Что значит правильная треугольная пирамида
Формулы и свойства правильной треугольной пирамиды. Усеченная треугольная пирамида
Геометрические представления о фигуре
Прежде чем переходить к рассмотрению свойств правильной пирамиды треугольной, разберемся подробнее, о какой фигуре идет речь.
Предположим, что имеется произвольный треугольник в трехмерном пространстве. Выберем в этом пространстве любую точку, которая в плоскости треугольника не лежит, и соединим ее с тремя вершинами треугольника. Мы получили треугольную пирамиду.
Поскольку фигура образована четырьмя сторонами, ее также называют тетраэдром.
Правильная пирамида
Выше была рассмотрена произвольная фигура с треугольным основанием. Теперь предположим, что мы провели перпендикулярный отрезок из вершины пирамиды к ее основанию. Этот отрезок называется высотой. Очевидно, что можно провести 4 разные высоты для фигуры. Если высота пересекает в геометрическом центре треугольное основание, то такая пирамида называется прямой.
Прямая пирамида, основанием которой будет треугольник равносторонний, называется правильной. Для нее все три треугольника, образующих боковую поверхность фигуры, являются равнобедренными и равны друг другу. Частным случаем правильной пирамиды является ситуация, когда все четыре стороны являются равносторонними одинаковыми треугольниками.
Рассмотрим свойства правильной пирамиды треугольной и приведем соответствующие формулы для вычисления ее параметров.
Сторона основания, высота, боковое ребро и апотема
Любые два из перечисленных параметров однозначно определяют остальные две характеристики. Приведем формулы, которые связывают названные величины.
Предположим, что сторона основания треугольной пирамиды правильной равна a. Длина ее бокового ребра равна b. Чему будут равны высота правильной пирамиды треугольной и ее апотема.
Для высоты h получаем выражение:
Эта формула следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, сторонами которого являются боковое ребро, высота и 2/3 высоты основания.
Апотемой пирамиды называется высота для любого бокового треугольника. Длина апотемы ab равна:
Из этих формул видно, что какими бы ни были сторона основания пирамиды треугольной правильной и длина ее бокового ребра, апотема всегда будет больше высоты пирамиды.
Представленные две формулы содержат все четыре линейные характеристики рассматриваемой фигуры. Поэтому по известным двум из них можно найти остальные, решая систему из записанных равенств.
Объем фигуры
Для абсолютно любой пирамиды (в том числе наклонной) значение объема пространства, ограниченного ею, можно определить, зная высоту фигуры и площадь ее основания. Соответствующая формула имеет вид:
Применяя это выражение для рассматриваемой фигуры, получим следующую формулу:
Не сложно получить формулу для объема тетраэдра, у которого все стороны равны между собой и представляют равносторонние треугольники. В таком случае объем фигуры определится по формуле:
То есть он определяется длиной стороны a однозначно.
Площадь поверхности
Продолжим рассматривать свойства пирамиды треугольной правильной. Общая площадь всех граней фигуры называется площадью ее поверхности. Последнюю удобно изучать, рассматривая соответствующую развертку. На рисунке ниже показано, как выглядит развертка правильной пирамиды треугольной.
Предположим, что нам известны высота h и сторона основания a фигуры. Тогда площадь ее основания будет равна:
Получить это выражение может каждый школьник, если вспомнит, как находить площадь треугольника, а также учтет, что высота равностороннего треугольника также является биссектрисой и медианой.
Площадь боковой поверхности, образованной тремя одинаковыми равнобедренными треугольниками, составляет:
Данное равенство следует из выражения апотемы пирамиды через высоту и длину основания.
Полная площадь поверхности фигуры равна:
S = So + Sb = √3/4*a2 + 3/2*√(a2/12+h2)*a
Заметим, что для тетраэдра, у которого все четыре стороны являются одинаковыми равносторонними треугольниками, площадь S будет равна:
Свойства правильной усеченной пирамиды треугольной
Если у рассмотренной треугольной пирамиды плоскостью, параллельной основанию, срезать верх, то оставшаяся нижняя часть будет называться усеченной пирамидой.
В случае правильной пирамиды с треугольным основанием в результате описанного метода сечения получается новый треугольник, который также является равносторонним, но имеет меньшую длину стороны, чем сторона основания. Усеченная треугольная пирамида показана ниже.
Мы видим, что эта фигура уже ограничена двумя треугольными основаниями и тремя равнобедренными трапециями.
Предположим, что высота полученной фигуры равна h, длины сторон нижнего и верхнего оснований составляют a1 и a2 соответственно, а апотема (высота трапеции) равна ab. Тогда площадь поверхности усеченной пирамиды можно вычислить по формуле:
S = 3/2*(a1+a2)*ab + √3/4*(a12 + a22)
Объем фигуры рассчитывается следующим образом:
V = √3/12*h*(a12 + a22 + a1*a2)
Для однозначного определения характеристик усеченной пирамиды необходимо знать три ее параметра, что демонстрируют приведенные формулы.
Объем пирамиды (ЕГЭ 2022)
В этой статье вы поймете что такое пирамида и какими они бывают.
Вы научитесь вычислять объем пирамиды, высоту и другие ее параметры.
Вы научитесь решать задачу на доказательство (ЕГЭ №14) и записывать доказательства так, чтобы не сняли баллы на ЕГЭ.
Объем пирамиды — коротко о главном
Определение пирамиды:
Пирамида – это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника (основание пирамиды), точки, не лежащей в плоскости основания, (вершина пирамиды) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.
Треугольники, в которые «сливаются» эти отрезки, называются боковыми гранями, а отрезки, проведённые к вершинам основания — это боковые ребра.
Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Правильная пирамида — пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.
Свойства правильной пирамиды:
Объем пирамиды:
Что такое пирамида
Вместо того, чтобы читать длинное определение, достаточно просто посмотреть на картинку:
Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина»).
У всей этой конструкции ещё есть боковые грани, боковые рёбра и рёбра основания.
Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:
Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это – пирамиды.
Вот, например, совсем «косая» пирамида.
И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.
Высота пирамиды
Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
При этом точка, куда oпустилась высота, называется основанием высоты.
Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды.
И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.
Правильная пирамида
Правильной называется такая пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.
Много сложный слов?
Давай расшифруем: «В основании – правильный многоугольник» — это понятно.
А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр – точка, являющаяся центром и вписанной, и описанной окружности.
Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида.
Шестиугольная правильная пирамида
В основании – правильный шестиугольник, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в центр основания.
Четырехугольная правильная пирамида
В основании – квадрат, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.
Треугольная правильная пирамида
В основании – правильный треугольник, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.
Очень важные свойства правильной пирамиды
В правильной пирамиде:
Объем пирамиды
Главная формула объема пирамиды
Откуда взялась именно \( \displaystyle \frac<1><3>\)?
Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть \( \displaystyle \frac<1><3>\), а у цилиндра – нет.
Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.
Объем правильной треугольной пирамиды
Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\). Нужно найти \( \displaystyle <_<осн>>\) и \( \displaystyle H\).
\( \displaystyle <_<осн>>\) – это площадь правильного треугольника \( \displaystyle ABC\).
Вспомним, как искать эту площадь.
Используем формулу площади:
\( \displaystyle S=\frac<1><2>ab\cdot \sin \gamma \)
У нас «\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle a\), а «\( \displaystyle b\)» — это тоже \( \displaystyle a\), а \( \displaystyle \sin \gamma =\sin 60<>^\circ =\frac<\sqrt<3>><2>\)
Теперь найдем \( \displaystyle H\).
По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOC\)
Чему же равно \( \displaystyle OC\)?
Это радиус описанной окружности в \( \displaystyle \Delta ABC\), потому что пирамида правильная и, значит, \( \displaystyle O\) — центр \( \displaystyle \Delta ABC\)
Найдем \( \displaystyle OC\) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).
\( \displaystyle OC=\frac<2><3>CK\), так как \( \displaystyle O\) — точка пересечения и медиан тоже.
\( \displaystyle C<
Подставим \( \displaystyle OC\) в формулу для \( \displaystyle H\).
И подставим все в формулу объема:
Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. \( \displaystyle b=a\)), то формула получается такой:
Объем правильной четырехугольной пирамиды
Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).
Здесь \( \displaystyle <__
Найдем \( \displaystyle H\). По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOD\)
Известно ли нам \( \displaystyle OD\)? Ну, почти. Смотри:
Подставляем \( \displaystyle OD\) в формулу для \( \displaystyle H\):
А теперь и \( \displaystyle H\) и \( \displaystyle <_
Объем правильной шестиугольной пирамиды
Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро \( \displaystyle b\).
Как найти \( \displaystyle <_
Теперь найдем \( \displaystyle H\) (это \( \displaystyle SO\)).
По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOE\)
Но чему же равно \( \displaystyle OE\)? Это просто \( \displaystyle a\), потому что \( \displaystyle \Delta EOF\) (и все остальные тоже) правильный.
Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
ЕГЭ №14. Стереометрия. Пирамида. Разбор варианта профильного ЕГЭ 2020
В этом видео мы разобрали следующие вопросы:
Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике
Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.
А теперь попробуй ты!
Мы рассказали тебе все о пирамидах. Не о тех, что строили инопланетяне и рептилоиды, но все же… Сделали это не хуже всяких конспирологических каналов!
Теперь ты можешь быть уверен, что у тебя есть хорошая база для решения большинства задач стереометрии. И ты не зайдешь в тупик прямо со слов «В правильном тетрадэдре PABCD…»
А теперь слово тебе. Расскажи нам, понравилась ли тебе статья? Были ли трудности?
Напиши нам ниже в комментариях!
А еще можешь задавать любые вопросы. Мы читаем все и обязательно ответим.
Геометрические фигуры. Правильная пирамида.
В правильной пирамиде все боковые ребра имеют одинаковую величину, и каждая боковая грань является равнобедренными треугольниками одного размера.
Правильная пирамида обладает следующими свойствами:
Формулы для правильной пирамиды.
Ниже указанная формула определения объема используется лишь для правильной пирамиды:
Боковое ребро правильной пирамиды находят по формуле:
где b — боковое ребро правильной пирамиды (SA, SB, SC, SD либо SE),
n — количество сторон правильного многоугольника (основание правильной пирамиды),
h — высота правильной пирамиды (OS).
Указания к решению задач. Свойства, которые мы перечислили выше, помогают при практическом решении. Когда нужно определить углы наклона граней, их поверхность и так далее, значит общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для определения отдельных элементов пирамиды, так как большинство элементов оказываются общими для нескольких фигур.
Правильная треугольная пирамида.
Формулы для правильной треугольной пирамиды.
Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:
Еще одним частным случаем правильно пирамиды является тетраэдр.
Что значит правильная треугольная пирамида
