Что значит сформулировать теорему

Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы

Понятие аксиомы

Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол, противолежащий стороне а.

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.

Источник

Реферат. Теорема. Виды теорем. Методика работы над теоремой

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

Теорема. Виды теорем. Методика работы над теоремой

слушатель _3.30.1__ курса

Крупко Елена Александровна

к. психол. наук, доц. Шелепанова Н.В.

ПРЯМЫЕ ПРИЁМЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 8

КОСВЕННЫЕ ПРИЁМЫ ПОИСКА 8

МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА, ВЫДЕЛЕННЫЕ ПО ИСПОЛЬЗУЕМОМУ МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АППАРАТУ 8

ЭТАПЫ ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМЫ 8

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИЁМЫ МОТИВИРОВКИ НЕОБХОДИМОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМ 9

ЗАДАНИЯ, СПОСОБСТВУЮЩИЕ УСВОЕНИЮ ТЕОРЕМ 9

Теорема – математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства.

Виды формулирования теоремы: импликативная и категорическая.

Условие теоремы – при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект.

Заключение теоремы – что об этом объекте утверждается.

Основные типы теорем:

4. Контрапозитивная (обратная противоположной).

Доказательство – рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения.

Тезис – математическое предложение, в котором выражается главная цель доказательства. Форма выражения тезиса – суждение.

Аргументы доказательства – положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов – суждения.

Демонстрация – логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.

Метод доказательства – способ связи аргументов при переходе от условия к заключению суждения.

Методы доказательства, выделенные по тому, как строится обоснование тезиса: прямые и косвенные .

Рассмотрим, например, теорему «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны». Построим предложение, обратное данному: «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником». Это ложное высказывание, в чем легко убедиться (в равнобедренной трапеции диагонали равны, но трапеция не является прямоугольником).

Рассмотрим теорему «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Обратное ей предложение таково: «если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник – равнобедренный». Это истинное предложение и потому является теоремой. Ее называют теоремой, обратной данной.

Вообще, для какой бы теоремы мы ни формулировали предложение, обратное противоположному, оно всегда будет теоремой, потому что имеется следующая равносильность: ( АВ) (ВА).

Эту равносильность называют законом контрапозиции.

Теоремы АВ и ВА – взаимообратные, а АВ и – взаимопротивоположные.

1. В следующих теоремах выделим условие и заключение: а) «Для того чтобы разность двух чисел делилась на 2, достаточно, чтобы на 2 делилось уменьшаемое и вычитаемое»;

б) «Для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы хоты бы один из его углов был прямым».

Решение: а) Слово достаточно относится к предложению «уменьшаемое и вычитаемое делится на 2», следовательно, это предложение и является условием теоремы. Тогда заключение теоремы – «разность двух чисел делится на 2».

б) В данной теореме есть слово «необходимо», которое относится к предложению «чтобы четырехугольник был квадратом». Значит, это и будет условием данной теоремы. А ее заключением в таком случае будет предложение «один из углов четырехугольника прямой».

2. Сформулируем следующие теоремы в виде «если …, то …»:
а) «Перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых также перпендикуляр к другой»; б) «Всякий параллелограмм имеет центр симметрии».

Решение: а) Выделим условие и заключение теоремы: «Перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых» – условие, «перпендикуляр к другой» – заключение. Тогда теорема примет вид: «Если есть перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых, то он является также перпендикуляром к другой прямой».

б) Условие теоремы – «всякий параллелограмм», заключение – «имеет центр симметрии». Нашу теорему тогда можно переформулировать следующим образом: «Если фигура параллелограмм, то она имеет центр симметрии».

3. Дана теорема: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то четырехугольник параллелограмм». Сформулируем предложения, являющиеся обратным, противоположным и обратно противоположным.

Решение: Выделим условие и заключение данной теоремы. Условие: «в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны». Заключение: «четырехугольник – параллелограмм».

Поменяв местами условие и заключение, получим теорему, обратную данной: «Если четырехугольник – параллелограмм, то две противоположные стороны равны и параллельны», так как данное предложение истинно.

Заменяя условие и заключение исходной теоремы их отрицаниями, получим теорему, противоположную данной: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны не равны или не параллельны, то четырехугольник – не параллелограмм». Это предложение также истинно.

Меняя местами отрицание условия и отрицание заключения, получим истинное предложение, которое является обратно противоположной теоремой: «Если четырехугольник – не параллелограмм, то две противоположные стороны не равны или не параллельны».

ПРЯМЫЕ ПРИЁМЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

— синтетический – преобразование условия суждения;

— восходящий анализ – отыскание достаточных оснований справедливости заключения;

— нисходящий анализ – отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений;

— последовательное преобразование то условия, то заключения суждения.

КОСВЕННЫЕ ПРИЁМЫ ПОИСКА

— метод от противного – метод, при котором истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения;

— разделительный метод (метод разделения условий или метод исключения) – метод, при котором тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения опровергаются, кроме одного.

МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА, ВЫДЕЛЕННЫЕ ПО ИСПОЛЬЗУЕМОМУ МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АППАРАТУ

— Метод геометрических преобразований – метод, используемый как средство обоснования некоторых отношений между элементами евклидовой геометрии.

— Алгебраические методы – методы доказательства теорем с помощью уравнений, неравенств, тождественных преобразований.

— Векторный метод – метод, использующий аппарат векторной алгебры.

— Координатный метод – метод, позволяющий устанавливать переход от геометрических отношений к аналитическим.

ЭТАПЫ ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМЫ

— мотивация изучения теоремы и раскрытие ее содержания;

— работа над структурой теоремы;

— мотивация необходимости доказательства теоремы;

— построение чертежа и краткая запись содержания теоремы;

— поиск доказательства, доказательство и его запись;

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРИЁМЫ МОТИВИРОВКИ НЕОБХОДИМОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМ

1. Обобщение наблюдаемых в жизни фактов и явлений и перевод их на математический язык.

2. Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения практических задач.

3. Показ необходимости знания той или иной теоремы для решения задач и доказательства других теорем.

4. Показ, как решалась данная проблема в истории науки.

ЗАДАНИЯ, СПОСОБСТВУЮЩИЕ УСВОЕНИЮ ТЕОРЕМ

1) Сформулируйте теорему.

2) Выделите условие и заключение теоремы. К каким фигурам применима теорема?

3) Сформулируйте теорему со словами «Если…то…».

4) Сформулируйте предложение, обратное теореме.

5) Воспроизведите доказательство теоремы по новому чертежу, изменив его положение и обозначение элементов.

6) Составьте план доказательства.

7) Назовите аргументы, которые использовались при доказательстве.

8) Докажите теорему другим способом.

9) Решите задачи на применение теоремы.

В отличие от других наук, в математике недопустимы эмпирические доказательства: все утверждения доказываются исключительно логическими способами. В математике важную роль играют математическая интуиция и аналогии между разными объектами и теоремами; тем не менее, все эти средства используются учёными только при поиске доказательств, сами доказательства не могут основываться на таких средствах.

Доказательства, написанные на естественных языках, могут быть не очень подробными в расчёте на то, что подготовленный читатель сам сможет восстановить детали. Строгость доказательства гарантируется тем, что его можно представить в виде записи на формальном языке (это и происходит при компьютерной проверке доказательств).

Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. – М.: Педагогика, 1981. 185 с.

Саранцев Г.И. Теоретические основы методики упражнений по математике в средней школе: Автореф. дисс. … доктора пед. наук.- Л.: Изд-во Ленинградского педуниверситета, 1987. – 36 с.

Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике, т.4. – М.: Просвещение, 1995. – 240 с.

Источник

Перейдем к рассмотрению понятия теоремы, ее структуры и видов теорем

ГЛАВА 1

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ. ПОНЯТИЕ ТЕОРЕМЫ. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ТЕОРЕМ И ИХ СТРУКТУРА

Структуру отдельных мыслей и способы их сочетаний называют формами мышления. С точки зрения формальной логики мышление характеризуется тремя основными формами: понятиями, суждениями, умозаключениями.

1. Треугольник — это фигура, состоящая из трех отрезков, попарно соединяющих три точки, не лежащие на одной прямой.

2. Арифметическим квадратным корнем из числа Q называется неотрицательное число, квадрат которого равен Q.

1. Каждая прямая разделяет плоскость на две полуплоскости; любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от этой прямой, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от нее.

2. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

1. Если a>b, b>c то а>с.

2. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Следует заметить, что на вопрос «Чем являются те или иные утверждения: теоремами, аксиомами или определениями?» нельзя ответить однозначно вне контекста какого-нибудь курса математики. Так, например, утверждение «Через точку вне прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной прямой» в одном курсе геометрии может быть аксиомой, в другом — теоремой. Возможен, например, вариант, когда в каком-либо курсе геометрии за аксиому принято утверждение, называемое в нашем школьном курсе геометрии теоремой Пифагора.

Перейдем к рассмотрению понятия теоремы, ее структуры и видов теорем.

Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства, называют теоремой.

Название «теорема» происходит от греческого слова θε?ρημα — представление, зрелище (так как в древности часто теоремы доказывались публично, на площадях, и они носили характер спора, диспута).

В школьном курсе математики для словесной формулировки теоремы используются три формы суждения:

Пример 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Пример 2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: (cf(x))’ = cf'(x).

Пример 1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

Пример 2. Если F'(x)=0 на некотором промежутке, то на этом промежутке F(x) = C, где С — постоянная.

Пример 1. Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

Пример 2. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

Теоремы категорической и разделительной форм можно переформулировать, используя словосочетание «если. то. », т. е. обратить ее формулировку в условную. Пусть, например, дана теорема: «В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны». В условной форме формулировка этой теоремы будет выглядеть так: «Если четырехугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны».

Заметим, что разбор структуры теоремы более доступен для учащихся в том случае, когда она сформулирована в условной форме.

Условная форма теоремы может быть эффективно использована и для того, чтобы дать ответ на вопрос: «О свойстве или о признаке идет речь в теореме?» На этот вопрос легко ответить, если теорему сформулировать в условной форме. Если окажется, что рассматриваемое понятие находится в условии теоремы, то теорема выражает свойство этого понятия, если же понятие находится в заключении теоремы, то она выражает признак. Покажем это на примерах.

1. Теорема Пифагора: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Переформулировав теорему из категоричной формы в условную, будем иметь: «Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Поскольку понятие «прямоугольный треугольник» находится в условии теоремы, то она выражает собой свойство этого понятия.

2. Теорема: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».

Сформулируем теорему в условной форме. Будем иметь: «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны». Поскольку понятие «равнобедренный треугольник» находится в условии, то эта теорема выражает свойство объекта.

3. Теорема: «Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны».

Понятие « параллельные прямые » находится в заключении теоремы, а значит, это теорема-признак.

4. Теорема: «Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны».

Это теорема-признак, ибо понятие «подобные треугольники» находится в заключении теоремы.

Рассмотрим в связи с этим еще один пример.

Теорема: «Если трапеция равнобокая, то:

1) углы при одном и том же основании равны;

2) высоты, проведенные из концов одного основания на другое основание, равны;

3) перпендикуляр, опущенный из точки пересечения продолжения боковых сторон на основания, делит основания трапеции пополам».

Сформулируем предложения, обратные данным свойствам:

1°) если в трапеции углы при одном и том же основании равны, то она является равнобокой;

2°) если в трапеции высоты равны, то она является равнобокой;

3°) если в трапеции перпендикуляр, опущенный из точки пересечения продолжений боковых сторон на основания, делит их пополам, то она является равнобокой.

Если сопоставить умозаключения 1—3 и 1°—3°, то можно заметить, что по свойствам понятия можно судить о его признаках. Для этого поступают следующим образом. Чтобы из свойства понятия получить признак этого понятия, надо построить предложение, обратное свойству, и проверить его истинность. Если полученное предложение ложно, то оно не может являться признаком. Так, в нашем примере умозаключения 1° и 3° являются признаками равнобедренной трапеции, а умозаключение 2° признаком не является.

В школьном курсе математики формулируются и доказываются теоремы, имеющие различный вид: в одних теоремах из одного условия вытекает одно заключение, в других — из одного условия вытекает несколько заключений, в третьих — из нескольких условий вытекает одно заключение и т. д.

Но в любом случае теорема состоит из трех частей:

1) разъяснительная часть, где описывается множество объектов, о которых идет речь в этой теореме;

2) условие теоремы, т. е. некоторый предикат заданный на множестве ;

3) заключение теоремы — некоторый предикат заданный на том же множестве .

В символах математической логики теорема может быть записана следующим образом: где

M — разъяснительная часть теоремы;

А(х) — условие теоремы; В(х) — заключение теоремы.

Часто в литературе используется такая терминология:

— тезис — доказываемое утверждение;

— аргументы (основания доказательства) — используемые в доказательстве уже известные утверждения, из которых обязательно следует истинность доказываемого тезиса;

— демонстрация — последовательность расположения аргументов и выводов, образующих цепь умозаключений.

При доказательстве тезис должен удовлетворять следующим требованиям: быть ясным и точно определенным; оставаться тождественным, т. е. одним и тем же, на протяжении всего доказательства; не должен содержать в себе логического противоречия; не должен находиться в логическом противоречии с суждениями по данному вопросу, высказанными ранее; определять собой ход доказательства так, чтобы то, что в результате будет доказано, было бы именно тем, что требовалось доказать.

Требования к аргументам доказательства таковы: они должны быть истинными предложениями данной теории; быть достаточным основанием для доказываемого предложения; быть предложением, истинность которого доказана самостоятельно, независимо от доказываемого предложения; из совокупности суждений, составляющих аргументы, обязательно должна следовать истинность тезисов.

Разберем структуру на примере теоремы из курса геометрии 8 класса : «Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы».

Данную теорему после выбора обозначений можно записать в такой форме: ( ABC, ( А=∠ => ( = .

Разъяснительная часть теоремы выделяется из условия и заключения теоремы путем установления природы объектов и их множеств, на которых рассматриваются условие и заключение, и в данном случае она состоит в том, что рассматриваются любые пары треугольников.

А=∠ — условие теоремы; = — заключение теоремы.

Абсолютное большинство теорем ( 60%) в школьном курсе геометрии в символах математической логики может быть записано следующим образом: ( M) (А(х) В(х)).

Предикаты А(х) и В(х) входящие в теорему, могут иметь сложную структуру, и отсюда возникают теоремы различной логической конструкции. Приведем пример: «В ромбе диагонали перпендикулярны друг другу и делят углы при вершинах ромба пополам». Эта теорема символически может быть записана так: ( M) (А(х) (х) (х)). где М — множество четырехугольников; — предикат «четырехугольник является ромбом»; — предикат «в четырехугольнике диагонали перпендикулярны»; — предикат «в четырехугольнике диагонали делят углы при вершинах пополам».

Помимо теорем вида в математике встречаются и теоремы другого вида.

Пример 1. .

Знак показывает, что это соотношение является тождеством. Эта теорема имеет следующую форму: — некоторый предикат, записанный в виде равенства).

Пример 2. Теорема существования может быть записана в такой форме: ( M) ( y) (А(х, у)).

Примерами теорем существования могут служить следующие теоремы из школьного курса геометрии 7—11 классов:

а) через любую точку проходит прямая, перпендикулярная к данной прямой, и притом только одна;

б) около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну;

в) через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Можно еще указать такие формализованные структуры теорем:

1) ( M) ( (x) В(х));

2) ( M) (А(х) (х) (х));

3) ( M) (А(х) (х) (х));

4) ( M) ( (x) В(х));

5) ( M) (A(x) (C(x) ⇒ D(x));

6) ( M) ((C(x) D(x)) B(x));

7) ( M) ( y A(x, y) B(x, у));

8) ( M) ( y A(x, y) B(x, у)) — теорема существования и единственности.

С любой теоремой обычно связаны еще три теоремы. Приведем все четыре вида теорем:

1) ( M) (А(х) В(х)) — прямая теорема;

2) ( M) (В(х) А(х)) — обратная теорема;

3) ( M) ( ) — противоположная теорема;

4) ( M) ( ) — теорема, обратная противоположной (контрапозитивная).

Рассмотрим все эти виды теорем на примерах.

1) Если четырехугольник — параллелограмм, то диагонали его, пересекаясь, делятся пополам. (Истинно.)

2) Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. (Истинно.)

3) Если четырехугольник не параллелограмм, то его диагонали, пересекаясь, не делятся пополам. (Истинно.)

4) Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, не делятся пополам, то такой четырехугольник не параллелограмм. (Истинно.)

1) Если углы вертикальные, то они равны. (Истинно.)

2) Если углы равны, то они вертикальные. (Ложно.)

3) Если углы не вертикальные, то они не равны. (Ложно.)

4) Если углы не равны, то они не вертикальные. (Истинно.)

Между прямой, обратной, противоположной и контрапози- тивной теоремами существует тесная связь, которую символически можно выразить так, как показано на рисунке 1.

Прямая и обратная противоположной теоремы эквивалентны, т. е. они одновременно истинны или ложны.

Обратная и противоположная теоремы эквивалентны, т. е. они одновременно истинны или ложны.

Такая связь между теоремами показывает нецелесообразность изучения всех четырех теорем; достаточно установить истинность или ложность какой-либо одной логически неравносильной пары теорем, так как истинность или ложность одной пары влечет за собой истинность или ложность другой пары теорем. В связи с этим в любом курсе математики встречаются лишь прямая и обратная теоремы.

Обращаем внимание на тот факт, что если прямая и обратная теоремы верны, то можно записать их в виде одной, употребляя словосочетание «тогда и только тогда» или «в том и только в том случае».

Прямая теорема: «Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны». (Теорема верна.)

Обратная теорема: «Если прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие углы равны». (Теорема верна.)

Эти две теоремы можно сформулировать в одной из следующих форм:

а) Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда накрест лежащие углы равны.

б) Накрест лежащие углы равны тогда и только тогда, когда прямые параллельны.

в) Две прямые параллельны в том и только в том случае, если накрест лежащие углы равны.

г) Накрест лежащие углы равны в том и только в том случае, если прямые параллельны.

В качестве примера может служить теорема Пифагора, которая в некоторых курсах геометрии формулируется так: «Сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны тогда и только тогда, когда треугольник прямоугольный». В этой формулировке содержится, по существу, две теоремы:

а) Если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов двух его катетов равна квадрату гипотенузы.

б) Если в треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, то треугольник прямоугольный.

Заметим, что если условие прямой теоремы сложное (состоит из нескольких частных условий), то можно сформулировать для данной теоремы несколько обратных. В общем виде это выглядит так. Если прямая теорема имеет, например, вид: «Если А, В и С, то D», то обратными ей являются такие теоремы:

— если А и D, то В и С;

— если В и D, то А и С;

— если A, D и С, то В и т. д.

Приведем пример, рассмотрев такую прямую теорему:

«Если треугольник ABC равнобедренный и BD — его медиана, то она является и высотой».

Обратными этой теореме будут, например, такие теоремы:

— если треугольник ABC равнобедренный и BD его высота, то она является и медианой;

— если в треугольнике ABC отрезок BD является высотой и медианой, то этот треугольник равнобедренный.

Источник