Что значит пропорционально в геометрии 8 класс
Прямая и обратная пропорциональность
Основные определения
Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.
Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.
Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.
Есть две разновидности пропорциональностей:
Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.
Прямо пропорциональные величины
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.
Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».
a и d называются крайними членами, b и c — средними.
Свойство прямо пропорциональной зависимости:
Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.
Примеры прямо пропорциональной зависимости:
Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.
Формула прямой пропорциональности
y = kx,
где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.
Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента прямой пропорциональности:
Пример 1.
В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.
Пример 2.
Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?
Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.
Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.
Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:
Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.
Обратно пропорциональные величины
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.
Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».
Свойство обратной пропорциональности величин:
Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
Примеры обратно пропорциональной зависимости:
Формула обратной пропорциональности
где y и x — это переменные величины,
k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента обратной пропорциональности:
Потренируемся
Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?
Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?
Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.
Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.
Пропорциональные отрезки
Всего получено оценок: 313.
Всего получено оценок: 313.
Пропорциональные отрезки очень важны для определения подобия фигур. К тому же, правильно нареченные пропорционально рисунки помогают в правильном решении математических задач. Именно поэтому так важно разбираться в данной тематике.
Определение
Пропорциональными отрезками называются отрезки, у которых имеется постоянный коэффициент пропорциональности. Под коэффициентом пропорциональности понимается отношение длин отрезков.
Рис. 1. Пропорциональные отрезки.
Согласно определению пропорциональных отрезков, два отрезка всегда пропорциональны между собой, поскольку их длины не меняются со временем. Значит, не меняется и коэффициент пропорциональности.
Несмотря на это, чаще всего под пропорциональными отрезками понимают отрезки с коэффициентом кратным 0,5. Например, отрезки с коэффициентом 2,5, 1,5, 2 и тому подобные.
Пропорциональными будут являться и отрезки, составляющие подобные фигуры. Это действует в обе стороны. Если фигуры подобны, то их стороны пропорциональны, если все стороны пропорциональны, то фигуры подобны.
Подобные фигуры
Нужно понимать, что подобными фигурами могут быть не только треугольники, но вообще любые фигуры в геометрии, если все углы этих фигур равны, а длины сторон пропорциональны.
Рис. 2. Подобные фигуры.
Но при этом признаки подобия существуют только для треугольников. Их всего 3:
Пропорциональными могут быть только отрезки, как объекты имеющие длину. Прямая или луч бесконечны, а потому не могут быть подобными.
Пример
Решим небольшую задачу на пропорциональность отрезков. Имеется 3 пропорциональных отрезка. Каждый из которых больше предыдущего. Первый отрезок равен 5, третий 20. Необходимо найти длину второго отрезка.
Отрезки пропорциональны, значит отношение больших к меньшим будет постоянным. Обозначим неизвестны отрезок за х и решим уравнение.
Перенесем выражение из правой части в левую. Приведем получившееся выражение под один знаменатель и решим дробно-рациональное уравнение.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое пропорциональные отрезки. Выделили области, где могут быть применены навыки обращения с пропорциональными длинами и привели пример на заданную тему.
Пропорциональные отрезки
Вокруг нас немало предметов, которые имеют одинаковую D форму, но разные размеры. Самый простой пример — большой и маленький мячи. В геометрии фигуры одинаковой формы называются подобными. Данная глава посвящена изучению подобных треугольников и признаков их подобия. Эти признаки широко используются в геометрии, в частности с их помощью будет доказано утверждение, сформулированное ещё при изучении геометрии в 7 классе: медианы треугольника пересекаются в одной точке. Кроме того, будет рассказано об использовании свойств подобных треугольников при проведении измерительных работ на местности.
Отношением отрезков АВ и CD называется отношение их длин, т. е. 
Говорят, что отрезки АВ и CD пропорциинальны отрезкам А1В1 и C1D1, если 
Например, отрезки АВ и CD, длины которых равны 2 см и 1 см, пропорциональны отрезкам А1В1 и C1D1, длины которых равны 3 см и 1,5 см. В самом деле,
Понятие пропорциональности вводится и для большего числа отрезков. Так, например, три отрезка АВ, CD и EF пропорциональны трём отрезкам А1В1 С1D1, и E1F1, если справедливо равенство
Геометрия
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Пропорциональные отрезки
Если известна длина двух отрезков, то можно узнать, во сколько раз один из них больше другого. Например, если некоторый отрезок NM = 24 см, а другой отрезок KP = 4 см, то можно утверждать, что NM в 6 раз длиннее, так как
Величину NM/KP именуют отношением отрезков NM и KP. Надо заметить, что в ряде случаев отношение отрезков можно найти, не зная их длины. Пусть в ∆МКР проведена медиана МН. Очевидно, что отрезок КР будет вдвое длиннее КН, ведь Н – середина КР:
Другой пример – это отношение между диагональю квадрата и его стороной.
Используя теорему Пифагора, несложно показать, что в любом квадрате АВСD
Наконец, в прямоугольном треуг-ке, один из углов которого равен 30°, гипотенуза всегда вдвое длиннее меньшего из катетов:
Если отношение отрезка AB к А1В1 равно отношению отрезка СD к С1D1, то говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам А1В1 и С1D1. Например, пусть
Получается, AВ и CD пропорциональны А1В1 и С1D1. Важно отметить, что пропорциональны могут быть также сразу три и более отрезка.
Определение подобных треугольников
В жизни нередко можно наблюдать объекты, у которых совпадает форма, но отличаются размеры. В качестве примера можно привести мяч для настольного тенниса и баскетбольный мяч. Оба этих предмета имеют форму шара, на баскетбольный мяч значительно больше. Другой пример – настоящий танк и игрушка, изображающая его. Часто подобны друг другу матрешки, которые вкладываются друг в друга – все они выглядят одинаково, а отличаются только общим размером. Наконец, подобны и знаменитые египетские пирамиды:
Такие объекты в геометрии именуют подобными. Подобны друг другу любые две окружности и любые два квадрата. Но особо важную роль в геометрии играют подобные треугольники. Рассмотрим это понятие подробнее.
Пусть есть два треуг-ка, ∆AВС и ∆А1В1С1, у которых соответственно равны углы:
Стороны, которые лежат против одинаковых углов в таких треуг-ках, именуют сходственными. Ими являются стороны AВ и А1В1, ВС и В1С1, АС и А1С1.
Можно дать такое определение подобных треугольников:
Таким образом, подобие треугольников (оно обозначается символом ∾) обозначает выполнение сразу нескольких равенств:
Отношение между сходственными сторонами подобных треуг-ков именуется коэффициентом подобия и обозначается буквой k:
Грубо говоря, подобие треуг-ков означает, что их форма одинакова, но один из них в несколько раз больше или меньше другого. Чтобы получить, из одного треуг-ка другой, равный ему по размерам, его надо просто «масштабировать». Например, на этом рисунке все стороны исходного треуг-ка просто увеличили в три раза:
Это значит, что коэффициент подобия в данном случае равен 3. Однако важно понимать, что в различных геометрических задачах подобные треуг-ки также могут быть повернуты друг относительно друга:
Задание. ∆AВС подобен ∆DEF. Известно, что
Найдите длину ЕF.
Решение. Как только в задаче появляются подобные треуг-ки, стоит сразу же определить их коэффициент подобия, а для этого надо разобраться, какие стороны будут сходственными. Так как∠А = ∠Е, то лежащие против них стороны DF и ВС– сходственные. Их отношение и будет равно коэффициенту подобия:
Получили, что стороны ∆DEF вдвое длиннее сходственных им сторон ∆AВС. У подобных треуг-ков углы одинаковы, поэтому∠С = ∠D. Отсюда следует, что стороны AВ и ЕF сходственны, а потому ЕF вдвое больше:
Задание. ∆AВС и∆DEF – подобные. Известно, что
Найдите длину ЕF.
Решение. По сравнению с предыдущей задачей изменилось только одно условие, теперь∠А = ∠D. Однако это меняет сходственные стороны. Из подобия треуг-ков следует, что∠С = ∠Е. Тогда сходственными оказываются уже стороны AВ и DF. Найдем коэффициент подобия треугольников:
Сходственными являются также стороны ВС и ЕF (ведь∠А = ∠D), поэтому ЕF в 1,25 раза длиннее:
Эти две задачи показывают, как важно правильно определять сходственные стороны подобных треугольников.
Естественно, что все равные друг другу треуг-ки являются одновременно и подобными, причем их коэффициент подобия равен единице.
Задание. Докажите, что у подобных треуг-ков отношение их периметров равно коэффициенту подобия.
Решение. Пусть подобны ∆ AВС и ∆А1В1С1, причем
Периметр ∆AВС можно вычислить так:
Мы доказали утверждение, сформулированное в условии.
Первый признак подобия треугольников
Оказывается, для того, чтобы доказать подобие треуг-ков, не требуется сравнивать все их углы и находить соотношение всех сторон. Существуют три простых признака подобия треугольников.
Однако прежде, чем сформулировать их, нам придется доказать отдельное утверждение, которое известно как обобщенная теорема Фалеса («обычную», не обобщенную теорему мы уже изучали ранее).
Если прямые ВВ1 и СС1 (показаны красным цветом)параллельны, то отрезки AВ и АС пропорциональны отрезкам AВ1 и АС1, то есть справедливо соотношение:
Доказывать будем от противного. Пусть отрезки AВ и АС непропорциональны AВ1 и АС1. Тогда отметим наАС такую точку Н, которая разобьет АС на пропорциональные отрезки, то есть
Естественно, эта точка не будет совпадать с С1. Рассмотрим случай, когда она окажется правее, чем С1:
Теперь поступим следующим образом. Проведем через стороны угла большое число прямых, параллельных ВС, которые будут разбивать АС на одинаковые отрезки. По теореме Фалеса эти же прямые отсекут одинаковые отрезки и на AВ. При этом мы проведем настолько много параллельных прямых, что хотя бы одна из них пересечет отрезок С1Н:
Пусть эта прямая пересечет отрезок С1Н в некоторой точке С2, а сторону AВ в точке В2. Ясно, что отрезки AВ и АВ2 пропорциональны отрезкам АС и АС2, так как они состоят из одинакового количества одинаковых отрезков. Например, на построенном рисунке отношение AB2 к AB равно 5/8, так как AB2 состоит из 5 отрезков, отсеченных зелеными параллельными прямыми, а AB состоит из 8 таких отрезков. Аналогично и отношение АС2 к АС также равно 5 к 8. Таким образом, можно записать:
Здесь мы рассмотрели случай, когда точка Н лежит правее С1, то есть АН >C1. Случай, когда АН 2 раз. Докажем это.
Пусть ∆AВС и ∆А1В1С1 подобны с коэффициентом подобия k. Снова проведем в них высоты СН и СН1:
Запишем очевидные равенства:
В итоге получили, что площади подобных треугольников отличаются в k 2 раз.
Задание. Известно, у ∆AВС площадь составляет 10, а отрезок AВ имеет длину 5. ∆DEF подобен ∆AВС, причем сторона DE, сходственная AВ, равна 15. Вычислите площадь ∆DEF.
Решение. По условию задачи легко найти коэффициент подобия ∆AВС и ∆DEF, надо лишь поделить одну сходственную сторону на другую:
Решение. Зная площади треуг-ков, легко найдем коэффициент их подобия:
Если коэффициент равен 2, то стороны первого многоугольника вдвое меньше сторон второго, поэтому интересующая нас сторона равна
Презентация к уроку геометрии в 8 классе по теме «Пропорциональные отрезки»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Урок геометрии в 8 классе по теме «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике» Грибовская Валентина Алексеевна МОБУ «СОШ №90»
h2 = ac ∙ bc b2 = с ∙ bс а2 = с ∙ aс 21.02.2014 Тема урока: Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике Цели урока: формирование навыков решения задач на применение теории подобных треугольников; развитие навыков самоконтроля; знакомство с примерами экзаменационных задач.
Ответьте на вопросы 1-5: a2 = c ∙ ac b2 = c ∙ bc h2 = ac ∙ bc
Вопрос 1: Какие треугольники называются подобными? Проверьте ответ:
Вопрос 2: Сформулируйте основное свойство пропорции. Проверьте ответ: Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних ее членов.
Устное задание: Найдите неизвестный член пропорции: x = 6∙7:5 = 8,4
Вопрос 3: Какой отрезок называется средним пропорциональным? Проверьте ответ: Отрезок x называется cредним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков a и b, если
Вопрос 4: Назовите пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике h2 = ac ∙ bc Проверьте ответ: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Вопрос 5: Назовите пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике а2 = c ∙ aс b2 = c ∙ bс Проверьте ответ: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Решите задачи 1-2: Найти пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике по формулам: а2 = c ∙ aс b2 = c ∙ bс h2 = ac ∙ bc
Решение задач из реальных заданий ГИА Задача из ГИА по математике – 2013 Человек ростом 1,7м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте расположен фонарь?
Решение задач из реальных заданий ГИА Задача из ГИА по математике – 2013 Человек ростом 1,7м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте расположен фонарь?
Выполните проверку Решение: 1) Δ ACB
Δ DCE по двум углам 2) Ответ: 5,1 метра.
Домашнее задание: Прочесть абзац учебника стр. 150 Решить в «Рабочей тетради» задачи №66, 68
Самостоятельная работа с тестом по вариантам: Выполнить задания 1-5. Сдать тетради на проверку.
Спасибо за урок, ребята!
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДA-047985
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Рособрнадзор объявил сроки и формат ЕГЭ
Время чтения: 1 минута
В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников
Время чтения: 1 минута
НИУ ВШЭ откроет первую в России магистратуру по управлению низкоуглеродным развитием
Время чтения: 2 минуты
ЕГЭ в 2022 году пройдет в доковидном формате
Время чтения: 1 минута
Костромская область разработала программу привлечения педагогических кадров
Время чтения: 2 минуты
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.