Что значит привести неравенство
Решение линейных неравенств
Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.
| Символ | Название | Тип знака |
|---|---|---|
| > | больше | строгий знак (число на границе не включается ) |
| строгий знак (число на границе не включается ) | ||
| ≥ | больше или равно | нестрогий знак (число на границе включается ) |
| ≤ | меньше или равно | нестрогий знак (число на границе включается ) |
Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.
В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно « = » используют любой знак сравнения: « > », « », « ≤ » или « ≥ ».
Линейным неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в первой степени.
Рассмотрим пример линейного неравенства.
Как решить линейное неравенство
Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом « 1 ».
При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.
Правило переноса в неравенствах
Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.
Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.
Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.
Нарисуем числовую ось для неизвестного « x » и отметим на ней число « 14 ».
При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:
Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу « x » все решения неравенства, то есть область слева от числа « 14 ».
Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство « x − 6 » даст верный результат.
Возьмем, например число « 12 » из заштрихованной области и подставим его вместо « x » в исходное неравенство « x − 6 ».
Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.
Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.
Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.
В нашем примере ответ « x » можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее « 14 ») будет являться решением неравенства « x − 6 ».
Правило умножения или деления неравенства на число
Рассмотрим другое неравенство.
Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.
Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном « x » стоял коэффициент « 1 ». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число « 2 ».
При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.
Разделим « 2x > 16 » на « 2 ». Так как « 2 » — положительное число, знак неравенства останется прежним.
Рассмотрим другое неравенство.
Разделим неравенство на « −3 ». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.
Равносильные неравенства, преобразование неравенств
В процессе решения неравенств зачастую происходит переход от заданного неравенства к неравенствам иного вида, имеющим то же решение, но определяемое проще. Иными словами, в результате преобразований заданное неравенство возможно заменить равносильным ему, облегчающим поиск решения. Данная статья посвящена способам равносильных преобразований. Сформулируем определение, рассмотрим основные виды преобразований.
Равносильные неравенства: определение, примеры
Равносильные неравенства – неравенства, имеющие одни и те же решения. В частном случае, неравенства, не имеющие решений, тоже называются равносильными.
Иными словами, если неравенства равносильны и имеют решения, то любое решение первого будет являться и решением второго. Ни одно из равносильных неравенств не имеет решений, не являющихся решениями других, равносильных ему неравенств.
Неравенства х > 3 и х ≥ 3 – не равносильные: х = 3 служит решением второго из этих равенств, но не служит решением первого.
Отметим, что указанное определение относится к неравенствам как с одной переменной, так и с двумя, тремя и более.
Равносильные преобразования неравенств
Возможно совершить некоторые действия с правой и левой частью неравенств, что даст возможность получать новые неравенства, имеющие решения, как и у исходного.
Равносильное преобразование неравенства – это замена исходного неравенства равносильным ему, т.е. таким, которое имеет то же множество решений. Сами действия-преобразования, приводящие к равносильному неравенству, тоже называют равносильными преобразованиями.
Равносильные преобразования дают возможность находить решения неравенств, преобразуя заданное неравенство в равносильное ему, но более простое и удобное для решения.
Рассмотрим основные виды равносильных преобразований: по сути без них не обходится решение ни одного неравенства. Отметим также, что равносильные преобразования неравенств очень похожи на равносильные преобразования уравнений. Схожи и принципы доказательства, только, конечно, в данном случае доказательства будут строиться на основе свойств числовых неравенств.
Итак, перечислим основные виды равносильных преобразований неравенств:
Подобные преобразования не должны сужать ОДЗ заданного неравенства, тогда возможно совершать тождественные преобразования обеих сторон неравенства.
Покажем пример использования.
Еще раз особенно укажем, как важен учет ОДЗ (область допустимых значений) при совершении замены частей неравенства тождественными выражениями. В случае, когда ОДЗ нового неравенства будет отлична от ОДЗ исходного, неравенство не может считаться равносильным. Это крайне важный аспект, пренебрежение им приводит к неверным ответам при решении неравенств.
Таким же образом приводится доказательство второй части утверждения. Здесь можно опереться на свойство умножения и деления числовых неравенств на отрицательное число при смене знака неравенства на противоположный.
Расширим и это свойство неравенств:
В целом, есть и другие равносильные преобразования, однако, они не так распространены и скорее имеют отношение к конкретному виду неравенств, например, к логарифмическим неравенствам. Познакомиться с ними можно подробнее в соответствующей теме.
Результат неравносильных преобразований неравенств
Сколь уж существуют равносильные преобразования, имеют место и неравносильные. Такие действия приводят к искажению заданного неравенства и дают в итоге решение, не являющееся истинным для исходного неравенства. Случается, что и при неравносильных преобразованиях получается верный ответ, но это не более чем случайность.
Собственно, вывод очевиден: решая неравенства, производить только равносильные преобразования.
Разберем примеры для лучшего понимания теории.
Пусть необходимо решить второе неравенство.
Посмотрим с другой стороны:
Неравносильные преобразования чаще всего происходят при невнимательном использовании свойств корней, логарифмов и модуля. Эти моменты будут детально рассмотрены в темах о решении неравенств соответствующих видов.
Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Неравенства
Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:
то получится неравенство.
Линейные неравенства
Линейные неравенства – это неравенства вида:
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.
Примеры линейных неравенств:
3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0
Решить линейное неравенство – получить выражение вида:
x c x ≤ c x > c x ≥ c
где c – некоторое число.
Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.
Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.
Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.
Таблица числовых промежутков
