Что значит правильная четырехугольная пирамида

Правильная пирамида. Определение

Определение 1. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центр ее основания.

Определение 2. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Элементы правильной пирамиды

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной, четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр.

Свойства правильной пирамиды

Указания к решению задач. Свойства, перечисленные выше, должны помочь в практическом решении. Если требуется найти углы наклона граней, их поверхность и т. д., то общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для нахождения отдельных элементов пирамиды, поскольку многие элементы являются общими для нескольких фигур.

Формулы для правильной пирамиды

Формулы для нахождения объема и площади боковой поверхности:

Данная формула нахождения объема может применяться только для правильной пирамиды:

, где

Правильная усеченная пирамида

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований.

Высота боковой грани (которая является равнобокой трапецией), называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.

Примечания

См. также: частные случаи (формулы) для правильной пирамиды:

Как воспользоваться приведенными здесь теоретическими материалами для решения своей задачи:

Источник

Формулы и свойства правильной четырехугольной пирамиды. Усеченная пирамида

Что такое пирамида в общем случае?

В геометрии под ней понимают объемную фигуру, получить которую можно, если соединить все вершины плоского многоугольника с одной единственной точкой, лежащей в другой плоскости, чем этот многоугольник. Рисунок ниже показывает 4 фигуры, которые удовлетворяют данному определению.

Вам будет интересно: Литовские статуты: даты и история изданий, регламент, хронология принятия статутов

Особым типом пирамид, которые от остальных представительниц класса отличаются идеальной симметрией, являются правильные пирамиды. Чтобы фигура была правильной, должны выполняться следующие два обязательных условия:

Отметим, что второе обязательное условие можно заменить иным: перпендикуляр, проведенный к основанию из вершины пирамиды (точка пересечения боковых треугольников), должен пересекать это основание в его геометрическом центре.

Правильная четырехугольная пирамида

Теперь перейдем к теме статьи и рассмотрим, какие свойства правильной четырехугольной пирамиды характеризуют ее. Сначала покажем на рисунке, как выглядит эта фигура.

Ее основание является квадратом. Боковые стороны представляют 4 одинаковых равнобедренных треугольника (они также могут быть равносторонними при определенном соотношении длины стороны квадрата и высоты фигуры). Опущенная из вершины пирамиды высота пересечет квадрат в его центре (точка пересечения диагоналей).

Эта пирамида имеет 5 граней (квадрат и четыре треугольника), 5 вершин (четыре из них принадлежат основанию) и 8 ребер. Ось симметрии четвертого порядка, проходящая через высоту пирамиды, переводит ее в саму себя путем поворота на 90o.

Египетские пирамиды в Гизе являются правильными четырехугольными.

Далее приведем формулы, позволяющие определить все характеристики этой фигуры.

Четыре основных линейных параметра

Начнем рассмотрение математических свойств правильной четырехугольной пирамиды с формул высоты, длины стороны основания, бокового ребра и апофемы. Сразу скажем, что все эти величины связаны друг с другом, поэтому достаточно знать только две из них, чтобы однозначно вычислить оставшиеся две.

Предположим, что известна высота h пирамиды и длина a стороны квадратного основания, тогда боковое ребро b будет равно:

Теперь приведем формулу для длины ab апофемы (высота треугольника, опущенная на сторону основания):

Очевидно, что боковое ребро b всегда больше апофемы ab.

Оба выражения можно применять для определения всех четырех линейных характеристик, если известны другие два параметра, например ab и h.

Площадь и объем фигуры

Эту формулу знает каждый школьник. Площадь боковой поверхности, которая образована четырьмя одинаковыми треугольниками, можно определить через апофему ab пирамиды так:

Если ab является неизвестной, то можно ее определить по формулам из предыдущего пункта через высоту h или ребро b.

Общая площадь поверхности рассматриваемой фигуры складывается из площадей So и Sb:

S = So + Sb = a2 + 2 × a × ab = a (a + 2 × ab)

Рассчитанная площадь всех граней пирамиды показана на рисунке ниже в виде ее развертки.

Описание свойств правильной четырехугольной пирамиды не будет полным, если не рассмотреть формулу для определения ее объема. Эта величина для рассматриваемой пирамиды вычисляется следующим образом:

То есть V равен третьей части произведения высоты фигуры на площадь ее основания.

Свойства правильной усеченной четырехугольной пирамиды

Получить эту фигуру можно из исходной пирамиды. Для этого необходимо срезать верхнюю часть пирамиды плоскостью. Оставшаяся под плоскостью среза фигура будет называться пирамидой усеченной.

Боковая поверхность усеченной фигуры образована не треугольниками, а равнобедренными трапециями.

Одним из важных свойств этой пирамиды является ее объем, который рассчитывается по формуле:

V = 1/3 × h × (So1 + So2 + √(So1 × So2))

Источник

Объем пирамиды (ЕГЭ 2022)

В этой статье вы поймете что такое пирамида и какими они бывают.

Вы научитесь вычислять объем пирамиды, высоту и другие ее параметры.

Вы научитесь решать задачу на доказательство (ЕГЭ №14) и записывать доказательства так, чтобы не сняли баллы на ЕГЭ.

Объем пирамиды — коротко о главном

Определение пирамиды:

Пирамида – это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника (основание пирамиды), точки, не лежащей в плоскости основания, (вершина пирамиды) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Треугольники, в которые «сливаются» эти отрезки, называются боковыми гранями, а отрезки, проведённые к вершинам основания — это боковые ребра.

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Правильная пирамида — пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Свойства правильной пирамиды:

Объем пирамиды:

Что такое пирамида

Вместо того, чтобы читать длинное определение, достаточно просто посмотреть на картинку:

Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина»).

У всей этой конструкции ещё есть боковые грани, боковые рёбра и рёбра основания.

Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:

Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это – пирамиды.

Вот, например, совсем «косая» пирамида.

И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.

Высота пирамиды

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

При этом точка, куда oпустилась высота, называется основанием высоты.

Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды.

И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.

Правильная пирамида

Правильной называется такая пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Много сложный слов?

Давай расшифруем: «В основании – правильный многоугольник» — это понятно.

А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр – точка, являющаяся центром и вписанной, и описанной окружности.

Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида.

Шестиугольная правильная пирамида

В основании – правильный шестиугольник, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в центр основания.

Четырехугольная правильная пирамида

В основании – квадрат, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.

Треугольная правильная пирамида

В основании – правильный треугольник, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.

Очень важные свойства правильной пирамиды

В правильной пирамиде:

Объем пирамиды

Главная формула объема пирамиды

Откуда взялась именно \( \displaystyle \frac<1><3>\)?

Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть \( \displaystyle \frac<1><3>\), а у цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Объем правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\). Нужно найти \( \displaystyle <_<осн>>\) и \( \displaystyle H\).

\( \displaystyle <_<осн>>\) – это площадь правильного треугольника \( \displaystyle ABC\).

Вспомним, как искать эту площадь.

Используем формулу площади:

\( \displaystyle S=\frac<1><2>ab\cdot \sin \gamma \)

У нас «\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle a\), а «\( \displaystyle b\)» — это тоже \( \displaystyle a\), а \( \displaystyle \sin \gamma =\sin 60<>^\circ =\frac<\sqrt<3>><2>\)

Теперь найдем \( \displaystyle H\).

По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOC\)

Чему же равно \( \displaystyle OC\)?

Это радиус описанной окружности в \( \displaystyle \Delta ABC\), потому что пирамида правильная и, значит, \( \displaystyle O\) — центр \( \displaystyle \Delta ABC\)

Найдем \( \displaystyle OC\) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

\( \displaystyle OC=\frac<2><3>CK\), так как \( \displaystyle O\) — точка пересечения и медиан тоже.

\( \displaystyle C<^<2>>=A<^<2>>-A<^<2>>\) (теорема Пифагора для \( \displaystyle \Delta ACK\))

Подставим \( \displaystyle OC\) в формулу для \( \displaystyle H\).

И подставим все в формулу объема:

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. \( \displaystyle b=a\)), то формула получается такой:

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).

Здесь \( \displaystyle <_>\) и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому \( \displaystyle <_>=<^<2>>\).

Найдем \( \displaystyle H\). По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOD\)

Известно ли нам \( \displaystyle OD\)? Ну, почти. Смотри:

Подставляем \( \displaystyle OD\) в формулу для \( \displaystyle H\):

А теперь и \( \displaystyle H\) и \( \displaystyle <_>\) подставляем в формулу объема.

Объем правильной шестиугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро \( \displaystyle b\).

Как найти \( \displaystyle <_>\)? Смотри, шестиугольник \( \displaystyle ABCDEF\) состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

Теперь найдем \( \displaystyle H\) (это \( \displaystyle SO\)).

По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOE\)

Но чему же равно \( \displaystyle OE\)? Это просто \( \displaystyle a\), потому что \( \displaystyle \Delta EOF\) (и все остальные тоже) правильный.

Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №14. Стереометрия. Пирамида. Разбор варианта профильного ЕГЭ 2020

В этом видео мы разобрали следующие вопросы:

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

А теперь попробуй ты!

Мы рассказали тебе все о пирамидах. Не о тех, что строили инопланетяне и рептилоиды, но все же… Сделали это не хуже всяких конспирологических каналов!

Теперь ты можешь быть уверен, что у тебя есть хорошая база для решения большинства задач стереометрии. И ты не зайдешь в тупик прямо со слов «В правильном тетрадэдре PABCD…»

А теперь слово тебе. Расскажи нам, понравилась ли тебе статья? Были ли трудности?

Напиши нам ниже в комментариях!

А еще можешь задавать любые вопросы. Мы читаем все и обязательно ответим.

Источник

Пирамида

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Виды пирамид

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

Источник

Что такое пирамида: определение, элементы, виды, варианты сечения

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения пирамиды. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Определение пирамиды

Пирамида – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник, который состоит из основания и боковых граней (с общей вершиной), количество которых зависит от количества углов основания.

Примечание: пирамида – это частный случай конуса.

Элементы пирамиды

Развёртка пирамиды – фигура, полученная при “разрезе” пирамиды, т.е. при совмещении всех ее граней в плоскости одной из них. Для правильной четырехугольной пирамиды развертка в плоскости основания выглядит следующим образом.

Примечание: свойства пирамиды представлены в отдельной публикации.

Виды сечения пирамиды

1. Диагональное сечение – секущая плоскость проходит через вершину фигуры и диагональ основания. У четырехугольной пирамиды таких сечения два (по одному на каждую диагональ):

2. Если секущая плоскость параллельна основанию пирамиды, она делит ее на две фигуры: подобную пирамиду (считая от вершины) и усеченную пирамиду (считая от основания). Сечением является подобный основанию многоугольник.

Примечание: Существуют и другие виды сечения, но они не так распространены.

Источник