Что значит представьте в виде произведения выражение
Преобразование целых выражений
Благодаря курсу алгебры, известно, что все выражения требуют преобразования для более удобного решения. Определение целых выражений способствует тому, что для начала выполняются тождественные преобразования. Будем преобразовывать выражение в многочлен. В заключении разберем несколько примеров.
Определение и примеры целых выражений
Целые выражения – это числа, переменные или выражения со сложением или вычитанием, которые записываются в виде степени с натуральным показателем, которые также имеют скобки или деление, отличное от нуля.
Многочлен и одночлен являются целыми выражениями, с которыми встречаемся в школе при работе с рациональными числами. Иначе говоря, целые выражения не включают в себя записи иррациональных дробей. Другое название – это целые иррациональные выражения.
Какие преобразования целых выражений возможны?
Целые выражения рассматриваются при решении как основные тождественные преобразования, раскрытие скобок, группирование, приведение подобных.
Для начала необходимо применить правило раскрытия скобок. Получим выражение вида 2 · ( a 3 + 3 · a · b − 2 · a ) − 2 · a 3 − ( 5 · a · b − 6 · a + b ) = = 2 · a 3 + 2 · 3 · a · b + 2 · ( − 2 · a ) − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b = = 2 · a 3 + 6 · a · b − 4 · a − 2 · a 3 − 5 · a · b + 6 · a − b
После чего можем привести подобные слагаемые:
Представить выражение 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( x 3 + 4 · x ) в виде произведения.
6 · y · ( x 2 + 3 · x − 1 ) − ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( x 3 + 4 · x ) = = ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( 6 · y − ( x 3 + 4 · x ) )
Ответ: 6 · x 2 · y + 18 · x · y − 6 · y − ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( x 3 + 4 · x ) = = ( x 2 + 3 · x − 1 ) · ( 6 · y − x 3 − 4 · x )
Тождественные преобразования требуют строгое выполнение порядка действий.
8 · x 8 + 4 · x : 8 = 8 · x 8 + 4 · x · 1 8 = 8 · x 8 + 4 · 1 8 · x = 8 · x 8 + 1 2 · x
Преобразование в многочлен
Большинство случаев преобразования целых выражений – это представление в виде многочлена. Любое выражение можно представить в виде многочлена. Любое выражение может быть рассмотрено как многочлены, соединенные арифметическими знаками. Любое действие над многочленами в итоге дает многочлен.
Для того, чтобы выражение было представлено в виде многочлена, необходимо выполнять все действия с многочленами, согласно алгоритму.
Разберем умножение. Видно, что 2 · ( 2 · x 3 − 1 ) = 4 · x 3 − 2 и ( 4 · x 2 − 4 · x + 1 ) · ( 3 − x ) = 12 · x 2 − 4 · x 3 − 12 · x + 4 · x 2 + 3 − x = = 16 · x 2 − 4 · x 3 − 13 · x + 3
Выполняем сложение, после чего придем к выражению:
Умножение и возведение в степень многочлена говорит о том, что необходимо использовать формулы сокращенного умножения для ускорения процесса преобразования. Это способствует тому, что действия будут выполнены рационально и правильно.
Чтобы преобразование не было слишком длинным, необходимо заданное выражение приводить к стандартному виду.
Упростить выражение вида ( 2 · a · ( − 3 ) · a 2 · b ) · ( 2 · a + 5 · b 2 ) + a · b · ( a 2 + 1 + a 2 ) · ( 6 · a + 15 · b 2 ) + ( 5 · a · b · ( − 3 ) · b 2 )
− 6 · a 3 · b · ( 2 · a + 5 · b 2 ) + a · b · ( 2 · a 2 + 1 ) · ( 6 · a + 15 · b 2 ) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + ( 2 · a 3 · b + a · b ) · ( 6 · a + 15 · b 2 ) − 15 · a · b 3 = = − 12 · a 4 · b − 30 · a 3 · b 3 + 12 · a 4 · b + 30 · a 3 · b 3 + 6 · a 2 · b + 15 · a · b 3 − 15 · a · b 3 = = ( − 12 · a 4 · b + 12 · a 4 · b ) + ( − 30 · a 3 · b 3 + 30 · a 3 · b 3 ) + 6 · a 2 · b + ( 15 · a · b 3 − 15 · a · b 3 ) = 6 · a 2 · b
Ответ: ( 2 · a · ( − 3 ) · a 2 · b ) · ( 2 · a + 5 · b 2 ) + a · b · ( a 2 + 1 + a 2 ) · ( 6 · a + 15 · b 2 ) + + ( 5 · a · b · ( − 3 ) · b 2 ) = 6 · a 2 · b
Что значит представьте в виде произведения выражение
Произведение нескольких одинаковых множителей можно записать в виде степени. Например,
Выражение 5 7 читают по-разному: «Пять в седьмой степени», «Седьмая степень числа пять», «Степень числа пять с показателем семь».
Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.
По определению степени:
Нахождение значения степени называют возведением в степень. Приведем примеры возведения в степень:
При возведении в степень отрицательного числа может получиться как положительное число, так и отрицательное. Например,
Степень отрицательного числа с четным показателем есть число положительное, так как произведение четного числа отрицательных множителей положительно. Степень отрицательного числа с нечетным показателем есть число отрицательное, так как произведение нечетного числа отрицательных множителей отрицательно.
Квадрат любого числа есть число положительное или нуль, т. е. при любом а.
Вычислим значения нескольких выражений, содержащих степени.
Пример 1. Найдем значение выражения :
Пример 2. Найдем значение выражения
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ
Выражение а 2 а 3 представляет собой произведение двух степеней с одинаковыми основаниями. Это произведение можно записать в виде степени с тем же основанием:
Мы видим, что произведение а 2 а 3 равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей перемножаемых степеней.
Докажем, что для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n
Для этого, используя определение степени и свойства умножения, представим выражение а m а n сначала в виде произведения множителей, каждый из которых равен а, а затем в виде степени:
Доказанное равенство выражает свойство произведения степеней. Его называют основным свойством степени. Оно распространяется на произведение трех и более степеней.
Отсюда следует правило умножения степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.
Мы видим, что частное а 7 :а 3 равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя.
Действительно, по основному свойству степени
Значит, по определению частного
Итак, при делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Степень с нулевым показателем не была определена. Так как при всяком и любом натуральном n
то считают, что при
Определение. Всякое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
Например, 2° — 1, (— 3,5)° =1. Выражение 0° не имеет смысла.
ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СТЕПЕНИ
Выражение является степенью произведения множителей а и b. Это выражение можно представить в виде произведения степеней а и b:
Мы видим, что четвертая степень произведения аb равна произведению четвертых степеней множителей а и b.
Докажем, что для любых а и b и произвольного натурального числа n
По определению степени
Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим :
Воспользовавшись определением степени, находим:
Отсюда следует правило: (пpu возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.
Выражение есть степень, основание которой само является степенью. Это выражение можно представить в виде степени с основанием а:
В результате возведения степени а 5 в третью степень мы получили степень с тем же основанием и показателем, равным произведению показателей 5 и 3.
Докажем, что для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n
По определению степени
Согласно основному свойству степени
Заменим сумму произведением mn.
Из равенства следует правило: при возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.
Замены в выражениях
Любое число в выражении может быть заменено таким же числом, но записанным в другой форме. Возьмём для примера следующее выражение, которое уже вычислено:
Давайте заменим число 15 на само себя, но запишем его в другом виде:
(10 + 5) + 3 = 18
Видно, что мы заменили число 15 на выражение в скобках (10 + 5). Но главное выражение 15 + 3 = 18 не пострадало от этого, потому что 15 и (10 + 5) это одно и то же. Ведь 10 + 5 = 15.
Давайте заменим число 18 на само себя, но запишем его в другом виде:
(10 + 5) + 3 = 3 × 6
Теперь заменим последнюю шестёрку на неё же саму, но опять же запишем её в другом виде:
(10 + 5) + 3 = 3 × 2 × 3
Теперь сравним два выражения: первое, которое у нас было и новое, которое мы видоизменили:
На первый взгляд покажется, что это два разных выражения. И так подумает любой, кто увидит эти два выражения в первый раз. Но мы знаем, что это одно и то же выражение. Вся разница в том, что мы видоизменили некоторые его параметры.
Изменять внешний вид этого выражения можно хоть до бесконечности. Главное, чтобы не нарушалось равенство. Значок равенства (=) должен оправдывать своё положение. Помните второй урок? Знак равенства ставится между числами или выражениями только тогда, когда они равны между собой.
Подобные операции, где одно число или выражение заменяется на само себя, но записанное в другом виде, называют преобразованием или представлением.
Представление в виде суммы
Любое число или выражение можно представить в виде суммы. Например, число 10 можно представить в виде суммы 5+5 или 7+3 или 8+2. Как угодно, лишь бы соблюдалось равенство между числом и представленной суммой. Выглядеть это может следующим образом:
В книгах можно встретить задания следующего содержания: представьте в виде суммы и далее приводятся числа или выражения, которые нужно представить в виде суммы. Это как раз тот случай, когда надо включать свои творческие способности и решить какие числа (или выражения) использовать, чтобы выполнить задание.
Представление в виде разности
С прошлых уроков известно, что разность это результат, который получается в результате вычитания одного числа из другого. Но разностью также называется выражение, которое соединено знаком вычитания (−). Например следующие выражения являются разностями:
Любое число можно представить в виде разности. Например, число 50 можно представить в виде разности 90−40 или 80−30 или 60−10. Как угодно, лишь бы соблюдалось равенство между числом 50 и представленной разностью. Выглядеть это может следующим образом:
Представление в виде произведения
С прошлых уроков известно, что произведение это результат, который получается в результате умножения одного числа на другое. Но произведением также называется выражение, которое соединено знаком умножения (×). Например следующие выражения являются произведениями:
Любое число можно представить в виде произведения. Например, число 30 можно представить в виде произведения 5×6 или 10×3 или 15×2. Как угодно, лишь бы соблюдалось равенство между числом 30 и представленным произведением. Выглядеть это может следующим образом:
Представление в виде частного
С прошлых уроков известно, что частное это результат, который получается в результате деления одного числа на другое. Но частным также называется выражение, которое соединено знаком деления (÷). Например, следующие выражения являются частными:
Любое число можно представить в виде частного. Например, число 5 можно представить в виде частного 15÷3 или 25÷5 или 30÷6. Как угодно, лишь бы соблюдалось равенство между числом 5 и представленным частным. Выглядеть это может следующим образом:
На этом данный урок завершён. Для закрепления материала, попробуйте выполнить следующие задания:
Задание 1. Представьте в виде суммы следующие числа: 20, 30, 45, 50. Можете представить любыми числами. Например, первое число 20 можно представить как 15 + 5.
Задание 2. Представьте в виде разности следующие числа: 10, 15, 12, 5 Можете представить любыми числами. Например, первое число можно представить как 15 − 5.
Задание 3. Представьте в виде произведения следующие числа: 30, 40, 72.
Задание 4. Представьте в виде частного следующие числа: 7, 5, 9, 3
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
43 thoughts on “Замены в выражениях”
в 4 шаге где нужно решить задание нету скрытых ответах, я не знаю как себя проверить.
Это творческое задание. На логику. Ответы могу быть разные!
Алгебра
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Определение степени с целым показателем
В 7 классе мы уже изучили степень с натуральным показателем. Напомним, что запись a n означает произведение, состоящее из n множителей, каждый из которых равен a:
Число а именуется основанием степени, а n – это показатель степени. Отдельно напомним, что число в первой степени равно самому себе:
Любое число, кроме нуля, возведенное в нулевую степень, дает единицу:
Сам же ноль в нулевую степень возводить нельзя (так же, как и нельзя делить на ноль).
Математики стремятся по возможности расширить используемые ими понятия. Можно ли сделать показатель степени отрицательным числом? Для этого надо дать новое определение степени. При этом важно, чтобы все уже известные нам правила действий со степенями (их умножение и деление) оставались справедливыми.
При делении степеней их показатели вычитаются, например:
8 15 :8 13 = 8 15 – 13 = 8 2 = 64
Теперь попробуем произвести деление в том случае, когда показатель делимого меньше показателя делителя:
8 15 :8 17 = 8 15 – 17 = 8 – 2
Получили отрицательную степень, смысл которой нам пока не понятен. Выполним это же деление с помощью дробей, при этом учтем, что 8 17 = 8 15 •8 2 :
Итак, мы получили, что
Напомним, что обратными называются числа, которые при умножении друг на друга дают единицу. Примерами обратных чисел являются:
Вообще для каждой дроби обратной является «перевернутая дробь», поэтому следующие пары чисел являются обратными:
Теперь покажем, как вычислять отрицательную степень числа, пользуясь определением:
Вообще находить отрицательную степень дроби удобней с помощью формулы
Докажем ее справедливость:
Покажем применение этой формулы:
Отрицательные степени очень удобны при работе с некоторыми выражениями. В частности, любую дробь с их помощью можно записать в виде произведения:
Пример: Запишите в виде произведения дробь
Отдельно заметим, формулу, определяющую отрицательную степень
можно и «перевернуть». В ней число 1 выступает в роли делимого, выражение а n – это делитель, а a – n – это частное. Известно, что делитель можно получить, поделив делимое на частное, то есть верна запись
Это значит, что справедливо не только равенство
Свойства степени с целым показателем
Правила действий со степенями, имеющими целый показатель, не отличаются от тех, которые мы изучали ранее. Напомним их.
Убедимся в этом на нескольких примерах:
Однако эти примеры ещё не являются полноценными доказательствами этого свойства степеней. Приведем общее доказательство для того случая, когда число в натуральной степени умножается на число в отрицательной степени:
Также докажем справедливость этого правила и в том случае, когда перемножаются два числа в отрицательной степени:
Для строгого доказательства заменим операцию деления на умножение. Так как
Здесь мы сначала заменяем степень a n на дробь 1/а – n (по определению отрицательной степени), а потом пользуемся тем, что деление на дробь равносильно умножению на «перевернутую дробь».
Продемонстрируем применение этого правила:
Следующие правила позволяют работать со степенями, у которых различаются основания, но совпадают показатели:
Покажем, как это работает:
Для общего случая доказательство будет выглядеть так:
Это правило можно проиллюстрировать так:
Приведем доказательство этого свойства для отрицательных степеней с целым показателем:
Как видим, свойства степеней с целыми показателями (в частности, с отрицательными), не отличаются от уже изученных нами свойств степеней с натуральными показателями. Единственное исключение – добавляется дополнительное ограничение, согласно которому основанием степени с отрицательным целым показателем не может быть ноль. То есть запись 0 – 3 не имеет смысла, хотя выражение 0 3 имеет смысл:
Рассмотрим несколько заданий, в которых необходимо использовать правила работы со степенями
Пример. Представьте в виде степени выражение
у – 8 •у 10
Решение. При перемножении степеней их показатели следует сложить:
у – 8 •у 10 = у – 8 + 10 = у 2
Пример. Вычислите значение выражения
(10 – 1 ) – 6 : (0,1) – 3
(10 – 1 ) – 6 : (0,1) – 3 = 10 (– 1)•(– 6) : (10 – 1 ) – 3 = 10 6 : 10 3 = 10 6 – 3 = 10 3 = 1000
Пример. Представьте число 3 – 36 в виде степени с основанием 9.
3 – 36 = 3 2•(– 18) = 9 – 18
Пример. Представьте произведение 64v – 3 как степень.
64v – 3 = 4 3 v – 3 = (1/4) – 3 v – 3 = (v/4) – 3
Преобразование выражений с целыми степенями
Ранее мы рассматривали понятие рационального выражения. Так называлось выражение, в котором используются 4 основные арифметические операции (в том числе деление), а также возведение в степень. Однако использование отрицательной степени помогает избавиться от операции деления как ненужной. Например, возможны такие преобразования:
Во всех случаях мы заменили деление на возведение в отрицательную степень.
Рассмотрим несколько примеров по преобразованию выражений со степенями.
Пример. Упростите выражение
Решение. Возведение в степень (– 1) означает, по сути, переворачивание дроби:
Пример. Упростите дробь
Решение. Вынесем в числителе множитель а – 3 за скобки
Пример. Представьте в виде дроби выражение
В данном случае мы воспользовались формулой суммы кубов:
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )
Пример. Упростите выражение
(h 2 + ht + t 2 )(h – 2 + h – 1 t – 1 + t – 2 ) – 1
C учетом этого получаем:
(h 2 + ht + t 2 ) = h 2 t 2 (t – 2 + h – 1 t – 1 + h – 2 ) = h 2 t 2 (h – 2 + h – 1 t – 1 + t – 2 )
Зная это, можно записать
(h 2 + ht + t 2 )(h – 2 + h – 1 t – 1 + t – 2 ) – 1 = h 2 t 2 (h – 2 + h – 1 t – 1 + t – 2 )(h – 2 + h – 1 t – 1 + t – 2 ) – 1
В двух скобках стоят одинаковые выражения, но одно из них в степени (– 1). Такие выражения можно сократить, ведь они являются обратными числами:
h 2 t 2 (h – 2 + h – 1 t – 1 + t – 2 )(h – 2 + h – 1 t – 1 + t – 2 ) – 1 = h 2 t 2
Пример. Докажите тождество
Решение. Преобразуем левую часть:
Стандартный вид числа
В физике и других естественных науках изучаются объекты, чьи характеристики (масса, длина, скорость и т.д.) могут измеряться очень большими или очень малыми величинами. Например, масса атома железа равна 0,0000000000000000000000000927 килограмм, а масса Солнца оценивается в 1988500000000000000000000000000 килограмм. Работать с такими числами достаточно неудобно. Сложно даже сравнивать их между собой, ведь для этого надо подсчитывать количество нулей в каждом числе. Поэтому в науке часто используется особая форма чисел, которую называют стандартным видом числа. Он основан на том, что любое число можно записать как произведение числа a, находящегося в пределах от 1 до 10, и какой-нибудь целой (в том числе отрицательной) степени десятки.
Приведем примеры представления чисел в стандартном виде
912 = 9,12•100 = 9,12•10 2
Покажем случаи, когда порядок равен нулю или меньше него
7,63 = 7,63•1 = 7,63•10 0
0,0875 = 8,75•100 = 8,75•10 – 2
Посмотрите, насколько короче выглядит запись физических величин с использованием стандартного вида:
Пример. Укажите стандартный вид числа 76000000.
Решение. Первой ненулевой цифрой в записи является семерка, поэтому стандартный вид будет выглядеть так:
где n– какое-то целое число, которое нам надо найти. Поставим в исходном числе запятую после семерки:
Видно, что мы отделили запятой 7 разрядов, то есть перенесли запятую на 7 разрядов вправо. Поэтому n равно 7:
Действительно, умножение дробного числа на 10 приводит к смещению запятой на одну позицию влево, поэтому при умножении 7,6 на 10 7 получим 76000000. Наши действия можно проиллюстрировать рисунком:
В случае с числами, меньшими единицы, также надо смотреть на количество разрядов между запятой и первой ненулевой цифрой. Пусть надо представить в стандартном виде десятичную дробь 0,000005605. Значащей частью числа будет 5,605. Для того чтобы получить ее, надо в исходной дроби перенести запятую на 6 разрядов вправо. Поэтому порядок будет равен (– 6):
Теоретически мы можем дописать любое количество нулей, величина дроби от этого не изменится. Порядок числа равен 5, а потому запятую надо перенести на 5 знаков вправо:
2,5600000•10 5 = 256000,00
Теперь лишние нули после запятой и саму запятую можно и убрать:
Обратите внимание, что порядок числа был равен 5, а в итоге мы получили шестизначное число. Можно сформулировать правило: у числа, имеющего в стандартной виде порядок n, в десятичной представлении перед запятой будет стоять (n + 1)знак. Например:
1,23456789•10 6 = 1234567,89
Здесь порядок числа равен 6, а потому перед запятой стоит 7 знаков.
Напомним, что если число целое и, соответственно, в его записи нет запятой, то ее можно искусственно добавить:
Порядок равен (– 4), а потому надо передвинуть запятую на 4 знака влево
Получается, что мы подрисовали слишком много ноликов. Уберем два из нихи получим число в обычной форме:
Вообще, если у числа отрицательный порядок (– n), то первая ненулевая цифра должна оказаться на n-ой позиции после запятой:
Действия с числами в стандартном виде
Стандартный вид чисел удобен тогда, когда есть необходимость сравнивать физические величины, а также перемножать их и делить. Рассмотрим правила сравнения умножения и деления чисел в стандартном виде.
Из двух чисел больше то, у которого больше порядок стандартного вида числа. Так, масса Солнца больше масса Земли, так как у нее порядок равен 30, а у нашей планеты – только 24. Если же порядки одинаковы, то больше то число, у которого больше значащая часть.
Пример. Радиус ядра Солнца оценивается в 1,73•10 8 м, а радиус Юпитера составляет 6,99•10 7 м. Какая из этих величин больше?
Решение. Порядок у радиуса ядра Солнца равен 8, а у Юпитера только 7, поэтому радиус ядра Солнца больше радиуса Юпитера.
Пример. Масса протона составляет 1,673•10 – 27 кг, а масса нейтрона равна 1,675•10 – 27 кг. Какая из этих двух частиц тяжелее?
Решение. У обоих величин одинаковый порядок, равный (– 27). Однако значащая часть у массы нейтрона больше:
Следовательно, нейтрон тяжелее.
Ответ: Нейтрон тяжелее.
Посмотрим, как перемножать числа, находящиеся в стандартном виде. Переставляя множители местами, можно получить:
(a•10 n )•(b•10 m ) = a•b•10 n •10 m = (ab)•10 n+ m
В итоге можно сформулировать правило:
Пример. Земля двигается по своей орбите со средней скоростью 3•10 4 м/с. Какое расстояние она проходит в течение одного невисокосного календарного года (в каждом таком году 31536000 секунд)?
Решение. Переведем количество секунд в году в стандартный вид
31536000 = 3,1536 •10 7
Расстояние (обозначим его как S) равно произведению средней скорости на время:
S = 3•10 4 м/с • 3,1536•10 7 c = 3•3,1536•10 4 + 7 = 9,4608•10 11 м.
Ответ: 9,4608•10 11 м.
(9,5•10 8 )•(1,38•10 – 2 ) = (9,5•1,38)•10 8 + (– 2) = 13,11•10 6
Получили число НЕ в стандартном виде, так как 13,11 > 10. Поэтому следует произвести замену 13,11 = 1,311•10:
13,11•10 6 = 1,311•10•10 6 = 1,311•10 7
Теперь попытаемся поделить два числа, находящихся в стандартном виде:
Видно, что справедливо следующее правило:
Пример. Во сколько раз масса Солнца больше массы Земли?
Решение. Выше мы приводили данные, что масса Солнца оценивается в 1,9885•10 30 кг, а масса нашей планеты составляет 5,97•10 24 кг. Поделим массу звезды на массу планеты:
(1,9885•10 30 ):(5,97•10 24 ) = (1,9885:5,97)•10 30 – 24 ≈0,333•10 6 = 333000
Получили, что Солнце примерно в 333 тысячи раз тяжелее Земли.