Что значит симметричное число

Что значат симметричные числовые совпадения

Люди постоянно пытаются привить обычным числовым совпадениям тот или иной смысл. У каждой цифры есть своя энергетическая вибрация, которая и создает определенный поток. Как трактовать появление перед вашими глазами одних и тех же числовых совпадений на часах?

Совпадения в первой половине суток

Для начала познакомимся с толкованием совпадений, возникающих в первой половине суток. В этом случае возможны следующие вариации:

• 00:00 — в этом случае можно загадывать желание, которое обязательно сбудется. Причем оно исполнится только в той ситуации, когда не будет нести никакого вреда людям;
• 01:01 — в ближайшее время можно смело ожидать каких-либо приятных известий от мужчины;
• 01:10 — ваши начинания не дадут того результата, на который вы рассчитываете;
• 01:11 — повышается вероятность выгодного предложения со стороны;
• 02:02 — в ближайшем будущем стоит рассчитывать на приглашение на довольно веселое мероприятие;
• 02:20 — остерегайтесь провокаций и учитесь подавлять собственный гнев;
• 02:22 — в скором времени вы узнаете некоторую тайну;
• 03:03 — вы найдете свою вторую половинку;
• 03:30 — этот день будет сплошным разочарованием;
• 03:33 — крайне благоприятный день;
• 04:04 — необходимо взглянуть на ситуацию под другим углом, там и будет сокрыто решение проблемы;
• 04:40 — крайне неудачный день;
• 04:44 — конфликт на работе, проблемы в общении со старшим поколением;
• 05:05 — высок риск провокаций со стороны недругов;
• 05:50 — вам нужно уберечься от огня и воды;
• 05:55 — вы встретите умного человека, советы которого помогут в жизни;
• 06:06 — одиноким людям в этот день можно рассчитывать на встречу со своей второй половинкой;
• 07:07 — опасность;
• 08:08 — отличный день для организации рабочих процессов;
• 09:09 — высок риск кражи;
• 10:01 — знакомство с влиятельной персоной;
• 10:10 — позитивные перемены в жизни;
• 11:11 — у вас выраженная зависимость от вредных привычек или деструктивного общения.

Вот такие примеры. Верить в них или нет? Часто мудрость наших предков до сих пор не поддается детальному анализу.

Совпадения во второй половине суток

Теперь же настал черед поговорить о различных числовых совпадениях, возникающих непосредственно во второй половине суток.

В таком случае возможны следующие вариации:

• 12:12 — успешный день для личной жизни;
• 12:21 — необычное знакомство;
• 13:13 — козни врагов;
• 13:31 — исполнится самое сокровенное желание;
• 14:14 — успех в любовных делах;
• 14:41 — небольшие неприятности и сложности;
• 15:15 — ценный совет от близкого человека;
• 16:16 — необходимо внимательнее отнестись к транспорту;
• 17:17 — высок риск грабежа;
• 18:18 — опасность на дороге;
• 19:19 — успех в начинании нового проекта;
• 20:02 — высока вероятность внутрисемейных конфликтов;
• 20:20 — ссоры с родными и близкими;
• 21:12 — новый этап в жизни;
• 21:21 — крайне страстный роман;
• 22:22 — новые дела и свершения;
• 23:23 — опасность от нового знакомого;
• 23:32 — высок риск болезней.

В числовых совпадениях можно выявить как положительные, так и полностью отрицательные моменты. Поэтому в определенных ситуациях себя лучше поберечь.

Итоги

Эти числовые совпадения действуют только тогда, когда человек их обнаруживает чисто случайно. Специально караулить и подгадывать под нужный момент нельзя.

Поделись этой интересной статьей с друзьями, пусть они тоже будут в курсе!

Источник

В общем, каждая структура в математике будет иметь свой собственный вид симметрии, многие из которых перечислены в указанных выше пунктах.

СОДЕРЖАНИЕ

Симметрия в геометрии

Симметрия в исчислении

Четные и нечетные функции

Четные функции

Странные функции

Опять же, пусть f ( x ) будет вещественнозначной функцией действительной переменной, тогда f будет нечетным, если следующее уравнение выполняется для всех x и -x в области определения f :

Интеграция

Симметрия в линейной алгебре

Симметрия в матрицах

Согласно определению матричного равенства, которое требует, чтобы элементы во всех соответствующих позициях были равны, одинаковые матрицы должны иметь одинаковые размеры (поскольку матрицы разных размеров или форм не могут быть равными). Следовательно, симметричными могут быть только квадратные матрицы.

Например, следующая матрица 3 × 3 является симметричной:

Каждая квадратно- диагональная матрица симметрична, поскольку все недиагональные элементы равны нулю. Точно так же каждый диагональный элемент кососимметричной матрицы должен быть равен нулю, поскольку каждый является собственным отрицательным.

Симметрия в абстрактной алгебре

Симметричные группы

Симметричные многочлены

Примеры

В двух переменных X ₁ и X ₂ одна имеет симметричные многочлены, такие как:

Симметричные тензоры

Теория Галуа

Автоморфизмы алгебраических объектов

Примеры

Симметрия в теории представлений

Симметрия в квантовой механике: бозоны и фермионы

В квантовой механике у бозонов есть представители, симметричные относительно операторов перестановки, а у фермионов есть антисимметричные представители.

обязательно антисимметричен. Чтобы доказать это, рассмотрим матричный элемент:

Первый и последний члены в правой части являются диагональными элементами и равны нулю, а вся сумма равна нулю. Таким образом, элементы матрицы волновых функций подчиняются:

Симметрия в теории множеств

Симметричное отношение

Симметрия в метрических пространствах

Изометрии пространства

Изометрии использовались для унификации рабочего определения симметрии в геометрии и для функций, вероятностных распределений, матриц, строк, графиков и т. Д.

Симметрии дифференциальных уравнений

Для обыкновенных дифференциальных уравнений знание соответствующего набора симметрий Ли позволяет явно вычислить набор первых интегралов, что дает полное решение без интегрирования.

Симметрии могут быть найдены путем решения связанной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение этих уравнений часто намного проще, чем решение исходных дифференциальных уравнений.

Симметрия в вероятности

В других случаях, таких как «взятие случайного целого числа» или «взятие случайного действительного числа», нет вообще никаких распределений вероятностей, симметричных относительно перемаркировки или обмена одинаково длинных подинтервалов. Другие разумные симметрии не выделяют одно конкретное распределение, или, другими словами, не существует уникального распределения вероятностей, обеспечивающего максимальную симметрию.

Возможная симметрия случайности с положительными результатами состоит в том, что первое применяется к логарифму, т. Е. Результат и его обратная величина имеют одинаковое распределение. Однако эта симметрия не выделяет однозначно какое-либо конкретное распределение.

Для «случайной точки» на плоскости или в пространстве можно выбрать начало координат и рассмотреть распределение вероятностей с круговой или сферической симметрией соответственно.

Источник

Что такое симметрия и асимметрия?

Симметрия ассоциируется с гармонией и порядком. И не зря. Потому что на вопрос, что такое симметрия, есть ответ в виде дословного перевода с древнегреческого. И получается, что она означает соразмерность и неизменность. А что может быть упорядоченней, чем строгое определение местоположения? И что можно назвать более гармоничным, чем то, что строго соответствует размерам?

Что означает симметрия в разных науках?

Биология. В ней важной составляющей симметрии является то, что животные и растения имеют закономерно расположенные части. Причем в этой науке не существует строгой симметрии. Всегда наблюдается некоторая асимметрия. Она допускает то, что части целого не совпадают с абсолютной точностью.

Физика. Система тел и изменения в ней описываются с помощью уравнений. В них оказываются симметричные составляющие, что позволяет упростить все решение. Это выполняется благодаря поиску сохраняющихся величин.

Математика. Именно в ней в основном и дается разъяснение, что такое симметрия. Причем большее значение ей уделяется в геометрии. Здесь симметрия — это способность к отображению у фигур и тел. В узком смысле она сводится просто к зеркальному отображению.

Как определяют симметрию разные словари?

На вопрос, что такое симметрия, словарь Ожегова уже говорит об одинаковости в положении частей относительно точки, прямой или плоскости.

В словаре Ушакова упоминается еще и пропорциональность, а также полное соответствие двух частей целого друг другу.

Когда говорят об асимметрии?

Приставка «а» отрицает смысл основного существительного. Поэтому асимметрия означает то, что расположение элементов не поддается определенной закономерности. В ней отсутствует всякая неизменность.

В живой природе асимметрия играет важную роль. Причем она может быть как полезной, так и вредной. К примеру, сердце помещается в левую половину груди. За счет этого левое легкое существенно меньшего размера. Но это необходимо.

О центральной и осевой симметрии

В математике выделяют такие ее виды:

Что такое ось и центр симметрии? Это точка или прямая, относительно которой любой точке тела найдется другая. Причем такая, чтобы расстояние от исходной до получившейся делилось пополам осью или центром симметрии. Во время движения этих точек они описывают одинаковые траектории.

В ситуациях, когда необходимо найти центр симметрии, нужно поступать следующим образом. Если фигур две, то найти у них одинаковые точки и соединить их отрезком. Потом разделить пополам. Когда фигура одна, то помочь может знание ее свойств. Часто этот центр совпадает с точкой пересечения диагоналей или высот.

Какие фигуры являются симметричными?

Геометрические фигуры могут обладать осевой или центральной симметрией. Но это не обязательное условие, существует множество объектов, которые не обладают ею вовсе. К примеру, параллелограмм обладает центральной, но у него нет осевой. А неравнобедренные трапеции и треугольники не имеют симметрии совсем.

Если рассматривается центральная симметрия, фигур, обладающих ею, оказывается довольно много. Это отрезок и круг, параллелограмм и все правильные многоугольники с числом сторон, которое делится на два.

Центром симметрии отрезка (также круга) является его центр, а у параллелограмма он совпадает с пересечением диагоналей. В то время как у правильных многоугольников эта точка тоже совпадает с центром фигуры.

Если в фигуре можно провести прямую, вдоль которой ее можно сложить, и две половинки совпадут, то она (прямая) будет являться осью симметрии. Интересно то, сколько осей симметрии имеют разные фигуры.

К примеру, острый или тупой угол имеет только одну ось, которой является его биссектриса.

Если нужно найти ось в равнобедренном треугольнике, то нужно провести высоту к его основанию. Линия и будет осью симметрии. И всего одной. А в равностороннем их будет сразу три. К тому же, треугольник обладает еще и центральной симметрией относительно точки пересечения высот.

У круга может быть бесконечное число осей симметрии. Любая прямая, которая проходит через его центр, может исполнить эту роль.

Прямоугольник и ромб обладают двумя осями симметрии. У первого они проходят через середины сторон, а у второго совпадают с диагоналями.

Квадрат же объединяет предыдущие две фигуры и имеет сразу 4 оси симметрии. Они у него такие же, как у ромба и прямоугольника.

Источник

Количественные характеристики отношений

Теория частично упорядоченных множеств содержит ещё немало нерешенных проблем. Даже на вопрос о числе таких множеств, которые могут быть построены из заданного числа n элементов, не существует еще ответа, если n≥6. Прямыми подсчетами удалось лишь установить, что если S(n) — число частично упорядоченных множеств, то S(2) = 3, S(3)= 19, S(4) = 219, S(5) = 4231, а числа Sн(n) для неизоморфных множеств найдены только для n=4 и n=5 элементов: Sн(4) = 16 и Sн(5) = 63.

Мы научились вычислять количества отношений над большими множествами-носителями и перечислять отношения, но строгих формул даже для количества S(n) получить не удалось. Я вспоминаю это время как период интенсивного творческого роста своего и сотрудников, когда почти после каждой выдачи ЭВМ результатов и их анализа возникали идеи по модификации, совершенствованию модели, алгоритмов, вносились исправления для проверки очередных гипотез, но чего-то существенного (возможно мозгов) не хватало.

То, что удалось открыть (получить) привожу ниже по тексту. Кстати, результаты других зарубежных исследователей совпадали с нашими, но они сообщали только о количестве S(n) и не упоминали о перечислении частичных порядков.

Начинали мы с малого. Полный список бинарных отношений для любого n-множества-носителя известен и легко может быть получен. Отыскивался ответ на вопросы: сколько при заданном n существует отношений с фиксированным одним свойством, с парой свойств, с тройкой и т. д. Дело в том, что располагая этими данными, можно было строить не переборные, а прямые алгоритмы перечисления таких отношений, которые, следуя правилу «бритвы Оккама», не производят лишних сущностей.

Здесь дальше пойдет речь о получении таких результатов для бинарных отношений (БО).
Итак, имеется n-множество-носитель БО и полный список всех БО, а также список свойств БО:

— рефлексивность; антирефлексивность; частичная рефлексивность;
— симметричность; антисимметричность; асимметричность; несимметричность;
— транзитивность; антитранзитивность;
— слабый порядок; строгий порядок; частичный порядок; совершенный (линейный);
— толерантность;
— эквивалентность;
— цикличность;
— полнота.

Количественные характеристики типов бинарных отношений

Отношения могут обладать не только одним конкретным свойством, но и совокупностями пар, троек и т. д. свойств. Использование таких отношений на практике обычная ситуация. Так, например, каждому отношению толерантности (безразличия) присущи два свойства: симметричность и рефлексивность. Такая совокупность свойств определяет тип отношений толерантности.

Другой тип отношений возникает из отношений толерантности, если потребовать от таких отношений выполнимость расширенного списка свойств: симметричность, рефлексивность и транзитивность. Понятно, что возможно не все отношения толерантности окажутся транзитивными, но те, которые будут обладать набором трех названных свойств, образуют новый тип отношений, называемых эквивалентностями.

Множество отношений эквивалентности оказывается вложенным в множество отношений толерантности. Для примера в каталоге эти типы отношений выделены заливкой (8 толерантностей и только 5 из них эквивалентности). Возникает вопрос о количестве БО, обладающих набором свойств или одним из них.

Рефлексивность

Отношение α = на множестве A = <> является рефлексивным (обладает свойством рефлексивности), если каждая пара () удовлетворяет данному отношению. Здесь Å — график (не граф) отношения .

Другими словами, главная диагональ матрицы графика Å отношения заполнена единицами. На графе рефлексивного отношения все вершины имеют петли. Отношение является антирефлексивным, если ни для какого не выполняется . В этом случае матрица антирефлексивного отношения α на главной диагонали не имеет ни одной единицы, т.е. там размещаются нули, а соответствующий граф не имеет петель ни в одной вершине.

Наконец, отношение α является нерефлексивным, если для некоторого выполняется, а для других не выполняется. Такие отношения будем считать частично рефлексивными. Матрица нерефлексивного отношения на главной диагонали содержит частично единицы, частично – нули. Граф такого нерефлексивного отношения имеет петли не во всех вершинах.

Классическим примером рефлексивного отношения является главная диагональ матричного представления, единичное (E = Δ) отношение, т.е. отношение равенства (в каталоге № 68). График этого отношения образован точками (парами), лежащими на главной диагонали матрицы и соответствующими парами , никаких других точек график этого отношения не содержит.

Матричное представление этого отношения соответствует единичной матрице (E). Граф диагонального отношения образован вершинами, соответствующими элементам из множества А, которым приписаны петли. Часто диагональное отношение обозначают символом .

В случае рефлексивного отношения, соответствующий ему граф также является рефлексивным, в случае антирефлексивного отношения его граф антирефлексивный. Если для некоторого отношения α известно, что оно рефлексивное, то дополнение ᾱ всегда антирефлексивное, и .

Для антирефлексивного отношения β справедливо .

Пример 1. Отношение ≤ (не больше) на множестве N является рефлексивным, а отношение на множестве A является симметричным (обладает свойством симметрии относительно прямой, совпадающей с главной диагональю графика Å), если для некоторой пары из следует . Другими словами, для любой пары выполняется либо в обе стороны, либо совсем не выполняется.

На графе симметричного отношения, если пара вершин i и j связана дугой (i, j), то она обязательно связана и дугой (j, i). Граф симметричного отношения является симметричным ориентированным или просто неориентированным, обыкновенным графом.

Отношение α является антисимметричным, если из и следует что i=j.

Матрица антисимметричного отношения содержит не обязательно все единицы на главной диагонали и содержит единицы в одной из двух симметричных относительно главной диагонали позиций: над диагональю либо под диагональю. Граф этого отношения образован вершинами с петлями для всех или некоторых из них и, если пара вершин (i, j) в графе связана, то всегда дугой только одного направления. Заметим, что для симметричного и антисимметричного отношения некоторые диагональные точки могут либо включаться в него, либо нет.

Если антисимметричное отношение не содержит ни одной диагональной точки, то говорят, то такое отношение является асимметричным, т.е. оно всегда антирефлексивно.

Пример 2. Отношение (≤) на множестве N – является антисимметричным, а отношение ( содержит и любые последовательности $» data-tex=»inline»/>, образованные перестановкой членов множества Х.

Заметим также, что асимметричное отношение всегда антирефлексивно; нерефлексивное и транзитивное бинарное отношение всегда асимметрично. Для практики и выполнения вычислений интерес представляет количество отношений, обладающих определенным свойством, связанным с симметрией графика. Выполним подсчет таких отношений для произвольного множества А мощностью |A| = n.

В своих рассуждениях будем опираться на свойство рефлексивности, которое, как и многие другие, изучено еще недостаточно глубоко. Даже поверхностный анализ множества всех отношений позволяет сделать вывод о том, что оно всегда может быть разделено на классов одинакового объема, а состав отношений, образующих эти классы, подчиняется определенной закономерности.

Множества отношений во всех классах имеют одинаковое устройство, отличаются только числом и составом диагональных точек, все разнообразие которых определяется числом . Определим состояние диагонали отношения при фиксированном n количеством и составом точек на ней и принадлежащих конкретному отношению. Ясно, что при фиксированном множество состояний заполненности ячеек диагонали определяется булеаном , где ∆ – полное множество точек диагонали графика декартова квадрата мощностью |∆| = n.

Таким образом, в теории отношений традиционно рассматривались и изучались только два крайние состояния: либо все точки диагонали включены в отношение и оно является рефлексивным, либо отношение не содержит ни одной диагональной точки, и тогда оно антирефлексивно.

Будем называть все промежуточные состояния с одной диагональной точкой, с двумя и так далее частичной рефлексивностью k-го порядка k=0(1)n, а отношения такого вида частично рефлексивными. Так частично рефлексивное отношение порядка ноль – это антирефлексивное отношение, а частично рефлексивное отношение порядка n- это просто рефлексивное отношение.

Заметим, что все состояния могут быть упорядочены как элементы булеана множества ∆. Предлагаемый подход позволяет наметить путь анализа раз-личных свойств и подсчета числа отношений, обладающих отдельными свойствами или их совокупностями.

Пусть рассматриваются отношения рефлексивные и симметричные. Симметричность отношения определяется наличием пар точек в нем, которые расположены в матрице отношения симметрично относительной диагонали. При произвольном n таких пар существует . Обозначим множество этих пар символом S.

Тогда все разнообразие симметричных и рефлексивных отношений будет определяться булеаном . Множество таких отношений более подробно будет рассматриваться несколько позже, а здесь скажем, что оно образует пространство безразличия или толерантности. Ясно, что число отношений толерантности определяется мощностью булеана , т.е. .

Ниже в табл. 1 приведены значения числа толерантных отношений для начальных значений n из отрезка натурального ряда чисел.

Таблица 1. Количества толерантных БО

где n число диагональных точек отношения. В табл. 2 приводятся значения |SM| для некоторых n.

Таблица 2. Количества симметричных БО

Теперь перейдем к подсчету асимметричных отношений, множество которых будем обозначать через AS. Эти отношения характеризуются тем, что в них отсутствуют все точки диагонали и ни одна из клеток матрицы отношения, лежащих вне диагонали, не имеет симметричной. Другими словами, это множество антирефлексивных и антисимметричных отношений.

Мощность этого множества может быть определена из выражений

где К =.

Получим приведенную формулу для подсчета мощности множества AS — асимметричных отношений при заданной мощности носителя |А| = n. По определению все отношения множества AS антирефлексивны, следовательно, главная диагональ в матрицах отношений пуста, а единичные элементы могут размещаться лишь в половине оставшихся позиций матрицы, т.е. в клетках.

Итак, предположим, что асимметричное отношение содержит k-элементов (точек, упорядоченных пар) 0 ≤ k ≤ . Количество отношений с таким числом элементов, очевидно, будет равно числу сочетаний из по k.

При этом с каждым из k элементов свяжем пару симметричных позиций: одна над главной диагональю матрицы, другая – под диагональю.Поскольку в каждой паре элемент может быть в одной из двух позиций, то для размещения k элементов возникает булеан возможностей.

Таким образом, – это число выборов k пар позиций из имеющихся пар в матричном представлении отношений, а – количество возможностей расставить k элементов по позициям в каждой паре. Количество отношений, содержащих k элементов определяется как произведение числа выборов пар позиций на количество вариантов расстановки этих k элементов, т.е. .

Полное же число отношений в множестве AS получается при суммировании полученных произведений по всем значениям k от нуля до максимально допустимого K =, т.е.

где К =.

Пример 3. Пусть мощность множества носителя |А| = 5. Подсчитаем по найденной формуле число асимметричных отношений. Определим значение верхнего предела К в сумме, К ==10. Данные подсчета слагаемых суммы приведены в табл. 3.

Существует другой способ подсчета мощности множества AS. Он основан на подсчете числа отображений множества пар симметричных позиций во множество состояний, в котором может быть каждая такая пара. В асимметричном отношении имеется пар позиций.

Каждая позиция в паре клеток может быть занята 0 или 1, но для пары позиций имеются S = 3 состояния, которые обозначим следующим образом:

— 1, если элемент (1) помещен над диагональю;
— 2, если элемент (1) помещен под диагональю;
— 3, если обе позиции пусты (заняты нулями).

Таким образом, пара симметричных позиций (в матрице отношения) может быть в каждом
отношении в одном из трех состояний. Формула для подсчета всех возможных отображений множества пар позиций (обозначим его символом K ) в множество S состояний имеем:
|AS| =|S|^<|K|>$» data-tex=»inline»/>

Пример 4. Для условий предыдущего примера имеет вид |A| = 5, K=|K| = |S| = 3, тогда, .

Результаты расчетов двумя разными способами совпадают, что лишний раз убеждает в правильности полученных формул. Таким образом, получено соотношение

где К =

Приведем в табл. 4 числа асимметричных отношений |AS| для небольших значений n.

Таблица 4. Количества асимметричных БО

Имея формулу для определения числа асимметричных отношений, можно получить другую – для подсчета числа антисимметричных отношений, так как наличие или отсутствие диагональных точек не меняет свойства антисимметричности отношения.

Итак, обозначим множество антисимметричных отношений символом ANS, тогда мощность этого множества определится по формуле

где К =

Ниже приводится табл. 5, содержащая значения (ANS) при n = 3(1)5.

Таблица 5. Количества антисимметричных БО

В дальнейшем нам потребуются понятия, которые удобно ввести здесь.

Транзитивность (лат. Transitivus – переходный, от transitus – переход)

Другими словами, для транзитивного отношения из наличия в его составе элементов () и () следует, что оно содержит, обязательно и элемент ( ). Для графа отношения это свойство означает, что если пара вершин ( ) связана ориентированным путем, проходящим через вершину k и образованным 2-мя последовательными дугами ( ), ( ), то эти же вершины непосредственно связаны и единственной дугой (). Для элементов матрицы [] транзитивного отношения α из следует .

Определение свойства транзитивности для бинарных отношений предполагает, что отношение содержит не менее трех элементов (упорядоченных пар). А как это свойство проявляется в отношениях одноэлементных, пустых или содержащих только два элемента?

Все одноэлементные и пустое отношение транзитивны. Двухэлементное отношение может быть транзитивным и нетранзитивным, если пары, входящие в него, содержат общий элемент j. Дуги графа, соответствующие упорядоченным парам направлены в одну сторону (образуют ориентированный не обеспечивающий транзитивность маршрут).

Например, пусть ( )є α и ( )є α. Сформулированное определение требует: чтобы отношение α было транзитивным, обязательно наличие в нем третьей пары (дуги), а именно, ( ), но так как ее нет, то свойство транзитивности для α не выполнено.

Если, как и раньше, отношение содержит только две пары с общим элементом , но такие, что общий элемент находится в одинаковой позиции в обеих парах (), ( ) или (),
( ), а дуги на графе направлены в разные стороны, то такое отношение транзитивно, так как включение третьей пары в состав отношения не требуется.

Транзитивным отношение будет и в случае, когда две пары не имеют общих элементов. Примерами транзитивных отношений являются:« равенство » (=), так как из i = k, k = j вытекает i = j; « i больше j»; в геометрии – «параллельность прямых». Примеры не транзитивных отношений: «перпендикулярность прямых» в геометрии; « i не равно j».

В литературе, посвященной отношениям, можно встретить разнообразные понятия, характеризующие транзитивность: слабая транзитивность, сильная транзитивность, отрицательная транзитивность, антитранзитивность, слабая антитранзитивность, обобщенная транзитивность, транзитивное замыкание и некоторые другие. Здесь сделана попытка систематизировать многообразные оттенки проявления свойства транзитивности в отношениях.

Для транзитивного отношения α отношение также всегда является транзитивным. Пересечение произвольного числа транзитивных отношений является транзитивным отношением. Если рассматривать отношение ᾰ, которое является пересечением всех транзитивных отношений, содержащих отношение α, то ᾰ называется транзитивным замыканием отношения α.

Транзитивное замыкание ᾰ может быть построено для любого отношения α в соответствии с правилом из следует:

.

Отношение ᾰ является наименьшим транзитивным отношением, содержащим α. Если α транзитивно, то оно совпадает со своим транзитивным замыканием α=ᾰ и наоборот.

При изображении транзитивного бинарного отношения ориентированным графом можно изображать не весь орграф, а лишь его транзитивный остов, т.е. не изображаются дуги, соединяющие начало и конец каждого маршрута длиной более единицы. В этом случае говорят, что для отношения α взят транзитивный остов графа. Эта операция по существу является обратной к операции транзитивного замыкания, при которой начало и конец каждой цепи соединяются дугой.

Относительно операции объединения отношений в общем случае свойство транзитивности не выполняется. Объединение двух транзитивных отношений и является транзитивным тогда и только тогда, когда одно из них транзитивно относительно другого. Для пары бинарных отношений и можно рассматривать транзитивность одного из них относительно другого.

Так является транзитивным относительно при выполнении условий:

1) из следует ;
2) из следует .

В случае, когда относительная транзитивность является обычной транзитивностью.

Известно следующее утверждение относительно свойств транзитивности, симметричности и асимметричности отношения. Если бинарное отношение транзитивно, то его симметричная часть и асимметричная часть также транзитивны.

Обратное выполняется лишь в том случае, если , транзитивны и транзитивно относительно . В общем случае из транзитивности и не следует транзитивность α.

Композиция транзитивного отношения α с собой удовлетворяет соотношению α·α ⊆ α. Отношение α является отрицательно транзитивным (нетранзитивным) в том случае, если транзитивным является дополнение к нему, т.е. ᾱ. В матрице такого отношения [ ] из и следует . Отрицательная транзитивность α не исключает того, что само α может быть также транзитивным.

В этом случае говорят, что α является сильно транзитивным отношением. Элементы матрицы [ ] такого отношения характеризуются тем, что из следует , a из следует .

Наряду с сильно транзитивными отношениями рассматриваются слабо транзитивные (псевдотранзитивные), к которым относятся те из отношений, где выполняются условия из и следует . Из асимметрии и отрицательной транзитивности следует его транзитивность.

Отношение α является транзитивно полным, если для любых δ из ,
следует сравнимость и , т.е. выполняются либо либо .

Цикличность

Отношения, заданные на множестве А, могут рассматриваться с точки зрения наличия в них циклов. Удобно такое рассмотрение проводить на графах отношений. Граф циклического отношения всегда содержит, по крайней мере, один замкнутый контур (ормаршрут). При игнорировании стрелок контур превращается в цикл. Граф ациклического отношения не содержит циклов и называется ациклическим или бесконтурным.

Отношение = является циклическим, если из элементов множества А может быть образована хотя бы одна цепочка вида произвольной длины δ. График Å транзитивного замыкания для циклического отношения содержит, по крайней мере, одну пару (), а для ациклического отношения α не содержит ни одной такой пары.

Отношение = является ациклическим, если для любого δ≥1 выполняется условие из следует . В матрице[] ациклического отношения из следует i≠j. Ациклическое отношение всегда асимметрично, но обратное не верно. Другими словами, если некоторые вершины и графа α ациклического отношения соединены путем; то в графе нет дуги ().

Классическими примерами графов с таким свойством являются транзитивные турниры. Вершины таких графов допускают перенумерацию, при которой для любой дуги () номер вершины j больше, чем вершины i.

Если α – антирефлексивное транзитивное бинарное отношение, то оно ациклично. Из ацикличности и транзитивной полноты отношения следует его транзитивность.

Полнота

Свойство полноты (совершенства, линейности). Все множество отношений разделяет на неполные и полные, среди которых в свою очередь выделяются сильно полные. Будем иллюстрировать свойство полноты отношений, рассматривая графы отношения.

Граф полного отношения – полный, т.е. любые две его вершины непосредственно связаны хотя бы одной дугой, т.е. являются смежными. Поскольку каждой дуге в графе соответствует точка (элемент, пара) графика отношения, то на основании изложенного можно сформулировать определение.

Отношение = является полным (совершенным, линейным) тогда и только тогда, когда все элементы множества А являются сравнимыми или равны между собой. Таким образом, полное отношение рефлексивно. Другими словами, для любых двух элементов и справедливо .

Если в отношении α найдется хотя бы одна пара , несравнимых и неравных между собой элементов, то такое отношение является неполным. Для любого полного отношения α справедливо или из следует . Бинарное отношение α полно тогда и только тогда, когда , т.е. когда его асимметричная часть совпадает с двойственным (п.9) отношением.

Бинарное отношение α является сильно полным, когда его график совпадает с A×A. Граф такого отношения является полным графом, в котором каждая пара вершин связана ребром, а каждая вершина имеет петлю. Такой граф называют сильно полным графом. Для полного отношения α всегда выполняются соотношения и . Отношение всегда полно.

Если и полные отношения, то полно. В матрице [] полного отношения или для любых i, j, либо верны оба равенства. Отношение α является слабо полным (слабосвязным), если для любых таких, что , либо , либо .

В матрице [] слабо полного отношения для любых i ≠ j, либо , либо , либо верны оба равенства. Отношение α является транзитивно полным, если для произвольного n из следует сравнимость т.е. или .

Выполним подсчет числа полных отношений. Вначале рассмотрим задачу о линиях. Линией в матрице отношения будем называть отрезок прямой перпендикулярный главной диагонали матрицы отношений, соединяющий центры симметрично расположенных относительно этой диагонали двух ячеек (клеток) матрицы.

Если на одну линию (прямую) в матрице отношения попадают две и более пар симметричных позиций, то число линий, тем не менее, остается равным числу таких пар позиций. Полное число пар позиций при произвольном n определяется как .

Итак, в матрице для произвольного отношения над множеством А имеется множество L параллельных отрезков (линий). Обозначим концевые позиции отрезков (линий) символами Л – левая и П – правая. Имеется также |L| фишек, которые можно помещать в позиции на концах линий. Задача заключается в том, чтобы определить число способов, которыми можно было бы расставить |L| фишек так, чтобы на каждой линии было не менее одной фишки.

Понятно, что задача может быть сведена к определению числа F отображений f: L → π множества L линий в множество π позиций (п = <Л, П>). Известно, что число таких отображений определяется формулой . Конкретное отображение (образ) может иметь вид последовательности индексов для | L | позиций. Символу Л соответствует позиция под главной диагональю, а символу П, симметричная ей над диагональю.

Из определения полного отношения следует, что его график содержит не менее К точек, К = , расположенных: так, что все линии оказываются занятыми, хотя бы одной фишкой. Число k точек графика, дополнительных к минимально необходимому числу, может пробегать значение k = 0(1)К =.

При каждом фиксированном числе k точек множество выборов позиций, в которых они могут размешаться определяется значением , где К – множество незанятых позиций. Так как k дополнительных точек заполняют полностью k линий, то для обеспечения свойства полноты отношения остается заполнить К — k позиций фишками (точками из множества минимально необходимого), и число таких заполнений равно .

Выборы позиций для k дополнительных точек и способы заполнения фишками К-k линий являются независимыми. Следовательно, общее число возможностей размещения К + k точек в 2∙К позициях так, чтобы все линии были заняты хотя бы одной точкой, определится выражением

Если просуммировать это выражение по, то получим число полных отношений, которое не зависит от ситуации с размещением диагональных точек. Другими словами, это число частично рефлексивных полных отношений, например, антирефлексивных и полных рефлексивных и полных и т.п.

Пример 5. Многообразие ситуаций размещения диагональных точек определяется числом . Тогда П мощность множества всех полных отношений при фиксированном n определится по формуле

.

Для отношений с тремя обязательными свойствами

Для отношений эквивалентности с тремя обязательными свойствами. Имеется замечательный результат: каждому отношению эквивалентности над множеством из n элементов взаимно однозначно соответствует разбиение этого множества. Число таких отношений определяется формулой

, где S(n, m) — число Стирлинга 2-го рода, Bn — число
Белла или в рекуррентной форме

Для упорядоченных множеств (частичных порядков) подобные формулы не открыты и их число определяется непосредственными вычислениями, т.е. моделированием. Для малых значений n данные приведены в таблице

Таблица 6. Количественные характеристики бинарных отношений

В таблице 6. показаны: n = |A| – мощность множества-носителя;
– количество всех бинарных отношений на множестве А;
|Ин(n) | – количество классов неизоморфных отношений;
|Г(n)| – количество отношений частичного порядка;
|Гн(n)| – количество классов неизоморфны отношений частичного по-рядка;
|Гл(n)| = n! – количество отношений линейного порядка.

Заключение

В работе выполнен детальный анализ основных свойств и устройства бинарного отношения, на основе которого удалось получить количественные характеристики для БО с одним и более свойствами. Найдены и приведены оригинальные соотношения для количества некоторых типов отношений с двумя и тремя обязательными свойствами. Эти результаты открывают возможность моделирования и изучения БО и отношений более высокой арности.

Источник