то верно и равенство 3,6 : 0,9 = 1,2 : 0,3, которое называют пропорцией (от лат. ргороrtio — «соизмеримость»).

Если соотношение а : b равно соотношению с : d, то тождество а : b = с:d называют пропорцией.

Пропорцию можно выразить также в виде:

Приведённые записи читают: «соотношение а к b равно соотношению с к d или «а соотносится к b, как с соотносится к d».

В пропорции 3,6 : 0,9 = 1,2 : 0,3 числа 3,6 и 0,3 — крайние члены, числа 0,9 и 1,2 — средние члены. Рассмотрим произведение крайних и средних членов 3,6•0,3 = 0,9 • 1,2

Это определяется так:

если , то ad = bc

Главную особенность пропорции еще именуют правилом креста. Следуя главной особенности пропорции, можно рассчитать ее неизвестный член, если все остальные члены определены.

Чтобы определить неизвестный крайний член пропорции, необходимо произведение средних членов пропорции поделить на известный крайний член.

Чтобы определить неизвестный средний член пропорции, необходимо произведение крайних членов пропорции поделить на известный средний член. Или обобщенно можно сформулировать так: чтобы вычислить неизвестный член пропорции, следует перемножить диагональ с обоими известными членами, а далее поделить на оставшееся известное значение.

Правильна и следующая формулировка: если а, b, с и d числа отличные от нуля, то для них верно:

если , то

эта особенность называется свойством обращения пропорции.

Если в верной пропорции поменять местами средние члены или
крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны. Это свойство перестановки крайних и средних членов пропорции.

Если , то

(перестановка средних членов пропорции),

(перестановка крайних членов пропорции).

Так же на практике пользуются правилом увеличения и уменьшения пропорции.

Если , то равенство сохранится и в следующих случаях:

(увеличение пропорции),

(уменьшение пропорции).

Если , то

(составление пропорции сложением),

(составление пропорции вычитанием).

Обратим внимание, что составление пропорций — ещё один способ решения задач на проценты.

Олово производят из минерала, который называют касситеритом. Сколько тонн олова получат из 25 т касситерита, если он содержит 78 % олова?

Решив 25•78 = 100х мы находим, что х = 19,5т.

Пропорциональность может быть прямой и обратной.

Источник