Что значит равносильные утверждения
MT1102: Линейная алгебра (введение в математику)
Определение
Формулы алгебры высказываний %%X%% и %%Y%% называют равносильными (эквивалентными, тождественными), если при любых значениях переменных, входящих в эти формулы, значение истинности формул %%X%% и %%Y%% совпадают.
Пример
Построим таблицу истинности для этих двух формул
| %%A%% | %%B%% | %%X = A \rightarrow B%% | %%Y = \overline \rightarrow \overline%% |
|---|---|---|---|
| %%0%% | %%0%% | %%1%% | %%1%% |
| %%0%% | %%1%% | %%1%% | %%1%% |
| %%1%% | %%0%% | %%0%% | %%0%% |
| %%1%% | %%1%% | %%1%% | %%1%% |
Как видно из таблицы, истинностные значения данных формул совпадают при любых значениях %%A%% и %%B%%, следовательно, эти две формулы равносильны. Равносильность формул %%X%% и %%Y%% записывается в виде %%X \equiv Y%%.
Теоремы о равносильности формул
Теорема. Справедливы следующие равенства формул.
A \land 0 \equiv 0 \\ A \lor 0 \equiv A,
Где %%1%% — тождественно истиннная формула, а %%0%% — тождественно ложная формула.
Теорема дается без доказательства, так как эти формулы легко проверить, используя таблицы истинности.
Теорема. Для произвольной формулы существует равносильная ей формула, которая содержит только знаки отрицания и дизъюнкции.
Действительно, в произвольной формуле %%X%% могут присутствовать знаки конъюнкции, импликации и эквиваленции. Избавимся от этих знаков, заменяя подформулы, содержащие эти знаки, на равносильные им по следующим правилам:
Но использование только двух знаков очень неудобно, так как приводит к очень громоздким формулам, именно поэтому, обычно, используют три основных знака: отрицание, конъюнкция и дизъюнкция.
Обратная и противоположная теоремы
Назовем теорему %%T = A \rightarrow B%% прямой теоремой. Составим следующие высказывания:
Между этими теоремами есть следующие связи:
равносильность
Смотреть что такое «равносильность» в других словарях:
равносильность — сущ. • равнозначность • равноценность Словарь русских синонимов. Контекст 5.0 Информатик. 2012. равносильность сущ., кол во синонимов: 6 • … Словарь синонимов
равносильность — РАВНОСИЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна. Совершенно подобный чему н., тождественный. Молчание, равносильное отказу. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
РАВНОСИЛЬНОСТЬ — свойство двух или нескольких уравнений с одним неизвестным (или систем п уравнений с п неизвестными), заключающееся в том, что они имеют одно и то же множество корней (решений) … Большая политехническая энциклопедия
РАВНОСИЛЬНОСТЬ — или эквивалентность, утверждений (формул) Аи В понятие, означающее, что при каждом допустимом наборе значений параметров утверждения Аи Воба истинны или оба ложны. Напр., Р. уравнений, неравенств и их систем означает совпадение множеств их… … Математическая энциклопедия
Равносильность — Необходимое условие и достаточное условие виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений. Содержание 1 Необходимое условие 2 Достаточное условие … Википедия
равносильность — равнос ильность, и … Русский орфографический словарь
равносильность — Syn: эквивалентность, равнозначность, равноценность Ant: неравносильность … Тезаурус русской деловой лексики
равносильность — см. равносильный; и; ж … Словарь многих выражений
неравнозначность — равносильность равноценность … Словарь антонимов
равнозначность — равносилие, адекватность, эквивалентность, равносильность, равноценность, аутентичность. Ant. неравнозначность Словарь русских синонимов. равнозначность эквивалентность (книжн.) см. также равноценность Словарь синонимо … Словарь синонимов
РАВНОСИЛЬНОСТЬ
Лит.:[1] Новиков П. С., Элементы математической логики, 2 изд., М., 1973. С. Н. Артемов.
Смотреть что такое «РАВНОСИЛЬНОСТЬ» в других словарях:
равносильность — сущ. • равнозначность • равноценность Словарь русских синонимов. Контекст 5.0 Информатик. 2012. равносильность сущ., кол во синонимов: 6 • … Словарь синонимов
равносильность — РАВНОСИЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна. Совершенно подобный чему н., тождественный. Молчание, равносильное отказу. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
РАВНОСИЛЬНОСТЬ — свойство двух или нескольких уравнений с одним неизвестным (или систем п уравнений с п неизвестными), заключающееся в том, что они имеют одно и то же множество корней (решений) … Большая политехническая энциклопедия
Равносильность — Необходимое условие и достаточное условие виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений. Содержание 1 Необходимое условие 2 Достаточное условие … Википедия
равносильность — эквивалентность отношение между высказываниями или формулами, когда они принимают одни и те же истинностные значения. Напр., при любых значениях элементарных высказываний формулы (A v B) и (B v A), (A v (A & В)) и A принимают одни и те же… … Словарь терминов логики
равносильность — равнос ильность, и … Русский орфографический словарь
равносильность — Syn: эквивалентность, равнозначность, равноценность Ant: неравносильность … Тезаурус русской деловой лексики
равносильность — см. равносильный; и; ж … Словарь многих выражений
неравнозначность — равносильность равноценность … Словарь антонимов
равнозначность — равносилие, адекватность, эквивалентность, равносильность, равноценность, аутентичность. Ant. неравнозначность Словарь русских синонимов. равнозначность эквивалентность (книжн.) см. также равноценность Словарь синонимо … Словарь синонимов
РАВНОСИЛЬНОСТЬ
РАВНОСИЛЬНОСТЬ — свойство двух или нескольких уравнений с одним неизвестным (или систем п уравнений с п неизвестными), заключающееся в том, что они имеют одно и то же множество корней (решений).
Смотреть что такое «РАВНОСИЛЬНОСТЬ» в других словарях:
равносильность — сущ. • равнозначность • равноценность Словарь русских синонимов. Контекст 5.0 Информатик. 2012. равносильность сущ., кол во синонимов: 6 • … Словарь синонимов
равносильность — РАВНОСИЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна. Совершенно подобный чему н., тождественный. Молчание, равносильное отказу. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
РАВНОСИЛЬНОСТЬ — или эквивалентность, утверждений (формул) Аи В понятие, означающее, что при каждом допустимом наборе значений параметров утверждения Аи Воба истинны или оба ложны. Напр., Р. уравнений, неравенств и их систем означает совпадение множеств их… … Математическая энциклопедия
Равносильность — Необходимое условие и достаточное условие виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений. Содержание 1 Необходимое условие 2 Достаточное условие … Википедия
равносильность — эквивалентность отношение между высказываниями или формулами, когда они принимают одни и те же истинностные значения. Напр., при любых значениях элементарных высказываний формулы (A v B) и (B v A), (A v (A & В)) и A принимают одни и те же… … Словарь терминов логики
равносильность — равнос ильность, и … Русский орфографический словарь
равносильность — Syn: эквивалентность, равнозначность, равноценность Ant: неравносильность … Тезаурус русской деловой лексики
равносильность — см. равносильный; и; ж … Словарь многих выражений
неравнозначность — равносильность равноценность … Словарь антонимов
равнозначность — равносилие, адекватность, эквивалентность, равносильность, равноценность, аутентичность. Ant. неравнозначность Словарь русских синонимов. равнозначность эквивалентность (книжн.) см. также равноценность Словарь синонимо … Словарь синонимов
Равносильные уравнения, преобразование уравнений
Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.
Понятие равносильных уравнений
Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.
Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.
Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.
Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.
Приведем несколько примеров таких уравнений.
Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.
Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.
Понятие уравнений-следствий
Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.
Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.