Что значит простое число

Простые числа — это чудеса деления

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком математическом понятии, как ПРОСТЫЕ ЧИСЛА.

В школе это проходят в 5 или 6 классе, в зависимости от программы обучения.

И интересно, что если спросить школьников, что такое простые числа, то они, скорее всего, ответят правильно.

А вот взрослые задумаются и не факт, что вспомнят точное определение. Так что это статья скорее для них.

Простые числа — это.

Итак, вот как выглядит официальное определение:

Простые числа – это такие числа, которые имеют только два делителя. Один из них – единица, а другое – само число.

Чтобы было более понятно, приведем простой пример. Для чисел 5 и 7 надо найти все возможные делители, чтобы в результате образовалось целое число.

Если вы попробуете решить эту задачку, то получите, что 5 и 7 делятся только на 1 и 5, и 1 и 7 соответственно. Во всех других случаях вы получите дробное число. И это как раз означает, что числа 5 и 7 относятся к простым.

А вот попробуем по той же схеме разобрать числа 6 и 9. В первом случае мы получим, что 6 можно поделить на 1, 2, 3 и 6, а число 9 – на 1, 3 и 9. И это уже противоречит определению простых чисел, значит, 6 и 9 таковыми не являются.

Они называются в математике – СОСТАВНЫМИ ЧИСЛАМИ.

Список и таблица простых чисел

Некоторые ошибочно полагают, что наименьшее простое число – это единица.

С одной стороны, в этом есть логика, так как 1 делится только на 1. Но это получается одно и то же число (единица), что противоречит определению простых чисел, в котором четко прописано – «делителей должно быть два».

Значит, минимальное простое число – это 2. А первоначальный ряд выглядит следующим образом:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199…

При желании можете проверить эти числа на предмет деления. Мы же скажем, что этот ряд на самом деле не окончательный.

Количество простых чисел не ограничено. Или говоря математическим языком, оно стремится к бесконечности.

История простых чисел

Первые упоминания о простых числах относятся к Древнему Египту. В Британском музее хранится папирус, который датируется 2000 годом до нашей эры. И на нем, согласно расшифровке, содержится учебное пособие по арифметике.

В том числе и про деление чисел. Называется этот артефакт – папирус Райнда, по имени его первого владельца.

В этом документе есть таблица, в которой указаны числа, делящиеся на различные знаменатели. Причем они разделены таким образом, что становится понятно – древние египтяне может и не пользовались понятиям «простое число», но хотя бы имели о нем представление.

Ну а первые исследования простых чисел датируются 300 годом до нашей эры. И связаны они с именем знаменитого древнегреческого математика Евклида.

Как и многое другое, он описал простые и составные числа в своем известном произведении «Начала».

В частности, Евклид описал такие вещи, как:

Сейчас расскажем об этих понятиях подробнее.

Основная теорема арифметики

Основная теорема арифметики, которую придумал еще Евклид, гласит:

Любое натуральное число (это что?), которое больше единицы, может быть представлено в виде произведения простых чисел. Причем их количество не ограничено, а порядок следования неважен.

Если обозначить исходное число буквой N, а простые числа буквами Р1, Р2, Р3 и так далее, то можно записать эту теорему следующим образом:

N = Р1 * Р2 * Р3 * … * РК

Например, возьмем число 100. Его можно разложить на следующие простые числа:

Или более сложный пример – число 23244:

23244 = 149 * 13 * 3 * 2 * 2

Раскладывать на простые числа легко. Можно сперва делить на 2 и 3, а уже в конце автоматически получить более сложные делители.

Ради интереса придумайте любое число и сами найдите его составляющие.

Лемма Евклида

Еще одна теорема, которая имеет прямое отношение к простым числам. Она гласит;

Если некое простое число Р делит произведение чисел X и Y без остатка, то оно может точно так же поделить или X, или Y.

Звучит несколько сложновато, хотя на деле все это просто. Так, возьмем для примера P = 2, X = 6, Y = 9. И тогда получается, что

В нашем примере P делит это произведение без остатка:

А значит наша P может поделить без остатка или X, или Y. Очевидно, что это X:

Y/P = 9/2 = 4,5 (не подходит)

Как быстро и легко определить простые числа

И еще одно понятие, которое связано с простыми числами. Оно названо в честь другого древнегреческого математика Эратосфена Киренского.

Этот человек придумал, как быстро и легко определить простые числа. В частности, он сделал таблицу, в которой были указаны значения до 1000.

Свою таблицу он нарисовал на глиняной дощечке. А после прокалывал те клеточки, на которых были написаны составные числа. В результате получилось нечто вроде решета, отсюда собственно и название метода.

Кстати, пользоваться решетом Эратосфена весьма просто. Например, сделаем таблицу до 50.

После этого из нее надо поочередно вычеркивать числа, которые кратны 2, 3, 5, 7 и 11. В результате получится вот это:

Те числа, которые остались, и есть простые. Можете сравнить этот ряд с тем, который мы давали в начале статьи. Точно таким же способом можно составить абсолютно любой ряд простых чисел = хоть до тысячи, хоть до миллиона и больше.

Вот и все, что мы хотели рассказать о ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ в математике.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (1)

Математика весьма хитрая наука, да и простые числа не такие уж и простые, понимание простых и составных чисел привело человечество к тому техническому прогрессу, что окружает нас сейчас.

Источник

Простое число

Просто́е число́ — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы.

Последовательность простых чисел начинается так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, … (последовательность A000040 в OEIS, см. также список простых чисел)

Содержание

Разложение натуральных чисел в произведение простых

Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Таким образом, простые числа — элементарные «строительные блоки» натуральных чисел.

Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые или факторизацией числа. На настоящий момент неизвестны полиномиальные алгоритмы факторизации чисел, хотя и не доказано, что таких алгоритмов не существует. На предполагаемой большой вычислительной сложности задачи факторизации базируется криптосистема RSA и некоторые другие. Факторизация с полиномиальной сложностью теоретически возможна на квантовом компьютере с помощью алгоритма Шора.

Алгоритмы поиска и распознавания простых чисел

Простые способы нахождения начального списка простых чисел вплоть до некоторого значения дают Решето Эратосфена, решето Сундарама и решето Аткина.

Однако, на практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется проверить, является ли данное число простым. Алгоритмы, решающие эту задачу, называются тестами простоты. Существует множество полиномиальных тестов простоты, но большинство их являются вероятностными (например, тест Миллера — Рабина) и используются для нужд криптографии. В 2002 году было доказано, что задача проверки на простоту в общем виде полиномиально разрешима, но предложенный детерминированный тест Агравала — Каяла — Саксены имеет довольно большую вычислительную сложность, что затрудняет его практическое применение.

Для некоторых классов чисел существуют специализированные эффективные тесты простоты (см. ниже).

Бесконечность множества простых чисел

Простых чисел бесконечно много. Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так:

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор. Противоречие.

Математики предлагали другие доказательства. Одно из них (приведённое Эйлером) показывает, что сумма величин, обратных к первым n простым числам, неограниченно растёт с ростом n.

Теорема о распределении простых чисел утверждает, что количество простых чисел меньших n, обозначаемое , растёт как .

Наибольшее известное простое

Наибольшим известным простым числом по состоянию на февраль 2011 года является . Оно содержит 12 978 189 десятичных цифр и является простым числом Мерсенна (M_43112609). Его нашли 23 августа 2008 года на математическом факультете университета UCLA в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS.

Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты: теста Люка — Лемера. Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые.

За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF назначила [2] денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США. Ранее EFF уже присуждала призы за нахождение простых чисел из 1 000 000 и 10 000 000 десятичных цифр.

Простые числа специального вида

Существует ряд чисел, простота которых может быть установлена эффективно с использованием специализированных алгоритмов.

С использованием теста Бриллхарта-Лемера-Селфриджа (англ.) может быть проверена простота следующих чисел:

Для поиска простых чисел обозначенных типов в настоящее время используются проекты распределенных вычислений GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen or Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Некоторые свойства

содержащий 26 переменных и имеющий степень 25. Наименьшая степень для известных многочленов такого типа — 5 при 42 переменных; наименьшее число переменных — 10 при степени около 15905. [6] Этот результат является частным случаем доказанной Юрием Матиясевичем диофантовости любого перечислимого множества.

Открытые вопросы

До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, наиболее известные из которых были перечислены Эдмундом Ландау на Пятом Международном математическом конгрессе [7] :

Открытой проблемой является также существование бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях, включая числа Фибоначчи, числа Ферма и т. д.

Приложения

Большие простые числа (порядка ) используются в криптографии с открытым ключом. Простые числа также используются в хеш-таблицах и для генерации псевдослучайных чисел (в частности, в ГПСЧ вихрь Мерсенна).

Источник

Числа. Простые числа.

Натуральные числа, большие единицы и числа, которые не являются простыми, называют составными числами. Т.о., все натуральные числа делятся на 3 класса: единица (имеет 1 делитель), простые числа (имеют 2 делителя) и составные числа (имеют больше 2-х делителей).

Начало последовательности простых чисел выглядит так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

Если представить натуральные числа как произведение простых, то это будет называться разложение на простые либо факторизация числа.

Самое большое простое число, которое известно.

Некоторые свойства простых чисел.

Допустим, p — простое, и p делит ab, тогда p делит a либо b.

Кольцо вычетов Z_n будет называться полем только в случае, если n — простое.

Характеристика всех полей — это нуль либо простое число.

Когда G — конечная группа, у которой порядок |G| делят на p, значит, у G есть элемент порядка p (теорема Коши).

Натуральное p > 1 будет простым лишь в случае, если (p-1)! + 1 можно подулить на p (теорема Вильсона).

Когда n > 1 — натуральное, значит, есть простое p: n 1 — целые взаимно простые числа, содержит нескончаемое число простых чисел (Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии).

Любое простое число, которое большее тройки, можно представить как 6k+1 либо 6k-1, где k — натуральное число. Исходя из этого, когда разность нескольких последовательных простых чисел (при k>1) одинаковая, значит, она точно делится на шесть — к примеру: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.

Теорема Грина-Тао. Есть бесконечные арифметические прогрессии, которые состоят из простых чисел.

Ни одно простое число нельзя представить как n 2k+1 +1, где n>1, k>0. Другими словами, число, которое предшествует простому, не может быть кубом либо более высокой нечётной степенью с основанием, которое больше единицы.

Есть многочлены, у которых множество неотрицательных значений при положительных значениях переменных совпадает с множеством простых чисел. Пример:

Источник

Что такое Простые числа

Простые числа — это натуральные числа, больше единицы, которые делятся без остатка только на 1 и на само себя. Например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Единица не является ни простым числом, ни составным.

Последовательность простых чисел начинается с 2 и является бесконечной; наименьшее простое число — это 2 (делится на 1 и на самого себя).

Составные числа — это натуральные числа, у которых есть больше двух делителей (1, оно само и например, 2 и/или 3); это противоположность простым числам. Например: 4, 6, 9, 12 (все делятся на 2, на 3, на 1 и на само себя).

Все натуральные числа считаются либо простыми, либо составными (кроме 1).

Натуральные числа — это те числа, которые возникли натуральным образом при счёте предметов; например: 1, 2, 3, 4. (нет ни дробей, ни 0, ни чисел ниже 0).

Зачастую множество простых чисел в математике обозначается буквой P.

Простые числа до 1000

Как определить, является ли число простым?

Очень простой способ понять, является ли число простым — нужно его разделить на простые числа и посмотреть, получится ли целое число. Сначала нужно попробовать его разделить на 2 и/или на 3. Если получилось целое число, то оно не является простым.

Если после первого деления не получилось целого числа, значит нужно попробовать разделить его на другие простые числа: 5, 7, 11 и т. д. (на 9 делить не нужно, т. к. это не простое число и оно делится на 3, а на него вы уже делили).

Более структурированный метод — это решето Эратосфена.

Решето Эратосфена

Это алгоритм поиска простых чисел. Для этого нужно:

Те числа, которые не будут вычеркнуты в конце этого процесса, являются простыми.

Взаимно простые числа

Это натуральные числа, у которых 1 — это единственный общий делитель. Например:

Число Мерсенна

Простое число Мерсенна — это простое число вида:

До 1536 г. многие считали, что числа такого вида были все простыми, пока математик Ульрих Ригер не доказал, что 2 (^11) – 1 = 2047 было составным (23 x 89). Затем появились и другие составные числа (p = 23, 29, 31, 37 и др.).

Например, для p = 23 это 2 (^23) – 1 = 8 388 607; И 47 x 178481 = 8 388 607, значит оно составное.

Почему 1 не является простым числом?

Российские математики Боревич и Шафаревич в своей знаменитой работе «Теория чисел» (1964 г.) определяют простое число как p (элемент кольца D), не равен ни 0, ни 1. И p можно называть простым числом, если его невозможно разложить на множители ab (т.е. p = ab), притом ни один из них не является единицей в D. Так как 1 невозможно представить ни в одном, ни в другом виде, 1 не считается ни простым числом, ни составным.

Почему 4 не является простым числом?

Простое число — это натуральное число, больше единицы, которое делится без остатка на 1 и на само себя. Т. к. 4 можно разделить на 1, на 2 и на 4, из-за деления на 2 оно не является простым.

Самое большое простое число

21 декабря 2018 года Great Internet Mersenne Prime Search (проект, целью которого является открытие новых простых чисел Мерсенна) обнаружил новое самое большое известное простое число:

Новое простое число также именуется M82589933 и в нём более чем на полтора миллиона цифр больше, чем в предыдущем (найденном годом ранее).

Источник

Простые и составные числа

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные определения

Натуральные числа больше единицы бывают простые и составные.

Простое число — это натуральное число больше 1, у которого есть всего два делителя: единица и само число.

Составное число — похоже на простое. Это точно такое же натуральное число больше единицы, которое делится на единицу, на само себя и еще хотя бы на одно натуральное число.

Число 1 — не является ни простым, ни составным числом, так как у него только один делитель — 1. Именно этим оно отличается от всех остальных натуральных чисел.

Число 2 — первое наименьшее простое, единственное четное, простое число. Все остальные — нечетные.

Число 4 — первое наименьшее составное число.

В математике есть первые простые и составные числа, но последних таких чисел не существует.

А еще не существует простых чисел, которые оканчиваются на 4, 6, 8 или 0. В числе простых есть только одно число, которое заканчивается на 2 — и это само число 2. Из оканчивающихся на 5 — число 5. Все остальные оканчиваются на 1, 3, 7 или 9, за исключением 21, 27, 33 и 39.

Таблица простых чисел до 1000

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Источник