Что значит разложить составное число на простые множители

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Простые и составные числа. Разложение натурального числа на множители

Перечень рассматриваемых вопросов:

Делителем натурального числа n называют натуральное число, на которое n делится без остатка

Натуральное число называют простым, если оно имеет ровно два делителя: единицу и само это число.

Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.

Основная теорема арифметики.

Любое натуральное число, большее единицы, можно разложить на произведение простых чисел, причём это разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Каждое отличное от единицы натуральное число имеет делитель – простое число.

Теорема 2. (теорема Евклида)

Простых чисел бесконечно много.

Разложить натуральное число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

На уроке будем формулировать определения, конструировать несложные определения самостоятельно. Сформулируем определения простого и составного числа, приведём примеры простых и составных чисел. Выполним разложение числа на простые множители. Выясним, является ли число составным. Будем использовать таблицу простых чисел.

Натуральные числа, имеющие только два делителя, называют простыми.

числа 2; 3; 5; 7; 11 – простые, т. к. делятся только на 1 и сами на себя, т. е. имеют ровно два делителя.

Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называют составными.

числа 4; 6; 8; 10 – составные, т. к. делятся не только на 1 и сами на себя, а ещё, например, на 2, т. е. имеют более двух делителей.

Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители.

Простых чисел бесконечно много.

Основная теорема арифметики.

Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители, причём единственным способом.

Рассмотрим, как раскладывать составные числа на простые множители.

Число 57 – составное, т. к. кроме 1 и 57 оно делится, например, ещё на 3.

Согласно признаку делимости на 3, сумма цифр должна делиться на 3. Проверяем:

Число 57 можно представить в виде произведения простых чисел.

При разложении числа на простые множители используют признаки делимости и применяют запись столбиком, при которой делитель располагают справа от вертикальной черты, а частное записывают под делимым.

57 = 3 · 12.

Рассмотрим разложение еще одного составного числа на простые множители.

120 – чётное число, значит, делится на 2.

15 – нечётное число,

Следовательно, не делится на 2,

120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 2 3 · 3 · 5.

При выполнении задания по определению простых и составных чисел удобно использовать таблицу простых чисел.

Выясним, является ли число 337 простым или составным.

Будем считать, что каждое простое число уже разложено на множители.

Например, простое число 13 равно произведению само числа 13 и единицы.

13 = 13 · 1.

Определите самое маленькое натуральное число, которое не имеет простых делителей кроме 2 и 3.

Не имеет простых делителей кроме 2 и 3 – это означает, что в разложении может быть 2 в любой степени и 3 любой степени.

Самое маленькое натуральное число, не является ни простым не сложным.

2, 3, 5 – натуральные числа, они есть в таблице простых чисел.

4 – составное число, которое делится на 2, но не делится на 3. Нам не подходит.

6 – составное число, которое делится на 2 и на 3. Оно удовлетворяет нашему условию.

Итак, мы с вами узнали, какие числа называют простыми и составными.

Узнали основную теорему арифметики.

Узнали, как разложить натуральное число на простые множители.

Углубим наши знания.

Докажем, что одно из трёх последовательных чётных чисел делится на 3

Чётные числа должны делиться на 2.

Предположим противное не делиться на 3.

первое чётное число представим в виде:

2 · 3n + 2,

тогда второе чётное число представим в виде:

2 · 3n + 4

а третье чётное число представим в виде:

2 · 3n + 6

Видим первое и второе не делятся на 3, а третье делится, так как

(2 · 3n) делится на 3 и 6 делится на 3, значит и сумма 2 · 3n + 6.

Делится на 3, по свойствам делимости.

Значит, предположение неверно и из трёх последовательных чётных чисел одно обязательно будет делиться на 3.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Выберите правильный ответ.

Сколько чисел в ряду от 1 до 100 одновременно не делятся ни на 2, ни на 7?

Для решения задачи нужно вспомнить признаки делимости на 2.

Если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.

То есть делятся на 2 чётные числа. Таких чисел в ряду от 1 до 100 – 50 штук.

Значит, из 100 вычитаем 50 чётных чисел, которые нам не подходят.

Далее рассматриваем в ряду числа от 1 до 100, которые делятся на 7 и являются нечётными. Это: 7, 21, 35, 49, 63, 77, 91. Всего их 7 штук. Вычтем их из 50 и получим 43.

Ответ: 43.

2. Впишите правильный ответ.

Определите, какую цифру, являющуюся простым числом, нужно подставить вместо звёздочки, чтобы число f делилось на число k без остатка, если:

Источник

Математика

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Все вещи можно представить в виде чисел.

Рассмотрим привычный всем карандаш. Привычный, обыденный предмет. Большинство людей даже не задумываются, из чего он состоит.

На самом деле, для изготовления карандаша понадобится древесина, грифель, краска. И это самый простейший перечень составляющих. Ведь собственные составляющие имеют краска, грифель, древесина. Поэтому список компонентов, необходимых для изготовления обычного карандаша, можно продолжать очень долго. Точно так происходит и с математическими числами. Каждое число имеет свой состав, в зависимости от состава – название.

А из чего состоят числа? Какие бывают? Как разложить число? На эти и многие другие вопросы ищите ответы в нашем уроке!

Простые и составные числа

На столе лежало 2 яблока, 4 апельсина. Сколько детей, смогут полакомиться, каждым видом фруктов?

Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно выяснить на какое количество человек можно разделить фрукты, не деля их на части (целыми).

В математике такие числа называют простыми

Получается, четыре мы можем разделить на 1, на само себя и еще на два. Такой вид чисел в арифметике называют составными:

Разложение на простые множители

В математике возникают ситуации, когда для выполнения определенных вычислений нужно знать, какие множители входят в состав того, или иного числа.

Например в состав 6, входит два простых множителя:

А как быть с большими числами, в записи, которых 2 и более знака? Как правильно выполнять и записывать разложение на простые множители?

Что значит «Разложить на простые множители?».

В арифметике для выполнения разложения на простые множители, существует специальный вид записи и алгоритм действий.

Давайте рассмотрим алгоритм действий:

Запись разложения числа на простые множители выполняется столбиком, состоящим из двух колонок. В правой колонке записываем делимое и полученное частное, в левой – пишем подходящие, простые делители. Между собой колонки разделены вертикальной чертой:

Разложим на множители число 20.

Для выполнения данного задания, используем рассмотренный алгоритм.

20 можно разделить на: 1, 2, 4, 5, 10,20.

Мы подобрали шесть делителей, значит, делимое, является составным числом.

Для этого вспоминаем изученные признаки делимости, и проверяем данное число.

Начнем с наименьшего простого числа 2

Делимое 20 оканчивается цифрой 0, значит, оно делится без остатка на 2.

Далее, подбираем делитель к полученному частному. Опять начинаем с наименьшего простого числа 2. Так как запись 10, оканчивается 0, по признаку делимости, число делится на 2 без остатка:

В результате мы получили простое число, которое можно разделить, только на само себя (на 1 деление не выполняем, оно не является простым числом).

Когда в частном получилась единица, то говорят, разложение числа на простые множители окончено.

Давайте запишем данную математическую операцию.

Выполнять запись будем в столбик.

Сначала записываем делимое и проводим вертикальную черту.

Рядом, с правой стороны, пишем первый делитель.

Выполняем деление и записываем частное под делимым.

После, снова подбираем делитель к полученному частному, справа пишем подходящий делитель. Выполняем деление до тех пор, пока в результате не увидим 1.

Выходит, 20 = 2×2×5. Полученное выражение можно записать немного иначе. В записи использовано два одинаковых множителя, повторяющихся два раза. Используя определение степени

Ничего сложного. Главное – запомнить порядок действий!

Рассмотрим еще один пример.

Разложим число 156.

Чтобы выполнить данное задание используем правило разложения числа на простые множители.

Выполняем деление и частное запишем под делимым: 156 : 2 = 78.

Полученное частное (78) оканчивается четной цифрой, следовательно,делится на 2. Рядом записываем делитель, выполняем деление:

Новый результат оканчивается нечетной цифрой, поэтому на два разделить нельзя. Смотрим, подойдет ли в качестве делителя следующее – 3. Вспоминаем признак делимости на 3:

В записи 39 использованы цифры 3,9. Найдем их сумму:

Полученная сумма делится на 3, следовательно, все число делится на 3.

Записываем делитель и выполняем деление 39 : 3 = 13. Частное, пишем в левый столбик:

Частное 13 – простое, делится на 1 и на само себя. Поэтому:

Разложение на простые множители выполнено.

Очень важно запомнить рассмотренные определения и алгоритм, так как умение раскладывать число на простые множители пригодится вам в течение всего учебного процесса!

Минутка истории

Интерес ученых к простым числам проснулся в третьем веке до нашей эры. Первым заинтересовался Евклид, нашел доказательство, что ряд простых чисел бесконечен. К сожалению,перечень известных, пополнялся новыми, очень медленно, пока не появились первые вычислительные машины, самостоятельно подбирающие делители к огромным числовым значениям. В 1952 г. самое большое простое числовое значение, известное науке содержало 157 цифр, уже в 1985 году количество цифр стало 65050. Сегодня, математики продолжают работать над этим вопросом. Результатом проделанной работы стало открытие американскими учеными нового, самого большого простого числового значения, состоящего из 65087 цифр. Научные сотрудники более 12 месяцев проверяли, подходящие под требования числовые значения. Проверено более 350000 чисел, подобрано несколько миллиардов различных делителей.

В декабре 2018, американский разработчик Патрик Ларош, побил мировые рекорды и открыл наибольшее простое число 2 82 589 933 – 1. Количество цифр этого числа равно 24 862 048. За свое открытие Патрик получил премию в размере 2 миллионов долларов.

Источник

Разложение числа на простые множители

Простой множитель — это множитель, который представляет собой простое число.

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел.

Пример. Представим в виде произведения простых множителей числа 4, 6 и 8:

Правые части полученных равенств называются разложением на простые множители.

Разложение на простые множители — это представление составного числа в виде произведения простых множителей.

Разложить составное число на простые множители — значит представить это число в виде произведения простых множителей.

Простые множители в разложении числа могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записывать более компактно — в виде степени.

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2 3 · 3.

Примечание. Простые множители обычно записывают в порядке их возрастания.

Как разложить число на простые множители

Последовательность действий при разложении числа на простые множители:

Пример. Разложите число 102 на простые множители.

Начинаем поиск наименьшего простого делителя числа 102. Для этого последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое 102 разделится без остатка. Берём число 2 и пробуем разделить на него 102, получаем:

Число 102 разделилось на 2 без остатка, поэтому 2 — первый найденный простой множитель. Так как делимое равно делителю, умноженному на частное, то можно написать:

Переходим к следующему шагу. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число 51 составное. Начиная с числа 2, подбираем из таблицы простых чисел наименьший простой делитель числа 51. Число 51 не делится нацело на 2. Переходим к следующему числу из таблицы простых чисел (к числу 3) и пробуем разделить на него 51, получаем:

Число 51 разделилось на 3, поэтому 3 — второй найденный простой множитель. Теперь мы можем и число 51 представить в виде произведения. Этот процесс можно записать так:

102 = 2 · 51 = 2 · 3 · 17.

Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число 17 простое. Значит наименьшим простым числом, на которое делится 17, будет само это число:

Так как в частном у нас получилась единица, то разложение закончено. Таким образом, разложение числа 102 на простые множители имеет вид:

Ответ: 102 = 2 · 3 · 17.

В арифметике имеется ещё другая форма записи, облегчающая процесс разложения составных чисел. Она состоит в том, что весь процесс разложения записывают столбиком (в две колонки, разделённые вертикальной чертой). Слева от вертикальной черты, сверху вниз, записывают последовательно: данное составное число, затем получающиеся частные, а справа от черты — соответствующие наименьшие простые делители.

Пример. Разложить на простые множители число 120.

Пишем число 120 и справа от него проводим вертикальную черту:

Справа от черты записываем самый маленький простой делитель числа 120:

Выполняем деление и получившееся частное (60) записываем под данным числом:

Подбираем наименьший простой делитель для 60, записываем его справа от вертикальной черты под предыдущим делителем и выполняем деление. Продолжаем процесс до тех пор, пока в частном не получится единица:

В частном у нас получилась единица, значит разложение закончено. После разложения в столбик множители следует выписать в строчку:

Ответ: 120 = 2 3 · 3 · 5.

Составное число разлагается на простые множители единственным образом.

Это значит, что если, например, число 20 разложилось на две двойки и одну пятёрку, то оно и всегда будет так разлагаться независимо от того, начнём ли мы разложение с малых множителей или с больших. Принято начинать разложение с малых множителей, т. е. с двоек, троек и т. д.

Калькулятор разложения на множители

Источник

Какие числа называют составными в математике

Составные числа — понятие и определение

Такие числа, которые используют при счете объектов и предметов, называют натуральными.

Натуральные числа бывают простыми и составными.

Если у числа есть только два делителя — единица и само число — то его называют простым. Самое маленькое простое число — это 2.

Например, к простым относят также 3, 5 и 7.

У 3 есть только два делителя: 1 и 3.

Составные числа являются натуральными и имеют больше двух делителей.

Например, 125 делится на 1, 5, 25, 125. Это составное число.

Единица не относится ни к простым, ни к составным натуральным числам.

Делителем числа называют такое число, при делении на которое полученный результат является целым (не имеет остатка).

Нельзя назвать самое большое составное число, потому что их бесконечное множество. Но можно определить самое маленькое натуральное составное число — это 4.

Чем отличаются от простых

Составные числа отличаются от простых тем, что у них есть еще хотя бы один делитель, который не равен единице и самому числу. Простое число имеет только два делителя: единицу и само себя.

С помощью нахождения делителей определяют, является ли число простым или составным. Чтобы найти делители числа, нужно разложить его на множители.

Разложить число на множители — значит, представить его в виде произведения чисел.

Множители подбирают с помощью применения признаков делимости, а также разложения числа на простые множители.

Разложение на простые множители — это математическая операция, которая представляет число в виде произведения простых множителей.

Основная теорема арифметики:

Любое составное число можно разложить на простые множители (представить в виде произведения) единственным способом.

Применение составных чисел

Каждое составное число в математике представляют в виде произведения двух и более натуральных чисел, которые больше единицы.

Составные числа встречаются повсюду:

Числа позволяют создавать математические модели, с опорой на которые принимаются актуальные решения.

Примеры решения задач

Найдите среди чисел 16, 37, 11, 58 и 13 составные.

По определению, число является составным, если оно имеет хотя бы один делитель, кроме 1 и самого себя.

16 делится нацело, например, на 2 и 8, значит, 16 является составным.

37 можно найти в таблице простых чисел.

Число 11 также найдем в таблице простых чисел.

58 можно разделить на 2, так как по признаку делимости, если число оканчивается четной цифрой, то оно делится нацело на 2. Значит, число имеет делитель, который отличается от 1 и 58. Следовательно, 58 — составное.

13 находим в таблице простых чисел.

Докажите, что число 296 является составным.

Число является составным, если у него есть хотя бы один делитель, кроме единицы и самого себя.

Для нахождения делителя, используем признаки делимости.

296 заканчивается на 6. Цифра 6 — четная, значит, по признаку делимости число делится без остатка на 2. И, если у него есть хотя бы один делитель, кроме 1 и 296 (в данном случае это 2), то оно является составным.

Что и требовалось доказать.

Можно ли говорить о том, что все четные числа являются составными?

Ответ: нет, так как, например, число 2 является четным, но при этом простым, потому что имеет только два делителя — 1 и 2.

Приведите примеры четырех составных чисел, кратных 3.

Числа, которые кратны трем, делятся на 3 нацело.

Вспоминаем признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться нацело на 3.

Тогда нужными нам примерами могут быть: 27, 126, 45 и 99.

27: составное число, так как имеет хотя бы один делитель, кроме 1 и самого себя — это 3. Сумма цифр числа равняется 9. Девять кратно 3.

126: составное, так как делится нацело на 2 — в разряде единиц стоит четная цифра 6. Сумма цифр — 1 + 2 + 6 = 9 — 9 кратно 3.

45: составное, делится нацело на 5 по признаку делимости. Сумма цифр равна 9, девять кратно 3.

99: составное, так как делится нацело на 9 по признаку делимости. Сумма цифр равна 18, а 18 кратно 3.

Источник

Разложение чисел на простые множители, способы и примеры разложения.

В этой статье Вы найдете всю необходимую информацию, отвечающую на вопрос, как разложить число на простые множители. Сначала дано общее представление о разложении числа на простые множители, приведены примеры разложений. Дальше показана каноническая форма разложения числа на простые множители. После этого дан алгоритм разложения произвольных чисел на простые множители и приведены примеры разложения чисел с использованием этого алгоритма. Также рассмотрены альтернативные способы, позволяющие быстро раскладывать небольшие целые числа на простые множители с использованием признаков делимости и таблицы умножения.

Навигация по странице.

Что значит разложить число на простые множители?

Сначала разберемся с тем, что такое простые множители.

А что же значит разложить число на простые множители?

Возникает следующий вопрос: «А какие вообще числа можно разложить на простые множители»?

Но все ли целые числа, превосходящие единицу, раскладываются на простые множители?

Каноническое разложение числа на простые множители

Каноническое разложение числа на простые множители позволяет найти все делители числа и число делителей числа.

Алгоритм разложения числа на простые множители

Чтобы успешно справиться с задачей разложения числа на простые множители, нужно очень хорошо владеть информацией статьи простые и составные числа.

Заметим, что в общем случае для разложения на простые множители числа a нам потребуется таблица простых чисел до числа, не меньшего, чем . К этой таблице нам придется обращаться на каждом шаге, так что ее нужно иметь под рукой. Например, для разложения на простые множители числа 95 нам будет достаточно таблицы простых чисел до 10 (так как 10 больше, чем ). А для разложения числа 846 653 уже будет нужна таблица простых чисел до 1 000 (так как 1 000 больше, чем ).

Теперь мы обладаем достаточными сведениями, чтобы записать алгоритм разложения числа на простые множители. Алгоритм разложения числа a таков:

Осталось лишь рассмотреть несколько примеров применения полученного алгоритма для разложения чисел на простые множители.

Примеры разложения на простые множители

Сейчас мы подробно разберем примеры разложения чисел на простые множители. При разложении будем применять алгоритм из предыдущего пункта. Начнем с простых случаев, и постепенно их будем усложнять, чтобы столкнуться со всеми возможными нюансами, возникающими при разложении чисел на простые множители.

Источник