Что значит произведение полусуммы

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Формулы сложения.

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α – β) = sin α · cos β – sin β · cos α

cos (α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β

cos (α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 – tg α · tg β)

tg (α – β) = (tg α – tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β – ctg α)

ctg (α – β) = (ctg α · ctg β – 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Геометрическое определение синуса и косинуса

|BD| – длина дуги окружности с центром в точке A.
α – угол, выраженный в радианах.

Синус ( sin α ) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|. Косинус ( cos α ) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

Тригонометрические функции суммы и разности углов

Список формул

Запишем формулы суммы и разности синусов и косинусов. Как Вы понимаете, их четыре штуки: две для синусов и две для косинусов.

Теперь дадим их формулировки. При формулировании формул суммы и разности синусов и косинусов угол называют полусуммой углов и , а угол – полуразностью. Итак,

Стоит отметить, что формулы суммы и разности синусов и косинусов справедливы для любых углов и .

Формулы двойного угла.

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 – tg² α)

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Примеры использования

Разберем несколько примеров использования формул суммы синусов и косинусов, а также разности синусов и косинусов.

В некоторых случаях использование формул суммы и разности синусов и косинусов позволяет вычислять значения тригонометрических выражений, когда углы отличны от основных углов (). Приведем решение примера, подтверждающего эту мысль.

Вычислите точное значение разности синусов 165 и 75 градусов.

Таким образом, имеем

.

Несомненно, главная ценность формул суммы и разности синусов и косинусов заключается в том, что они позволяют перейти от суммы и разности к произведению тригонометрических функций (по этой причине эти формулы часто называют формулами перехода от суммы к произведению тригонометрических функций). А это в свою очередь может быть полезно, например, при преобразовании тригонометрических выражений или при решении тригонометрический уравнений. Но эти темы требуют отдельного разговора.

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формула	Название формулы
	Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла
	Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла
	Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла

Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла

Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла

Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла

Основные тригонометрические тождества

Вывод формул

Также нам потребуется представление углов и в виде и . Такое представление правомерно, так как и для любых углов и .

Теперь подробно разберем вывод формулы суммы синусов двух углов вида .

Сначала в сумме заменяем на , а на , при этом получаем . Теперь к применяем формулу синуса суммы, а к – формулу синуса разности:

После приведения подобных слагаемых получаем . В итоге имеем формулу суммы синусов вида .

Для вывода остальных формул нужно лишь проделать аналогичные действия. Приведем вывод формул разности синусов, а также суммы и разности косинусов:

Итак, мы разобрали доказательство всех формул суммы и разности синусов и косинусов.

Соотношение между косинусом и тангенсом:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 или sec 2 α−tan 2 α=1.

Данная формула является следствием основного тригонометрического тождества и получается из него делением левой и правой части на cos2α. Предполагается, что α≠π/2+πn,n∈Z.

Соотношение между синусом и котангенсом:

1/sin 2 α−cot 2 α=1 или csc 2 α−cot 2 α=1.

Эта формула также следует из основного тригонометрического тождества (получается из него делением левой и правой части на sin2α. Здесь предполагается, что α≠πn,n∈Z.

Формулы приведения

Источник

7 примеров использования формулы СУММЕСЛИ в Excel с несколькими условиями

В таблицах Excel можно не просто находить сумму чисел, но и делать это в зависимости от заранее определённых критериев отбора. Мы рассмотрим, как правильно применить функцию СУММЕСЛИ (Sumif) в таблицах Excel. Начнем с самых простых случаев, как можно использовать при этом знаки подстановки, назначить диапазон суммирования, работать с числами, текстом и датами. Особо остановимся на том, как использовать сразу несколько условий. И, конечно, мы применим новые знания на практике, рассмотрев несложные примеры.

Хорошо, что функция СУММЕСЛИ одинакова во всех версиях MS Excel, с 2016 по 2003 год. Еще одна приятная новость: если вы потратите некоторое время на ее изучение, вам потребуется совсем немного усилий, чтобы понять другие «ЕСЛИ»-функции, такие как СУММЕСЛИМН, СЧЕТЕСЛИ, СЧЕТЕСЛИМН и т.д.

Как пользоваться СУММЕСЛИ в Excel – синтаксис

Её назначение – найти итог значений, которые удовлетворяют определённым требованиям.

Синтаксис функции выглядит следующим образом:

=СУММЕСЛИ(диапазон, критерий, [диапазон_суммирования])

Диапазон – это область, которую мы исследуем на соответствие определённому значению.

Критерий – это значение или шаблон, по которому мы производим отбор чисел для суммирования.

Значение критерия может быть записано прямо в самой формуле. В этом случае не забывайте, что текст нужно обязательно заключать в двойные кавычки.

Также он может быть представлен в виде ссылки на ячейку таблицы, в которой будет указано требуемое ограничение. Безусловно, второй способ является более рациональным, поскольку позволяет гибко менять расчеты, не редактируя выражение.

Итак, если он указан, то расчет идет именно по его данным. Если отсутствует, то складываются значения из той же области, где производился поиск.

Чтобы лучше понять это описание, рассмотрим несколько простых задач. Надеюсь, что они будут понятны не только «продвинутым» пользователям, но и подойдут для «чайников».

Примеры использования функции СУММЕСЛИ в Excel

Сумма если больше чем, меньше, или равно

Начнем с самого простого. Предположим, у нас есть данные о продажах шоколада. Рассчитаем различные варианты продаж.

D2:D21 – это координаты, в которых мы ищем значение.

I2 – ссылка на критерий отбора. Иначе говоря, мы ищем ячейки со значением 144 и складываем их.

Поскольку третий параметр функции не указан, то мы сразу складываем отобранные числа. Область поиска будет одновременно являться и диапазоном суммирования.

Можно указать его прямо в формуле, как это сделано в I13

=СУММЕСЛИ(D2:D21;»

В I3 запишем выражение:

F2:F21 – это область, в которой мы отбираем подходящие значения.

I2 – здесь записано, что именно отбираем.

E2:E21 – складываем числа, соответствующие найденным совпадениям.

Конечно, можно указать параметр отбора прямо в выражении:

Но мы уже договорились, что так делать не совсем рационально.

Важное замечание. Не забываем, что все текстовые значения необходимо заключать в кавычки.

Подстановочные знаки для частичного совпадения.

При работе с текстовыми данными часто приходится производить поиск по какой-то части слова или фразы.

Вернемся к нашему случаю. Определим, сколько всего было заказов на черный шоколад. В результате, у нас есть 2 подходящих наименования товара. Как учесть их оба? Для этого есть понятие неточного соответствия.

Мы можем производить поиск и подсчет значений, указывая не всё содержимое ячейки, а только её часть. Таким образом мы можем расширить границы поиска, применив знаки подстановки “?”, “*”.

Символ “?” позволяет заменить собой один любой символ.

Символ ”*” позволяет заменить собой не один, а любое количество символов (в том числе ноль).

Эти знаки можно применить в нашем случае двумя способами. Либо прямо вписать их в таблицу –

=СУММЕСЛИ(C2:C21;»*»&I2&»*»;E2:E21)

где * вставлены прямо в выражение и «склеены» с нужным текстом.

Этому требованию соответствует “Нет”.

Подойдет “Зеленый”, “Оранжевый”, “Серебряный”, “Голубой”, “Коричневый”, “Золотой”, “Розовый”.

) нужно поставить перед каждым из них. К примеру, если мы будем искать текст, состоящий из трех звездочек, то можено записать так:

А если текст просто содержит в себе 3 звездочки, то можно наше выражение переписать так:

Точная дата либо диапазон дат.

Если нам нужно найти сумму чисел, соответствующих определённой дате, то проще всего в качестве критерия указать саму эту дату.

Примечание. При этом не забывайте, что формат указанной вами даты должен соответствовать региональным настройкам вашей таблицы!

Обратите внимание, что мы также можем здесь вписать ее прямо в формулу, а можем использовать ссылку.

Рассчитываем итог продаж за сегодняшний день – 04.02.2020г.

Рассчитаем за вчерашний день.

=СУММЕСЛИ(A2:A21;СЕГОДНЯ()-1;E2:E21)

СЕГОДНЯ()-1 как раз и будет «вчера».

Складываем за даты, которые предшествовали 1 февраля.

А если нас интересует временной интервал «от-до»?

Мы можем рассчитать итоги за определённый период времени. Для этого применим маленькую хитрость: разность функций СУММЕСЛИ. Предположим, нам нужна выручка с 1 по 4 февраля включительно. Из продаж после 1 февраля вычитаем все, что реализовано до 4 февраля.

Если критерий указать просто “*”, то мы учитываем для подсчета непустые ячейки, в которых имеется хотя бы одна буква или символ (кроме пустых).

Теперь рассмотрим, как можно находить сумму, соответствующую пустым ячейкам.

Для того, чтобы найти пустые, в которых нет ни букв, ни цифр, в качестве критерия поставьте парные одинарные кавычки ‘’, если значение критерия указано в ячейке, а формула ссылается на неё.

Если же указать на отбор только пустых ячеек в самой формуле, то впишите двойные кавычки.

=СУММЕСЛИ(F2:F21;«»;E2:E21)

Сумма по нескольким условиям.

Функция СУММЕСЛИ может работать только с одним условием, как мы это делали ранее. Но очень часто случается, что нужно найти совокупность данных, удовлетворяющих сразу нескольким требованиям. Сделать это можно как при помощи некоторых хитростей, так и с использованием других функций. Рассмотрим все по порядку.

Вновь вернемся к нашему случаю с заказами. Рассмотрим два условия и найдем, сколько всего сделано заказов черного и молочного шоколада.

1. СУММЕСЛИ + СУММЕСЛИ

Находим сумму заказов по каждому виду товара, а затем просто их складываем. Думаю, с этим вы уже научились работать :).

Это самое простое решение, но не самое универсальное и далеко не единственное.

2. СУММ и СУММЕСЛИ с аргументами массива.

Вышеупомянутое решение очень простое и может выполнить работу быстро, когда критериев немного. Но если вы захотите работать с несколькими, то она станет просто огромной. В этом случае лучшим подходом является использование в качестве аргумента массива критериев. Давайте рассмотрим этот подход.

Вы можете начать с перечисления всех ваших условий, разделенных запятыми, а затем заключить итоговый список, разделенный точкой с запятой, в <фигурные скобки>, который технически называется массивом.

Если вы хотите найти покупки этих двух товаров, то ваши критерии в виде массива будут выглядеть так:

Поскольку здесь использован массив критериев, то результатом вычислений также будет массив, состоящий из двух значений.

А теперь воспользуемся функцией СУММ, которая умеет работать с массивами данных, складывая их содержимое.

=СУММ(СУММЕСЛИ($C$2:$C$21; ;$E$2:$E$21))

Важно, что результаты вычислений в первом и втором случае совпадают.

3. СУММПРОИЗВ и СУММЕСЛИ.

А если вы предпочитаете перечислять критерии в какой-то специально отведенной для этого части таблицы? Можете использовать СУММЕСЛИ в сочетании с функцией СУММПРОИЗВ, которая умножает компоненты в заданных массивах и возвращает сумму этих произведений.

Вот как это будет выглядеть:

в H3 и H4 мы запишем критерии отбора.

Но, конечно, ничто не мешает вам перечислить значения в виде массива критериев:

=СУММПРОИЗВ(СУММЕСЛИ(C2:C21; ;E2:E21))

Результат, возвращаемый в обоих случаях, будет идентичен тому, что вы наблюдаете на скриншоте.

Важное замечание! Обратите внимание, что все перечисленные выше три способа производят расчет по логическому ИЛИ. То есть, нам нужны продажи шоколада, который будет или черным, или молочным.

Почему СУММЕСЛИ у меня не работает?

Этому может быть несколько причин. Иногда ваше выражение не возвращает того, что вы ожидаете, только потому, что тип данных в ячейке или в каком-либо аргументе не подходит для нее. Итак, вот что нужно проверить.

1. «Диапазон данных» и «диапазон суммирования» должны быть указаны ссылками, а не в виде массива.

Первый и третий атрибуты функции всегда должны быть ссылкой на область таблицы, например A1: A10. Если вы попытаетесь передать что-нибудь еще, например, массив <1,2,3>, Excel выдаст сообщение об ошибке.

Правильно: =СУММЕСЛИ(A1:A3, «цвет», C1:C3)

Неверно : =СУММЕСЛИ(<1,2,3>, «цвет», C1:C3)

2. Ошибка при суммировании значений из других листов или рабочих книг

Как и любая другая функция Excel, СУММЕСЛИ может ссылаться на другие листы и рабочие книги, если они в данный момент открыты.

Найдем сумму значений в F2: F9 на листе 1 книги 1, если соответствующие данные записаны в столбце A, и если среди них содержатся «яблоки»:

Однако это перестанет работать, как только Книга1 будет закрыта. Это происходит потому, что области, на которые ссылаются формулы в закрытых книгах, преобразуются в массивы и хранятся в таком виде в текущей книге. А поскольку в аргументах 1 и 3 массивы не допускаются, то формула выдает ошибку #ЗНАЧ!.

3. Чтобы избежать проблем, убедитесь, что диапазоны данных и поиска имеют одинаковый размер.

Как отмечалось в начале этого руководства, в современных версиях Microsoft Excel они не обязательно должны иметь одинаковый размер. Но вот в Excel 2000 и более ранних версиях это может вызвать проблемы. Однако, даже в самых последних версиях Excel 2010 и Excel 2016 сложные выражения, в которых диапазон сложения имеет меньше строк и/или столбцов, чем диапазон поиска, являются капризными. Вот почему рекомендуется всегда иметь их одинакового размера и формы.

Источник

Значение слова «полусумма»

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: скинхед — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Синонимы к слову «полусумма&raquo

Предложения со словом «полусумма&raquo

Понятия, связанные со словом «полусумма»

Отправить комментарий

Предложения со словом «полусумма&raquo

Среднегодовая численность населения рассчитывается как полусумма численности населения на начало отчётного и на начало следующего календарного года.

Ширину необрезных досок измеряют на середине длины как полусумму ширин обеих пластей (без учёта коры и луба).

Он будет более адекватным, если его рассчитать на численность населения конца года или на среднегодовую численность населения, которая берётся в виде полусуммы численности населения в начале и в конце года.

Синонимы к слову «полусумма&raquo

Карта слов и выражений русского языка

Онлайн-тезаурус с возможностью поиска ассоциаций, синонимов, контекстных связей и примеров предложений к словам и выражениям русского языка.

Справочная информация по склонению имён существительных и прилагательных, спряжению глаголов, а также морфемному строению слов.

Сайт оснащён мощной системой поиска с поддержкой русской морфологии.

Источник

Сумма и разность синусов и косинусов: вывод формул, примеры

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов

Формулы суммы и разности для синусов

Определения формул сумм и разности синусов и косинусов

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы.

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.

Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком.

Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов

Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже

Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей.

Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.

Вывод формулы суммы синусов

В сумме sin α + sin β заменим α и β на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим

Действия по выводу остальных формул аналогичны.

Вывод формулы разности синусов

Вывод формулы суммы косинусов

Вывод формулы разности косинусов

Примеры решения практических задач

Пример 1. Проверка формулы суммы синусов двух углов

Пример 2. Применение формулы разности синусов

С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.

Источник