Что значит сходящийся ряд

Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.

Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.

Базовые тезисы

a k является общим или k –ым членом ряда.

Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.

Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.

Мы доказали, что числовой ряд сходится.

Мы доказали, что числовой ряд расходится.

Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.

Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.

Приведем примеры для каждого случая соответственно:

Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.

Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно сходится в том случае, когда ∑ k = 1 ∞ b k также считается сходящимся.

Подробно разберем несколько характерных вариантов

Знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается условно сходящимся в том случае, если ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается сходящимся.

Особенности сходящихся рядов

Проанализируем свойства для определенных случаев

Разложим исходный вариант:

Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся

Проверим исходное выражение на выполнение условия lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Как определить сходимость знакоположительного ряда.

Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.

Как сравнивать ряды

Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.

Первый признак

Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.

Второй признак

Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 означается, что первоначальный вариант также сходится.

Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.

Третий признак

Рассмотрим третий признак сравнения.

Признак Даламбера

Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.

Определить, является ряд сходящимся или расходящимся ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k по признаку Даламбера.

Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = » open=» ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 ‘ 2 k ‘ = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0

Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 ( k + 1 ) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2 1

Ряд является сходящимся.

Следовательно, ряд является расходящимся.

Радикальный признак Коши

Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.

Определить, является ли знакоположительный ряд ∑ k = 1 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k на сходящимся.

Интегральный признак Коши

, то в случае, если несобственный интеграл ∫ a + ∞ f ( x ) d x является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.

Рассмотреть пример ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на сходимость.

Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.

Признак Раабе

Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.

Исследование на абсолютную сходимость

Расходимость знакопеременных рядов

Если ряд ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k либо расходящийся, либо условно сходящийся.

Признаки для условной сходимости

Признак Лейбница

Ряд условно сходится.

Признак Абеля-Дирихле

∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходится в том случае, если < u k >не возрастает, а последовательность ∑ k = 1 + ∞ v k ограничена.

Источник

Числовые ряды, их суммы, сходимость, примеры

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие о числовом ряде

называется бесконечным числовым рядом (или просто числовым рядом). Многоточие в конце (иногда шутят, что в нём-то и заключена суть ряда) указывает, что выражение (1) не имеет последнего слагаемого, за каждым слагаемым всегда стоит следующее. Таким образом, числовой ряд есть «бесконечная» сумма чисел.

Короче (с символом «сигма») числовой ряд (1) можно записать в виде

Примерами числовых рядов могут служить:

(2)

(3)

(4)

Задать числовой ряд – это значит указать правило, закон образования его членов, по которому можно найти любой его член ( ещё раз вспомните школьные уроки об арифметической и геометрической прогрессиях ). Чаще всего числовой ряд задаётся формулой общего члена как функция от натурального числа n. Например, если , то тем самым определён следующий числовой ряд:

(5)

если то получим числовой ряд

(6)

Если в дальнейшем будем говорить, что дан числовой ряд, то будем подразумевать, что задан его общий член.

Пример 1. Записать первые пять членов числового ряда, если дана формула его общего члена:

.

Решение. Подставляем в формулу вместо n последовательно числа 1, 2, 3, 4, 5. Получаем:

Пример 2. Записать формулу общего члена числового ряда, если даны пять его первых членов:

Решить задачи на числовые ряды самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 3. Записать первые 3 члена ряда и .

Пример 4. Определить общий член ряда

.

Сумма числового ряда

При сложении конечного числа слагаемых всегда получается определённый числовой результат, вычислить же сумму бесконечного числа слагаемых не может ни человек, ни компьюьтер, поскольку процесс сложения членов числового ряда (по самому определению) никогда не кончается.

Это означает, что выражение (1) является формальным, ведь сумма бесконечного числа слагаемых не определена. Но тем не менее в этом выражении поставлен знак суммирования и подразумевается, что члены ряда как-то складываются. Сумма любого конечного числа слагаемых будет найдена, если их складывать последовательно по одному. Это приводит к мысли поставить в соответствие числовому ряду некоторое число и назвать его суммой числового ряда. С этой целью вводят понятие частичной суммы ряда.

Приближенные суммы числового ряда (1)

называются частичными суммами числового ряда.

Сумма n первых членов числового ряда называется n-й частичной суммой:

(7)

Частичные суммы числового ряда имеют конечное число слагаемых, это «обычные» суммы, их можно найти, подсчитать. Для числового ряда получаем бесконечную последовательность его частичных сумм.

Понятие сходимости числовых рядов

Если значения частичных сумм при неограниченном возрастании n, то есть, при стремятся к некоторому числу S, то есть имеет предел

(8)

то числовой ряд называется сходящимся.

Это число S называется суммой числового ряда. В этом смысле можно записать такое равенство:

(9)

Пример сходящегося числового ряда:

Не для всякого числового ряда последовательность его частичных сумм стремится к определённому пределу. Например, для ряда

частичные суммы принимают попеременно значения 1 и 0:

Если предел последовательность частичных сумм ряда не существует, то числовой ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.

Пример 5. Определить частичную сумму числового ряда

,

разложив общий член ряда на элементарные дроби с помощью метода неопределённых коэффициентов, и найти сумму ряда.

Решение. Разложим общий члена ряда на элементарные дроби:

Так как дроби равны и знаменатели равны, числители также должны быть равны:

Это равенство в силе для всех n:

.

Частичная сумма ряда:

.

Пример 6. Исследовать сходимость числового ряда (2) .

Решение. Составим частичные суммы ряда:

Представим их в виде

Нетрудно заметить закономерность в образовании частичных сумм: каждая представляет разность между единицей и дробью, числитель которой 1, а знаменатель n-й частичной суммы равен n + 1, т.е.

Найдём предел последовательности частичных сумм:

Следовательно, числовой ряд (2) сходится, его последовательность равна 1.

Исследуем сходимость числового ряда (3):

который называется геометрическим, так как его члены представляют собой члены геометрической прогрессии, первый член которой равен a, а знаменатель q.

Рассмотрим частичную сумму этого ряда:

Она равна сумме членов геометрической прогрессии, если

Найдём предел последовательности частичных сумм геометрического ряда. Следует различать четыре возможности:

1)

2)

3)

4)

1. Если то , поэтому

2. Если то не существует, значит и последовательность частичных сумм не имеет предела.

при

в зависимости от знака a.

Его частичные суммы попеременно равны a и 0:

и т.д. Но такая последовательность не имеет предела.

Мы выяснили, что геометрический ряд (3) сходится, если знаменатель меньше единицы:

причём его сумма равна

,

и расходится, если равен или больше единицы:

Пример 7. Исследовать сходимость числовых рядов:

(*)

(**)

(***)

(****)

Решение. Это геометрические ряды. Для ряда (*)

Пример 8. Опредедить, сходится ли числовой ряд

.

В случае положительного ответа найти его сумму.

Решение. Данный ряд является геометрическим рядом с первым членом и . Так как , ряд сходится. Сумму ряда найдём по формуле суммы геометрического ряда .

.

Установить сходимость ряда самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 9. Установить, сходится ли ряд

.

Свойства сходящихся числовых рядов

Пусть дан ряд с общим членом . Тогда ряд с общим членом , то есть ряд

(11)

называют произведением ряда (1) на число c. Сходимость ряда (1) гарантирует сходимость и его произведения на число c. Это устанавливается следующей теоремой.

Теорема 1. Если ряд (1) сходится и имеет сумму, равную S, то его произведение на число c также сходится и имеет сумму, равную S:

(12)

Следовательно, общий множитель членов сходящихся рядов можно выносить за скобки, имея при этом в виду выполнение равенства (12).

Пусть даны два ряда с общими членами и :

(13)

(14)

Тогда ряд с общим членом

называют суммой этих рядов:

(15)

Теорема 2. Сумма двух сходящихся рядов есть сходящийся ряд, причём его сумма равна

(16)

Это означает, что сходящиеся ряды можно почленно складывать, а с учётом теоремы 1 и вычитать, имея при этом в виду для суммы рядов выполнение равенства (16), а для разности рядов – равенства

Определение. Разность суммы S и частичной суммы S n сходящегося числового ряда разывается остатком ряда и обозначается R n :

.

Для сходящегося ряда

,

то есть предел остатка сходящегося ряда при равен нулю.

Теорема 3. Если ряд сходится, то сходится и любой его остаток, и, наоборот, если сходится какой-либо остаток ряда, то и сам ряд также сходится.

Это означает, что на сходимость ряда не влияет любое конечное число его первых членов. В ряде можно отбрасывать или прибавлять к нему любое конечное число членов. От этого сходимость (или расходимость) ряда не нарушается, но меняется его сумма.

Если сходимость ряда установлена на основании определения сходимости, то одновременно будет найдена и его сумма. Так мы поступили при исследовании сходимости рядов (2) и (3). Однако таким способом решить вопрос о сходимости ряда часто бывает весьма трудно. Поэтому используют другой способ, который даёт возможность лишь установить факт сходимости (расходимости) ряда, так как сумму сходящегося ряда можно всегда найти с любой степенью точности, подсчитав сумму достаточно большого числа его первых членов.

Пример 10. Найти сумму числового ряда

.

Решение. Из теорем 1 и 2 о свойствах сходящихся рядов следует:

если ряды и сходятся и и , то для любых действительных чисел α и β ряд также сходится и .

Приступим к признакам сходимости рядов.

Необходимый признак сходимости числового ряда

Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена при

(17)

Следствие. Если предел общего члена ряда при

не равен нулю, то ряд расходится.

Пример 11. Используя необходимый признак сходимости, исследовать сходимость числового ряда

Решение. Общий член ряда

Найдём его предел при

:

Следовательно, данный ряд расходится.

Пример 12. Используя необходимый признак сходимости, исследовать сходимость числового ряда

Решение. Найдём предел общего члена ряда при

:

Так как (предел общего члена не равен нулю), данный ряд расходится.

Установить сходимость ряда самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 13. Используя необходимый признак сходимости, установить, сходится ли ряд

.

Пример 14. Установить, сходится ли ряд

.

Пример 15. Записать первые пять членов числового ряда

и установить, сходится ли этот ряд.

Решение. Пять первых членов данного числового ряда:

Найдём предел общего члена ряда при

,

Так как (предел общего члена равен нулю), данный ряд сходится.

Мы выяснили, что если числовой ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю, а значит, выполняется условие (17).

Однако выполнение условия (17) не гарантирует сходимости числового ряда, оно не является достаточным для этого. Есть расходящиеся ряды, пределы общих членов которых при

Примером такого ряда служит ряд (4):

который называется гармоническим. Последовательность его частичных сумм

монотонно возрастает, поскольку члены ряда положительны. Покажем, что она возрастает неограниченно. Для этого члены гармонического ряда, начиная с третьего, объединим в группы:

В первую включим два члена (3-й и 4-й), во вторую

члена (с 5-го по 8-й), в третью

членов (с 9-го по 16-й) и т.д, каждый раз увеличивая вдвое число членов в группе. Таких групп, очевидно, бесконечное множество. Если заменить члены ряда в каждой группе их последними членами, то сумма членов этой группы уменьшится и тогда справедливы неравенства

Сумма членов каждой группы больше 1/2, а сумма членов, включённых в достаточно большое число групп, как угодно велика. Следовательно, последовательность частичных сумм гармонического ряда неограниченно возрастает, а ряд расходится, хотя его общий член

Заметим, что частичные суммы гармонического ряда возрастают хотя и ограниченно, но медленно.

Исследование сходимости ряда обычно начинают с проверки выполнения условия (17), чтобы сразу выделить расходящиеся ряды, для которых это условие не выполняется. Однако выполнение этого условия говорит лишь о том, что ряд может сходиться. Сходится он или расходится, должно показать дополнительное исследование с помощью достаточных признаков, рассмотрение которых дано в последующих урока раздела «Ряды».

Источник