Что значит смежные углы 7 класс
Углы. Смежные углы.
Какие углы называются смежными?
Смежными углами называется пара углов с общей вершиной и одной
общей стороной. 2 оставшиеся стороны делают продолжение друг
другу, образовывая прямую линию. Для угла 135 градусов смежным
будет угол равный 45 градусам. Для угла x градусов смежным
является угол (180 – x) градусов.
Два смежных угла — это углы, с одной общей стороной, а остальные стороны находятся на одной прямой.
При пересечении 2-х прямых получается 4-ре пары смежных углов:
Но, так как ∠1 =∠4, ∠2 = ∠3 (как вертикальные), то достаточно рассматривать
только одну из этих пар.
Свойство смежных углов.
Чему равна сумма смежных углов?
Смежные углы равны: сумма смежных углов 180º.
Следствия из теоремы о смежных углах.
Тригонометрические соотношения.
противоположные знаки (исключение неопределенные значения).
Задание. Чему будет равна градусная мера угла α, когда градусная мера смежного ему угла = 70°?
Как найти смежный угол?
Решение. Из теоремы о смежных углах находим:
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.
Свойства смежных углов:
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.
Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.
Давайте докажем это свойство.
Укажем ещё одно свойство смежных углов.
Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.
Углы, которые не являются смежными:
∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.
Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов
Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.
На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.
В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.
Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.
№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.
Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.
№3. Тип задания: выделение цветом.
Выделите верный ответ из списка:
60 0 ; 30 0 ; 75 0 ; 90 0
Общие сведения
Основными элементами, используемыми в геометрии, являются лучи и углы. С их помощью образуется любая геометрическая фигура — квадрат, треугольник или любого вида многоугольник. Луч — это полупрямая, то есть часть линии, на которой точки располагаются по одной стороне от зафиксированной. По-другому можно сказать, что луч — это линия, ограниченная только с одной стороны. Обозначают его как прописными латинскими буквами, так и заглавными с названием точек. Во втором случае первой указывается начальная точка.
Два луча, выходящие из одной точки, образовывают угол. По сути, это незамкнутая геометрическая фигура. Она имеет вершину (общую точку) и стороны. Обозначают его с помощью трёх заглавных букв, соответствующих трём точкам — вершине и двум лежащим на разных сторонах лучах. Внутренняя часть формируется из множества точек, принадлежащих плоскости, ограниченной сторонами угла.
Существует шесть видов углов:
Располагаясь на плоскости, по отношению друг к другу углы могут быть смежными или вертикальными. Согласно определению, смежными углами называют такую пару, у которой одна сторона принадлежит обеим фигурам, а два других луча образуют прямую линию. Вертикальными же считаются углы, стороны которых дополняют друг друга до прямых линий. Они всегда градусно равны.
Из угла всегда можно провести линию, делящую его на две равные части. Такой луч, исходящий из вершины, называют биссектрисой. А это значит, что после его проведения образуется два равных смежных угла, обладающих одинаковыми свойствами.
Единицей измерения разворота фигуры является градусная мера. Если в нём содержится нецелое количество градусов, то используются минуты и секунды. Так, в одном градусе содержится 60 минут, а в одной минуте 60 секунд.
Основные факты
Вычисление элементов треугольников используется в географии, строительстве, астрономии, мореплавании и других науках и технике, например, кинематике, механике, оптике, при проведении гармонического анализа. Для успешного решения задач по теме нужно знать следующие факты:
Кроме этого, нужно учесть, что отличие смежных углов от вертикальных заключается в том, что сумма первых равняется 180 градусам, а вторые всегда равняются друг другу.
Иными словами, для пары углов смежным будет угловой элемент, равный у = (180 — x) градусам. Причём при пересечении двух лучей получается четыре смежные пары, из которых две будут вертикальными. Это основополагающие факты, на которых построена геометрия и тригонометрия. Зная их, можно переходить к изучению таких сложных наук, как, например, планиметрия и стереометрия.
Свойства и теорема
С теоремой о смежных углах знакомят на уроках геометрии в седьмом классе средней школы. Исходя из того, что такие фигуры имеют общую вершину и сторону, можно предположить, что сумма углов будет равняться 180 градусам. При этом каждый из них способен дополнить другой до развёрнутого. Равенство суммы 180 градусам и является основной теоремой.
На основании рассмотренной теоремы вытекают три свойства смежных углов:
А также существуют следствия или, как их ещё называют, тригонометрические соотношения. В их основе лежит то, что косинусы и тангенсы рассматриваемых фигур всегда будут равны по величине, но противоположны по знаку. При этом если необходимо построить угол, смежный с существующим, то нужно одну из сторон продлить за вершину.
Указанные свойства используются и при определении подобия треугольников. Например, согласно первому признаку, если два угла равностороннего или разностороннего треугольника совпадают с двумя углами другого, то они подобны. Случается, что по одну сторону от линии могут находиться несколько лучей, имеющих общую вершину. Изобразив такую ситуацию на чертеже, легко убедиться, что если все полученные углы сложить, то их сумма будет соответствовать значению двух прямых, а также из них всегда можно образовать смежную пару.
Этот свойство используется тогда, когда необходимо определить, чему равняется сумма углов вокруг конкретно взятой вершины. То есть продолжив одну из сторон за рассматриваемую вершину, можно получить две группы: первую — сумма которых равна двум прямым, и вторую — сумма которых также равна двум прямым углам. Отсюда следует, что сумма вокруг общей вершины будет равняться прямым углам.
Примеры решения задач
Решать задачи по заданной теме проще, если выполнять чертежи. С их помощью, а также зная свойства и теоремы, найти правильный ответ не составит особого труда. Существуют типовые задания, позволяющие закрепить пройденный материал и на практике применить полученные знания. Вот наиболее интересные из них с подобным решением:
Уметь правильно решать задачи важно, так как в дальнейшем эти знания помогают находить такие важные элементы, как площадь треугольника, зная только разворот и высоту произвольной фигуры, а далее уже легко будет вычислить и объём. Кроме этого, правила смежности часто используются в тригонометрии при нахождении синусов и косинусов.
Вычисление на онлайн-калькуляторе
Нахождение градусной меры смежных элементов обычно не вызывает проблем и относится к элементарным действиям при исследованиях различных треугольников, например, остроугольных или равнобедренных. Но при работе с нецелыми числами или в процессе обучения имеет смысл использовать так называемые онлайн-калькуляторы.
Это обычные интернет-сайты, содержащие встроенную программу для автоматических расчётов. Пользоваться ими сможет каждый, кто имеет компьютер или гаджет с установленным веб-обозревателем. Вся работа с сервисом сводится к загрузке его интернет-страницы и заполнения специальной формы, в которую вводятся исходные данные. Затем нажимается интерактивная кнопка и на дисплее появляется ответ.
Вычисление обычно занимает пару секунд, а появление ошибки исключено. Кроме этого, на сайтах, предлагающего такого рода услуги, содержится весь необходимый для расчётов теоретический материал. Поэтому даже слабо подготовленный по теме пользователь сможет понять, откуда и каким образом получился тот или иной ответ.
Из множества сервисов, существующих в русскоязычном сегменте всемирной сети, можно выделить следующие:
Эти сервисы доступны бесплатно, имеют интуитивно понятный интерфейс на русском языке.
При этом пользователям предлагается ознакомиться с развёрнутым решением, то есть указан поэтапный расчёт. Для удобства на страницах даётся не только необходимая теория, но и ряд типовых примеров с подробным описанием действий.
Следует отметить, что указанные сервисы могут находить ответ для любой сложности математической задачи. Особенно востребованными становятся такие вычисления в инженерии, связанные с тригонометрическими функциями. Ведь для таких расчётов важны точность и время, что вполне могут обеспечить онлайн-калькуляторы.
Урок по геометрии в 7-м классе по теме «Смежные углы»
Разделы: Математика
Цель урока: изучить понятие смежных углов и их свойства, применять свойство смежных углов при решении простейших задач.
Задачи:
Ожидаемые результаты:
Тип урока: урок открытия нового знания.
Педагогическая технология: проблемное обучение, использование приемов технологии критического мышления.
Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, экран, презентация, карточки с заданиями для групповой работы, карточки для рефлексии, дидактический материал.
Ход урока
Конспект урока
Этап урока
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
1. Оргмомент.
Цель: вовлечение учащихся в учебный процесс
Здравствуйте, ребята. Садитесь. Я рада вас всех видеть. Проверьте, все ли готово к урока. Хорошо. Начинаем работу.
Готовятся для работы, включаются в деловой ритм урока, обсуждение эпиграфа
2. Актуализация опорных знаний.
Цель: активизация мотивационной деятельности
В геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать различные особенности геом. фигур. И пусть эпиграфом урока будут слова фран. Математика Паскаля «Доводы, до которых человек додумывается сам, обычно убеждают его больше, нежели те, которые пришли в голову другим» (слайд 1) Как вы их понимаете? И сегодня добывать знания вы будете сами.
Ребята, а часто в нашей речи встречается слово «угол»?
Где употребляется выражение «пробить угловой»?
Как понимаете высказывание «встретились на углу»
А теперь от представления перейдем к научному.
Сейчас мозговой штурм, работаем в парах. На листочке (лежат чистые на партах) а учитель на доске посередине запишем ключевое слово «угол», вокруг запишем слова, понятия, выражения, идеи, факты, виды углов, все что имеют отношения к ключевому слову. Но предварительно вспомним определение угла.
А вот о каких углах пойдет сейчас речь, мы постараемся выяснить вместе.
Живой уголок
Классный уголок
Поставить в угол
Загнать в угол
Составляют кластер, обсуждая действия в парах
3. Актуализацияифксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии.
Цель: подготовка к усвоению новых знаний
В начале заглянем в математическую корзину, узнаем, какие загадки нам приготовила царица все наук математика (ножницы, веточка).Начнем с веточки. Есть здесь углы? Сколько? Какие? Что общего у острого и тупого углов? Как можно эти углы назвать? Если есть затруднения, посмотрим картинки (слайд 2–5)
Решают проблему.
Находят различия на чертежах, дают определение смежных углов.
Отвечают на вопрос
4. Целеполагание и мотивация
О каких же углах сегодня пойдет речь?
Как сформулируем тему урока?
Какие цели мы поставим на нашем уроке?
Формулируют тему и цель урока, записывают в тетрадь
5. Объяснение нового материала.
Цель: открытие новых знаний
Рассмотрим рисунки а, б, в на доске:
1. Что общего у всех пар углов?
2. Чем отличаются пары а и б?
3. Чем отличаются пары углов б и в?
4. А как мы назвали углы на рисунке в?
Значит углы 5 и 6 смежные. Итак, давайте попробуем дать определение смежных углов
Отвечают на вопросы учителя в ходе устных и письменных упражнений.
Дают определение смежных углов
6. Первичное закрепление.
Цель: восприятие учащимися и первичное осознание нового учебного материала
1. работают в парах, находят смежные углы, аргументируют;
2. находят смежные углы в геометрических фигурах, проверка у доски;
3.строят смежные углы, делают вывод об их градусной мере, выводят свойство смежных углов;
4. работают с учебником
7. Включение в систему знаний.
Цель: выявление пробелов, неверных представлений и их коррекция
Вернемся к целям урока (слайд12).
1. дать определение смежных углов
2. изучить свойства смежных углов
И самое главное,
3. научиться решать задачи с применением этих свойств.
Но перед этим проведем зарядку для глаз, снимем напряжение и будем работать дальше (слайд 13) Следим глазами за движением на экране.
Следующее задание покажет как вы хорошо усвоили новую тему. Тест. В тетради записываем букву, соответствующую верному утверждению (слайды 14–20).
Взаимопроверка, оцениваем работу соседа, меняемся тетрадями, на полях карандашом ставим оценку, за 1 ошибку «4», за 2 ошибки ставим «3». (слайд 21).
Много ли у нас пятерок?
Задача 1. (слайд 22) поработаем вместе с подробным и обоснованном оформлением.
Задача 2. (работа в группах по 4 человека)
Но прежде вспомним, что означает равенство ˂1:˂2=4:6? Выбираем любой способ решения.
(проверка на доске)
Физкультминутка
Проверяют друг друга и выставляют оценку на полях,решают задачу, далее работают в группах
8. Информация о домашнем задании.
Цель: обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания
Запись домашнего задания с комментированием и указаниями.
П.11 №55 (на построение смежных углов), 58, 61(а,г) (нахождение смежных углов); найти рисунки и фото с примерами смежных углов (задание творческого характера)
Записывают домашнее задание
9. Рефлексия.
Цель: выявление уровня осознания содержания пройденного
1. Выполнили цели урока?
Отвечают на вопросы
Выполняют творческую работу в парах, представляют результат деятельности
Смежные углы
Тригонометрические соотношения
Синусы смежных углов равны. Их косинусы и тангенсы равны по величине, но имеют противоположные знаки (за исключением неопределённых значений).
См. также
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Смежные углы» в других словарях:
Смежные углы — углы, у которых одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (на рис. углы 1 и 2 смежные). Рис. к ст. Смежные углы … Большая советская энциклопедия
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ — углы, имеющие общую вершину и одну общую сторону, а две др. их стороны лежат на одной прямой … Большая политехническая энциклопедия
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ — см. Угол … Большой Энциклопедический словарь
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ — СМЕЖНЫЕ УГЛЫ, два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла … Научно-технический энциклопедический словарь
смежные углы — см. Угол. * * * СМЕЖНЫЕ УГЛЫ СМЕЖНЫЕ УГЛЫ, см. Угол (см. УГОЛ) … Энциклопедический словарь
Смежные углы — (Angles adjacents) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие С. углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через вершину … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ — см. Угол … Естествознание. Энциклопедический словарь
Вертикальные углы — Две прямые пересекаются, создавая пару вертикальных углов. Одна пара состоит из углов A и B, другая из C и D. В геометрии, два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух … Википедия
Комплементарные углы — Пара комплементарных углов, дополняющих друг друга до 90 градусов Комплементарные углы это пара углов, которые дополняют друг друга до 90 градусов. Если два комплементарных угла являются соседними (т.е. имеют общую вершину и разделяются только… … Википедия
Дополнительные углы — Пара дополнительных углов, дополняющих друг друга до 90 градусов Дополнительные углы это пара углов, которые дополняют друг друга до 90 градусов. Если два дополнительных угла являются с … Википедия