Что значит плоский угол при вершине пирамиды

Плоский угол при вершине пирамиды

Здравствуйте!
Помогите решить задачу:
Дана правильная треугольная пирамида. Плоский угол при вершине пирамиды равен 30 градусов, а сторона основания равна 7 см. Найти объем пирамиды.
Спасибо!

Задача.
Дана правильная треугольная пирамида. Плоский угол при вершине пирамиды равен 30 град., а сторона основания равна 7 см. Найти объем пирамиды.

Решение.
Построим правильную треуг. пирамиду.
По условию сторона основания равна 7 см, а плоский угол при вершине этой пирамиды — 30 градусов.

Рассмотрим треуг-ник BCD.
Поскольку пирамида правильная, то все ее боковые ребра равны, то есть AD = BD = CD. Обозначим их через переменную d. Будет использовать теорему косинусов, согласно которой запишем:

Выразим длину стороны BC:

Из полученного равенства можно выразить длину ребра BD:

Подставим известные значения:

Проведем из вершины пирамиды D высоту DO.
Рассмотрим прямоуг. треуг-ник DOA. По теореме Пифагора вычислим длину высоты DO:

Отрезок ОА является радиусом описанной окруж-сти около треуг-ника АВС. Используем теорему синусов:

Подставим полученное значение в выражение для высоты пирамиды:

Можно записать формулу объема пирамиды:

Поскольку площадь правильного треуг-ника ABC равна:

то получим:
(куб. см)

Источник

Геометрические фигуры. Правильная пирамида.

В правильной пирамиде все боковые ребра имеют одинаковую величину, и каждая боковая грань является равнобедренными треугольниками одного размера.

Правильная пирамида обладает следующими свойствами:

Формулы для правильной пирамиды.

Ниже указанная формула определения объема используется лишь для правильной пирамиды:

Боковое ребро правильной пирамиды находят по формуле:

где b — боковое ребро правильной пирамиды (SA, SB, SC, SD либо SE),

n — количество сторон правильного многоугольника (основание правильной пирамиды),

h — высота правильной пирамиды (OS).

Указания к решению задач. Свойства, которые мы перечислили выше, помогают при практическом решении. Когда нужно определить углы наклона граней, их поверхность и так далее, значит общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для определения отдельных элементов пирамиды, так как большинство элементов оказываются общими для нескольких фигур.

Правильная треугольная пирамида.

Формулы для правильной треугольной пирамиды.

Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:

Еще одним частным случаем правильно пирамиды является тетраэдр.

Источник